2023年吉林省通化市高考数学一模试卷及答案解析

2023年吉林省通化市高考数学一模试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1∙（5分）若复数z∣,Z2在复平面内对应的点关于y轴对称，且zι=l+i,则复数X=（）

zI

A.1B.-1C.iD.-i

2.（5分）设集合A={xk<42},B={小>"},若A∩CRB=A,则实数4的取值范围为（）

A.10,1]B.[0,1）

C.（0,1）D.（-∞,0]U[l,+8）

3.（5分）某地以“绿水青山就是金山银山”理念为引导，推进绿色发展，现要订购一批苗

木，苗木长度与售价如下表：

苗木长度X384858687888

（C/H）

售价y（元）16.818.820.822.82425.8

若苗木长度%Ccm）与售价y（元）之间存在线性相关关系，其回归方程为y=bx+8.9,

则当售价大约为38.9元时，苗木长度大约为（）

A.148CTnB.150cmC.152CWD.154Cm

4.(5分)(x-}(α+y)6的展开式中，含/胃项的系数为-匕，贝IJa=()

A.1B.-1C.±1D.±2

5.（5分）函数/（x）=Sin（ωx+φ）（ω>0,∖φ∖的部分图象如图所示，为了得到了

（x）的图象，只需将g（x）=COS3x的图笏I（）

π5π

zfy⅞

TT

A.向左平移一个单位长度

4

TT

B.向右平移一个单位长度

4

n

C.向左平移一;个单位长度

12

Tl

D.向右平移一个单位长度

12

6.（5分）已知函数/（x）=⅛（M-1）+2x+2'x,则不等式/（x+l）Vf（IX）的解集为（）

A.（-∞,-1）U（1,+∞）B.（-2,-1）

C.（-8,-2）U（1,+8）D.（-8,-1）U（1,+∞）

7.（5分）表面积为15π的球内有一内接四面体∕¾8C,其中平面ABUL平面B4B,ΔABC

是边长为3的正三角形，则四面体以BC体积的最大值为（）

2732927

A.—B.—C.-D.—

51548

8.（5分）在平面直角坐标系中，直线y=履+,〃（AWO）与X轴和），轴分别交于A,8两点，

∖AB∖=2ν2,若CALCB,则当变化时，点C到点（1,1）的距离的最大值为（）

A.4√2B.3√2C.2√2D.√2

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

（多选）9.（5分）F为抛物线C：∕=4x的焦点，点M在C上且∣MF∣=5,则直线MF的

方程可能为（）

A.3x+4y-3=0B.4x+3γ-4=0C.3χ-4y-3=0D.4x-3y-4=0

(多选)10.(5分)已知tan(α+β)=tana+tanβ,其中α≠竽(⅛∈Z)且B4号^(w∈Z),

则下列结论一定正确的是()

A.sin(a+β)=0B.cos(a+β)=I

C.sin2—+sin2—=1D.sin2a+cos2β=1

22

(多选)11.(5分)长方体A8Cf>-AIBICDI中，A8=3,BC=2,BBi=I,贝IJ()

A.A到平面AiBO的距离为£

7

4

B.A到平面AiB。的距离为一

7

C.沿长方体的表面从A到Ci的最短距离为3夜

D.沿长方体的表面从A到Ci的最短距离为26

（多选）12.（5分）下列不等式成立的是（

A.2sinl<log2（sinl）

20224+l20225+l

C.;—V------------

20223+l20224+l

D.Iog43<log65

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

TRTTTTTTT

13.(5分)若向量a=G，1),b=(3,k),且α,b共线，则(α-b)∙(2α+b)=.

14.(5分)若直线y=αx-1是函数,/(x)=x+M的图象在某点处的切线，则实数α=.

15.(5分)已知双曲线C：—=1(α>0,⅛>0)的左、右焦点分别为Q,&,若在

C上存在点P(不是顶点),使得/尸尸2尸|=3NPF∣∕⅛,则C的离心率的取值范围为

16.(5分)已知｛斯｝是各项均为正整数的数列,且“ι=3,田=8,对任意A∈N*,ak+ι=ak+l

1

与f⅛+ι=)耿+2有且仅有一个成立，则a]+a2+∙"+ai的最小值为.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)ZXABC的内角A,B,C的对边分别为α,b,c,设。CoSC+csin8=0.

