第二章逻辑代数基础-2

10三月2024第二章逻辑代数基础12.3逻辑代数的公式2.3.1基本公式（定律）

1.自等律A+0=AA·1=A2.吸收律A+1=1A·0=03.重叠律

A+A=AA·A=A4.互补律5.还原律A=AA+A=1A·A=06.交换律A+B=B+AA·B=B·A节目录标题区10三月2024第二章逻辑代数基础27.结合律A+B+C=(A+B)+C=A+(B+C)A·B·C=(A·B)·C=A·(B·C)8.分配律

A·(B+C)=AB+ACA+BC=(A+B)·(A+C)9.反演律A+B=A·BAB=A+B基本公式的正确性可以用列真值表的方法加以证明；对同一基本公式左、右两列存在对偶关系。节目录标题区A⊕B=A⊙B10三月2024第二章逻辑代数基础3*异或、同或逻辑的公式（补充）

1.异或运算符、同或运算符互为对偶（反演）运算符2.多个变量的异或、同或之间的关系(1)偶数个变量的异或、同或互补(2)奇数个变量的异或、同或相等A1⊕A2⊕…

⊕An=A1⊙A2⊙

…

⊙

An

(n为偶数)A1⊕A2⊕…

⊕An=A1⊙A2⊙

…

⊙

An

(n为奇数)节目录标题区10三月2024第二章逻辑代数基础43.多个常量的异或、同或运算(1)异或时，起作用的是“1”

的个数（奇1得1）0⊕0=00⊕0⊕0=0

1⊕1=01⊕1⊕1=1

(2)同或时，起作用的是“0”

的个数（奇0得0）

0⊙0=10⊙0⊙0=0

1⊙1=11⊙1⊙1=1节目录标题区10三月2024第二章逻辑代数基础52.3.2常用公式1.合并相邻项公式AB+AB=A2.消项公式A+AB=A3.消去互补因子公式A+AB=A+B4.多余项（生成项）公式AB+AC+BC=AB+AC证明：AB+AC+BC=AB+AC+(A+A)BC=AB+AC+ABC

+ABC=AB+AC节目录标题区10三月2024第二章逻辑代数基础62.4逻辑运算的基本规则2.4.1代入规则：

适用于等式设F1(x1,x2,…,xn)=F2(x1,x2,…,xn)，令x1=G，则F1(G,x2,…,xn)=F2(G,x2,…,xn)例：已知AB+AB=A若令G=AB,H=CD并把等式两边的A、B分别用函数G、H代替，则有：ABCD+ABCD=AB节目录标题区10三月2024第二章逻辑代数基础72.4.2反演规则：用于求反函数F

F

·

+

1

0

A

A+

·

0

1A

A注意：

(1)与运算优先或运算，若有括号，先算括号内(2)不属于单个变量上的非号，在变换时应保留节目录标题区常用关系式：(1)F=F；(2)若F=G，则F=G；反之也成立。10三月2024第二章逻辑代数基础8例1：若F=AB+CD，试用反演规则求反函数F。例2：若F=A+B+C·D，试用反演规则求反函数F。解：F=A·BC+D解：F=(A+B)

·(C+D)节目录标题区10三月2024第二章逻辑代数基础92.4.3对偶规则：用于等式的证明F

F′

·

+

1

0

+·

0

1注意：(1)与运算优先或运算，若有括号，先算括号内(2)不属于单个变量上的非号，在变换时应保留节目录标题区常用关系式：(1)(F′)′=F；(2)若F=G，则F′=G′；反之也成立。10三月2024第二章逻辑代数基础10将F′中的变量原反互换后即可得到F；将F中的变量原反互换后即可得到F′。F

F

·

+

1

0

A

A+·

0

1A

AF

F′

·

+

1

0

+·

0

1节目录标题区反演与对偶规则比较：10三月2024第二章逻辑代数基础111.最小项、最小项表达式

最小项的概念一个真值表可能对应多个一般与或式，但只对应一个标准与或式，即最小项表达式。节目录标题区2.5逻辑函数的标准形式最小项是一个乘积项，在该乘积项中逻辑函数的所有变量都要以原变量或反变量的形式出现一次，而且只能出现一次。

最小项的表示三变量函数F(A,B,C)，ABC和ABC是两个最小项。10三月2024第二章逻辑代数基础12例1：已知三变量函数F(A,B,C)，则ABC就是一个最小项，通常写成m5。其中，m表示最小项，5表示最小项的编号ABC(101)2

(5)10

例2：已知四变量函数F(A,B,C,D)，则BACD就是一个最小项，其最小项编号为多少？解：把最小项中的变量从左到右按A,B,C,D的顺序排列，得ABCD，从而得(0111)2，即(7)10。节目录标题区所以，此最小项的编号为7，通常写成m7。10三月2024第二章逻辑代数基础132.最小项表达式（标准与或式）例：节目录标题区函数的最小项表达式是指每个与项都是最小项的与或表达式，也称标准与或式。n个变量，可以构成多少个最小项？

n变量，共有：2n

个最小项。①对任何一个最小项，只有一组变量的取值组合，使它的值为1。10三月2024第二章逻辑代数基础14ABCABC00000010010001101000101111001110

