函数与导数-广东省深圳市高考数学三年（2021-2023）模拟题汇编

函数与导数-广东省深圳市高考数学三年(2021-2023)模拟

题知识点分类汇编

一、单选题

yγ<\

1.(2023•广东深圳•统考二模)已知函数/(X)=''一，则f(f(2))=()

Iog3X,X>1

A.2B.-2C.ɪD.-ɪ

2.(2023广东深圳・统考一模)已知〃引为奇函数,且》<0时,〃力=炉，则/(6)=()

ece

A.eB.-eC.e^D.

3.(2023•广东深圳•统考一模)已知函数/(x)=2+lnx,g(x)=α√L若总存在两条不

同的直线与函数y=∕(χ),y=g(χ)图象均相切，则实数”的取值范围为()

A.(0,1)B.(0,2)C.(1,2)D.(l,e)

4.(2022.广东深圳.统考二模)已知4>0,若过点(。,6)可以作曲线y=V的三条切线，

则()

A.⅛<0B.O<b<a3C.b>a,D.b(b-a3)^O

5.(2022・广东深圳•统考一模)已知函数/(x)=∕-W+α(eZ+eτM),其中awR,

则()

A."x)在(2,+∞)上单调递增B."x)在(2,+8)上单调递减

C.曲线y=∕(χ)是轴对称图形D.曲线y=∕(χ)是中心对称图形

6.(2021•广东深圳•统考二模)函数y=χ=∙sin(;TX)∙log,∣x∣的图象大致为()

二、多选题

7.（2023•广东深圳•统考二模）设抛物线Cy=V的焦点为凡过抛物线C上不同的两

点A，B分别作C的切线，两条切线的交点为P,AB的中点为Q,则（）

A.PQyB.PFLABC.NPFA=NPFB

D.∖AF∖+∖BF∖=2∖PF∖

8.（2023•广东深圳•统考二模）已知F（X）是定义在闭区间上的偶函数，且在），轴右侧的

图象是函数y=sin®x+。）（0>0,0<8<兀）图象的一部分（如图所示），则（）

A.AX）的定义域为［-兀,兀］

B.当X=V时，f（x）取得最大值

C.当x<0时，/（X）的单调递增区间为营,-J

ɔO

D.当x<0时，/（x）有且只有两个零点喑和-詈

9.（2022・广东深圳•统考二模）己知（工一2>=为炉+%/++qχ+%,则（）

8

A.⅜=2B.α1+¾+∙∙+¾=1

C∙同+同++∣¾∣=38D.4+2%+3%++8¾=-8

10.（2021・广东深圳•统考二模）设函数/（X）=夕和

g（x）=lnx-履2+（l-2k）x+g（keR）,其中e是自然对数的底数（e=2.71828）,则下

列结论正确的为（）

试卷第2页，共4页

A./(x)的图象与X轴相切

B.存在实数k<0,使得g(x)的图象与X轴相切

C.若％，则方程/(χ)=g(χ)有唯一实数解

D.若g(x)有两个零点，则k的取值范围为(θ,J

IL(2021∙广东深圳•统考一模)已知函数/(X)=深+d,若则下列不等

式一定成立的有()

A.f(l-m)<f(n-l)B.f(2∖∣mn)<f(m+n)

C./(log,,√0<∙∕(⅛w)D.f(m")<f(n'")

三、填空题

12.(2023∙广东深圳•统考二模)已知函数/(x)的定义域为R,若/(x+l)-2为奇函数,

且"l-x)="3+x),贝IJf(2023)=.

13.(2023•广东深圳•统考一模)定义开区间(。力)的长度为匕-a.经过估算，函数

11

〃力=祟-χ3的零点属于开区间(只要求写出一个符合条件，且长度不

超过!的开区间).

14.(2022•广东深圳•统考二模)已知函数∕*)=ln(e'+l)-依是偶函数，贝IJ

k=.

15.(2022∙广东深圳•统考一模)已知函数/(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，

/(X)=et,则f(Ing)=.

16.(2021・广东深圳•统考一模)已知函数的图象关于y轴对称，且与直线V=X相切，

则满足上述条件的二次函数可以为/O)=.

四、解答题

17.(2023・广东深圳•统考二模)已知函数/(x)=e'"T-χ.

(1)讨论函数/(x)的单调性；

⑵当机>0时，函数g(χ)=/(X)-生土士ɪ+X恰有两个零点.

m

(i)求机的取值范围；

(ii)证明=g(x)>z777-zπ7.

