新教材新高考2024年高考数学一轮复习高频考点精讲精练 第01讲 任意角和弧度制及三角函数的概念（高频精讲）（原卷版）

第01讲任意角和弧度制及三角函数的概念(精讲）目录TOC\o"1-3"\h\u第一部分：知识点必背 2第二部分：高考真题回归 5第三部分：高频考点一遍过 5高频考点一：象限角 5角度1：确定已知角所在象限 5角度2：由已知角所在的象限确定某角的范围 6角度3：确定倍角（分角）所在象限 7高频考点二：区域角 8高频考点三：终边相同的角 10高频考点四：角度制与弧制度的相互转化 11高频考点五：弧长公式与扇形面积公式 12角度1：弧长的有关计算 12角度2：与扇形面积有关的计算 13角度3：扇形中的最值问题 14角度4：扇形弧长公式与面积公式的应用 17高频考点六：任意角的三角函数 18角度1：单位圆法与三角函数 18角度2：终边上任意点法与三角函数 19角度3：三角函数值符号的判定 20高频考点七：三角函数线 21高频考点八：解三角不等式 22第四部分：数学文化题 23第五部分：高考新题型 25①开放性试题 25第六部分：数学思想方法 25①函数与方程的思想 25②数形结合的思想 26温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Home可回到开头第一部分：知识点必背1、角的概念的推广①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．②按终边位置不同分为象限角和轴线角．③终边相同的角：终边与角相同的角可写成．2、弧度制的定义和公式①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，，是以角作为圆心角时所对圆弧的长，为半径．③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．比值与所取的的大小无关，仅与角的大小有关．④弧度与角度的换算：；．若一个角的弧度数为，角度数为，则，．3、任意角的三角函数3.1.单位圆定义法：任意角的三角函数定义：设是一个任意角，角α的终边与单位圆交于点，那么（1）点的纵坐标叫角α的正弦函数，记作；（2）点的横坐标叫角α的余弦函数，记作；（3）点的纵坐标与横坐标之比叫角α的正切函数，记作（）.它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数．3.2.终边上任意点法：设是角终边上异于原点的任意一点，它到原点的距离为（）那么：；；（）角不存在4、扇形的弧长及面积公式(1)弧长公式在半径为的圆中，弧长为的弧所对的圆心角大小为，则变形可得，此公式称为弧长公式，其中的单位是弧度．(2)扇形面积公式5、三角函数线三角函数线正弦线：余弦线：正切线：6、常用结论（1）三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦.（2）角度制与弧度制可利用进行相互转化，在同一个式子中，采用的度量方式必须统一，不可混淆.角度制弧度制（3）象限角：象限角集合区间第一象限角第二象限角第三象限角第四象限角（4）轴线角角终边所在位置角度制弧度制角终边在轴非负半轴角终边在轴非正半轴角终边在轴非负半轴角终边在轴非正半轴角终边在轴上角终边在轴上角终边在坐标轴上第二部分：高考真题回归1．（2022·全国（甲卷理）·高考真题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（

）A． B． C． D．2．（2021·北京·统考高考真题）若点关于轴对称点为，写出的一个取值为___．第三部分：高频考点一遍过高频考点一：象限角角度1：确定已知角所在象限典型例题例题1．（2023春·吉林长春·高一东北师大附中校考阶段练习）给出下列四个命题：①是第四象限角；②是第三象限角；③是第二象限角；④是第一象限角．其中正确命题的个数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个例题2．（2023·全国·高一专题练习）若是第二象限角，则是第______象限角．练透核心考点1．（2023春·上海浦东新·高一上海市进才中学校考开学考试）若是第一象限角，则是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角2．（2023春·江西南昌·高一南昌十中校考阶段练习）已知角，则的终边在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．（2023春·广东湛江·高一校考阶段练习）是第______象限角.角度2：由已知角所在的象限确定某角的范围典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）若是第四象限角，则是第（

）象限角A．一 B．二 C．三 D．四例题2．（多选）（2023秋·吉林长春·高一长春市实验中学校考期末）若角是第二象限角，则下列各角中是第三象限角的是（

） B． C． D．练透核心考点1．（2023·全国·高三专题练习）若α是第四象限角，则90º－α是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角2．（2023·全国·高三专题练习）若α是第四象限角，则π－α是第（

