高考数学二轮复习真题分训练汇总（含答案解析）

1.（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）已知全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,2},N={3,4},则

M(M2N)=()

A.{5}B.{1,2}C.{3,4}D.{1,2,3,4}

【答案】A由题意可得:MUN={1,2,3,4},则答(MUN)={5}.

故选：A.

2.(2021年全国高考乙卷数学(理)试题)己知集合S={s∣s=2”+l∕∈Z},T={力=4〃+1,〃eZ},则

sςτ=()

A.0B.SC.TD.Z

【答案】C

【分析】任取feT，则∕=4"+l=2∙(2")+l,其中〃GZ,所以，teS,故T=S,

因此，SnT=「.故选：C.

3.(2021年全国高考甲卷数学(文)试题)设集合〃={1,3,5,7,9},N={x∣2x>7},则∕∏N=()

A.{7,9}B.{5,7,9}C.{3,5,7,9}D.{1,3,5,7,9}

【答案】B

【分析】N=(g,+α)}故"cN={5,7,9},

故选：B.

4.(2021年全国高考甲卷数学(理)试题)设集合Λ∕={x∣0<x<4},N={x*≤5,则Λ∕∏N=()

A.ɑ0<x≤-B.X-≤x<4>

33

C.{x∣4≤x<5}D.∣x∣0<x≤5∣

【答案】B

【分析】因为M={x[0<x<4},N={x|；≤x≤5},所以Λ∕cN=]x,≤x<4

故选：B.

5.(2021年全国新高考I卷数学试题)设集合∕={x卜2<x<4},8={2,3,4,5},则Nrl8=(

A.{2}B.{2,3}C.{3,4}D.{2,3,4}

【答案】B

【分析】由题设有XcB={2,3},故选：B.

6.(2021年全国新高考2卷数学试题)设集合U={1,2,3,4,5,6},N={1,3,6},8={2,3,4},则

Zn(M)=()

A.{3}B.{1,6}C.{5,6}D.{1,3}

【答案】B

【解析】

【分析】根据交集、补集的定义可求∕c(q.4).

【详解】由题设可得qj8={1,5,6},故Nc(aB)={1,6},

故选：B.

7.(2021年天津卷数学试题)设集合∕={T0』，8={l,3,5},C={0,2,4},则(∕c8)UC=()

A.{0}B.{0,l,3,5}C.{0,l,2,4}D.{0,2,3,4}

【答案】C

【解析】

【分析】根据交集并集的定义即可求出.

【详解】VJ={-l,0,l},8={l,3,5},C={0,2,4},

.∙.4c8={1},.∙.(Zc8)uC={0,1,2,4}.

故选：C.

8.(2021年浙江卷数学试题)设集合N={x∣x≥l},8={x[—l<x<2},则4口8=()

A.{x∣x>-l}B.{x∣x≥l}C.{x∣-l<x<l}D.{x∣l<x<2}

【答案】D

【解析】

【分析】由题意结合交集的定义可得结果.

【详解】由交集的定义结合题意可得：ZnB={x∣l≤x<2}.

故选：D.

9.(2021年北京卷数学试题)已知集合N={x∣-l<x<l},5={x∣0<x<2},则ZU3=()

A.(-1,2)B.(-1,2]C.[0,l)D.[0,1]

【答案】B

【解析】

【分析】结合题意利用并集的定义计算即可.

【详解】由题意可得：A∖jB={x∖-l<x≤2},即/U8=(-l,2].

故选：B.

1.（2021年天津卷数学试题）已知αwR,则“。〉6”是“/>36”的（）

A.充分不必要条件B,必要不充分条件

C.充要条件D.既不允分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】由充分条件、必要条件的定义判断即可得解.

【详解】由题意，若。〉6,则/>36,故充分性成立；

若/>36,则。〉6或。<一6，推不出α>6,故必要性不成立；

所以“α>6”是“/>36”的充分不必要条件.

故选：A.

2.（2021年浙江卷数学试题）已知非零向量£,乙"，贝U''1"="”是'G=L的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.

【详解】如图所示，而=①赤=B,无=乙或=当Z8,OC时，2一3与工垂直，（J-可•；-（）,

所以“•；=/；,；・成立，此时d≠B,

•••工£=£2不是a=B的充分条件，

/1'1\1'1'1'

当不=B时,）一B=O,∙∙∙（α-b}c=0∙c=0,.∙i.;.Vz成立,

：-ac.八Z是5=B的必要条件，

综上，“12=或丁是，=为'的必要不充分条件

Oc

故选：B.