18.(2023•广东深圳•统考一模)已矢口函数3(x)=a(x：4),其中“6R且αχ().

⑴当a=l时，求函数〃x)的单调区间；

(2)若存在实数%,使得/(Λ0)=X°,则称/为函数〃x)的“不动点”求函数/(x)的“不动

点''的个数；

(3)若关于X的方程y(∕(x))=∕(x)有两个相异的实数根，求“的取值范围.

19.(2022•广东深圳•统考二模)设函数/(x)=xe*-ax?-2办+2片-α,其中αeR.

(1)讨论/(X)的单调性；

(2)当/(x)存在小于零的极小值时，若公,工2e(θ,5),且/(Sinxl)<∕(x∣COSX2),证明：

x↑>x2.

20.(2022・广东深圳・统考一模)已知函数/(x)=21nx-(α+l)χ2-2Ur+l(awR).

⑴求函数/(x)的单调区间；

⑵若函数f(x)有两个零点演，X-

(i)求实数α的取值范围；

(ii)求证：xl+Λ2>2.1—!—.

，4+1

21.(2021・广东深圳•统考二模)已知定义在R上的函数

"x)=f+acosx+(α-2)eT(αeR).(其中常数e是自然对数的底数，=2.71828)

(1)当“=2时，求F(X)的极值；

(2)(i)若/(x)在［0,句上单调递增，求实数〃的取值范围；

中11

(ii)当〃wN*时，证明：π^4^2∙

IΛ<IA.IIaJl

v,n+k

22.(2021•广东深圳•统考一模)已知函数I(X)=αh?X+2x(1-Inx),α∈R.

(1)讨论函数/(χ)的单调性；

(2)若函数g(x)=e2∕(x)-2〃2有且仅有3个零点，求α的取值范围.(其中常数

e=2.71828...,是自然对数的底数)

试卷第4页，共4页

参考答案：

1.A

【分析】根据函数的分段点代入求值.

【详解】/(2)=Iog32,S⅛log32<log33=l,所以/(/(2))=3峪？=2.

故选：A.

2.D

【分析】由奇函数性质及解析式求解即可.

【详解】/(x)为奇函数，且x<0时，/(x)=e"/(e)=-∕(-e)=-e".

故选：D

3.B

【分析】设函数y="x),y=g(x)的切点坐标分别为α,2+lnxj,小，C国,根据导数

4InX+4

几何意义可得。2=---,x,>0,即该方程有两个不同的实根，则设

NX)=41nx+4,χ>o,求导确定其单调性与取值情况，即可得实数。的取值范围.

X

【详解】解：设函数/(x)=2+lnx上的切点坐标为(Λp2+lnxJ,且内>0,函数g(x)=a«

上的切点坐标为(工2，〃衣)，且马之0，

又∙Γ(x)=Jg'(x)=云，则公切线的斜率％=；=示，则α>0,所以々=!心

则公切线方程为y-(2+ln再)=’(x-x∣),即y='x+lnx∣+l,

x∖x∖

/ɪ2]2

2

代入12,巴/^)得：=-x2+lnx1÷1,则WN=------xl+lnx∣+1,整理得

2_4Inx1+4

F，

若总存在两条不同的直线与函数y=∕(χ),y=g(χ)图象均相切，则方程去=4-1+4有

x∖

两个不同的实根，

41n%+4C则按⑴FX-(41x+4)TInx,令“(x)=0得X=I,

设MX)=----------,x>0

X

当x∈(O,l)时,Λz(x)>O,单调递增，x∈(l,÷w)时，//(x)<0,Mx)单调递减,

答案第1页，共23页

又MX)=O可得X=3，则x→()时，A(x)→→0;χ→+8时，⅛(χ)→0,则函数MX)的大

致图象如下：

∖a>0ɪ.、

所以0</<4,解得0<"2,故实数”的取值范围为(0,2).

故选：B.

【点睛】本题考查了函数的公切线、函数方程与导数的综合应用，难度较大.解决本题的关

键是，根据公切线的几何意义，设切点坐标分别为(％,2+lnχ),且芯>0,(x2,α√^^),且

,1。〃21

z≥0,可得％===丁尸，即有々=里玉2,得公切线方程为y=—x+lnx∣+l,代入切点

百ZyX?4X

/ɪ212

仁,〃JZ)将双变量方程。/T=FX2+∣n%+1转化为单变量方程5XI=-----x∣2+lnχ+1,

根据含参方程进行“参变分离"得"=—1—，转化为一曲一直问题，即可得实数。的取值

范围.