(1)求C；

(2)若c=4,√2α=(√3+l)6,求a.

18.(12分)记SZI为公比不为1的等比数列｛斯｝的前〃项和,a5-a4=-8a2+8aι,S6=21.

(1)求｛“"｝的通项公式；

(2)设垢=[。比谥，若由｛“"｝与｛〃"｝的公共项从小到大组成数列｛Cn｝,求数列｛Cn｝的前

n项和Tn.

19.(12分)如图，在正三棱柱ABC-4BC1中，D为棱AAI上的点，E,F,G分别为AC,

A∣Cι,BBi的中点，AC=A4ι=2.

(1)求证：FG1AC；

(2)若直线/7G与平面BC£)所成角的正弦值为,，求AD的长.

4

20.(12分)袋子中有8张水果卡片，其中4张苹果卡片，4张梨子卡片.消费者从该袋子

中不放回地随机抽取4张卡片，若抽到的4张卡片都是同一种水果，则获得一张IO元代

金券；若抽到的4张卡片中恰有3张卡片是同一种水果，则获得一张5元代金券；若抽

到的4张卡片是其他情况，则不获得任何奖励.

(1)求某位消费者在一次抽奖活动中抽到的4张卡片都是苹果卡片的概率；

(2)记随机变量X为某位消费者在一次抽奖活动中获得代金券的金额数，求X的分布列

和数学期望E(X);

(3)该商家规定，每位消费者若想再次参加该项抽奖活动，则需支付2元.若你是消费

者，是否愿意再次参加该项抽奖活动？请说明理由.

X2y2

21.(12分)已知椭圆E—+⅛=1(6z>⅛>0)的左焦点与短轴两端点的连线及短轴构

azb2

成等边三角形.且椭圆经过点M(1,-ɪ).

(1)求椭圆E的方程；

(2)不经过点M的直线y=ɪɪ+m(m≠0)与椭圆E相交于A,B两点,A关于原点的

对称点R，直线MR,MB与y轴分别交于P,。两点，求证：IMPl=IMQ∣.

22.(12分)已知f(x)=ex.

(1)求证：当x>0时，/(x)>l+%+ɪ;

(2)若不等式/(x)22x∕nx+mr+l,(其中∕%∈R)恒成立时，实数〃?的取值范围为(-

8,小求证：t>∣^.

2023年吉林省通化市高考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

一5分）若复数皿2在复平面内对应的点关于,轴对称，且e+∖则复纭=（）

A.1B.-1C.iD.-i

【解答】解：因为zι=l+i,且复数zι,Z2在复平面内对应的点关于y轴对称,

所以Z2=-1+1,

所以3-1+i(-l+i)(l-i)_-l+i+i-i2_21

l+i(l+i)(l-i)=2=~2

故选：C.

2.(5分)设集合A={x∣x<∕},B={χ在>“},若A∩CRB=A,则实数〃的取值范围为()

A.10,1]B.[0,1)

C.(0,1)D.(-∞,0]U[l,+8)

【解答】解：因为B={Mx>"},所以CR3={x∣xW4},

又AnCRB=A,所以AUCR8,

又A={4r<∕},

所以/Wa,解得OWaW1,

即实数。的取值范围为[0,1].

故选：A.

3.（5分）某地以“绿水青山就是金山银山”理念为引导，推进绿色发展，现要订购一批苗

木，苗木长度与售价如下表：

苗木长度X384858687888

（CTn）

售价y（元）16.818.820.822.82425.8

若苗木长度X（Cm）与售价y（元）之间存在线性相关关系，其回归方程为y=hx+8.9,

则当售价大约为38.9元时，苗木长度大约为（）

A.148CTnB.150cmC.152cmD.154cm

bnrτη4-τ-38÷48÷58÷68÷78÷88S—

【解答】解t：因为X=---------------g---------------=63,y=

16.8÷18.8÷20.8+22.8+24+25.8》U

--------------------6--------------------=21.5,

所以样本点中心为(63,21.5),

又回归直线y=bx+8.9经过(63,21.5),

所以21.5=63b+8.9,

所以b=0.2,

所以回归方程为y=0.2x+8.9,

当y=38.9元时，X=I50厘米，

则当售价大约为38.9元时，苗木长度大约为150厘米.

