2023年高考数学一轮复习习题：第一章第2节　命题及其关系、充分条件与必要条件

第2节命题及其关系、充分条件与必要条件

考纲要求1.理解命题的概念，了解“若p,则qn形式的命题及其逆命题、否命题与逆否

命题，会分析四种命题的相互关系；2.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义.

知识分类落实回扣知识•夯实基础

知识梳理

1.命题

用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题,其中判断为真的语句叫做真

命题，判断为假的语句叫做假命题.

2.四种命题及其相互关系

(1)四种命题间的相互关系

(2)四种命题的真假关系

①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性.

②两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系.

3.充分条件、必要条件与充要条件的概念

若p=q,则"是4的充分条件,〃是”的必要条件

P是q的充分不必要条件Pnq且沪P

P是q的必要不充分条件p+q且qnp

P是q的充要条件

P是q的既不充分也不必要条件p*q且qAp

常用结论与微点提醒

1.否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的

结论.

2.区别4是B的充分不必要条件(A=>B且B½A),与A的充分不必要条件是B(B=A且A*B)

两者的不同.

3.充要关系与集合的子集之间的关系，设A={x∣p(x)},B={x0(x)},

(1)若AU8,则P是q的充分条件，q是P的必要条件.

(2)若4B,则P是q的充分不必要条件，q是P的必要不充分条件.

(3)若A=8,则P是q的充要条件.

4,p是q的充分不必要条件，等价于㈱q是㈱P的充分不必要条件.

诊断自测

〉思考辨析

1.判断下列结论正误(在括号内打“J”或“X”)

(1)ux2+2x-3<0”是命题.()

(2)当4是P的必要条件时，P是q的充分条件.()

(3)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”.()

(4)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真.()

答案(1)×(2)√(3)√(4)√

解析(1)错误.该语句不能判断真假，故该说法是错误的.

〉教材衍化

2.设a,⅛∈R且ab≠O,则ab>l是α>g的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案D

解析若“而>1"，当a=-2,b=-l时，不能得到“痣’，

若‘%>""，例如当a=l,b=T时，不能得到“">1”，

故“">1”是的既不充分也不必要条件.

3.命题“若a=≡,则tana=Γf的逆否命题是()

A.若CC弋，则tanαWlB.若Ct=去则tana#1

Jl兀

C.若tanaWl,则aD.若tanaWl,则a=[

答案C

解析命题“若P，则的逆否命题是“若㈱（7,则㈱P"，所以该命题的逆否命题是“若

TT

tanot≠1,则az≠w”"

>考题体验

4.（2020・长春模拟）已知命题a：如果x<3,那么x<5,命题在：如果x》3,那么x》5,则命

题α是命题”的（）

A.否命题B.逆命题

C.逆否命题D.否定形式

答案A

解析两个命题之间只是条件、结论都作出否定，故为否命题关系.

5.（2020・天津卷）设αCR,则“心1”是uai>a,'的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案A

解析由a2>a,得a2-a>0,

解得«>1或a<0,

ʌua>ln是ua1>an的充分不必要条件.

6.（2021・合肥七校联考）已知集合A={Λ∣∣<3Λ<27,X∈R},B={X∣-1<x<m+1,机∈R},若x∈B

成立的一个充分不必要条件是x∈A,则实数m的取值范围是.

答案（2,+o0）

解析A=卜∣g<3*<27,Λ∈R∣={Λ∣-l<x<3}.

Vx∈B成立的一个充分不必要条件是％GA,

所以AB9所以m+1>3,即"2>2.

考点分层突破考点聚焦・题型剖析

考点一命题及其关系自主演练

1.（2020・太原质检）命题“若a>b,则α+c>h+c”的否命题是（）

A.若α+c<b+c,贝∣Ja<bB.若αWb,则α+cWb+c

C.若α+c>6+c,贝∣Ja>bD.若a>b,贝∣Ja+c≤Z>+c

答案B

解析将条件和结论都进行否定，即命题“若α>b,则α+c>6+c”的否命题是“若αWb,

则a+c≤⅛+cw.