4.B

【分析】设切点为(x0,/3),切线方程为y=Z(x-a)+〃，求出函数的导函数，即可得到

k=3χi

°ʌ,3,整理得2j√-3Ο√+8=0,令g(x)=2∕-30√+6,利用导数说明函数

k[x0-a)+b=x0'

的单调性，即可求出函数的极值，依题意g(x)有三个零点，即可得到不等式组，从而得解;

【详解】解：设切点为(Xo,∙√),切线方程为y=α)+b,由y=χ3,所以y=3∕,所

以y,∣x=⅞=3⅞^,

k=3x?

则"°、八3’所以2∙√-3α√+6=o,

κ(A⅛-a)+P=x0'

令g(x)=2χ3-3ax2÷Z?,则g'(x)=6/-6ax=6x^x-a),

答案第2页，共23页

因为α>0,所以当x<O或x>α时g'(x)>O,当0<x<α时g'(x)<O,

所以g(x)在(-8,0)和(〃物)上单调递增，在(0,a)上单调递减,

所以当X=O时g(x)取得极大值，当X=。时g(x)取得极小值，即g(x)极大值=g⑼=6,

g(4s,MS=g(α)=b-α)

依题意g(x)=2√-30r2+b有三个零点，所以g(x)极大值=g(。)=6>0且

g(x)极小值=g(α)=6—Y<0,即0</,</；

故选：B

5.C

【分析】由解析式易得/(2-x)=∕(x)且定义域为｛χ∣XHO且x≠2｝即可判断C；对分》)求导,

并讨论”0、α>0研究/'(X)在(2,+∞)上的符号判断A、B；根据/(mτ)+∕(m+x)是否为

定值判断D.

【详解】由题设，/(2-%)=ɪ+ɪ+«(e'-ɪ+eɪ-')=ʃ(ɪ),定义域为3x#0且x*2},

2-xX、/

所以/(X)关于X=I对称，C正确;

又小)=++总产(-)=4(x-l)α(e2χ-2-l)

X2(X-2)2et^1

2x2

当。时，不妨假设〃=-1,贝了")=奇4(χ奇-n+1_ek^’显然

7(3)=§+1="签至<0,此时/(x)在(2,+8)上有递减区间，A错误;

当”>0时，在(2,+8)上/'(X)>0,即/(χ)在(2,+8)上递增，B错误;

由

f(m-x)+f(m+x)=-----------J—+a(era^x^l+er^,"+')+—-----------?—+α(e'"+"τ+e'^t^m)

m-Xtn-X-2`7m+xm+x-2`7

，不可能为定值，故D错误.

故选:C

【点睛】关键点点睛：利用导数结合分类讨论研究函数的区间单调性，根据/(m-χ)=/(X)、

/(〃LX)+〃〃?+X)="是否成立判断对称性(加,〃为常数).

6.B

2.、

【分析】分析函数y=∕.sin(τrx)∙log,W的定义域、奇偶性及其在(。/)上的函数值符号，结

答案第3页，共23页

合排除法可得出合适的选项∙

【详解】设/(χ)=XQ.sin(^∙χ)∙Iog2∣Λ∣=-V?∙sin(^∙χ)∙log,∣Λ∣，该函数的定义域为{x∣x*°}>

/(-X)=M-X)2∙sin(-ΛΓX)∙log,∣-Λ∣=-ʌ/?-sin(Λ∙χ)∙log2∣x∣=-∕(x),

函数/(x)为奇函数，排除Ae选项；

当0<xvl时，Q<πx<π,Sin(TrX)>0,贝∣J∕(x)<O,排除D选项.

故选：B.

【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；

(2)从函数的值域，判断图象的上下位置.

(3)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

(4)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

(5)函数的特征点，排除不合要求的图象.

7.AC

【分析】设切线求交点根据两根之和判断A选项；特殊值法判断B,C选项；根据定义数形

结合判断D选项.

【详解】对于A选项：设4(再,必),3(々,%),尸(%,%),0(百产,无&),

y=x2,y'=2x,

过点A切线为：y-yl=2x1(x-x1)φ,

过点B切线为:y-%=2j⅛(x-X2)②,

①一②得%-%=2XIX-2X2X,

化简可得X：-X2。=2x(x∣-x2),

X+X)

X。=亍

PQLX轴,A选项正确.

