专题提升 数轴、实数的运算、代数式的化简与求值测试题

专题提升一数轴、实数的运算、代数式的化简与求值一、数轴热点解读实数和数轴上的点一一对应，利用数轴可以比较直观地解决数和式的问题，体现了数形结合的重要数学思想，是中考的热点．母题呈现(2016·台湾)如图，数轴上A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c.若|a－b|＝3，|b－c|＝5，且原点O与A、B的距离分别为4、1，则关于O的位置，下列叙述何者正确？()A．在A的左边B．介于A、B之间C．介于B、C之间D．在C的右边对点训练1．如图，数轴的单位长度为1，如果点A，B表示的数的绝对值相等，那么点A表示的数是()第1题图A．－4B．－2C．2．(2017·广州)如图，数轴上两点A，B表示的数互为相反数，则点B表示的数为()第2题图A．－6B．6C．0D．无法确定3．实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是()第3题图A．ac>bcB．|a－b|＝a－bC．－a<－b<－cD．－a－c>－b－c(2016·泰安)如图，四个实数m，n，p，q在数轴上对应的点分别为M，N，P，Q，若n＋q＝0，则m，n，p，q四个实数中，绝对值最大的一个是()第4题图A．pB．qC．mD．n5．如图，数轴上有A，B，C，D四点，根据图中各点的位置，判断哪一点所表示的数与11－2eq\r(39)最接近()第5题图A．AB．BC．CD．D6．在如图所示的数轴上，点B与点C关于点A对称，A，B两点对应的实数分别是eq\r(3)和－1，则点C所对应的实数是()第6题图A．1＋eq\r(3)B．2＋eq\r(3)C．2eq\r(3)－1D．2eq\r(3)＋1二、实数的混合运算热点解读先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号内的，若没有括号，在同一级运算中，要从左至右依次进行运算．它是中考的必考题型．母题呈现(2016·绍兴)计算:eq\f(5,\r(5))－(2－eq\r(5))0＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(－2).对点训练7．(2016·临沂)计算:eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－3))＋eq\r(3)tan30°－eq\r(12)－(2016－π)0.8．(2015·汕尾)计算:eq\r(8)＋|2eq\r(2)－3|－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(－1)－(2015＋eq\r(2))0.9．(2015·内江)计算:|－2|－(π－2015)0＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(－1)－2sin60°＋eq\r(12).10．已知a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(－1)，b＝2cos45°＋1，c＝(2010－π)0，d＝|1－eq\r(2)|.(1)请化简这四个数；(2)根据化简结果，列式表示这四个数中“有理数的和”与“无理数的积”的差，然后计算结果．三、代数式的化简与求值热点解读要注意运算顺序，并结合题目的具体情况及时化简，以简化运算过程；适当地注意利用运算律，寻求合理运算途径；分式混合运算时，各分式分子、分母能因式分解的应进行分解，并注意符号的处理，以便寻求公分母和约分化简．它是中考的必考题型．母题呈现(2015·丽水)先化简，再求值:a(a－3)＋(1－a)(1＋a)，其中a＝eq\f(\r(3),3).对点训练11．化简:(a＋b)2＋(a－b)(a＋b)－2ab.12．(2015·梅州)已知a＋b＝－eq\r(2)，求代数式(a－1)2＋b(2a＋b)＋2a的值．先化简，再求值:eq\f(a2－b2,a)÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2ab－b2,a)－a))，其中，a＝1＋eq\r(2)，b＝1－eq\r(2).先化简:eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,x＋1)－x＋1))÷eq\f(x2－4x＋4,x＋1)，然后从－1≤x≤2中选一个合适的整数作为x的值代入求值．15．先化简，再求值:eq\f(a2－2ab＋b2,2a－2b)÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)－\f(1,a)))，其中a＝eq\r(5)＋1，b＝eq\r(5)－1.参考答案专题提升一数轴、实数的运算、代数式的化简与求值一、数轴【母题呈现】C【对点训练】1.B2.B3.D4.A5.B6.D二、实数的混合运算【母题呈现】eq\r(5)＋3【对点训练】7.3－2eq\r(3).8.－19.3＋eq\r(3)10．(1)a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(－1)＝3，b＝2cos45°＋1＝2×eq\f(\r(2),2)＋1＝eq\r(2)＋1，c＝(2010－π)0＝1，d＝|1－eq\r(2)|＝eq\r(2)－1.(2)∵a，c为有理数，b，d为无理数，∴a＋c－bd＝3＋1－(eq\r(2)＋1)(eq\r(2)－1)＝4－(2－1)＝3.三、代数式的化简与求值【母题呈现】－3a＋1，1－eq\r(3).【对点训练】11.2a212.313.－eq\f(a＋b,a－b)，－eq\f(\r(2),2).14．－eq\f(x＋2,x－2)，选x＝0，值为1.15.eq\f(ab,2)，2.专题提升二数式、图形规律的问题热点解读探索规律题是模型化思想和归纳推理思想的体现．在中考中广泛应用，是热点考题之一．母题呈现(2017·宁波)如图，用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放:则第⑦个图案有____________________个黑色棋子．对点训练1．(2015·河北模拟)观察下列一组图形中点的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点，…按此规律第5个图中共有点的个数是()第1题图A．31B．46C．512.(2016·新疆)如图，下面每个图形中的四个数都是按相同的规律填写的，根据此规律确定x的值为____________________.1121234103562747852nm20x第2题图3．(2016·资阳)设一列数中相邻的三个数依次为m、n、p，且满足p＝m2－n，若这列数为－1，3，－2，a，－7，b…，则b＝.4．(2016·绥化)古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角数，它有一定的规律性．若把第一个三角数记为a1，第二个三角数记为a2，…，第n个三角数记为an，计算a1＋a2，a2＋a3，a3＋a4，…，由此推算a399＋a400＝.5．一组数:2，1，3，x，7，y，23，…，满足“从第三个数起，前两个数依次为a、b，紧随其后的数就是2a－b”，例如这组数中的第三个数“3”是由“2×2－1”得到的，那么这组数中y表示的数为____________________．6．(2016·齐齐哈尔模拟)如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1，1)，第2次运动到点(2，0)，第3次运动到点(3，－1)，…，按照这样的运动规律，点P第2017次运动到点____________________．第6题图7．