）象限角.A．一 B．二 C．三 D．四3．（2023·河南濮阳·高一濮阳一高校考）已知为第三象限角，则为（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角角度3：确定倍角（分角）所在象限典型例题例题1．（2023·高一课时练习）已知是锐角，那么是（

）．A．第一象限角 B．第二象限角C．小于180°的正角 D．第一或第二象限角例题2．（多选）（2023·高一课时练习）若是第二象限角，则（

）A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角C．是第二象限角 D．是第三或第四象限角或轴负半轴上例题3．（2023春·上海金山·高一上海市金山中学校考阶段练习）已知是第二象限角，则终边在第__________象限.例题4．（2023·高一课时练习）若角是第二象限角，试确定，的终边所在位置．练透核心考点1．（多选）（2023春·全国·高一校联考开学考试）已知角的顶点在坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在第二象限，则角2的终边可能在（

）A．x轴的负半轴上 B．y轴的负半轴上 C．第三象限 D．第四象限2．（多选）（2023春·江西赣州·高一兴国中学校考阶段练习）已知角是第一象限角，则角可能在以下哪个象限（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限3．（多选）（2023秋·山东临沂·高一校考期末）已知为第四象限角，则可能为（

）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角高频考点二：区域角典型例题例题1．（2023春·江西南昌·高一校考阶段练习）集合中角所表示的范围(阴影部分)是(

)A． B． C．D．例题2．（2023春·广西钦州·高一浦北中学校考阶段练习）如图所示，终边落在阴影部分区域（包括边界）的角的集合是______．例题3．（2023春·江西南昌·高一南昌市第三中学校考阶段练习）用弧度制表示终边落在下列阴影部分的角.(1)(2)例题4．（2023·高一课时练习）如下图，终边落在位置时的角的集合是__________；终边落在位置，且在内的角的集合是________；终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是______．练透核心考点1．（2023春·江西宜春·高一江西省铜鼓中学校考阶段练习）如图所示，写出顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分内的角的集合______．2．（2023·全国·高一专题练习）写出角的终边在图中阴影区域内的角的集合．（包括边界）3．（2023·高一课时练习）已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角α的集合是________．4．（2023·高一课时练习）如图，分别写出适合下列条件的角的集合．（1）终边落在射线上；（2）终边落在直线上；（3）终边落在阴影区域内（含边界）．高频考点三：终边相同的角典型例题例题1．（2023春·山东济宁·高一校考阶段练习）与终边相同的角是（

）A． B． C． D．例题2．（2023·全国·高一专题练习）下列各组中，终边相同的是（

）A．与 B．与C．与 D．与例题3．（2023春·北京西城·高一北京市第六十六中学校考阶段练习）已知角.(1)将改写成的形式，并指出是第几象限的角；(2)在区间上找出与终边相同的角．练透核心考点1．（2023·全国·高一专题练习）终边落在直线上的角的集合为（

）A． B．C． D．2．（2023春·北京·高一北理工附中校考阶段练习）与角终边相同的角是A． B．C． D．3．（2023·全国·高三专题练习）若角的终边在函数的图象上，试写出角的集合为_________．高频考点四：角度制与弧制度的相互转化典型例题例题1．（2023春·北京·高一校考阶段练习）在单位圆中，的圆心角所对的弧长为（

）A． B． C． D．例题2．（2023·全国·高一专题练习）将－1485°化成的形式是（

）A． B． C． D．例题3．（2023秋·山西太原·高一太原市进山中学校校考期末）把弧度化成角度：______练透核心考点1．（2023·高一课时练习）把化成角度是（

）A． B． C． D．2．（2023·新疆和田·高一校考）将化为弧度为A． B． C． D．3．（2023·高一单元测试）将﹣300°化为弧度为_______．高频考点五：弧长公式与扇形面积公式角度1：弧长的有关计算典型例题例题1．（2023春·河南南阳·高一校联考阶段练习）在直径为4cm的圆中，72°的圆心角所对的弧长是（