设A(O,O),B(1,1),F尾),

过A点的切线为y=0,过B点的切线为y-l=2(x-1),交点为p(g,θ),

答案第4页，共23页

AB的中点为Q,,所以原F=-；,怎B=1,ktψk,∖B#-L尸F不垂直AB,B选项错误;

IAFl+IM=卜+Q[+卜+图=|，2加=2旧+')考,所以

∖AF∖+∖BF↑≠2∖PF∖,D选项错误；

作抛物线准线的垂线ΛΛ,,,连接A'P,BRPF,AF,BF,

小，9,小,用"ME,

贝!lkm=-K,kl›A=",

xiP

显然L∙3=T,,所以FA:LPA,

又因为由抛物线定义,得IAAl=IAFl,故知总是线段FA1的中垂线,得到∣B4'∣=∣P百则

ZPAIA=ZPFA

同理可证：∣P8[=∣PF∣,NPB7J=NPFB,

所以∣Λ4[=∣P8]=∣PF∣,即NΛ4E=ZPQA,

所以NarA=N必宣+90?=NPB4+9flPB,B,即NPR4=∕PΛB.

故选:AC.

8.BCD

【分析】先利用待定系数法求出母/，再根据原点右侧的第二个零点为42π+；T,即可判断

34

A；求出/[聿)的值即可判断B；求出当x>0时的减区间，结合函数为偶函数即可判断C；

求出当x>O时的零点，结合函数为偶函数即可判断D.

【详解】由图得/(O)=sino=g,且位于增区间上，

答案第5页，共23页

JrTT

所以0=：+2E,keZ,又因为0<夕<兀，所以"=二,

2ππ3TrC,,r

---COH=-----F2κ7t,κ∈Zω=2+3k,kwZ

ɜ62,得

则9,所以0=2,

2π8π0<ω<-

——>一4

、ω9

所以/(x)=Sin2x+^j(x≥0),

ιg-1∙jej—zspA=Jr2πT2ππ1lπ

由图可知，原点右侧的第二个零点为7+^=7+^=记，

117tIITr

所以f(χ)的定义域为-五，五，故A错误；

当Xe0,皆时，“x)=Sin(2》+3)，

因为ʤ)=SinW=I为最大值，则当X=F时，/O)取得最大值，故B正确；

‹6√26

ITJT37rTTπ2ττ

当x>0时，令一+2⅛π≤2x+-≤—+2lσt,则一+攵兀≤2JV+-≤—+E,A∈Z,

262663

又因为x∈θ,ɪɪ,

所以当x>0时，/(x)的减区间为他，军］,

OJ

因为函数/(χ)为偶函数,

2ITπ

所以当x<0时，f(χ)的单调递增区间为--T，-W，故C正确;

ɔO

._117t.ʌTr7Γɪ.z∙/∖.Iʌ71I_

当Xe0,—时，2x+-∈-,2π,令〃X)=Sln[2x+qJ=0,

/rCTC__I_I5兀_4IlTr

得2x+/=Tt或X2兀，l则lX=二或二丁，

61212

因为函数/(x)为偶函数,

所以当x<0时，/(X)有且只有两个零点-号和-詈，故D正确.

故选：BCD.

9.AD

【分析】利用赋值法判断A、B、C,对二项式及展开式两边对X求导，再令x=l,即可判

断D.

答案第6页，共23页

x87

【详解】H⅛(x-2)=¾x+07x++4x+%,

令X=0,则a。=2',故A正确；

令x=l,则%+q+%τ----卜4=(2-1)8=1,所以4+%•<F¾=1—28,故B错误;

令x=7,则死一“+生一生+…+例=3”

、38÷1

所以4+%+4…÷⅝=—-g=2',

所以M+同+闷++∣¾∣=38-28,故C错误;

881

对(Λ-2)=¾X+a1x++4x+4两边对支取导得

27

8(X-2)7=aλ+Ia2X+3a3x+-∙∙÷8¾x,再令X=I得%+2tz2+3«3+∙∙∙+8¾=-8,故D正确；

故选：AD

10.ACD

【分析】通过导数的几何意义分别判断函数“X),g(χ)与X轴的相切情况；*=；时，求

得g(χ)的单调区间及最值，判断方程“χ)=g(χ)是否有唯一实数解；对％分类讨论，求得

g(x)有两个零点时应满足的条件，从而判断选项正误.