故选：B.

4.(5分)(％—3)(α+y)6的展开式中，含/V项的系数为-15,贝IJa=()

A.ɪB.-ɪC.±1D.±2

【解答】解：(a+)，)6的展开式的通项公式为CJa6τy,

令r=4,可得C06-ryr=15α2y4t

所以含X-V项的系数为-15/,

即-15/=-15,解得a=±l.

故选：C.

(5分)函数/(x)=Sin(ωx+φ)(ω>0,∖φ∖<^的部分图象如图所示，为了得到f

(X)的图象，只需将g(x)=COS3x的图象()

Tr

A.向左平移一个单位长度

4

Tl

B.向右平移一个单位长度

4

Tr

C.向左平移二个单位长度

π

D.向右平移二;个单位长度

12

【解答】解：根据函数/(x)=sin(ωx+φ)(其中ω>0,|?|，)的图象，

_.『12π5ππ

□J得一X—=——―,.∙.ω=3,

4ω124

再根据五点法作图,可得3X今+0=兀，.∙.0=亨，/(x)=sin(3x÷^),

故把g(%)=cos3x=sin(3x+冬)图象向右平移‘■个单位长度，

可得到y=sin[3(x-ɪ)+ɪ]=sin(3x+/)的图象.

故选：D.

6.(5分)已知函数/(x)=lg(∖x∖-l)+2x+2-x,则不等式/(x+l)V∕(2x)的解集为()

A.(-∞,-1)U(1,+∞)B.(-2,-1)

C.(-8,-2)U(1,+o°)D.(-8,—^∙)U(1,+∞)

【解答】解：对于函数f(x)^lg(M-1)+2x+2'x,令∣Λ∣-1>O,解得x>l或x<-l,

所以函数的定义域为(-8,-1)U(1,+8),

又于(-x)=Ig(I-XI-I)+2'x+2x=Ig(∣Λ-∣-1)+2v+2x=/(x),所以/(x)为偶函数,

当x>l时f(x)=Ig(X-I)+2x+2'x,则y=∕g(X-I)在(1,+∞)上单调递增，

令g(X)=2Λ+2^JC,Xe(1,+8),所以g'(χ)=2，〃2-2一*加2=(2v-2-x)∕∏2>O,

所以g(x)=2*+2-X在(1,+8)上单调递增，

则/(x)在(1,+8)上单调递增，从而得到/(x)在(-8,-D上单调递减，

∣2x∣>∖x+1|

则不等式/(x+l)<∕(2x)等价于1∣x+l∣>l,解得Ql或x<-2,

J2x∣>l

所以不等式的解集为(-8,-2)U(1>+o°).

故选：C.

7.(5分)表面积为15τr的球内有一内接四面体以8C,其中平面ABC，平面以8,2ABC

是边长为3的正三角形，则四面体以BC体积的最大值为()

2732927

A.-B.-C.-D.一

51548

【解答】解：如图所示，。是四面体FBC外接球的球心，

设球。的半径为R，Oi是BC外接圆的圆心，

设圆Oi的半径为r,设尸到底面ABC的距离为h,

取AB中点。，连接CZXPD、。01、PO.C0,过。作OE_LP£）,

由题意可得4nR2=15τr,...K?=苧，

「△4BC是边长为3的正三角形，

・ɔBC3./ɔ-

∙∙2r=≡=≡^>..r=√3,

2

**•四面体PABC体积为，=^ShABCh=∣×^×3×∕ι=九，

,当人最大时，四面体∕¾8C体积最大，

又当P运动到圆面的最高点时，〃最大，此时力=PB,

又平面ABuL平面7¾B,二可得尸3_L平面ABC,

22

在400∣C中，。1。2+。修2=。。2,o1c=∣CD=∣×y×3=y-

22222

Λ010=OC-O1C=R-O1C=3,

2

ΛED=O1O=V3,EO=O1D=WCD=V3,

在4P0E中，PE=√P02-OE2=y/R2-OE2=整，

ɔ/ʒ27

'∙hmax=PD=PE+ED=等，Vmax=

故选：D.