(2015·梅州)若eq\f(1,（2n－1）（2n＋1）)＝eq\f(a,2n－1)＋eq\f(b,2n＋1)，对任意自然数n都成立，则a＝____________________，b＝____________________；计算:m＝eq\f(1,1×3)＋eq\f(1,3×5)＋eq\f(1,5×7)＋…＋eq\f(1,19×21)＝____________________.8．有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘以2，再除以它与1的和，多次重复进行这种运算的过程如下:第8题图则第n次的运算结果＝________________(用含字母x和n的代数式表示)．9．(2017·玉环模拟)农夫将苹果树种在正方形的果园内．为了保护苹果树不怕风吹，他在苹果树的周围种针叶树．在下图里，你可以看到农夫所种植苹果树的列数(n)和苹果树数量及针叶树数量的规律:当n为某一个数值时，苹果树数量会等于针叶树数量，则n＝____________________.第9题图用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放:第10题图(1)第5个图形有多少颗黑色棋子？(2)第几个图形有99颗黑色棋子？请说明理由．11．(2015·合肥模拟)现有一组有规律排列的数:1、－1、eq\r(2)、－eq\r(2)、eq\r(3)、－eq\r(3)、1、－1、eq\r(2)、－eq\r(2)、eq\r(3)、－eq\r(3)、……其中，1、－1、eq\r(2)、－eq\r(2)、eq\r(3)、－eq\r(3)这六个数按此规律重复出现．问:(1)第50个数是什么数？(2)把从第1个数开始的前2015个数相加，结果是多少？(3)从第1个数起，把连续若干个数的平方加起来，如果和为520，则共有多少个数的平方相加？12．观察下列关于自然数的等式:32－4×12＝5①52－4×22＝9②72－4×32＝13③…根据上述规律解决下列问题:(1)完成第四个等式:92－4×____________________2＝____________________；(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示)，并验证其正确性．一个容器装有1升水，按照如下要求把水倒出:第1次倒出eq\f(1,2)升水，第2次倒出水量是eq\f(1,2)升的eq\f(1,3)，第3次倒出水量是eq\f(1,3)升的eq\f(1,4)，第4次倒出水量是eq\f(1,4)升的eq\f(1,5)，…，第n次倒出水量是eq\f(1,n)升的eq\f(1,n＋1)…按照这种倒水的方法，这1升水能倒完吗？若不能，请说明理由；若能，经多少次可以倒完？参考答案专题提升二数式、图形规律的问题【母题呈现】19【对点训练】1.B2.3703.1284.1.6×105或1600005.－96.(2017，1)7.eq\f(1,2)－eq\f(1,2)eq\f(10,21)8.eq\f(2nx,（2n－1）x＋1)9.810．(1)18颗(2)设第n个图形有99颗黑色棋子，3(n＋1)＝99.∴n＝32，第32个图形有99颗黑色棋子．11．(1)∵50÷6＝8……2，∴第50个数是－1.(2)∵2015÷6＝335……5，1＋(－1)＋eq\r(2)＋(－eq\r(2))＋eq\r(3)＝eq\r(3)，∴从第1个数开始的前2015个数的和是eq\r(3).(3)∵12＋(－1)2＋(eq\r(2))2＋(－eq\r(2))2＋(eq\r(3))2＋(－eq\r(3))2＝12，520÷12＝43……4且12＋(－1)2＋(eq\r(2))2＝4，∴43×6＋3＝261，即共有261个数的平方相加．12．(1)417(2)第n个等式为:(2n＋1)2－4n2＝2(2n＋1)－1，左边＝4n＋1，右边＝4n＋1.∴(2n＋1)2－4n2＝2(2n＋1)－1.13．不能；倒n次水后剩下的水＝1－[eq\f(1,2)＋eq\f(1,2×3)＋eq\f(1,3×4)＋…＋eq\f(1,n（n＋1）)]＝1－(eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1))＝eq\f(1,n＋1)升．无论倒水次数n有多大，剩余水总不能为0.专题提升三以方程(组)、不等式为背景的应用一、方程(组)的应用热点解读利用方程(组)解决实际问题，关键是揭示数量、数量关系，从而构建数学模型，这是热点考题之一．母题呈现(2015·宁波)宁波火车站北广场将于2015年底投入使用，计划在广场内种植A、B两种花木共6600棵，若A花木数量是B花木数量的2倍少600棵．(1)A、B两种花木的数量分别是多少棵？(2)如果园林处安排26人同时种植这两种花木，每人每天能种植A花木60棵或B花木40棵，应分别安排多少人种植A花木和B花木，才能确保同时完成各自的任务？对点训练1．(2017·湖州模拟)桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形的杯子，杯深均为15公分，各装有10公分高的水，且表记录了甲、乙、丙三个杯子的底面积．今小明将甲、乙两杯内一些水倒入丙杯，过程中水没溢出，使得甲、乙、丙三杯内水的高度比变为3∶4∶5.若不计杯子厚度，则甲杯内水的高度变为______公分()底面积(平方公分)甲杯60乙杯80丙杯100A．5.4B．5.7C．7.2D．7.52．(2016·长春)A、B两种型号的机器加工同一种零件，已知A型机器比B型机器每小时多加工20个零件，A型机器加工400个零件所用时间与B型机器加工300个零件所用时间相同，求A型机器每小时加工零件的个数．3．(2015·长沙)现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件．现假定该公司每月的投递总件数的增长率相同:(1)求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率；(2)如果平均每人每月最多可投递快递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？4．(2016·云南)食品安全是关乎民生的重要问题，在食品中添加过量的添加剂对人体健康有害，但适量的添加剂对人体健康无害而且有利于食品的储存和运输．为提高质量，做进一步研究，某饮料加工厂需生产A、B两种饮料共100瓶，需加入同种添加剂270克，其中A饮料每瓶需加添加剂2克，B饮料每瓶需加添加剂3克，饮料加工厂生产了A、B两种饮料各多少瓶？5．(2015·绍兴)某校规划在一块长AD为18m，宽AB为13m的长方形场地ABCD上，设计分别与AD，AB平行的横向通道和纵向通道，第5题图(1)如图1，若设计三条通道，一条横向，两条纵向，且它们的宽度相等，其余六块草坪相同，其中一块草坪两边之比AM∶AN＝8∶9，问通道的宽是多少？(2)为了建造花坛，要修改(1)中的方案，如图2，将三条通道改为两条通道，纵向的宽度改为横向宽度的2倍，其余四块草坪相同，且每一块草坪均有一边长为8m，这样能在这些草坪上建造花坛．如图3，在草坪RPCQ中，已知RE⊥PQ于点E，CF⊥PQ于点F，求花坛RECF的面积．二、不等式的应用热点解读利用不等式解决实际问题，关键是揭示数量、数量关系，从而构建数学模型，这是热点考题之一．母题呈现(2017·绍兴模拟)为了保护环境，某开发区综合治理指挥部决定购买A，B两种型号的污水处理设备共10台．已知用90万元购买A型号的污水处理设备的台数与用75万元购买B型号的污水处理设备的台数相同，每台设备价格及月处理污水量如下表所示:污水处理设备A型B型价格(万元/台)mm－3月处理污水量(吨/台)220180(1)求m的值；(2)由于受资金限制，指挥部用于购买污水处理设备的资金不超过165万元，问有多少种购买方案？并求出每月最多处理污水量的吨数．对点训练6．(2017·益阳模拟)为响应市政府“创建国家森林城市”的号召，某小区计划购进A、B两种树苗共17棵，已知A种树苗每棵80元，B种树苗每棵60元．(1)若购进A、B两种树苗刚好用去1220元，问购进A、B两种树苗各多少棵？