【详解】r(x)=e'-e,若〃X)的图象与X轴相切，则r(x)=e'-e=0=x=l,又/⑴=0,

则切点坐标为。,0),满足条件，故A正确；

/(x)△-2—(1口)=一2"+(l-2%)x+l=(x+l)(l-2”(x>0))

XXX

当&<o时，易知g'(χ)>o恒成立，不存在为0的解，故不存在实数A<0,使得g(x)的图象

与X轴相切，B错误；

由上所述，/(X)在xe(0,l)上单减，xe(l,+∞)上单增，则/(x)≥,/"⑴=0；

若k=ɪ,g(x)=lnx-gχ2+∙∣,g<x)=]+∣:X),g(x)在Xe(0,1)上单增，x∈(l,+∞)±

单减,g(x)≤g(l)=0,故方程f(x)=g(x)有唯一实数解x=l,故C正确;

g，(X)=(X+1)(：-2丘),a〉。)，

当％≤0时，g'(x)>O恒成立，g(x)单增，不存在2个零点，故舍去；

答案第7页，共23页

当火>0时，8(》)在(0,：)上单增，在(5,+8)上单减，且x→0时，g(x)→→Λ,x→+∞

/Kλκ

时，g(x)→r°,故若g(x)有两个零点，则应使最大值《表)

>0,

gnɑ(ɪ∣=ln-Jt(J-)2+(1_2k)J-+，=J--ln2Z_1>0,

U⅛J2k2k',Ik24k2

令MkTF2G易知W)单调递减，且磅=。,

因此必外>0的解集为ke(O,),D正确;

2

故选：ACD

【点睛】关键点点睛：利用导数来研究函数的单调性，最值问题，把方程的根的问题，零点

问题转化为图像交点问题，利用导数求得最值，从而得证.

11.BD

【分析】确定函数是增函数，然后比较自变量的大小后可得正确选项.

【详解】易知/(x)=3"+V是R上的增函数,

0<∕n<l<n⅛,机+〃>2向成立,机"<1<H"成立,BD一定成立；

1-机与n-l的大小关系不确定，A不一定成立；

同样log,“〃与log","的大小关系也不确定，如〃2=1时，log,,,”=IOg"〃1=T,C也不一定成

n

立.

故选：BD.

12.2

【分析】推导出函数f(x)为周期函数，确定该函数的周期，计算出/⑴的值，结合

/(l)+∕(3)=4以及周期性可求得“2023)的值.

【详解】因为/(x+1)—2为奇函数，则/(-χ+i)-2=-[/(x+l)-2],

所以,/(l+x)+∕(l-x)=4,

在等式“l+x)+"l)=4中，令X=0,可得2"1)=4,解得〃1)=2,

又因为/。―x)=∕(3+x),则“l+x)+∕(3+x)=4,①

所以，/(x+3)+∕(x+5)=4,②

答案第8页，共23页

由①®可得"x+5)=∕(x+l),即Q(X+4)=f(x),

所以，函数/(x)为周期函数，且该函数的周期为4,

所以，/(2023)=∕(4×505+3)=∕(3)=4-∕(l)=2.

故答案为：2.

13.(H)(不唯一)

【分析】利用函数的零点存在定理求解.

【详解】解：因为y=[,y=-]都是减函数,

2

所以/(力力1-炉是1减函数，

ɪ

又〃1)=»T<OJ3

<0√>0>

即佃.佃＜。,

κ

上有零点,H4'

故答案为(不唯一)

14.-/0.5

2

【分析】依据偶函数的定义建立方程即可求解.

【详解】由题意知：/(x)=ln(e*+l)一履是偶函数,

则xe∕?,/(r)=∕(%)

即：kɪ(e^^"+1)-MT)=In(e"+1)―尿

即：ln(eʌ+1)-x+fct=ln(eA+l)-fcr

即：(左―l)x=—AX,解得：A=ɪ.

故答案为：ɪ.

15.-2

【分析】利用奇函数可得/(Inf=-/(In2),结合ln2>0及已知解析式即可求值.

答案第9页，共23页

【详解】由题设，∕dn^)=∕(-ln2)=-∕(ln2),又∣n2>0,

所以/(lng)=-eh*2=-2.

故答案为：-2.

16.X2+-(答案不唯一).

4

【分析】关于>轴对称，函数为偶函数，可以设/(X)=Or2+c,然后由它与直线y=x相切

可求得4c的关系，取特殊可得结论.

【详解】因为二次函数/(x)的图象关于)，轴对称，所以可设“X)=Or2+c,

y=+C1

由，得Οτ2-x+c=0,所以△=1—4√7C=0,即ac=一.

y=x4

取α=l,c=!，则Ax)=/+：,(答案不唯一).

44

故答案为：X2+7(答案不唯一).