8.（5分）在平面直角坐标系中，直线y=履+,〃（�）与X轴和），轴分别交于A,B两点,

∣4B∣=2&,若CAJ_CB,则当晨机变化时，点C到点（1,1）的距离的最大值为（）

A.4√2B.3√2C.2√2D.√2

【解答】解：由题意，得A（-ɪ,0）,B（0,m）,

由∣A8∣=2√L得（一W=8,

因为C4，C8,设C(x,y),

TTγγ>

所以CA∙CB=O,即X(x+y)+yCy-m)=0,

整理得(x+≡)2+(γ-≡)2=且然5,即轨迹为动圆，

设圆心为(x,,.),则/=T"=夕，

代入到(-£),"2=8中，可得X2+y2—2,

所以C到点(1,1)的距离的最大值为JQ+1)2+(1+1)2+√2=3√2.

故选：B.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

(多选)9.(5分)F为抛物线C：y2=4x的焦点，点M在C上且IMFI=5,则直线MF的

方程可能为()

A.3x+4y-3=0B.4x+3y-4=0C.3χ-4y-3=0D.4x-3y-4=0

【解答】解：抛物线C：夕=人的焦点坐标为FQ,0),准线为X=-1,设M(M),加)，

因为∣W=5,所以XO-(-1)=5,解得Xo=4,所以3√=4X4,解得yo=±4,

所以M(4,4)或(4>-4),则&WF==g或1MF=4W=-g，

44

所以直线M尸的方程为y=ɜ(ɪ-1)或y=-w(x-1)，即4x+3y-4=0或4%-3)，-4=0；

故选：BD.

(多选)10.(5分)已知tan(α+β)=tana+tanβ,其中a。ɪ(⅛∈Z)且β≠等(∕w∈Z),

则下列结论一定正确的是()

A.sin(a+β)=0B.cos(a+β)=1

C.sin2-+sin2-=1D.sin2a+cos2β=1

22

【解答】解：Vtan(a+β)=⅛≡⅜=tana+tanβ,

当tanα+tanβ≠O,贝(j1-tanatanβ=l,即tanαtanβ=O,

所以tanα=0或tanβ=O,这与aH竽(ZeZ)且等(w∈Z)矛盾；

所以tana+tanβ=O,则α+β=fcπ(⅛∈Z),

对于A,sin(α+β)=SinKr=0,故选项A正确;

对于8,cos(α+β)=cos⅛π=±1,故选项3错误;

」十邛1-cosal-cosβ1CFa*C

对于C,sin-÷sin-=----------÷------------=1--(CoSa+CoSB),Φ——定有cosa+cosβ

22222

=O,故选项C错误；

对于O,sin2a3+cos2β=sin2a+cos2(Kr-a)=sin2a+cos2a=1,故选项。正确.

故选：AD.

(多选)IL(5分)长方体ABCD-AibCiOi中，AB=3,BC=2,BBI=L则()

A.A到平面AiBQ的距离为9

7

4

B.A到平面43。的距离为一

7

C.沿长方体的表面从A到Ci的最短距离为3√Σ

D.沿长方体的表面从A到C1的最短距离为2通

【解答】解:如图，连接Al。，DB,A∖B,∖,AB=3,BC=2,BBi=I,

2222

.'.A1B=√1+3=VlO,A1D=√1+2=V5,BD=√2+3=V13,

41。2+/遇2-B)_10+5-13_旦

，CosZ.BA1D

2A1D∙A1B―2×√10×√5—lθ)

∙∙sin∕-BA∖D—√1—cos^Z.BA^D=JI-ʒθ=∙^Q,

[[__7泛7

∙*∙^LBA1D=[4S∙A1DsinZ-BA1D=×ViθXV5X-yθ-=彳

11

又SMBO=讶48∙AD=2×2×3=3,

设点A到平面Alz)的距离为近由体积相等可得:

f

^A1-ABD=^A-A1BD

・11

∙∙gSAABD×=ɜ^∆A1BD×%，

117A

，一X3X1=-X-X九，=〒，选项A正确；选项8错误;