3.(2021年北京卷数学试题)已知f(x)是定义在上［0,1］的函数,那么“函数/(x)在［0,1］上单调递增”是

“函数/(χ)在［0,1］上的最大值为了⑴”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系.

【详解】若函数/(X)在［0』上单调递增，则/(X)在［0』上的最大值为/⑴，

若/(x)在［0,1］上的最大值为/⑴，

比如/(X)=X—可,

但y(x)=(x-；)在o,ɪ为减函数，在ɪ,i为增函数，

故/(χ)在［0』上的最大值为/⑴推不出/(x)在［0,1］上单调递增，

故“函数/(x)在［0,1］卜.单调递增”是“/(X)在［0川上的最大值为/⑴”的充分不必要条件，

故选：A.

4.(2021年全国高考乙卷数学(文)试题)已知命题pTx∈R,Sinx<1；命题q:VXWR,阴≥1，则下列命

题中为真命题的是()

A.PAqB.7AqC.PLqD.-I(PVg)

【答案】A

【分析】由于一l≤sinx<l,所以命题P为真命题；

由于WN0,所以e∣*≥l,所以命题4为真命题；

Λl1一

所以P4为真命题，~P八q、P^^^⅛、'(pvq)为假命题.故选：A.

1.（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）下列函数中最小值为4的是（）

I.I4

A.y=X2+2%÷4B.ʃ=sιnx÷-~~

φSinxi

4

C.y=2x+22~XD.y=Inx+——

Inx

【答案】C

【分析】对于A,y=√+2x+4=（x+l）2+3>3,当且仅”1x=-1时取等号，所以其最小值为3,A不

符合题意；对于B,因为0<binx∣≤l,^=∣sinx∣+∣-^>2√4=4,当且仅当卜山鹏=2时取等号，等

号取不到，所以其最小值不为4,B不符合题意；

对于C,因为函数定义域为R，而2、>0,y=2x+22-'=2x+-≥274=4,当且仅当2「=2,即X=I

2x一一

时取等号，所以其最小值为4,C符合题意；

4

对于D,y=lnxd-------，函数定义域为(0z,1)U(L+8),而InXeR且InX≠0,如当InX=-I,歹=-5,

Inx

D不符合题意.

故选：C.

2.（2021年浙江卷数学试题）已知α∈R,函数/（X）=二篇L若也网",则

【答案】2

【解析】

【分析】由题意结合函数的解析式得到关于。的方程，解方程可得α的值.

[详解]/[/(√6)]=∕(6-4)=∕(2)=∣2-3∣+a=3,故α=2,

故答案为：2.

专题04函数的性质

I.(2021年全国高考甲卷数学(文)试题)下列函数中是增函数的为()

A./(X)=-XB./(χ)=(∣∙)C./(x)=X2D./(X)=近

【答案】D

【分析】对于A,/(X)=-X为E上的减函数，不合题意，舍.

对于B,/(χ)=(|)为R上的减函数，不合题意，舍.

对于C,/(x)=F在(―8,0)为减函数，不合题意，舍.

对于D,7(X)=次为R上的增函数，符合题意，故选：D.

2.(2021年全国高考甲卷数学(文)试题)设/(x)是定义域为R的奇函数，且/(l+x)=∕(-X).若

ɪ

3

【答案】C

【分析】由题意可得:

C.

3.(2021年全国高考甲卷数学(理)试题)设函数/(x)的定义域为R,/(X+1)为奇函数，/(x+2)为偶函

数，当xe[l,2]时，f(χ)=ax2+b.若/(0)+∕(3)=6,则/仁)=()

9275

A.B.C.D.

4242

【答案】D【分析】因为/(X+1)是奇函数，所以/(—x+1)=—/(x+l)①;

因为/(x+2)是偶函数，所以〃x+2)=∕(-x+2)②.

令x=l,由①得：/(0)=-∕(2)=-(4α+b),由②得：/(3)=∕(l)=α+⅛,

因为f(0)+f(3)=6,所以—(4α+b)+α+b=6=>a=-2,

令x=0,由①得：/(l)=-∕(l)n/(I)=Onb=2,所以/(x)=-2χ2+2.