）A． B． C． D．例题2．（2023春·四川内江·高一四川省资中县第二中学校考阶段练习）已知扇形的周长为6，圆心角的弧度数是4，则该扇形的弧长为（

）A．2 B．4 C．6 D．8例题3．（2023春·北京·高一首都师范大学附属中学校考阶段练习）已知扇形的面积为9，圆心角为2rad，则扇形的弧长为______．例题4．（2023秋·内蒙古乌兰察布·高一校考期末）已知一个扇形的弧所对的圆心角是，半径，则该扇形的周长是______．练透核心考点1．（2023春·湖南长沙·高一校联考阶段练习）秀峰公园里有块周长为46米的扇形花田，其弧长30米，则这块扇形花田的圆心角的弧度数是（

）A． B． C． D．1202．（2023春·山东济宁·高一校考阶段练习）已知扇形的周长为，面积为，则该扇形的圆心角的弧度数为（

）A．1或4 B．4 C．2或4 D．23．（2023秋·河南郑州·高一郑州市第四十七高级中学校考期末）已知扇形的面积为，该扇形圆心角的弧度数是1，则扇形的弧长为__________.4．（2023秋·安徽马鞍山·高一统考期末）已知扇形的半径为，面积为，那么该扇形的弧长为________.角度2：与扇形面积有关的计算典型例题例题1．（2023春·山东潍坊·高一山东省潍坊第四中学校考阶段练习）扇面书画在中国传统绘画中由来已久．最早关于扇面书画的文献记载，是《王羲之书六角扇》．扇面书画发展到明清时期，折扇开始逐渐的成为主流如图，该折扇扇面画的外弧长为24，内弧长为10，且该扇面所在扇形的圆心角约为120°，则该扇面画的面积约为（

）（）A．185 B．180 C．119 D．120例题2．（2023秋·湖南永州·高一统考期末）玉雕在我国历史悠久，玉雕是采用传统的手工雕刻工艺加工生产成的玉雕工艺.某扇环形玉雕（扇环是一个圆环被扇形截得的一部分）尺寸（单位：cm）如图所示，则该玉雕的面积为（

）A． B． C． D．例题3．（2023秋·广东深圳·高一校考期末）已知扇形的圆心角为，其弧长为，则此扇形的面积为___________.练透核心考点1．（2023春·江西南昌·高一南昌市第五中学校考阶段练习）如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，如图是会徽的几何图形，设弧长度是，弧长度是，几何图形面积为，扇形面积为，若，则（

）A．5 B．6 C．7 D．82．（2023春·江西上饶·高一校联考阶段练习）“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出人怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号，如图，这是折扇的示意图，已知D为OA的中点，，，则此扇面（扇环ABCD）部分的面积是_________.3．（2023春·安徽阜阳·高一安徽省颍上第一中学校考阶段练习）若圆的半径是2，则30°的圆心角与圆弧所围成的扇形的面积是__________（请用弧度制表示）.角度3：扇形中的最值问题典型例题例题1．（2023秋·湖北襄阳·高一统考期末）已知一个扇形的周长为8，则当该扇形的面积取得最大值时，圆心角大小为（

）A． B． C． D．2例题2．（2023·高一课时练习）已知扇形的圆心角为，周长为4.那么当其面积取得最大值时，的值是______.例题3．（2023·高一单元测试）一个扇形的周长是20cm，问它的半径多大时，此扇形的面积最大？最大面积为多少？例题4．（2023春·四川眉山·高一仁寿一中校考阶段练习）如图，在扇形中，的平分线交扇形弧于点，点是扇形弧上的一点（不包含端点），过作的垂线交扇形弧于另一点，分别过作的平行线，交于点．(1)若，求；(2)设，求四边形的面积的最大值．练透核心考点1．（2023春·山东威海·高一校考阶段练习）已知扇形的周长为，则该扇形的面积S最大时，圆心角的大小为（