2.(2021.成都七中检测)给出下列命题：

①“若q>=1,则IgX+lgy=O"的逆命题;

②“若Q∙b=α∙c,则0_LS-c)”的否命题；

③“若bW0,则方程2bx+∕+b=0有实根”的逆否命题；

④“等边三角形的三个内角均为60。”的逆命题.

其中真命题的个数是()

A.lB.2

C.3D.4

答案D

解析对于①,"若孙=1,则IgX+Igy=O"的逆命题为"若IgX+Igy=O,则孙=1"，

该命题为真命题；

对于②，“若"力="∙c,则Q_LS—c)”的否命题为““功WQ∙c,则α不垂直于(Z>—c)”,由

α∙br≠α∙c可得Q.(。一c)≠0,据此可得“不垂直于(b—c),该命题为真命题；

对于③，若⅛≤0,则方程χ2-2fex+∕+%=0的根的判别式/=(一2与2—4(〃+3=—4620,

方程有实根，原命题为真命题，则其逆否命题为真命题；

对于④，“等边三角形的三个内角均为60。”的逆命题为“三个内角均为60。的三角形为等

边三角形"，该命题为真命题.

3.(2018•北京卷)能说明“若加)40)对任意的x∈(0,2］都成立，则火X)在［0,2］上是增函数”

为假命题的一个函数是.

0,x=0,

答案√(x)=sinx,x∈［0,2］(答案不唯一，再如加)=«1)

-,0<x≤2

解析根据函数单调性的概念，只要找到一个定义域为［0,2］的不单调函数，满足在定义域

内有唯一的最小值点，且4x)min=∕(0).

感悟升华I.写一个命题的其他三种命题时，需注意：

(1)对于不是“若p,则q”形式的命题，需先改写；

(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提.

2.判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例.

3.根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直

接判断不易时，可间接判断.

考点二充分条件与必要条件的判定师生共研

【例1】(1)(2020・浙江卷)已知空间中不过同一点的三条直线I,m,〃.“/,，〃，”共面”是

“/,，"，"两两相交”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

(2)已知条件p：x+y≠-2,条件q：X,y不都是一1,则P是q的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案(I)B(2)A

解析(1)由机，n,/在同一平面内，可能有机，〃，/两两平行，所以机，n,/可能没有公

共点，所以不能推出n,/两两相交.由加，"，/两两相交且相，n,/不经过同-■点，可

设/Γh"=A,lC∖n=B,mC∖n-C,且朋”，所以点A和直线”确定平面α,而B,C∈",所

以B,C∈a,所以/,WJUα,所以机，n,/在同一平面内.故选B.

(2)因为p：x+y≠-2,q∙.x≠-I或yW—1,

所以㈱p：x+y=-2,默q：x=-1且y=-1,

因为㈱g=㈱p,但㈱p=⅛⅛q,所以㈱q是㈱P的充分不必要条件，即P是q的充分不必要

条件./

感悟升华充要条件的三种判断方法

(1)定义法：根据p=>q,4=p进行判断.

(2)集合法：根据使p,q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.

(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题

进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题.

【训练1】(1)(2021.昆明诊断)设集合A={x∣(x+l)(χ-2)20},B=%|常2。|.则''x∈A"

是''x∈B"的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

(2)(2020.北京卷)已知α,βGR,则''存在/GZ使得α=E+(-l)夕'是"sina=Sin夕”的

()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

答案(I)B(2)C

解析(1)集合A={X∣(X+1)(X-2)≥0}={Λ-∣X≥2,或x≤-1},B=^x|={φ^2,

或x<—1}.

：.BA,Λ"x∈Λ"是"尤∈"'的必要不充分条件.

(2)若存在kWZ使得0=4兀+(—1力5,则当忆=2〃(〃£Z),a=2nπ~∖~β,有sina=sin(2nπ+β)

=Sin夕；当％=2〃+1(〃EZ),a=(2n+∖)π-β9有sina=sin[(2n÷l)π-yδ]=sinβ.

r

若sinα=sin则a=2kπ+β或a=2kπ+式一β(kGL),

即Q=E+(-1)%∕∈Z).故选C.