思路一：从定义入手.

^z⅛)=v⅛+2]=^zH+2)-ʃ(l)

所以/图Tl)咚

思路二：从周期性入手

由两个对称性可知，函数/(X)的周期τ=4.

所以/({M9=^4l)g故选:d∙

4.(2021年全国新高考2卷数学试题)已知函数/(x)的定义域为R,/(x+2)为偶函数，/(2x+l)为奇函

数，则()

A∙=0B./(-1)=0C./(2)=0D./(4)=0

【答案】B

【解析】

【分析】推导出函数/(x)是以4为周期的周期函数，由已知条件得出/(1)=0,结合已知条件可得出结

论.

【详解】因为函数/(x+2)为偶函数，则"2+x)=∕(2-x),可得/(χ+3)=∕(I-X),

因为函数/(2x+l)为奇函数，则为(l—2x)=—/(2x+l),所以，/(l-x)=-∕(ɪ+l).

所以，/(x+3)=—/(x+l)=/(x—1),即/(x)=∕(x+4),

故函数/(x)是以4为周期的周期函数，

因为函数R(X)=/(2x+l)为奇函数，JjiiJF(O)=Z(I)=O,

故/(T)=-Z(I)=O,其它三个选项未知.

故选：B.

1—Y

5.(2021年全国高考乙卷数学(文)试题)设函数/(X)=——,则下列函数中为奇函数的是(

1+x

A.ʃ(ɪ-1)—1B.ʃ(ɪ-1)÷1C.j(x÷1)—1D./(x+l)+l

【答案】B

I-X2

【分析】由题意可得/(X)=——=-l÷——，

1+x1+x

2

对于A,7(x-l)-l=t-2不是奇函数；

2

对于B,/(X—1)+1=匕是奇函数；

2

对于C,/(x+l)-l=--2,定义域不关于原点对称，不是奇函数；

2

对于D,/(x+l)+l=m，定义域不关于原点对称，不是奇函数.

故选：B

专题04函数的图像

【解析】

【分析】由函数为偶函数可排除AC,再由当X∈(0,l)时，/(x)<0,排除D,即可得解.

【详解】设'=/。)=提号，则函数/(χ)的定义域为{χ∣χ≠0},关于原点对称，

又/(-X)=(：：：；=/(X),所以函数/(x)为偶函数，排除AC；

当Xe(0,1)时，ln∣x∣<0,x2+l>0,所以/(x)<0,排除D.

故选：B.

2.(2021年北京卷数学试题)已知函数/(X)=/+-,g(χ)=sinx,则图象为如图的函数可能是()

ʌ-蚱/(χ)+g(χ/b∙v=/⑴一E

g(χ)

c.y=f(χ)g(χ)D.y

/(χ)

【答案】D

【解析】

【分析】由函数的奇偶性可排除A、B,结合导数判断函数的单调性可判断C,即可得解.

【详解】对于A,y=∕(x)+g(x)-；=f+sinx,该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；

对于B,y=∕(x)-g(x)-;=Y-SinX,该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B：

对于C,y=∕(x)g(x)=(χ2+；)SinX,则y'=2xsinx+(χ2+；)CoSx,

当X=2■时，y'——×~~∙+f—I—×――>0,与图象不符，排除c.

4221164)2

故选：D.

专题06基本初等函数

1.（2021年全国新高考2卷数学试题）已知α=logs2,b=logg3,c=g,则下列判断正确的是（）

A.c<h<aB.b<a<cC.a<c<bD.a<b<c

【答案】C

【解析】

【分析】对数函数的单调性可比较Q、b与C的大小关系，由此可得出结论.

【详解】a=Iog52<Iog5石=；=Iog82Λ∕2<Iog83=6,即α<c<∕）.

故选：C.

2.（2021年天津卷数学试题）设“Tog?。'。=l°gI°∙4,c=S4"',则b,C的大小关系为（）

2

A.a<h<cB.c<a<bC.b<c<aD.a<c<b

【答案】D

【解析】

【分析】根据指数函数和对数函数的性质求出a,h,c的范围即可求解.

,

[τ⅛W],∙log20.3<Iog21=0..∙.a<0,

.∙.⅛>1.

∙.∙0<0.4°3<O.4o=bΛθ<c<l.