17.(1)答案见解析

⑵(i)(0,1)；(ii)证明见解析

【分析】(1)求导，再分m≤0和加>0,根据导数的符号即可得出答案；

Mu

(2)(i)求导/(X)=ZMe'T-」-="~—(x>0),h(x)=nΓxe"-'-∖,利用导数判断

mxmx

函数的单调性，再结合(1)分“和O<m<l两种情况讨论，利用零点的存在性定理即可

得出答案；

111I/、2∖nm

(ii)由⑴可得要证g(χ)>M-wlF,即证g(χj>∕-m获，先证明8(%)>二二，再

构造函数"(x)=21nx-x+jx>0),利用导数判断出函数的单调性，从而可得出结论.

【详解】(1)/,(x)=∕7te,,u-1-l,

当〃?≤0时，∕,(x)=^emv-'-KO,所以函数“X)在R上递减，

当机>()时，设尸(X)=〃汨"1一1,则尸'(x)=∕e"'i>O,

所以函数尸(X)=柞皿-1在R上递增，即/'(X)=me""τ-1在R上递增，

答案第10页，共23页

令r(x)=me"xJ=O,得X=ElT,

m

„(I-In/H,

⅛x∈l-∞,—--J时,r(χ)<o,函数"χ)为减函数，

„「1一In"2、，

当x∈m，+立时，f↑x)>0,函数/(x)为增函数,

综上可得，当加≤0时，函数/(X)在R上递减;

当机>0时，函数/(x)在18,1)上递减,在(1："，+8)上递增;

_/∙X/∖ʃ/∖InX+1〃氏-1InX+1/八、

(z2)x(1)g(x)=∕(冗)-----------+x=e-----------

mm

函数g(χ)的定义域为(o,y),

m2xe'"χ-'-1

g'(x)=me""T-'(χ>°)

mxmx

设MX)=∕π2xe,nt-l-1,则(X)=m2(∕nv÷l)ewα~,>0(%>0),

所以函数MX)在(0,+8)上递增，

由⑴可知，当加=1时，"x)≥∕(匕产)=./•⑴=I-I=0,

即ex^,≥X，

、f_3AΛ_3ʌψ3+I∣-l/_3λ/3λ

222λ2

所以力÷1=nιw+1e`'-∖≥mw+1∙mAHɪ+1-1»

∖/∖√∖√∖/

/3λ3_3

所以/7〃7万+1>m2∙m`m`m2—1=0,

\7

又因Mo)=-1,由零点的存在性定理可得，

，-a、1

2

存在Xle0,m+1,使得MXI)=0,即〃环1“1=一，(*)