(2)若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．7．(2015·山西)某蔬菜经营户从蔬菜批发市场批发蔬菜进行零售，部分蔬菜批发价与零售价格如下表:蔬菜品种西红柿青椒西兰花豆角批发价(元/kg)3.65.484.8零售价(元/kg)5.48.4147.6请解答下列问题．(1)第一天，该经营户批发西红柿和西兰花两种蔬菜共300kg，用去了1520元钱，这两种蔬菜当天全部售完一共能赚多少钱？(2)第二天，该经营户用1520元钱仍然批发西红柿和西兰花，要想当天全部售完后所赚的钱不少于1050元，则该经营户最多能批发西红柿多少kg?8．(2017·苏州模拟)某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元．(1)今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？(2)为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，有几种进货方案？(3)如果B款汽车每辆售价为8万元，为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元，要使(2)中所有的方案获利相同，a值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？参考答案专题提升三以方程(组)、不等式为背景的应用一、方程(组)的应用【母题呈现】(1)设B种花木的数量是x棵，则A种花木的数量是(2x－600)棵．根据题意，得x＋(2x－600)＝6600，解得x＝2400，2x－600＝4200棵．答:A种花木的数量是4200棵，B种花木的数量是2400棵．(2)设安排y人种植A种花木，则安排(26－y)人种植B种花木．根据题意，得eq\f(4200,60y)＝eq\f(2400,40（26－y）)，解得y＝14.经检验，y＝14是原方程的根，且符合题意.26－y＝12人．答:安排14人种植A种花木，安排12人种植B种花木，才能确保同时完成各自的任务．【对点训练】1.C2．设A型机器每小时加工零件x个，则B型机器每小时加工零件(x－20)个．根据题意列方程得:eq\f(400,x)＝eq\f(300,x－20)，解得:x＝80.经检验，x＝80是原方程的解．答:A型机器每小时加工零件80个．3．(1)设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为x，根据题意得:10(1＋x)2＝12.1，解得:x1＝0.1，x2＝－2.1(舍去)，即月平均增长率为10%.(2)6月份的快递数量为:12.1×1.1＝13.31(万件)，快递员能送的快递数量为:21×0.6＝12.6万件＜13.31万件，∴不能完成快递投递任务.22＜eq\f(13.31,0.6)＜23，∴23－21＝2(名)，即至少需要增加2名业务员．4．设A种饮料生产了x瓶，B种饮料生产了y瓶，根据题意，得:eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝100，,2x＋3y＝270，))解得:eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝30，,y＝70.))答:A种饮料生产了30瓶，B种饮料生产了70瓶．5．(1)设通道的宽度为xm，AM＝8ym，∵AM∶AN＝8∶9，∴AN＝9y.∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋24y＝18，,x＋18y＝13，))解得:eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝\f(2,3).))∴通道的宽度应设计成1m.(2)∵四块相同草坪中的每一块，有一条边长为8m，若RP＝8，则AB＞13，不合题意，∴RQ＝8，∴纵向通道的宽为2m，横向通道的宽为1m，∴RP＝6，∵RE⊥PQ，四边形RPCQ是长方形，∴PQ＝10，∴RE·PQ＝PR·QR＝6×8，∴RE＝4.8，∵RP2＝RE2＋PE2，∴PE＝3.6，同理可得:QF＝3.6，∴EF＝2.8，∴四边形RECF的面积＝4.8×2.8＝13.44(平方米)．答:花坛RECF的面积为13.44平方米．二、不等式的应用【母题呈现】(1)eq\f(90,m)＝eq\f(75,m－3)，解得m＝18.(2)设买A型污水处理设备x台，则B型(10－x)台，∴18x＋15(10－x)≤165，解得x≤5，由于x是整数，则有6种方案，当x＝0时，y＝10，月处理污水量为1800吨，当x＝1时，y＝9，月处理污水量为220＋180×9＝1840吨，当x＝2时，y＝8，月处理污水量为220×2＋180×8＝1880吨，当x＝3时，y＝7，月处理污水量为220×3＋180×7＝1920吨，当x＝4时，y＝6，月处理污水量为220×4＋180×6＝1960吨，当x＝5时，y＝5，月处理污水量为220×5＋180×5＝2000吨，答:有6种购买方案，每月最多处理污水量的吨数为2000吨．【对点训练】6．(1)设购进A种树苗x棵，则购进B种树苗(17－x)棵，得80x＋60(17－x)＝1220，解得x＝10，∴17－x＝7棵，答:购进A种树苗10棵，B种树苗7棵；(2)设购进A种树苗x棵，则购进B种树苗(17－x)棵，得17－x＜x，得x＞8eq\f(1,2)，购进A、B两种树苗所需费用为80x＋60(17－x)＝(20x＋1020)元，因为A种树苗贵，则费用最省需x取最小整数9，此时17－x＝8棵，这时所需费用为20×9＋1020＝1200(元)．答:费用最省方案为:购进A种树苗9棵，B种树苗8棵．这时所需费用为1200元．7．(1)设批发西红柿xkg，西兰花ykg.由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝300，,3.6x＋8y＝1520.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝200，,y＝100.))200×(5.4－3.6)＋100×(14－8)＝960(元)．答:这两种蔬菜当天全部售完后一共能赚960元钱．(2)设批发西红柿xkg，由题意得(5.4－3.6)x＋(14－8)×eq\f(1520－3.6x,8)≥1050，解得:x≤100.答:该经营户最多能批发西红柿100kg.8．(1)设今年5月份A款汽车每辆售价m万元．则:eq\f(90,m)＝eq\f(100,m＋1)，解得:m＝9.经检验，m＝9是原方程的根且符合题意．答:今年5月份A款汽车每辆售价9万元；(2)设购进A款汽车x辆．则:99≤7.5x＋6(15－x)≤105.解得:6≤x≤10.因为x的正整数解为x＝6，7，8，9，10，所以共有5种进货方案；(3)设总获利为W元．则:W＝(9－7.5)x＋(8－6－a)(15－x)＝(a－0.5)x＋30－15a.当a＝0.5时，(2)中所有方案获利相同．此时，购买A款汽车6辆，B专题提升四以函数为背景的综合运用热点解读函数的综合问题，一般都会用到待定系数法求函数的解析式，涉及比较大小、两个函数图象的交点等，有时会与几何问题结合，利用数形结合巧妙地将图形与数量关系结合起来，使数学问题更直观、更容易解决．该类问题是中考的热点．母题呈现2017·台州)如图，直线l1:y＝2x＋1与直线l2:y＝mx＋4相交于点P(1，b)．(1)求b，m的值；(2)垂直于x轴的直线x＝a与直线l1，l2分别交于点C，D，若线段CD长为2，求a的值．对点训练1．(2016·江阴模拟)如图，平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A(－3，1)，B(－1，1)，C(－2，2)，当直线y＝－eq\f(1,2)x＋b与△ABC有公共点时，b的取值范围是()A．－1≤b≤eq\f(1,2)B．－1≤b≤1C．－eq\f(1,2)≤b≤1D．－eq\f(1,2)≤b≤eq\f(1,2)第1题图2．