考点三充分、必要条件的应用典例迁移

【例2】(经典母题)已知尸={xH-8χ-20W0},非空集合S={x∣l—机WXWl+根}.若x∈P

是x∈S的必要条件，求实数机的取值范围.

解由8x—20W0,得一2WxWl0,

ΛP={x∣-2≤x≤10}.

・.”wp是XWS的必要条件，则Sq只

1-∕H≥—2,

解得AΠ≤3.

1÷∕∏≤10,

又∙.'S为非空集合，1—^≤l+∕n,解得加20.

综上，加的取值范围是[0,3].

【迁移1】本例条件不变，问是否存在实数处使x∈P是x∈S的充要条件？并说明理由.

解由例题知P={R-2WXWl0}.

若x∈P是x∈S的充要条件，则P=S,

1—m——2,

l+∕7Z=10,

m=3f

m=9,

这样的tn不存在.

【迁移2】设p：P={⅛2-8χ-20≤0},q-.非空集合S={x∣l—机WXWl+m},且㈱P是

㈱q的必要不充分条件，求实数〃?的取值范围.

解由例题知P={x∣-2WXWI0}.

••飞弟P是的必要不充分条件，

P是q的充分不必要条件.

：.p=q且q*p,即PS.

1—mW—2,1—m<一2,

•Y或,

[1+机>10Il+/W≥10,

.∙.∕M≥9,又因为S为非空集合，

所以1—mWl+∕n,解得/"N0,

综上，实数〃2的取值范围是[9,+∞).

感悟升华1.根据充分、必要条件求解参数取值范围需抓住“两”关键

(1)把充分、必要条件转化为集合之间的关系.

(2)根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解.

2.解题时要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，

不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.

【训练2】设/,：ln(2χ-l)W0,q∙.(χ-ΛI)[Λ-(6?+l)]≤0,若q是P的必要不充分条件，则

实数a的取值范围是.

答案0(1]

解析P对应的集合A={x∣>=ln(2Λ-l)W0}=卜IlaW1},q对应的集合8={疝》一")口一(〃

+l)]≤0}={Λ∙∣α≤x≤a+l}.

由4是P的必要而不充分条件，知AB∙

所以且α+121,因此OWa

课后巩固作业分层训练•提升能力

A级基础巩固

一、选择题

1.(2019•天津卷)设x∈R,则"0<x<5”是小一1|<1"的()

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案B

解析由以一1|<1可得0<r<2,由“0<x<5"不能推出"0<r<2"，但由“(Xx<2”可以推出"0<r<5”.

故“0a<5”是α∣χ-l∣<Γ"的必要而不充分条件.

2.(2021・百校联考考前冲刺)已知命题p：”任意”>0,且αWl,函数y=l+log,,(χ-l)的图象

过点P"的逆否命题为真，则P点坐标为()

A.(2,1)B.(l,1)

C.(l,2)D.(2,2)

答案A

解析由逆否命题与原命题同真同假，可知命题P为真命题，由对数函数性质可知，函数y

=1+log,,(χ-l)的图象过定点(2,1),所以点P的坐标为(2,1).

3.(2019•北京卷)设函数/(X)=COSx+bsinXg为常数),则“6=0”是“/⑴为偶函数”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

答案C

解析当b=0时，./(x)=COSX为偶函数；若y(x)为偶函数，则√(-χ)=COS(―x)+6sin(-x)=

cosX—⅛sinx=∕(x),

.∙.-Z?SinX=加inX对x∈R恒成立，Λ⅛=0.

故*=0"是“於)为偶函数”的充分必要条件.

4.设mb,c∈R,则下列命题为真命题的是()

22

A..ac>bcB.τb>l

C.a-c>b~cD.a2>b2

答案C

2

解析对于A,ci>bi若c=0,则αc=8c2,故A错误；对于B,a>h9若o>0,⅛<0,则

故B错误；对于C,a>b,则〃-c>。一c,故C正确；对于D,a>b,若〃，Z?均小于0,则

22

a<hf故D错误.