.∖a<c<b.

故选：D.

3.(2021年天津卷数学试题)若2"=5〃=10,则,+,=()

ab

A.-1B.ɪg7C.1D.Iog7IO

【答案】C

【解析】

【分析】由已知表示出4,b,再由换底公式可求.

tt

【详解】V2=5*=10--•.«=Iog210,6=Iog510,

---1—=---------H-------=---l-g2+lg5=lglθ=l.

abIog210Iog510

故选：C.

专题07函数的综合运用

1.(2021年北京卷数学试题)已知函数/(x)=∣IgXI-丘-2,给出下列四个结论:

①若左=0,则/(x)有两个零点；

②北<0,使得/(x)有一个零点；

③北<0,使得/(x)有三个零点；

Φ3Λ>0,使得/G)有三个零点.

以上正确结论得序号是.

【答案】①②④

【解析】

【分析】由/(x)=0可得出IlgXl=AX+2,考查直线y=日+2与曲线g(x)=∣lgx∣的左、右支分别相切

的情形，利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误.

【详解】对于①，当左=0时，由/(x)=∣IgXI-2=0,可得X=击或X=IO0,①正确；

对于②，考查直线歹=AX+2与曲线y=-lgx(0<x<l)相切于点尸。,一Igf),

e

⅛Z+2=-lg∕t------

对函数V=-IgX求导得_/=——二，由题意可得〈1,解得<100

XInlOk=-------,IOO

IMnlOk=--------I1ge

e

100

所以，存在左二—lgβ<O,使得只有一个零点，②正确;

对于③，当直线y=Ax+2过点(1,0)时，左+2=0,解得左=—2,

所以，当-----lge<左<一2时，直线N=AX+2与曲线y=-IgX(O<x<l)有两个交点，

e

若函数/(X)有三个零点，则直线V=H+2与曲线y=-1gx(0<x<l)有两个交点，

Llθθlre<^<-2

直线歹=丘+2与曲线y=lgx(x>l)有一个交点，所以，|--Γg,<<一,此不等式无解,

k+2>0

因此，不存在左<0,使得函数/(x)有三个零点，③错误；

对于④，考查直线V=丘+2与曲线V=IgX(X>1)相切于点PaIg。,

ZrZ+2=IgZt-1OOe

对函数y=igχ求导得V=」一，由题意可得•

,1，解得

"XlnlOh-______瞿’

.^ZlnlOW=

所以，当0＜左＜生时，函数/(x)有三个零点，④正确.

故答案为：①②④.

【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的

零点问题，求解此类问题的一般步骤：

(1)转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；

(2)列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式;

(3)得解，即由列出的式子求出参数的取值范围.

专题09导数在研究函数图像与性质中的综合运用

I.(2021年全国高考乙卷数学(文)试题)设αHO,若x=α为函数/(x)=α(x-α)2(x-b)的极大值点,

则()

A.a<bB.a>bC.ab<a2D.ab>a2

【答案】D

【分析】若α=b,则/(x)=α(x-a)，为单调函数，无极值点，不符合题意，故加b.

依题意，x=α为函数/(x)="(x-a)］》—6)的极大值点，

当α<0时，由χ>b,/(x)≤0,画出/(x)的图象如下图所示：

-----------TJ------•

由图可知b<α,α<0,故ab>∕.

当α>0时，由x〉b时，/(x)>0,画出/(x)的图象如下图所示：

由图可知b>α,α>0.故ab〉/.

综上所述，ab>∕成立.

.,J

故选：Dl

Il

2.(2021年全国新高考I卷数学试题)若过点(a,b)可以作曲线y=e'的两条1.

o|As∖7

切线，则()

A.eh<aB.Qa<b

ba

C.0<a<eD.O<b<e

【答案】D

【分析】在曲线y=/上任取一点P(Z,e'),对函数y=/求导得V=e"

所以，曲线y=eA在点P处的切线方程为y-d=e'(x-√),即y=e'x+(l-。e',

由题意可知,点(a,b)在直线y=e'x+(l-√)e'上,可得b=ae'+(lτ)e'=(a+lτ)d,

令/'(/)=(a+l-∕)e',则/,(z)=(tz-∕)e,.