(2017·金华)在一空旷场地上设计一落地为矩形ABCD的小屋，AB＋BC＝10m，拴住小狗的10m长的绳子一端固定在B点处，小狗在不能进入小屋内的条件下活动，其可以活动的区域面积为S(m2(1)如图1，若BC＝4m，则S＝____________________m2；(2)如图2，现考虑在(1)中矩形ABCD小屋的右侧以CD为边拓展一正△CDE区域，使之变成落地为五边形ABCED的小屋，其他条件不变，则在BC的变化过程中，当S取得最小值时，边BC的长为____________________m.第2题图3．如图1，在平面直角坐标系中，点A、C分别在y轴和x轴上，AB∥x轴，sinC＝eq\f(4,5)，点P从O点出发，沿边OA、AB、BC匀速运动，点Q从点C出发，以1cm/s的速度沿边CO匀速运动．点P与点Q同时出发，其中一点到达终点，另一点也随之停止运动．设点P运动的时间为t(s)，△CPQ的面积为S(cm2)，已知S与t之间的函数关系如图2中曲线段OE、线段EF与曲线段FG给出．第3题图(1)点P的运动速度为____________________cm/s，点B、C的坐标分别为____________________，____________________；(2)求曲线FG段的函数解析式；(3)当t为何值时，△CPQ的面积是四边形OABC的面积的eq\f(4,13)？4．(2015·宜宾)如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是矩形，AD∥x轴，Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，\f(3,2)))，AB＝1，AD＝2.第4题图(1)直接写出B、C、D三点的坐标；(2)将矩形ABCD向右平移m个单位，使点A、C恰好同时落在反比例函数y＝eq\f(k,x)(x>0)的图象上，得矩形A′B′C′D′.求矩形ABCD的平移距离m和反比例函数的解析式．5．如图，直线y＝－eq\f(4,3)x＋8与x轴交于A点，与y轴交于B点，动点P从A点出发，以每秒2个单位的速度沿AO方向向点O匀速运动，同时动点Q从B点出发，以每秒1个单位的速度沿BA方向向点A匀速运动，当一个点停止运动，另一个点也随之停止运动，连结PQ，设运动时间为t(s)(0＜t≤3)．(1)写出A，B两点的坐标；(2)设△AQP的面积为S，试求出S与t之间的函数关系式；并求出当t为何值时，△AQP的面积最大？(3)当t为何值时，以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABO相似，并直接写出此时点Q的坐标．第5题图参考答案专题提升四以函数为背景的综合运用【母题呈现】(1)∵点P(1，b)在直线l1:y＝2x＋1上，∴b＝2×1＋1＝3；∵点P(1，3)在直线l2:y＝mx＋4上，∴3＝m＋4，∴m＝－1.(2)当x＝a时，yC＝2a＋1；当x＝a时，yD＝4－a.∵CD＝2，∴|2a＋1－(4－a)|＝2，解得:a＝eq\f(1,3)或a＝eq\f(5,3).∴a的值为eq\f(1,3)或eq\f(5,3).【对点训练】1.C2.(1)88π(2)eq\f(5,2)3．(1)2(5，4)(8，0)(2)∵当0≤t≤2时，S＝t2；当2≤t≤4.5时，S＝2t；当4.5≤t≤7时，S＝－eq\f(4,5)t2＋eq\f(28,5)t；∴曲线FG段的函数解析式为S＝－eq\f(4,5)t2＋eq\f(28,5)t.(3)t＝4或t＝5.4．(1)∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝1，BC＝AD＝2，∵Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，\f(3,2)))，AD∥x轴，∴Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，\f(1,2)))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(3,2))).(2)∵将矩形ABCD向右平移m个单位，∴A′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3＋m，\f(3,2)))，C′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1＋m，\f(1,2)))，∵点A′，C′在反比例函数y＝eq\f(k,x)(x>0)的图象上，∴eq\f(3,2)(－3＋m)＝eq\f(1,2)(－1＋m)，解得:m＝4，∴A′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))，∴k＝eq\f(3,2)，∴矩形ABCD的平移距离m＝4，反比例函数的解析式为:y＝eq\f(3,2x).5．(1)A(6，0)，B(0，8)；(2)由勾股定理得，AB＝10，∵点P的速度是每秒2个单位，点Q的速度是每秒1个单位，∴AP＝2t，AQ＝AB－BQ＝10－t，∴点Q到AP的距离为AQ·sin∠OAB＝(10－t)×eq\f(8,10)＝eq\f(4,5)(10－t)，∴△AQP的面积S＝eq\f(1,2)×2t×eq\f(4,5)(10－t)＝－eq\f(4,5)(t2－10t)＝－eq\f(4,5)(t－5)2＋20，∵－eq\f(4,5)＜0，0＜t≤3，∴当t＝3时，S最大＝－eq\f(4,5)(3－5)2＋20＝eq\f(84,5)；(3)若∠APQ＝90°，则cos∠OAB＝eq\f(AP,AQ)，∴eq\f(2t,10－t)＝eq\f(6,10)，得t＝eq\f(30,13)，若∠AQP＝90°，则cos∠OAB＝eq\f(AQ,AP)，∴eq\f(10－t,2t)＝eq\f(6,10)，解得t＝eq\f(50,11)，∵0＜t≤3，∴t的值为eq\f(30,13)，此时，OP＝6－2×eq\f(30,13)＝eq\f(18,13)，PQ＝AP·tan∠OAB＝(2×eq\f(30,13))×eq\f(8,6)＝eq\f(80,13)，∴点Q的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(18,13)，\f(80,13))).专题提升五以特殊三角形为背景的探究性问题热点解读特殊三角形的探究问题，主要会把复杂图形分解出等腰三角形、直角三角形，找相互之间的共性，从而揭示数量关系，同时又要用运动变换的思想分析问题，抓住一些不变的图形和不变的量、等量关系．以特殊三角形为背景的探究性问题是中考热点题型．母题呈现(2017·绍兴模拟)如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.(1)求∠F的度数；(2)若CD＝2，求DF的长．对点训练如图，在平面直角坐标系xOy中，A(0，2)，B(0，6)，动点C在直线y＝x上．若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是()第1题图A．2B．3C．4D．5(2017·营口)如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D在BC上，BD＝3，DC＝1，点P是AB上的动点，则PC＋PD的最小值为()第2题图A．4B．5C．6D．73．(2016·长春)感知:如图1，AD平分∠BAC，∠B＋∠C＝180°，∠B＝90°，易知:DB＝DC.探究:如图2，AD平分∠BAC，∠ABD＋∠ACD＝180°，∠ABD<90°，求证:DB＝DC.应用:如图3，四边形ABCD中，∠B＝45°，∠C＝135°，DB＝DC＝a，则AB－AC＝________(用含a的代数式表示)．第3题图4．(2016·孝感)感知:如图1，点E在正方形ABCD的边BC上，BF⊥AE于点F，DG⊥AE于点G，可知△ADG≌△BAF.