5.（2020•长沙检测）若/,“是两条不同的直线，α是一个平面,且，“La,则是“/〃a”

的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案B

解析当直线∕ua时，“/，Wr卦“/〃。”，充分性不成立.

若/〃a,由线面平行的性质，可知在平面a内一定存在一条直线“与/平行，又所

以，〃_Lw,则，wU,可知必要性成立.

所以ft∕±mw是ul∕∕an的必要不充分条件.

6.（2020∙石家庄模拟）下列说法中正确的是（）

A.若函数/U）为奇函数，则<O）=O

B.若数列｛〃“｝为常数列，则｛斯｝既是等差数列也是等比数列

C.在aABC中，A>B是sinA>sinB的充要条件

D.命题“若"资&“"CN*,则｛斯｝为递减数列”的逆命题为假命题

答案C

解析A错误，yu）=+为奇函数，但人0）无意义；

B错误，如=0为常数列，但｛如｝不是等比数列；

C正确，由于A>B<=>tz>⅛<=>sinA>sinB.

D错误，若｛”“）递减，则知+H%=%"∈N*,所以逆命题为真命题，D不正确.

7.（2021・贵阳模拟）设函数yU）=e%2-3x,则使犬x）<l成立的一个充分不必要条件是（）

A.0<x<lB.0<x<4

C.0<x<3D.3<x<4

答案A

解析y（x）<1<≠>ex2—3x<I<≠>x2—3x<0,解得0<x<3.

又"0<x<l"可以推出"0<x<3"，但"0令<3”不能推出

故“0a<l”是7（x）<l"的充分不必要条件.

8.已知命题p：x2÷2χ-3>0；命题q：x>a,且㈱q的一个充分不必要条件是㈱p,则a的

取值范围是（）

A.[l,+∞）B.（-∞,1]

c.[-l,+∞）D.（-∞,-3]

答案A

解析由/+入一3>0,得x<—3或x>l,由的一个充分不必要条件是㈱p,

可知㈱P是㈱q的充分不必要条件，等价于q是P的充分不必要条件.故a^l.

二、填空题

9.（2021•河南名校联考）设命题p：x>4；命题<y≈x2-5x+4≥0,那么P是q的

条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）.

答案充分不必要

解析由/—5x+4N0得XWI或x>4,可知｛x∣x>4｝是｛MXwl或x24｝的真子集，；.p是q

的充分不必要条件.

10.有下列几个命题：

①“若a>b,则。2>序”的否命题；②“若χ+y=O,贝IJX,y互为相反数”的逆命题；③“若

x2<4,则一2<x<2”的逆否命题.

其中真命题的序号是.

答案②③

解析①原命题的否命题为“若“Wb,则/W62"，错误；②原命题的逆命题为“若X,y

互为相反数，则x+y=O”,正确；③原命题的逆否命题为“若xN2或XW—2,则，

正确.

11.直线X—y—A=O与圆（X—iy+y2=2有两个不同交点的充要条件是.

答案一1<七3

解析直线x—y—Z=O与圆（x—1>+炉=2有两个不同交点等价于，

解得一1<N3.

12.已知不等式优一,w∣<l成立的一个充分不必要条件是g<x<∣,则机的取值范围是.

口案[一2，3_

解析解不等式以一，加<1,得，"一l<x<7n+1.由题意可得Q,（ZM-1,m+1）,故

,“一1≤J,

314

且等号不同时成立，解得一户机号.

｛“+1专

B级能力提升

13.（2020∙武昌调研）给出下列说法：

①命题“若<=1,则xWl”的否命题是“若9=1,则x=l”；

②命题”若a>2且b>2,则a+b>4且ab>4,,的逆命题为真命题；

③命题“若函数yU）=∕-Οv+l有零点，则或aW—2”的逆否命题为真命题；

④命题'勺XOGR，4-χo<0"的否定是"VχCR,x2-χ>0w.

其中正确的序号为（）

A.②

C.①③D.②④

答