）．A．4弧度 B．3弧度 C．2弧度 D．1弧度2．（2023春·上海宝山·高一校考阶段练习）已知一扇形的圆心角为，半径为R，弧长为l．(1)若，，求扇形的弧长l；(2)若扇形面积为16，求扇形周长的最小值，及此时扇形的圆心角．3．（2023春·江西南昌·高一校考学业考试）某地政府部门欲做一个“践行核心价值观”的宣传牌，该宣传牌形状是如图所示的扇形环面(由扇形挖去扇形后构成的)．已知米，米，线段、线段与弧、弧的长度之和为米，圆心角为弧度．(1)求关于的函数解析式；(2)记该宣传牌的面积为，试问取何值时，的值最大?并求出最大值．4．（2023·高一课时练习）《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了“弧田”，“弦”和“矢”的定义，“弧田”(如图阴影部分所示)是由圆弧和弦围成，“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.（1）当圆心角为，矢为2的弧田，求：弧田(如图阴影部分所示)的面积；（2）已知如图该扇形圆心角是，半径为，若该扇形周长是一定值当为多少弧度时，该扇形面积最大？角度4：扇形弧长公式与面积公式的应用典型例题例题1．（2023春·湖北荆州·高一统考阶段练习）设圆心角为的扇形的弧长为，面积为，则（

）A． B． C． D．例题2．（2023春·四川德阳·高一四川省德阳中学校校考阶段练习）水滴是刘慈欣的科幻小说《三体II·黑暗森林》中提到的由三体文明使用强互作用力（SIM）材料所制成的宇宙探测器，因为其外形与水滴相似，所以被人类称为水滴.如图所示，水滴是由线段和圆的优弧围成，其中恰好与圆弧相切.若圆弧所在圆的半径为1，点到圆弧所在圆圆心的距离为2，则该封闭图形的面积为（

）A． B． C． D．例题3．（2023·高三课时练习）已知扇形的周长为30cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，能使扇形的面积最大？最大面积是多少？例题4．（2023春·广东湛江·高一校考阶段练习）某城市一扇形空地的平面图如图所示，为了方便市民休闲健身，政府计划在该扇形空地建设公园．经过测量，扇形空地的半径为600m，．在其中圈出一块矩形场地CDEF设计成林荫跑步区，且．(1)求扇形空地的面积；(2)求矩形场地的最大面积．练透核心考点1．（2023春·安徽马鞍山·高一马鞍山二中校考开学考试）若扇形的周长为定值，圆心角为，则当扇形的面积取得最大值时，该扇形的圆心角的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．42．（2023春·上海宝山·高二校考阶段练习）已知圆锥的高，它的侧面展开图的扇形圆心角为216°，求其全面积__________．3．（2023秋·浙江宁波·高一统考期末）炎炎夏日，古代人们乘凉时用的纸叠扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形加工制作而成.如图，扇形纸叠扇完全展开后，得到的扇形ABC面积为，则当该纸叠扇的周长最小时，的长度为______cm.（2023春·北京·高一北理工附中校考阶段练习）已知扇形的圆心角为，所在圆的半径为．若，，扇形的弧长为______；若扇形的周长为16，该扇形面积的最大值______.高频考点六：任意角的三角函数角度1：单位圆法与三角函数典型例题例题1．（2023春·浙江衢州·高一校考阶段练习）已知角的终边与单位圆的交于点，则为（

）A． B． C． D．例题2．（2023秋·四川眉山·高一仁寿一中校考期末）设角的终边经过点，那么等于（

）A． B． C．1 D．例题3．（2023秋·天津河西·高一统考期末）已知角的终边经过点那么的值是_______.练透核心考点1．（2023春·西藏拉萨·高三拉萨中学校考阶段练习）已知角的终边与单位圆相交于点，则（

）A． B． C． D．2．（2023春·北京·高一校考阶段练习）已知角的终边经过点，则__________，__________，__________.3．（2023秋·天津静海·高一静海一中校考期末）角的终边与单位圆上半圆交于，则_______角度2：终边上任意点法与三角函数典型例题例题1．（2023春·北京西城·高一北京市第六十六中学校考阶段练习）若角的终边经过点，则的值为（

）A． B． C． D．例题2．（2023春·江西南昌·高一南昌市第十九中学校考阶段练习）角的终边经过点，则的值为________.例题3．（2023春·河南南阳·高一校联考阶段练习）已知角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，点是角终边上的一点，则______．例题4．（2023春·山东日照·高一山东省日照实验高级中学校考阶段练习）已知角的终边上有一点，且．(1)求的值;(2)求的值．练透核心考点1．（2023春·广西钦州·高一校考阶段练习）已知角的终边经过点，则的值为（