(不要求证明)拓展:如图2，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，点E、F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB＝AC，∠1＝∠2＝∠BAC，求证:△ABE≌△CAF.应用:如图3，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AB＞BC.点D在边BC上，CD＝2BD，点E、F在线段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC.若△ABC的面积为9，则△ABE与△CDF的面积之和为.第4题图5．如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AC＝12cm，点E从点A出发沿AB以每秒1cm的速度向点B运动，同时点D从点C出发沿CA以每秒2cm的速度向点A运动，运动时间为t秒(0＜t＜6)，过点D作DF⊥BC(1)试用含t的式子表示AE、AD的长；(2)如图1，在D、E运动的过程中，四边形AEFD是平行四边形，请说明理由；(3)如图2，连结DE，当t为何值时，△DEF为直角三角形？(4)如图3，将△ADE沿DE翻折得到△A′DE，试问当t为何值时，四边形AEA′D为菱形？第5题图6．(2017·大连)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D，E分别在AC，BC上(点D与点A，C不重合)，且∠DEC＝∠A，将△DCE绕点D逆时针旋转90°得到△DC′E′.当△DC′E′的斜边、直角边与AB分别相交于点P，Q(点P与点Q不重合)时，设CD＝x，PQ＝y.(1)求证:∠ADP＝∠DEC；(2)求y关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围．第6题图参考答案专题提升五以特殊三角形为背景的探究性问题【母题呈现】∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°.∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°.∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°.∴∠F＝90°－∠EDC＝30°.(2)∵∠ACB＝60°，∠EDC＝60°，∴△EDC是等边三角形．∴ED＝DC＝2.∵∠DEF＝90°，∠F＝30°，∴DF＝2DE＝4.【对点训练】1.B2.B3．探究:如图2中，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∵DA平分∠BAC，∴DE＝DF，∵∠B＋∠ACD＝180°，∠ACD＋∠FCD＝180°，∴∠B＝∠FCD，在△DFC和△DEB中，∵∠F＝∠DEB，∠FCD＝∠B，DF＝DE，∴△DFC≌△DEB，∴DC＝DB.应用:如图3，连结AD，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∵∠B＋∠ACD＝180°，∠ACD＋∠FCD＝180°，∴∠B＝∠FCD，在△DFC和△DEB中，∵∠F＝∠DEB，∠FCD＝∠B，DC＝DB，∴△DFC≌△DEB，∴DF＝DE，CF＝BE，在Rt△ADF和Rt△ADE中，∵AD＝AD，DE＝DF，∴△ADF≌△ADE，∴AF＝AE，∴AB－AC＝(AE＋BE)－(AF－CF)＝2BE，在Rt△DEB中，∵∠DEB＝90°，∠B＝∠EDB＝45°，BD＝a，∴BE＝eq\f(\r(2),2)a，∴AB－AC＝eq\r(2)a.故答案为:eq\r(2)a.第3题图4．拓展:∵∠1＝∠2，∴∠BEA＝∠AFC，∵∠1＝∠ABE＋∠BAE，∠BAE＋∠DAC＝∠BAC，∠1＝∠BAC，∴∠BAC＝∠ABE＋∠BAE，∴∠DAC＝∠ABE，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠AEB＝∠AFC，,∠ABE＝∠DAC，,AB＝AC，))∴△ABE≌△CAF(AAS)．应用:∵在等腰三角形ABC中，AB＝AC，CD＝2BD，∴△ABD与△ADC等高，底边比值为1∶2，∴△ABD与△ADC的面积比为1∶2，∵△ABC的面积为9，∴△ABD与△ADC面积分别为3，6；∵∠1＝∠2，∴∠BEA＝∠AFC，∵∠1＝∠ABE＋∠BAE，∠BAE＋∠DAC＝∠BAC，∠1＝∠BAC，∴∠BAC＝∠ABE＋∠BAE，∴∠DAC＝∠ABE，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠AEB＝∠AFC，,∠ABE＝∠DAC，,AB＝AC，))∴△ABE≌△CAF(AAS)，∴△ABE与△CAF面积相等，∴△ABE与△CDF的面积之和为△ADC的面积，∴△ABE与△CDF的面积之和为6，故答案为:6.5．(1)AE＝tcm，AD＝(12－2t)cm.(2)∵DF⊥BC，∠C＝30°，∴DF＝eq\f(1,2)CD＝eq\f(1,2)×2t＝t.∵AE＝t，∴DF＝AE.∵∠ABC＝90°，DF⊥BC，∴DF∥AE.∴四边形AEFD是平行四边形．(3)①显然∠DFE＜90°.②如图1，当∠EDF＝90°时，四边形EBFD为矩形，此时AE＝eq\f(1,2)AD，∴t＝eq\f(1,2)(12－2t)．∴t＝3.③如图2，当∠DEF＝90°时，此时∠ADE＝90°，∴∠AED＝90°－∠A＝30°.∴AD＝eq\f(1,2)AE.∴12－2t＝eq\f(1,2)t.∴t＝eq\f(24,5).综上:当t＝3秒或t＝eq\f(24,5)秒时，△DEF为直角三角形．(4)如图3，若四边形AEA′D为菱形，则AE＝AD.∴t＝12－2t.∴t＝4.∴当t＝4时，四边形AEA′D为菱形．第5题图6．(1)如图1，∵∠EDE′＝∠C＝90°，∴∠ADP＋∠CDE＝90°，∠CDE＋∠DEC＝90°，∴∠ADP＝∠DEC.(2)如图1，当C′E′与AB相交于Q时，即eq\f(6,5)＜x≤eq\f(12,7)时，过P作MN∥DC′，设∠B＝α，∴MN⊥AC，四边形DC′MN是矩形，∴PM＝PQ·cosα＝eq\f(4,5)y，PN＝eq\f(4,3)×eq\f(1,2)(3－x)，∴eq\f(2,3)(3－x)＋eq\f(4,5)y＝x，∴y＝eq\f(25,12)x－eq\f(5,2)，当DC′交AB于Q时，即eq\f(12,7)＜x＜3时，如图2，作PM⊥AC于M，PN⊥DQ于N，则四边形PMDN是矩形，∴PN＝DM，∵DM＝eq\f(1,2)(3－x)，PN＝PQ·sinα＝eq\f(3,5)y，∴eq\f(1,2)(3－x)＝eq\f(3,5)y，∴y＝－eq\f(5,6)x＋eq\f(5,2).综上所述，y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(5,6)x＋\f(5,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,7)<x<3))，,\f(25,12)x－\f(5,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)<x≤\f(12,7))).))第6题图专题提升六以平行四边形为背景的探究性问题热点解读解决平行四边形和特殊平行四边形问题，一方面要充分利用图形本身的性质，另一方面转化为特殊三角形，这样便于揭示图中的数量关系．要用运动变换的思想去分析问题，揭示图中不变的图形和图形之间不变的关系．以平行四边形为背景的探究性问题是中考热点题型．母题呈现(2017·湖州模拟)已知:如图，在▱ABCD中，O为对角线BD的中点，过点O的直线EF分别交AD，BC于E，F两点，连结BE，DF.(1)求证:△DOE≌△BOF；(2)当∠DOE等于多少度时，四边形BFDE为菱形？请说明理由．对点训练1．