当f<a时•，/'(。>0,此时函数/(7)单调递增，

当f>α时，/,(∕)<0,此时函数/(f)单调递减,

所以，/(f)max="α)=e",

由题意可知，直线y=b与曲线y=∕(t)的图象有两个交点，则b<∕(f)maχ=e",

当f<α+l时，/(。>0,当f>α+l时，/。)<0，作出函数/«)的图象如下图所示:

由图可知，当O<b<e"时，直线y=b与曲线y=/(。的图象有两个交点.

故选：D.

解法二：画出函数曲线夕=/的图象如图所示，根据直观即可判定点(α,6)在曲线下方和X轴上方时才可以

作出两条切线.由此可知O<b<e".

3.(2021年全国新高考2卷数学试题)写出一个同时具有下列性质①②③的函数/(x):

,

©/(x∣x2)=/(x1)ʃ(x2)；②当X€(0,+OO)时,∕(x)>0；③/'(x)是奇函数.

【答案】/(x)=χ4(答案不唯一，/(x)=χ2"("∈N*)均满足)

【解析】

【分析】根据基函数的性质可得所求的/'(x).

【详解】取/(x)=χ4,则/(FX2)=(x∣X2)4=X；X；=/(xJ/(x2)，满足①，

/'(x)=4χ3,X〉。时有/'(x)〉0,满足②，

√^'(x)=4χ3的定义域为尺,

又/"(-X)=-4χ3=-∕'(x),故/'(x)是奇函数，满足③.

故答案为：/(x)=χ4(答案不唯一，/(x)=/"(〃€N*)均满足)

cosf2^rx—2TΓQ)X<Q

4.(2021年天津卷数学试题)设αeR,函数/(x)=<,J,、2U,若/G)在区间

X，-2(α+l)x+α~+5,x≥a

(0,+8)内恰有6个零点，则α的取值范围是()

/9-/51

0

(÷-UH--B

A.C∖4k2

-,

/9--π

I4

l√<-U-D

v4L4

-,3

【分析】由2(α+l)x+∕+5=0最多有2个根，可得COS(2万x—2万ɑ)=O至少有4个根，分别讨论

'lι2X<α和x^a时两个函数零点个数情况，再结合考虑即可得出.

【详解】∙.∙∕一2(α+l)x+∕+5=0最多有2个根，所以COS(2/X-2ια)=O至少有4个根，

乃k1

由ZJlX-2πa-——Fkπ,《∈Z可得工二一+一+〃,左∈Z,

224

左]ɪɪ

由0<—+—+α<o可得一2。——<k<——，

2422

179

(I)X<a时，当一5≤-2"]<-4时，/(元)有4个零点，即w<a≤];

1Q11

当一6≤-24——<-5,/(x)有5个零点，即己<α≤-：

244

当一7<一2。—<—6,/(x)有6个零点，即一<α≤—；

244

(2)当x≥a时，/(χ)=--2(〃+1)工++$,

Δ=4(α+l)2-4(α2+5)=8(α-2),

当α<2时，Zl<0,/(x)无零点；

当α=2时，A=。，/(x)有1个零点；

当α>2时，令/(a)=a?-2α(α+l)+q2+5=-2α+5≥0,则2<αwg,此时/(x)有2个零点;

所以若。>I时，/(x)有I个零点.

综上，要使/(X)在区间(0,+8)内恰有6个零点，则应满足

79，9π

-<<--<Q<-

4-44-411/3

或

<或—<a<—

5544,

2<≤-a-或Q

22.2-a<2

<

则可解得α的取值范围是卜苫.

I4J124J

【点睛】关键点睛：解决本题的关键是分成x<α和XNa两种情况分别讨论两个函数的零点个数情况.

2v∙_1

5.(2021年全国高考甲卷数学(理)试题)曲线J=------在点(T-3)处的切线方程为__________.

x+2

【答案】5x-γ+2=0

【分析】由题，当x=—1时，N=-3,故点在曲线上.

2(x+2)-(21)_5

求导得:所以川I=5.

(x+2)2(x+2)2

故切线方程为5x-y+2=0.

故答案为：5x—y+2=0.

6.(2021年全国新高考I卷数学试题)函数/(》)=|2》一1|一21门的最小值为.