）A． B． C． D．2．（2023春·北京·高一北理工附中校考阶段练习）若角的终边上有一点，则______．3．（2023春·上海青浦·高一上海市青浦高级中学校考阶段练习）若角的终边上有一点，则实数a的值为_________．4．（2023春·北京海淀·高三北京市八一中学校考阶段练习）已知角终边经过点，且，则的值为_________．5．（2023春·上海浦东新·高一上海市进才中学校考开学考试）已知为第二象限角，点在其终边上，且，则______．角度3：三角函数值符号的判定典型例题例题1．（2023春·江西·高一江西师大附中校考阶段练习）下列函数值：①；②；③；④，其结果为负值的是（

）A．① B．② C．③ D．④例题2．（2023秋·山东枣庄·高一枣庄八中校考期末）若，且，则角是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角例题3．（多选）（2023春·湖北荆州·高一统考阶段练习）若在第一象限，则下列选项中，一定为正数的是（

） B． C． D．练透核心考点1．（2023秋·浙江杭州·高一校考期末）若，且，则角是第（

）象限角．A．二 B．三 C．一或三 D．二或四2．（2023春·河南南阳·高一南阳中学校考阶段练习）的符号为（

）A．正 B．0 C．负 D．无法确定3．（2023春·上海浦东新·高一校考阶段练习）若是第三象限角，则下列各式中成立的是（

）A． B．C． D．高频考点七：三角函数线典型例题例题1．（2023·高一课时练习）如图，已知点是单位圆与轴的交点，角的终边与单位圆的交点为，轴于，过点作单位圆的切线交角的终边于，则角的正弦线、余弦线、正切线分别是（

）A．，，B．，，C．，，D．，，例题2．（2023·高一课时练习）利用单位圆分别写出符合下列条件的角的集合：；（2）；（3）.练透核心考点1．（2023·高一课时练习）设、和分别是角的正弦、余弦和正切线，则以下不等式正确的是A． B．C． D．2．（2023·高一课时练习）作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：(1)；(2)；(3)；(4).高频考点八：解三角不等式典型例题例题1．（2023·高一单元测试）在上，利用单位圆，得到成立的的取值范围是（

）A． B． C． D．例题2．（2023·高一课时练习）若，且，，则角的取值范围是（

）A． B．C． D．∪例题3．（2023·高一课时练习）求下列函数的定义域：（1）；（2）.练透核心考点1．（2023·全国·高三专题练习）设，使且同时成立的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2023·全国·高三专题练习）函数y＝lg(2sinx－1)＋的定义域为__________________.3．（2023·高一课时练习）利用单位圆中的三角函数线，分别确定角的取值范围.(1);(2).第四部分：数学文化题1．（2023秋·河南郑州·高一统考期末）英国浪漫主义诗人(雪莱)在《西风颂》结尾写道“”春秋战国时期，为指导农耕，我国诞生了表示季节变迁的节气.它将黄道(地球绕太阳按逆时针方向公转的轨道，可近似地看作圆)分为等份，每等份为一个节气.2019年12月22日为冬至，经过小寒和大寒后，便是立春.则从冬至到次年立春，地球公转的弧度数约为（

）A． B． C． D．2．（2023·陕西西安·统考二模）折扇在我国已有三千多年的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图1），图2为其结构简化图，设扇面A，B间的圆弧长为，A，B间的弦长为d，圆弧所对的圆心角为（为弧度角），则､d和所满足的恒等关系为（

）A． B．C． D．3．（2023·新疆乌鲁木齐·统考二模）中国最早的天文观测仪器叫“圭表”，最早装置圭表的观测台是西周初年在阳城建立的周公测景（影）台．“圭”就是放在地面上的土堆，“表”就是直立于圭的杆子，太阳光照射在“表”上，便在“圭”上成影．到了汉代，使用圭表有了规范，规定“表”为八尺长（1尺=10寸）．用圭表测量太阳照射在竹竿上的影长，可以判断季节的变化，也能用于丈量土地．同一日内，南北两地的日影长短倘使差