在平面直角坐标系中，已知A(－2，1)，B(－2，－1)，O(0，0)．若以A、B、C、O为顶点的四边形为平行四边形，那么点C的坐标是____________________．2．(2017·湖州模拟)如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝120°，E，F分别为AD，CD上的动点，且AE＋CF＝2，则线段EF长的最小值是____________________．第2题图3．正方形ABCD的边长为1cm，M、N分别是BC、CD上两个动点，且始终保持AM⊥MN，当BM＝____________________cm时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为____________________cm2.第3题图4．(2015·河北)嘉淇同学要证明命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”是正确的，她先用尺规作出了如图的四边形ABCD，并写出了如下不完整的已知和求证．第4题图已知:如图，在四边形ABCD中，BC＝AD，AB＝____________________.求证:四边形ABCD是____________________四边形．(1)在横线上填空，以补全已知和求证；(2)按嘉淇的想法写出证明:(3)用文字叙述所证命题的逆命题为____________________．5．在同一平面内，△ABC和△ABD如图1放置，其中AB＝BD.小明做了如下操作:将△ABC绕着边AC的中点旋转180°得到△CEA，将△ABD绕着边AD的中点旋转180°得到△DFA，如图2，请完成下列问题:(1)试猜想四边形ABDF是什么特殊四边形，并说明理由；(2)连结EF，CD，如图3，求证:四边形CDFE是平行四边形．第5题图6．准备一张矩形纸片，按如图操作:将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点，将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点．(1)求证:四边形BFDE是平行四边形；(2)若四边形BFDE是菱形，AB＝2，求菱形BFDE的面积．第6题图7．(2015·绵阳模拟)如图，已知△ABC中，AB＝AC，D为△ABC所在平面内的一点，过D作DE∥AB，DF∥AC分别交直线AC、直线AB于点E、F.(1)如图1，当点D在线段BC上时，通过观察分析线段DE、DF、AB之间的数量关系，并说明理由；(2)如图2，当点D在直线BC上，其他条件不变时，试猜想线段DE、DF、AB之间的数量关系(请直接写出等式，不需证明)；(3)如图3，当点D是△ABC内一点，过D作DE∥AB，DF∥AC分别交直线AC、直线AB和直线BC于E、F和G.试猜想线段DE、DF、DG与AB之间的数量关系(请直接写出等式，不需证明)．第7题图8.(2016·宁夏)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，动点Q从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿AB向点B移动；同时点P从点B出发，仍以每秒1个单位的速度，沿BC向点C移动，连结QP，QD，PD.若两个点同时运动的时间为x秒(0＜x≤3)，解答下列问题:(1)设△QPD的面积为S，用含x的函数关系式表示S；当x为何值时，S有最大值？并求出最小值；(2)是否存在x的值，使得QP⊥DP？试说明理由．第8题图9．(2017·舟山)如图，AM是△ABC的中线，D是线段AM上一点(不与点A重合)．DE∥AB交AC于点F，CE∥AM，连结AE.第9题图(1)如图1，当点D与M重合时，求证:四边形ABDE是平行四边形；(2)如图2，当点D不与M重合时，(1)中的结论还成立吗？请说明理由；(3)如图3，延长BD交AC于点H，若BH⊥AC，且BH＝AM.①求∠CAM的度数；②当FH＝eq\r(3)，DM＝4时，求DH的长．参考答案专题提升六以平行四边形为背景的探究性问题【母题呈现】(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OB＝OD，∴∠EDO＝∠FBO，∠OED＝∠OFB.∴△DOE≌△BOF(AAS)．(2)当∠DOE＝90°时，四边形BFDE为菱形，理由如下:∵△DOE≌△BOF，∴DE＝BF.又∵ED∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形．∵∠DOE＝90°，∴EF⊥BD.∴▱BEDF是菱形．【对点训练】1．(0，－2)，(0，2)，(－4，0)2.eq\r(3)3.eq\f(1,2)eq\f(5,8)4．(1)CD平行(2)证明:连结BD.在△ABD和△CDB中，∵AB＝CD，AD＝CB，BD＝DB，∴△ABD≌△CDB.∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴AB∥CD，AD∥CB，∴四边形ABCD是平行四边形．(3)平行四边形的两组对边分别相等第4题图5．(1)四边形ABDF是菱形．理由如下:∵△ABD绕着边AD的中点旋转180°得到△DFA，∴AB＝DF，BD＝FA，∵AB＝BD，∴AB＝BD＝DF＝FA，∴四边形ABDF是菱形；(2)∵四边形ABDF是菱形，∴AB∥DF，且AB＝DF，∵△ABC绕着边AC的中点旋转180°得到△CEA，∴AB＝CE，BC＝EA，∴四边形ABCE为平行四边形，∴AB∥CE，且AB＝CE，∴CE∥FD，CE＝FD，∴四边形CDFE是平行四边形．6．(1)∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，∴∠EBD＝∠FDB，∴EB∥DF，∵ED∥BF，∴四边形BFDE为平行四边形．(2)∵四边形BFDE为菱形，∴BE＝ED，∠EBD＝∠FBD＝∠ABE，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠ABC＝90°，∴∠ABE＝30°，∵∠A＝90°，AB＝2，∴AE＝eq\f(2,\r(3))＝eq\f(2\r(3),3)，BF＝BE＝2AE＝eq\f(4\r(3),3)，∴菱形BFDE的面积为:eq\f(4\r(3),3)×2＝eq\f(8\r(3),3).7．(1)DE＋DF＝AB.理由如下:∵DE∥AB，DF∥AC，∴四边形AEDF是平行四边形，∴DE＝AF.∵DF∥AC，∴∠FDB＝∠C，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠FDB＝∠B，∴DF＝FB，∴DE＋DF＝AF＋FB＝AB；(2)当点D在直线BC上时，分三种情况:①当点D在CB延长线上时，如图1，AB＝DE－DF；②当点D在线段BC上时，同(1)，AB＝DE＋DF；③当点D在BC的延长线上时，如图2，AB＝DF－DE；(3)AB＝DE＋DF＋DG.第7题图8．(1)∵四边形ABCD为矩形，∴BC＝AD＝4，CD＝AB＝3，当运动x秒时，则AQ＝x，BP＝x，∴BQ＝AB－AQ＝3－x，CP＝BC－BP＝4－x，∴S△ADQ＝eq\f(1,2)AD·AQ＝eq\f(1,2)×4x＝2x，S△BPQ＝eq\f(1,2)BQ·BP＝eq\f(1,2)(3－x)x＝eq\f(3,2)x－eq\f(1,2)x2，S△PCD＝eq\f(1,2)PC·CD＝eq\f(1,2)·(4－x)·3＝6－eq\f(3,2)x，又S矩形ABCD＝AB·BC＝3×4＝12，∴S＝S矩形ABCD－S△ADQ－S△BPQ－S△PCD＝12－2x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)x－\f(1,2)x2))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6－\f(3,2)x))＝eq\f(1,2)x2－2x＋6＝eq\f(1,2)(x－2)2＋4，即S＝eq\f(1,2)(x－2)2＋4，∴S为开口向上的二次函数，且对称轴为直线x＝2，∴当0＜x＜2时，S随x的增大而减小，当2＜x≤3时，S随x的增大而增大，又当x＝0时，S＝6，当x＝3时，S＝eq\f(9,2)，但x的范围内取不到x＝0，∴S不存在最大值，当x＝2时，S有最小值，最小值为4；(2)存在，理由如下:由(1)可知BQ＝3－x，BP＝x，CP＝4－x，当QP⊥DP时，则∠BPQ＋∠DPC＝∠DPC＋∠PDC，∴∠BPQ＝∠PDC，且∠B＝∠C，∴△BPQ∽△CDP，∴eq\f(BQ,PC)＝eq\f(BP,CD)，即eq\f(3－x,4－x)＝eq\f(x,3)，解得x＝eq\f(7＋\r(13),2)(舍去)或x＝eq\f(7－\r(13),2)，∴当x＝eq\f(7－\r(13),2)时，QP⊥DP.9．