3327

Y长方体ABCO-AIBICIOI的表面有三种不同的方法展开，如图所示,

VAB=3,BC=2,BBi=I,

，表面展开后，依第一个图形展开，可得力Cl=J(I+2)2+32=3√2;

依第二个图形展开，可得4Cι=J(3+2)2+M=任；

依第三个图形展开，可得4Cι=J(3+1)2+22=2遥；

比较得：A点沿长方形表面到Ci的最短距离为3√Σ・・•选项C正确，选项。错误.

故选：AC.

(D1)(G)

(多选)12.(5分)下列不等式成立的是()

sin

A.2'<log2(sinɪ)

lnπ1

B.一<一

π2.7

20224+l20225+l

C.--------;-<------;—

20223+l20224+l

D.Iog43<log65

0sinl1

【解答】解:对于选项A,因为OVsinlVl,所以l=2<2<2=2,Iog2(sinl)<log21

=0,

所以2sinl>log2(Sinl),故选项A错误；

对于选项B，设f(x)=亨，则f'(x)=咨竺，

令/(X)=0得，x=e,

当x∈(0,e)时，f(X)>0,f(x)单调递增；当(e,+o°)时.，f(X)<0,f(x)

单调递减，

因为π>c,所以/(π)<f(e),即---V----=—,

Tree

又因为-V「，所以---.故选项3正确；

e2.7π2.7

L十3〜20224+l20225+l(20224+l)2-(20223+l)(20225+l)

对十选工贝C,------------------------------=--------------------------------------------------------=

20223+l20224+l(20223+l)(20224+l)

2×20224-(20223+20225)

(20223+l)(20224+l)'

H^20223+20225>2√20223×20225=2×20224,所以2X20224-(20223+20225)

<0,

20224+l20225+l20224+l20225+l

所以-------；—<0>----；—<-------.故选项C正确;

20223+l20224+l20223+l20224+l

444

对于选项。，因为35V44=(45)5,所以3<"4。所以∕og43Vhg44号=*4

444A

又因为55>64=(6耳)5,所以5>6耳，所以/。965>/。9665=*所以Iog65>log43.故选

项D正确.

故选：BCD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

→QTTTTTTT

13.(5分)若向量Q=(2，1)，b=(3,k),且g,b共线，贝∣J(α—ð)∙(2a+b)=-13.

TT3

【解答】解：因为α,b共线，所以一/C=3,解得：k=2,

2

TTqTT

所以Q—b=(-2，—1),2cι+b=(6,4),

TTTT2

所以(α-h)∙(2α+fe)=-∣×6+(-1)X4=-13,

故答案为：-13.

14.(5分)若直线y="χ-1是函数/(x)=x+∕"x的图象在某点处的切线，则实数a=2.

【解答】解：设切点为(xo,yo),Y尸(X)=I+3

/1

/'(Xo)=1+—=α∕x=αx-1,__

xO001

根据题意可得《=>y0=ax0-l=俨二冲=1

%=ax-l

0.yo=χo+"χoa-

JO=/(⅞)=x0+InXo

故答案为：2.

X2V2

15.(5分)已知双曲线C：—=1Ca>O,⅛>0)的左、右焦点分别为Q,F2,若在

C上存在点P(不是顶点)，使得NP∕⅛FI=3∕PFF2,则C的离心率的取值范围为

(√L2)_.

【解答】解：设PFl与y轴交点Q,连接QF2,由对称性可知，ZQF∖Fz=ZQFiF如

图所示,

又∙：NPF2F1=3∕PF∖F2,

：.ZPF2Q=ZPQF2=2ZPF∖F2,

MPQ∖=∖PF2∖.