能使最小项的值为1的取值组合，称为与该最小项对应的取值组合。

例：101ABC。若把与最小项对应的取值组合看成二进制数，则对应的十进制数就是该最小项的编号i。节目录标题区3.最小项的性质10三月2024第二章逻辑代数基础15②全部最小项之和恒等于1。即：③任意两个最小项的乘积恒等于0。即：节目录标题区10三月2024第二章逻辑代数基础16即：

④任一最小项与另一最小项非之积恒等于该最小项，证明：若自变量的取值组合使mi=1(有且只有一组)，则mj=0，于是：

：若自变量的取值组合使mi=0(其余2n

-1组)，则：所以，等式成立。节目录标题区10三月2024第二章逻辑代数基础17证明：，即上述关系式成立。节目录标题区根据最小项的性质1:对任何一个最小项，只有一组变量的取值组合，使它的值为1。

若自变量的取值组合使则：若自变量的取值组合使则：⑤

若，则。10三月2024第二章逻辑代数基础18证明：根据反演规则和对偶规则之间的关系可知，F中的原、反变量互换，即得到F′。所以，F和F′中包含的最小项的个数是相等的，且对应的最小项的编号之和为(2n-1)。即上述关系式成立。节目录标题区⑥

若，则,。10三月2024第二章逻辑代数基础19例1：若则解：解：例2：若则节目录标题区10三月2024第二章逻辑代数基础203.写最小项表达式的方法两种方法解：F(A,B,C)=AB(C+C)=ABC+ABC节目录标题区由一般表达式写出最小项表达式的方法公式法：利用A+A=1变换

真值表法例.将式变换为最小项表达式。10三月2024第二章逻辑代数基础21ABF001010101110解：最小项表达式：=m0+m2F(A,B)=AB+AB表2.5.2例2.5.3试将表2.5.2真值表所表示的逻辑函数分别用最小项表达式和最大项表达式表示。节目录标题区由真值表写出最小项表达式的方法最小项表达式是真值表中所有使函数值为1的取值组合所对应的各最小项之和。10三月2024第二章逻辑代数基础222.6逻辑函数的化简为什么要化简？——化简的意义（目的）简化电路结构，节省元器件；提高工作可靠性最简与或式或者最简或与式

(1)项数最少(2)每项中的变量数最少

节目录标题区化简成什么形式？——化简的目标最简的标准？化简的方法？(1)公式法(2)卡诺图法10三月2024第二章逻辑代数基础231.与或式的化简(1)相邻项合并法利用合并相邻项公式:AB+AB=A例2：F=A(BC+BC)+A(BC+BC)=A例1：F=AB+CD+AB+CD=A+D=(AB+AB)+(CD+CD)节目录标题区2.5公式法化简10三月2024第二章逻辑代数基础24(2)消项法=AB利用消项公式A+AB=A

或多余项公式AB+AC+BC=AB+AC例1：F=AB+ABC+ABD=AB+AB(C+D)例2：F=AC+CD+ADE+ADG=AC+CD节目录标题区10三月2024第二章逻辑代数基础25(3)消去互补因子法利用消去互补因子公式A+AB=A+B例1：F=AB+AC+BC=AB+C=AB+ABC例2：F=AB+AB+ABCD+ABCD=AB+AB+CD(AB+AB)=AB+AB+CD节目录标题区10三月2024第二章逻辑代数基础26(4)拆项法利用互补律A+A=1，把某乘积项拆为2项，再利用前面的公式化简节目录标题区例：F=AB+BC+BC+AB

=AB+BC+(A+A)BC+(C+C)AB=(AB+ABC)+(BC+ABC)+(ABC+ABC)=AB+BC+AC10三月2024第二章逻辑代数基础27(5)添项法利用重叠率A+A=A，把某项拆为2项，再利用前面的公式化简节目录标题区

=(ABC+ABC)+(ABC+ABC)=AB+BC例：

F=ABC+ABC+ABC10三月2024第二章逻辑代数基础28结论：先找公共因子，再找互补因子

合并相邻项公式AB+AB=A

消项公式A+AB=A

消去互补因子公式A+AB=A+B

多余项（生成项）公式AB+AC+BC=AB+AC节目录标题区(6)综合法综合运用上述定理、规则及公式进行化简10三月2024第二章逻辑代数基础292.或与式的化简方法：二次对偶法F或与式（未化简）与或式（进行化简）或与式（已化简）F′F节目录标题区解：F′=ABC+ABC例：把F(A,B,C)=(A+B+C)(A+B+C)化为最简或与式。=ABF=(F′)′=A+B10三月202