(1)如图1中，∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠ABM，∵CE∥AM，∴∠ECD＝∠ADB，∵AM是△ABC的中线，且D与M重合，∴BD＝DC，∴△ABD≌△EDC，∴AB＝ED，∵AB∥ED，∴四边形ABDE是平行四边形．(2)结论:成立．理由如下:如图2中，过点M作MG∥DE交CE于G.∵CE∥AM，∴四边形DMGE是平行四边形，∴ED＝GM，且ED∥GM，由(1)可知AB＝GM，AB∥GM，∴AB∥DE，AB＝DE，∴四边形ABDE是平行四边形．(3)①如图3中，取线段HC的中点I，连结MI，∵BM＝MC，∴MI是△BHC的中位线，∴MI∥BH，MI＝eq\f(1,2)BH，∵BH⊥AC，且BH＝AM.∴MI＝eq\f(1,2)AM，MI⊥AC，∴∠CAM＝30°.②设DH＝x，则AH＝eq\r(3)x，AD＝2x，∴AM＝4＋2x，∴BH＝4＋2x，∵四边形ABDE是平行四边形，∴DF∥AB，∴eq\f(HF,HA)＝eq\f(HD,HB)，∴eq\f(\r(3),\r(3)x)＝eq\f(x,4＋2x)，解得x＝1＋eq\r(5)或1－eq\r(5)(舍弃)，∴DH＝1＋eq\r(5).第9题图专题提升七以圆的切线为背景的计算与证明热点解读直线与圆相切时，常用的辅助线是过切点的半径，且构造直角三角形来解决问题；动圆与直线相切(或动直线与圆相切)时，要注意有两种位置．直线与圆相切是中考常见题型．母题呈现(2017·常德)如图，已知AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于C，BE∥CO.(1)求证:BC是∠ABE的平分线；(2)若DC＝8，⊙O的半径OA＝6，求CE的长．对点训练1．(2016·台州)如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连结PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是()A．6B．2eq\r(13)＋1C．9D.eq\f(32,2)第1题图2．如图，若以平行四边形一边AB为直径的圆恰好与对边CD相切于点D，则∠C＝____________________度．第2题图3．如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G.且AB∥CD.BO＝6cm，CO＝8cm，则BE的长为____________________cm.第3题图4．如图，平面直角坐标系的长度单位是厘米，直线y＝－eq\f(\r(3),3)x＋6分别与x轴、y轴相交于B、A两点．点C在射线BA上以3厘米/秒的速度运动，以C点为圆心作半径为1厘米的⊙C.点P以2厘米/秒的速度在线段OA上来回运动，过点P作直线l∥x轴．若点C与点P同时从点B、点O开始运动，设运动时间为t秒，则在整个运动过程中直线l与⊙C最后一次相切时t＝____________________秒．第4题图5．(2016·天津)在⊙O中，AB为直径，C为⊙O上一点．(1)如图1.过点C作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB＝27°，求∠P的大小；(2)如图2，D为弧AC上一点，且OD经过AC的中点E，连结DC并延长，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB＝10°，求∠P的大小．第5题图6．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且AC＝CF，∠CBF＝∠CFB.第6题图(1)求证:直线BF是⊙O的切线；(2)若点D，点E分别是弧AB的三等分点，当AD＝5时，求BF的长；(3)填空:在(2)的条件下，如果以点C为圆心，r为半径的圆上总存在不同的两点到点O的距离为5，则r的取值范围为______________________．7.(2017·山西)如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，OD⊥AB，与AC交于点E，与过点C的⊙O的切线交于点D.(1)若AC＝4，BC＝2，求OE的长；(2)试判断∠A与∠CDE的数量关系，并说明理由．第7题图8．(2017·玉林)如图，AB是⊙O的直径，AC是上半圆的弦，过点C作⊙O的切线DE交AB的延长线于点E，过点A作切线DE的垂线，垂足为D，且与⊙O交于点F，设∠DAC，∠CEA的度数分别是α，β.(1)用含α的代数式表示β，并直接写出α的取值范围；(2)连结OF与AC交于点O′，当点O′是AC的中点时，求α，β的值．第8题图参考答案专题提升七以圆的切线为背景的计算与证明【母题呈现】(1)∵DE是切线，∴OC⊥DE，∵BE∥CO，∴∠OCB＝∠CBE，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠CBE＝∠CBO，∴BC平分∠ABE.(2)在Rt△CDO中，∵DC＝8，OC＝OA＝6，∴OD＝eq\r(CD2＋OC2)＝10，∵OC∥BE，∴eq\f(DC,CE)＝eq\f(DO,OB)，∴eq\f(8,CE)＝eq\f(10,6)，∴CE＝4.8.【对点训练】1．C2.453.3.64.eq\f(26,7)5．(1)如图，连结OC，∵⊙O与PC相切于点C，∴OC⊥PC，即∠OCP＝90°，∵∠CAB＝27°，∴∠COB＝2∠CAB＝54°，在Rt△COP中，∠P＋∠COP＝90°，∴∠P＝90°－∠COP＝36°；(2)∵E为AC的中点，∴OD⊥AC，即∠AEO＝90°，在Rt△AOE中，由∠EAO＝10°，得∠AOE＝90°－∠EAO＝80°，∴∠ACD＝eq\f(1,2)∠AOD＝40°，∵∠ACD是△ACP的一个外角，∴∠P＝∠ACD－∠A＝40°－10°＝30°.第5题图6．(1)如图，∵∠CBF＝∠CFB，∴CB＝CF.又∵AC＝CF，∴CB＝eq\f(1,2)AF，∴△ABF是直角三角形，∴∠ABF＝90°，即AB⊥BF.又∵AB是直径，∴直线BF是⊙O的切线．第6题图(2)如图，连结DO，EO，∵点D，点E分别是弧AB的三等分点，∴∠AOD＝60°.又∵OA＝OD，∴△AOD是等边三角形，∴OA＝AD＝OD＝5，∠OAD＝60°，∴AB＝10.∴在Rt△ABF中，∠ABF＝90°，BF＝AB·tan60°＝10eq\r(3)；(3)如图，连结OC.则OC是Rt△ABF的中位线，∵由(2)知，BF＝10eq\r(3)，∴中位线OC＝5eq\r(3)，∵⊙O半径OA＝5.∴5eq\r(3)－5＜r＜5eq\r(3)＋5.7．(1)∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，由勾股定理得:AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝eq\r(42＋22)＝2eq\r(5)，∴OA＝eq\f(1,2)AB＝eq\r(5)，∵OD⊥AB，∴∠AOE＝∠ACB＝90°，又∵∠A＝∠A，∴△AOE∽△ACB，∴eq\f(OE,BC)＝eq\f(OA,AC)，即eq\f(OE,2)＝eq\f(\r(5),4)，解得:OE＝eq\f(\r(5),2).