I)m

当X∈(O,Λ⅛)时,ZZ(X)C0,即/(x)<0,g(x)为减函数，

当Xe(Xl,+∞)时，∕Z(x)>O,即g'(x)>O,g(x)为增函数，

当修/时，由⑺可知g(xj=e3-屿担=匕吧3),

mmx1mmX1

且O<mηe"wτ=l≤j,

m

答案第Il页，共23页

设θ(x)=XeI,则d(x)=(x+l)e*τ>θ(x>θ),

所以函数研X)=XeI在(0,+∞)上递增，

因为。⑴=1，结合0<∕nηe"*τ=L≤l,

tn

得"环≤1,又m≥∕,所以玉4L≤1,

m

所以1一,g(In芭+1)≥l-mr1≥0,

即g(x)≥g(∙η)≥O,

所以当机≥/时，函数g(x)最多一个零点，与题意矛盾,

当0<加<1时，^(l)=eω^l--,

m

v

设G(X)=eτJ(0<x<l),则G(X)=e*τ+-5r>0(0<x<l),

所以函数G(X)在(0,1)上递增，

所以G(X)<G⑴=0,即g⑴=e"-,<0,

m

因为ei≥x(x>0),所以x-l≥lnx,即4-I≥ln4,所以2«-2≥lnx,

m∣ι/\、2五-2+12Vx

则g(X)≥IWC---------------->mx---------,

mm

所以(4)、42,版且

∖ιn)mm

mηl

当0<团<1时∙，rnr1e~=ɪ>1,

m

所以由奴力的单调性可知/g>1,且χ>,>l,

m

所以当x∈(R)时,g'(x)<O,g(x)为减函数,

当x∈(X],÷w)时，√(x)>0,g(x)为增函数，

所以由零点的存在性定理可知，g(x)在区间(1,2)上存在唯一的零点，

所以由零点的存在性定理可知，g(χ)在区间上存在唯一的零点,

答案第12页，共23页

所以当O<m<l时，函数g(x)恰有两个零点,

综上所述，，〃的取值范围为(0,1)；

(H)因为∕nηe"""T=，•，即21n∕n+lnx∣+，叫-1=0,

m

则InΛ1+1=-2Inm-mxλ+2,

X.+112InW2

所以g(xj=e码T

有基本不等式可得g(xj=氏

当且仅当一一=%，即%=L时，取等号，

mxlm

由"优/”=’,由Xl=2•可得加=1,这与0<相<1矛盾，所以不≠工,

mmm

所以g(x)≥g(石)>也"，

_1_

要证g(%)>m'n~mm'即证g(%)>fnm-mm,

设〃(x)=21nx-x+，(x>0),

则"(x)=">Jr=-p∙τ]≤o

ʌ-VXJ

所以函数"(X)在(0,+8)上递减，

所以当0<x<l时，W(Λ-)>W(1)=0,

因为0<m<1,所以0<相5<1，

ɔInMI-J--J--L

所以-----=21nm,n>τnm-mm,

m

又g(x)2g(x∣)>生生，

m

所以g(χ)>m"'~m"

【点睛】方法点睛：用导数求函数零点个数问题方法：

(I)分离参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法

为从函数中分离出参数，然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值，最后根据题设条件

构建关于参数的不等式，确定参数范围；

答案第13页，共23页

18.(D∕(x)的单调增区间为(ro,-3),单调减区间为(-3,+8)；

(2)答案见解析；

3

(3)〃<0且α≠—τ.

e

【分析】(1)直接利用导数求函数的单调区间；

(2)记F(X)=旦-α(xw-4),利用导数得F(X)在(-,Y)和(-4,口)上均单调递增.记

x+4

MX)=屁「α(x+4),对“分α>O,a<O讨论，结合零点定理求函数/(x)的“不动点”的个数;

(3)记G(X)=黑，利用(1)得出G(X)的单调性和值域，然后分α>0和“<0两种情况,

结合(2)中不动点的范围对〃/(力)-/(x)=0进行分析即可

【详解】(1)当α=l时，/(X)=裳，定义域为R.

/'W=-卓，令r(χ)=0,得χ=-3.

当x<—3时，ff^x)>O;当x>-3时，Γ(x)<0.

所以/(x)的单调增区间为(-∞,-3),单调减区间为(-3,+∞).

(2)函数"x)的不动点即为方程“X)-X=0的根，即方程以孚I-X=O的根.

显然，X=T不是方程幺半LX=O的根，所以幺字LX=OO±-α=0∙

记尸(X)=--α(x≠-4),因为F(X)=竽义券≥0(当且仅当x=—2取等号)，所以F(X)

x+4(x+4)"

在(-∞,-4)和(-4,+8)上均单调递增.

由Fa)=Xej(x+4),记〃(x)=XeJa(X+4).

x+4

①当。>0时，

(i)当x∈(-∞,T)时，Λ(-4)=⅛<0,一4_-L]=(Y--5-]eL工]+』>0

eIaeJ∖ae)e

(可设g(x)=xev,.∙.g'(x)=(x+l)ejc,

当xe(-∞,-l),81X)<0;当犬£(-1,+00),g'(x)>O;

答案第14页，共23页

.∙.g(冗)在(-∞,-l)单调递减，在(-1,+8)单调递增，所以g(x)=xe'≥g(-1)=一一),

e

存在0∈(F,-4),使得人«)=0,即存在唯一4∈(y)T)使得尸(G=O;

(ii)当x∈(T,+∞)时，A(O)=-4a<0,∕?(4<ι)>4^(4√z+1)-a(4a+4)=12a2>0

(设p(x)=eλ-x-l,.∙.pf(x)=eʌ-1,

当X∈(-∞,0),p'(x)<0;当X∈(0,÷∞),p,(x)>0;

∙∙∙P(χ)在(0,+8)单调递增，在(-∞,0)单调递减，

所以P(X)≥p(0)=0,.∙.e'≥x+l),存在芍c(0,÷∞)，使得MG)=。，即存在唯一G£(。，+°°)使

得贴)=。.

②当。<0时，

(i)当*e(-∞,-4)时，F(X)=*-α>0无零点；

(ii)当xe(-4,∙tw)时，因为MO)=Ya>0,M-4)==<O,存在f°∈(Y,O),使得/?(幻=0,

e

即存在唯一/°e(T+∞)使得F(ro)=O.