【答案】1

【分析】由题设知：/(%)=|2%-1|-2111》定义域为(0,+8),

当0<x≤;时，/(x)=l-2x-21nx,此时/(χ)单调递减；

12

当一<x≤l时，/(x)=2x-l-21nx,有/'(χ)=2--≤0,此时/(χ)单调递减；

2X

2

当x>l时，f(x)=2x-∖-2]∏x,有/'(x)=2——>0,此时“X)单调递增;

X

又“X)在各分段的界点处连续，

.∙.综上有：0<x≤l时，/(χ)单调递减，x〉l时，单调递增；

.∙.∕(x)≥∕⑴=1故答案为：1.

x

7.(2021年全国新高考2卷数学试题)已知函数/(x)=∣e-1∣,X1<0,x2>0,函数/(X)的图象在点

ZaJ(XJ)和点8(*2，/*2))的两条切线互相垂直，且分别交N轴于M,N两点’则愣^取值范围是

【答案】(0,1)

【解析】

=0,结合直线方程及两点间距离公式可得MMl=JrT声∙∣xj，

【分析】结合导数的几何意义可得X1+%

2x2

忸Nl=√l+e∙∣x2∣,化简即可得解.

【详解】由题意，/(x)=IeA-II={；1ex,x<0,/、{-e∖x<0

,则/'X=，

-l,x>0[e∖x>O

所以点Z(再,1一ex')和点8(z，e"-1)，kxx

AM=-e\kBN=e\

x2

所以一e*∙e=-l,x1+x2=0,

xιxx

所以AM:y—1+e~=-e(X-X(O,e'xl-e'+1),

所以MM=JX"Xj=J]+/』.]讣

同理忸NI=Jl+/2・国,

HijNM4+∕1∙∣Xh叵互二

L…((U).

222

√i+e^.∣χ2∣V+e'

故答案为：(0,1)

【点睛】关键点点睛：

解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件须+超=O，消去一个变量后，运算即可得解.

专题09导数的综合应用

I.(2021年全国高考乙卷数学(文)试题)己知函数/(x)=χ3-χ2+4χ+ι.

(1)讨论/(X)的单调性；

(2)求曲线J=/(X)过坐标原点的切线与曲线J=/(X)的公共点的坐标.

【答案】⑴答案见解析：(2)(l,α+l)和(一1,一1一。).

【分析】(I)由函数的解析式可得：/'(x)=3χ2-2x+α,

导函数的判别式△=4—12。，

当A=4-12α≤0,αzg时∙，∕'(X)≥0J(x)在R上单调递增，

当A∙4-l2α>O.α<;时，/'(x)=0的解为：占=匕牛电,与=:

⅛x∈→o,-iʒ一时，/(χ)>O.∕(K)单调递增；

(l-yjl-3a1+Jl-34)

当XG—ɪ-——,一y-——时，，(κ)<O,/(K)单调递减；

'ljxe1+[-B+，+s)时,/"(.r)>0./(、)单调递增：

综上可得：当“2L时，/(x)在R上单调递增，

l-√l-3a'l+√l-3α

当α<3时，/(x)在

1—Jl—3α1+Jl—3α

单调递增，在一ʒ——,一ʒ——上单调递减.

(2)由题意可得：/(x0)=ɪʒ-ɪθ+ox0+1,=3x；-2玉)+α,

则切线方程为：Λ,~(ɪo~xo^^^axo+1)=(ɜɪo—2x0+α)(x-/)，

切线过坐标原点，则：O-(xθ-ɪo+(7x0+1)=(ɜɪɔ-2x0+0)(0-x0),

整理可得：2XQ—xθ-1=O,即:(XO+XO+1)=O,

解得：/=1，则/(g)=∕(l)=]-l+o+l="+l,/'(X。)=/'(1)=1+ɑ

切线方程为：y=(α+l)x,

与/(I)`+UX∙I联立得—χ~+Cix+1=(4+I)X'

化简得χ+l=0,由于切点的横坐标1必然是该方程的一个根，.∙.(χ-l)是χ3-f-χ+ι的一个因

式，.∙.该方程可以分解因式为(X-l)(x2-l)=0,

解得Xl=I,%=T,

/(-1)=-1-«，

综上，曲线y=/(χ)过坐标原点的切线与曲线y=/(χ)的公共点的坐标为(1M+1)和(一1，一1—α).

2.(2021年全国高考乙卷数学(理)试题)设函数/(x)=ln(α-x),已知X=O是函数歹=步。)的极值点.