第7题图(2)∠CDE＝2∠A，理由如下:连结OC，如图所示:∵OA＝OC，∴∠1＝∠A，∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，∴∠OCD＝90°，∴∠2＋∠CDE＝90°，∵OD⊥AB，∴∠2＋∠3＝90°，∴∠3＝∠CDE，∵∠3＝∠A＋∠1＝2∠A，∴∠CDE＝2∠A.8．(1)连结OC.∵DE是⊙O的切线，∴OC⊥DE，∵AD⊥DE，∴AD∥OC，∴∠DAC＝∠ACO，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∴∠DAE＝2α，∵∠D＝90°，∴∠DAE＋∠E＝90°，∴2α＋β＝90°(0°＜α＜45°)．第8题图(2)连结OF交AC于O′，连结CF.∵AO′＝CO′，∴AC⊥OF，∴FA＝FC，∴∠FAC＝∠FCA＝∠CAO，∴CF∥OA，∵AF∥OC，∴四边形AFCO是平行四边形，∵OA＝OC，∴四边形AFCO是菱形，∴AF＝AO＝OF，∴△AOF是等边三角形，∴∠FAO＝2α＝60°，∴α＝30°，∵2α＋β＝90°，∴β＝30°，∴α＝β＝30°.专题提升八以图形变换为背景的作图与计算一、图形变换的作图与计算热点解读图形变换要揭示变换过程中的隐含条件；对比变换前后图形中的对应量，从而找到问题中的等量关系而求解．该题型是中考常用题型．母题呈现1．(2017·北京市海淀区模拟)如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝4，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C，使CB′∥AB，分别延长AB，CA′相交于点D，则线段BD的长为.2．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点.△ABC的三个顶点A，B，C都在格点上，将△ABC绕点A顺时针方向旋转90°得到△AB′C′.(1)在正方形网格中，画出△AB′C′；(2)计算线段AB在变换到AB′的过程中扫过区域的面积．对点训练1．如图所示把一张长方形纸片对折，折痕为AB，再以AB的中点O为顶点，把平角∠AOB三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的直角三角形，那么剪出的直角三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是()第1题图A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形2．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0，3)，△OAB沿x轴向右平移后得到△O′A′B′，点A的对应点在直线y＝eq\f(3,4)x上，则点B与其对应点B′间的距离为______________________．第2题图3．(2016·广州)如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝12cm，点D在AC上，DC＝4cm.将线段DC沿着CB的方向平移7cm得到线段EF，点E，F分别落在边AB，BC上，则△EBF的周长为第3题图第4题图4．(2016·温州)如图，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转至△A′B′C，使点A′落在BC的延长线上．已知∠A＝27°，∠B＝40°，则∠ACB′＝度．5．(2016·内江)如图所示，已知点C(1，0)，直线y＝－x＋7与两坐标轴分别交于A，B两点，D，E分别是AB，OA上的动点，则△CDE周长的最小值是.第5题图6．(2017·宁波)如图，在菱形纸片ABCD中，AB＝2，∠A＝60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F，G分别在边AB，AD上，则cos∠EFG的值为____________________．第6题图7．(2016·毕节)如图，已知△ABC中，AB＝AC，把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连结BD，CE交于点F.(1)求证:△AEC≌△ADB；(2)若AB＝2，∠BAC＝45°，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．第7题图二、旋转变换中探究性问题热点解读旋转前、后的图形全等，所以借此可以在较复杂的图形中发现等量(或全等)关系，或通过旋转(割补)图形，把分散的已知量聚合起来，便于打通解题思路，疏通解题突破口．用旋转来设计中考题是命题策略之一．母题呈现(2017·襄阳)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是中线，AC＝BC，一个以点D为顶点的45°角绕点D旋转，使角的两边分别与AC、BC的延长线相交，交点分别为点E，F，DF与AC交于点M，DE与BC交于点N.(1)如图1，若CE＝CF，求证:DE＝DF；(2)如图2，在∠EDF绕点D旋转的过程中，①探究三条线段AB，CE，CF之间的数量关系，并说明理由；②若CE＝4，CF＝2，求DN的长．对点训练8．(2016·丹东模拟)如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝eq\r(3).将矩形ABCD绕点A逆时针旋转至矩形AB′C′D′，使得点B′恰好落在对角线BD上，连结DD′，则DD′的长度为()A.eq\r(3)B.eq\r(5)C.eq\r(3)＋1D．2第8题图9．(2016·大连模拟)如图1，教室里有一只倒地的装垃圾的灰斗，BC与地面的夹角为50°，∠C＝25°，小贤同学将它扶起平放在地面上(如图2)，则灰斗柄AB绕点C转动的角度为____________________．第9题图10．(2016·苏州模拟)如图，边长为6的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连结EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连结DF.则在点E运动过程中，DF的最小值是____________________．第10题图11．(2016·福州模拟)已知，四边形ABCD是正方形，点P在直线BC上，点G在直线AD上(P、G不与正方形顶点重合，且在CD的同侧)，PD＝PG，DF⊥PG于点H，交直线AB于点F，将线段PG绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，连结EF.(1)如图1，当点P与点G分别在线段BC与线段AD上时．①求证:DG＝2PC；②求证:四边形PEFD是菱形；(2)如图2，当点P与点G分别在线段BC与线段AD的延长线上时，请猜想四边形PEFD是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想．第11题图12.现有一副直角三角板，已知含45°角的直角三角板的斜边恰与含30°角的直角三角板的较长直角边完全重合(如图1)．即△C′DA′的顶点A′、C′分别与△BAC的顶点A、C重合．现在让△C′DA′固定不动，将△BAC通过变换使斜边BC经过△C′DA′的直角顶点D.(1)如图2，将△BAC绕点C按顺时针方向旋转角度α(0°＜α＜180°)，使BC边经过点D，则α＝____________________°；(2)如图3，将△BAC绕点A按逆时针方向旋转，使BC边经过点D.试说明:BC∥A′C′；(3)如图4，若将△BAC沿射线A′C′方向平移m个单位长度，使BC边经过点D，已知AB＝eq\r(2)，求m的值．第12题图参考