综上所述，

当4>0时，函数/(x)有两个‘不动点’"∣,人当α<0时，函数/(x)有一个‘‘不动点’"o.

X+4

(3)记G(X)=一^,由(1)知，

e

当xe(-∞,-4］时，函数G(X)单调递增，且G(X)C(F,0］；

当x∈(T,-3)时，函数G(X)单调递增，且G(X)∈(0,e∙)

当xe(-3,”。)时，函数G(X)单调递减，且当X趋向于无穷时，y=e，的增长速率远远大于一

次函数的增长速率，则G(x)e(0,e3).

当4>0,由(2)知

∕∙("x))-F(X)=Oof(x)=4(其中ie{l,2}).

由F&)=Ona=ɪ^,代入得=

v,i

'Zi+4eʌe

因为∕e(-∞,Y),所以此时矍=詈只有一个解；

答案第15页，共23页

因为fze(θ,”)，所以此时当=中有两个解，

ee2

故〃/(χ))-/(χ)=0共有三个解，不满足题意；

当“<0,由(2)知

/(/(x))-/(x)=Oo/(x)=Λ

由尸(%)=。=。=落，代入得?=空，

当r0=-3时，耳=甲只有一个解了=_3,不满足题意，此时。=-之；

eene

r0∈K-3)(-3,-0)时，营=$共有两个解，满足题意，

综上所述，当α<0且4≠-5时方程有两个不同实数根.

【点睛】关键点睛：解答本题的关键是利用导数分析函数的零点问题，常用的方法：(1)方

程法(直接解方程得解)；(2)图象法(直接分析函数的图象得解)；(3)方程+图象法(令/(x)=0

得到g(χ)=Nχ),分析g(χ)*(χ)的图象得解).

19.(1)见解析

(2)见解析

【分析】(1)求导函数，根据f(χ)>o=√(χ)为增函数,f(χ)<0n∕(χ)为减函数.

(2)首先根据(1)的结果判断出满足条件/(X)的单调性，再利用构造函数

g(x)=詈-COSX判断其单调性即可得出结论.

【详解】(1)由/(x)=Xe*-αχ2-2OX+2q2-4nf(X)=(X+l)(e*-2α)

①当α≤0时，/(力>0=*>-1=〃力在(-1,田)上单调递增.

/(x)<O=X<T=F(X)在(-8,-1)上单调递减.

②当4>0时，令/(X)=O=>ΛI=T,Λ⅛=ln2α

(i)当再=W=-I时，«=*/(ɪ)ɪ(ɪ+!)!I

2eIe)

答案第16页，共23页

当x<T时，x÷l<O,ex--<0,此时/(x)>0;

当X>—1时，x+l>0,e"-l>0,此时/(力>0；

e

当尸―1时，x+l=0,e'-1=0,此时/(x)=0;

e

；・当时，/(x)20恒成立，故f(x)在R上单调递增

2e

(ii)当玉<%=>〃>,时，/(x)>0nx<-1或x>ln2^,/(%)<0=>-1<x<In2^z,故

2e

/(%)在(-00,-1)和(1口2〃,400)上单调递增，在(TIn2。)上单调递减.

(iii)当%nθ<α<,时，/(ʃ)>0=><ɪn%>-1,/(x)<0=>In26?<x<-1,

2e

故〃力在(ln2α,T)上单调递增，在(YUn2a)和(T,+∞)上单调递减.

综上所述：当g≤0时，"x)在(Ty)上单调递增.在(f,7)上单调递减.

当α>0时，若a=J,f(x)在R上单调递增；

若a>∕/(x)在(9，-1)和(∣n24,m)上单调递增，在(TIn2α)上单调递减；

若0<α<5,f(x)在(ln2α,T)上单调递增，在(-∞,ln加)和(T,+∞)上单调递减.

(2)当/(x)存在小于零的极小值时，α<(满足题意，此时/(x)在(0,+8)上单调递增；

当时，极小值为

2e

/(ln2a)=2aIn2a-a(in2a)2-2aln2a+2a~-cι=-o[(ln2α)~-2α+l]<0,

令P(X)=(In2x)2-2x+l,则p,(x)=.∆1,

再令MX)=In2x-x∕(x)=q,该函数在(0,1)上单调递增，在(1,+刃)单调递减，

所以f(x)≤f(l)=ln2-1<0,所以p'(x)<O,p(ʌɔ单调递减，

又/口=0,所以!<“<：,l∏2α<0,f(x)在(0,+s)上单调递增；

∖2.J2e2

所以当f(χ)