⑴求。；

⑵设函数g(χ)=――—―.证明:g(χ)<i.

xJ(ɪ/

【答案】1；证明见详解

1Y

【分析】⑴由/(x)=IMa-x)n∕,(x)=------,ʃ=xf(x)=>^f=ln(tz-x)+-------,

X-aX-a

又X=O是函数y=∙√*(x)的极值点，所以''(O)=Ino=O,解得。=1；

(2)由(1)得/(x)=In(I-江g(x)=W⅛2=Xln(I_)'x<W°,

/、x÷ln(l-x)zz

当x∈(0,l)时，要证g(x)=——7；---TL<1,vx>O,ln(l-x)<O,.∖xln(l-x)<O,即证

xln(l-x)

x÷ln(l-x)>xln(l-x),化简得x+(l-X)In(I-x)>0:

/、x+l∏(l-x),、z

同理，当x∈(-8,0)时，要证g(x)=——7；----ΓL<1,vx<O,ln(l-x)>O,.∖xln(l-x)<O,即证

Xln(l-x)

x+ln(l-x)>xln(l-x),化简得x+(l-X)In(I-x)>0:

令〃(X)=X+0-X)In(I-X),再令£=1-则E∈(θ,l)U(l,+∞),X=I-/,

令g(f)=lτ+Hnf,g,(∕)=-l÷ln∕+l=l∏r,

当te(0,l)时，g'(x)<0,g(x)单减，假设g⑴能取到，则g(l)=0,故g(f)>g⑴=0；

当fw(l,+∞)时,g'(x)>0,g(x)单增，假设g⑴能取到，则g(l)=O,故g(f)>g⑴=0；

x+ln(l-x)/、，一、

综上所述，8(%)=刀萧口丁<1在》6(-*0)1401)恒成立

3.(2021年全国高考甲卷数学(文)试题)设函数/(x)=α2χ2+αχ-3InX+1,其中α>0.

⑴讨论/(x)的单调性；

(2)若ʃ=/(x)的图像与X轴没有公共点，求a的取值范围.

【答案】⑴/(x)的减区间为(θ,J,增区间为(：,+，)；(2)α>∣.

【分析】(1)函数的定义域为(0,+g),

又/，(x)=(2ax+3)("T),

X

因为Q>0,x>0,故20r+3>0,

当O<x<L时，ff(x)<0；当X>,时，f,(x)>0；

aa

所以/(χ)的减区间为(o,：),增区间为+8).

(2)因为/(1)=/+。+1〉0且>；=/(X)的图与X轴没有公共点，

所以V=/'(X)的图象在X轴的上方，

由(1)中函数的单调性可得/(x)mM=/(1)=3-31n1=3+31nα,

故3+3Ina>0即。>一.

e

Xa

4.(2021年全国高考甲卷数学(理.)试题)已知。〉0且α≠l,函数/(X)=二(χ>0).

a'

⑴当α=2时，求/.(X)的单调区间;

(2)若曲线y=∕(x)与直线y=l有且仅有两个交点，求。的取值范围.

【答案】(I)(O,2上单调递增；(p+8)上单调递减；(2)(l,e)D(e,+8).

222

【分析】⑴当α=2时，令/'(x)=0得X=—,当0<x<;—时，/'(x)〉0,当x>——时，∕,(x)<0.

In21∏2m2

.∙.函数〃X)在(θ,7⅛上单调递增；上单调递减；

1∏2JLIn2J

(2)/(X)=-=1=Q"=χ"=XInQ=QInX=设函数g(%)=JΞΞ,

则g'(x)=上乎,令g'(x)=O,得X=。,

X

在(O,e)内g'(x)>O,g(x)单调递增;

在(e,+OO)上g'(x)<O,g(x)单调递减；

,g(X)M=g(e)=:

Xg(I)=O,当X趋近于+oo时，g(x)趋近于0,

所以曲线y=/(χ)与直线y=1有且仅有两个交点，即曲线y=g(χ)与直线y=-^~有两个交点的充分必

Ina

要条件是0<皿<1,这即是O<g(α)<g(e).

ae

所以”的取值范围是(l,e)u(e,+8).

5.(2021年全国新高考I卷数学试题)已知函数/(x)=x(I-InX).