又∙.∙∣PFι∣-∣PF2∣=2α,

Λ∣PF∣∣-∖PF^∖PF∖∖-∖PQ∖=∖QF↑∖=2a,

在Rt<∆Q0月中，∖QFι∖>∖OF↑∖,

：•2a>c9

c

・・・e=一<>n2,

a

由∕PF2F1=3∕PQF2，且三角形的内角和为180°,

1o∩o

・,・"&尸2V号-=45。，

ΛCosZ.PFF=>cos45。，即—贝!∣e=->V2.

12IfQFIl2a2α

综上，e∈(√2,2).

故答案为：(VL2).

16.(5分)已知｛%｝是各项均为正整数的数列，且αι=3,47=8,对任意A∈N*,Clkjt-∖=以+1

1

与以+1=2以+2有且仅有一个成立，则4l+Q2+…+。7的最小值为20.

【解答】解：・・・｛斯｝是各项均为正整数的数列，且m=3,“7=8,

Sfc1

对任意A∈N,以+1=4A'+1与Qk+1=)%+2有且仅有一个成立，

,∙.0∙∈N*(ι=2,3,4,5,6),Λα∕≥l(i=2,3,4,5,6),

右a：=1(i=2,3,4,5»6),'Zi-1WO,∙∙Qi-cii-∖~^∙∖■>∙β∙cι1+1=2tιz—2,

.*.ai+ai+∖23,

①若〃2=1，则43=2.

当44=1时，«5=2,若06=1，则〃7=4,与条件相矛盾,

当必=1时，〃5=2,若“6=2,则07=4,与条件相矛盾，

当〃4=1时，45=2,若46=3,则47可以取8,此时Q1+々2+…+"7=20,

当々4=2时，45=4,,又。621，则s+θ2+…+〃7221,

当的23时,，〃5+。623,则〃[+〃2+“+〃7220；

②若“2=2,贝IJ<73=4,则。4+〃5+〃624,则βl+(72+∙∙∙+^7≥21;

③若42=3,则03=6,贝Ij。4+〃5+。624,贝IJ〃1+。2+"，+。7224;

④若。224,则。3+44+。5+。626,贝!∣0[+42+∙∙+”7221∙

综上，αι+α2+∙∙∙+s的最小值为20.

故答案为：20.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)Z∖A3C的内角A,B,C的对边分别为mb,c,设氏osC+csin5=0.

(1)求G

(2)若c=4,√2α=(√3+l)ð,求

【解答】解：(I)因为灰X)SC+csin8=0,由正弦定理，SinBCOSC+sinCsin8=0,

因为B∈(0,π),

所以si∏B≠O,

所以CoSC+sinC=O,

所以tanC=-1,

因为C∈(O,π),

所以C=苧；

⑵因为c∙=4,C=苧，由余弦定理得，16=Q2+/-2αbX(-孝)，

又由&Q=(V3+1)6,得b=-代入上式,化简得Q=2>∕2.

V3+1

18.(12分)记S"为公比不为1的等比数列｛4,,｝的前〃项和，«5-«4=-8α2+8a∣,Sβ=21.

(1)求｛斯｝的通项公式；

(2)设¼t=⅛⅛,若由｛即｝与｛仇｝的公共项从小到大组成数列｛Cn｝,求数列｛Cn｝的前

n项和Tn.

【解答】解：(1)设等比数列的公比为q(q≠l),

因为“5-44=-842+841,即t⅛q3—%q3=-8(α2-%),即/=-8,所以q=-2,

又S6=-1⅛-=21,即"g胃)"=21,解得α∣=-1,

n1nn1

所以4l=-l×(-2)-=(-l)X2-.

nn_122n1

(2)由(1)可得b71=Iog2Cin=∕o^2((-l)X2)=log22^~^=2(n—1),

则数列｛为｝为0、2、4、6、…，偶数组成的数列，

又αn=(-1尸X2"τ,令atl>0,则〃为正偶数，

352n1

所以cι=2,C2=2,c3=2,……，cn=2~,

所以｛cn｝为以2为首项，4为公比的等比数列，

所以2华要=与工

19.(12分)如图，在正三棱柱ABC-481Ci中，。为棱AAl上的点，E,F,G分别为AC,

A1C，BBl的中点,AC=AAl=2.

(1)求证：FG1.AC；

(2)若直线FG与平面BCQ所成角的正弦值为由，求AO的长.

4

【解答】解：(1)在正三棱柱ABC-AIBICl中，CCl_L平面ABC,

因为E,F,G分别为AC,AiCi,8B］的中点，所以E5〃CC1,又BG〃CCi,

所以EF〃BG,所以E、F、B、G四点共面，EFL平面ABC,AC,

又因为BEUC,S,EF∏BE=E,又EF,BEU平面EFG8,

所以ACJ_平面EfGB,又FGU平面EFGB,所以FGj_AC.

(2)以E为原点，建立如图所示的空间直角坐标系E-盯z,设4。=如

则F(O,O,2),G(0,√3,1),二FG=(O,√3,-1),B(0,

√3,O),C(-l,0,0),D(l,0,m),

：.CB=(1,√3,0),CB=(2,0,m),

设平面BCD的一个法向量为骨=(x,y,z),则E,号=°，

3∙CO=0

即2+8y=°,令X=Yim,则y=-τn,z=-2Λ∕3,Λn=(y∕3m,—m,—2√3),

(2%+mz=O

设直线FG与平面BCD所成角的大小为θ,

所以SinJ=∖cos(FG,n)∣=IEGnl=.1：厮+2问=字,

∖FG∖∙∖n∖2×j3τn2+m2+12

即臂⅛=L(-m+2)2-m2+3,解得m=上,

√m2+3

20.（12分）袋子中有8张水果卡片，其中4张苹果卡片，4张梨子卡片.消费者从该袋子

中不放回地随机抽取4张卡片，若抽到的4张卡片都是同一种水果，则获得一张10元代

金券；若抽到的4张卡片中恰有3张卡片是同一种水果，则获得一张5元代金券；若抽

到的4张卡片是其他情况，则不获得任何奖励.

（1）求某位消费者在一次抽奖活动中抽到的4张卡片都是苹果卡片的概率；

（2）记随机变量X为某位消费者在一次抽奖活动中获得代金券的金额数，求X的分布列

和数学期望E（X）；

（3）该商家规定，每位消费者若想再次参加该项抽奖活动，则需支付2元.若你是消费

者，是否愿意再次参加该项抽奖活动？请说明理由.

【解答】解：（1）记“某位消费者在一次抽奖活动中抽到的4张卡片上都是苹果为事件A,

则P（A）=9=4，所以某位消费者在一次抽奖活动中抽到的4张卡片上都是苹果的

概率为左；

70

（2）依题意随机变量X的所有可能取值为0、5、10,

223ɪ04

则p(x=o)=Ξφ=ɪɛ,p(χ=5)=££^4=1∣,p(χ=ιo)=1(

8c8c8

所以X的分布列为:

X0510

P18161

353535

所以E(X)=IOX余+5x国+Ox芸=竽；

(3)记随机变量y为消费者在一次抽奖活动中的收益，

则Y=X-2,所以E(H=E(X-2)=E(X)-2=竽-2=劣》,

所以愿意再次参加该项抽奖活动.

X2y2__

21.(12分)已知椭圆E：—+—=1(a>⅛>0)的左焦点与短轴两端点的连线及短轴构

成等边三角形.且椭圆经过点M(l,-ɪ).

(1)求椭圆E的方程；

(2)不经过点M的直线尸%+Tnon≠0)与椭圆E相交于A,3两点，A关于原点的

对称点R,直线MR,MB与y轴分别交于P,Q两点，求证：∖MP∖=∖MQ∖.

【解答】(1)解：设椭圆上下顶点分别为助(O,b),B2(0,-b),左焦点为Fl(-c,

0),

______X2y2

则48182Fl是等边三角形，所以2b=JC2+炉=ɑ,则椭圆方程为一万+言=1,

4bzb乙

/ɔ13

将M(L-弓•)代入椭圆方程，可得而7+万7=1，解得力=1,

χ2

所以椭圆方程为丁+y2=1.

4

(2)证明：设A(xι,y∖),B(必”)，则H(-χι,-y∖).

/ʒ%2

将直线y=4-x+m(m≠0)代入椭圆方程一+y2=1,得M+√3mx÷m2—1=0,

/