⑴讨论/(x)的单调性；

(2)设。，6为两个不相等的正数，^.b∖na-a∖nb=a-h,证明：2<'+'<e.

ab

【答案】(I)∕(χ)的递增区间为(0,1),递减区间为(1,+8);(2)证明见解析.

【分析】(1)函数的定义域为(0,+8),

又/、'(X)=I-Inx-I=-InX'

当Xe(0,1)时，∕,(x)>0.当x∈(l,+oo)时，∕,(x)<0,

故/(x)的递增区间为(0,1),递减区间为(1,+8),

(2)因为blɪiɑ-alnb=a-b,故Z?(Ina+l)=α(in6+1),即In“十="!,

ab

szθ≈z(⅛

设L=X],!=々，由(I)UJ知不妨设0<玉<1，》2>1-

ah

因为Xe(0,1)时，/(x)=x(l-lnx)>0,Xe(e,+oo)时，/(x)=x(l-lnx)<0,

故1<巧<e.

先证：xi+x2>2,

若/22,%+%>2必成立.

若》2<2,要证：x1+X2>2,即证须>2—X?，而0<2-々<1，

故即证/(xj>∕(2-%2)，即证：/(X2)>/(2-X2)>其中ICX2<2.

设g(x)=∕(x)-∕(2τ),l<x<2,

则g'(x)=∕,(x)+∕,(2-x)=-l∏x-ln(2-x)=-ln[x(2-x)],

因为l<x<2,故0<x(2-x)<l,故-InX(2-x)>0,

所以g'(x)>0,故g(x)在(1,2)为增函数，所以g(χ)>g⑴=0,

故/(x)>∕(2-x),即/(彳2)>/(2-X2)成立，所以x∣+∕>2成立，

综上，%>2成立.

设x2=tx],贝h>1,

结合用"+1=,L=X可得：χl(l-lnx1)=x,(I-Inx2),

abab

即：I-Inxl=/(1-In/-InxJ,故In%~-~LIH£,

/—1

要证：xl+x2<e,即证(r+l)X]<e,即证Ina+1)+InX1<1,

即证：Ina+l)+∙^-------—<1,即证：(/—1)1∏(∕+1)-/In/<0,

t—1

令S(f)=(I)In¢+1)TlnGf>1,

t-↑

则S'(∕)=Ina+1)H-------I-InZ=In

先证明一个不等式：ln(x+l)<x.

设“(X)=In(X+1)-X则ι√(x)=

,,

当-1<X<O时，M(x)>0i当X〉0时，M(x)<0,

故MX)在(τ,o)卜一为增函数，在(o,+8)上为减函数,t⅛w(x)max=«(0)=0,

故In(X+l)≤x成立

由上述不等式可得当t>l时，In(I+1)≤}<SJ,故S'(f)<O恒成立,

故S(∕)在(l,+∞)上为减函数，故S(f)<S(l)=O,

故Q-I)In(/+1)-Hnf<0成立，即XJ+x2<e成立.

综上所述，2<'+L<e.

ah

6.(2021年全国新高考2卷数学试题)已知函数/(x)=(x-l)e'—OX?+b.

(1)讨论“X)的单调性；

(2)从下面两个条件中选一个，证明：/(x)有一个零点

2

1e

®—<a<一,b>2a∖

22

②0<α<1,6≤2α.

2

【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.

【解析】

【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论确定函数的单调性即可;

(2)由题意结合(1)中函数的单调性和函数零点存在定理即可证得题中的结论.

【详解】⑴由函数的解析式可得：/'(X)=M"-2。)，

当α≤0时,若x∈(τo,0),则/'(x)<0j(x)单调递减,

若Xe(O,+s),则/'(x)>0J(x)单调递增：

当O<α<g时，若xe(-g,ln(2")),则/(x)>0J(x)单调递增，

若XW(In(2α),0),则/'(x)<0,∕(x)单调递减，

若X€(0,+吟,则尸(x)〉OJ(X)单调递增;

当α=g时，/'(X)NOJ(X)在&上单调递增：

当α>g时，若Xe(TX),0),则r(x)>0J(x)单调递增，

若Xe(O,ln(2α)),则/'(x)<0J(x)单调递减，

⅛x∈(ln(2a),+∞),则/(x)>0J(x)单调递增;

(2)若选择条件①：

由于]<a,5，故l<2α≤e2,则b>24>l,/(O)=6-1