高考二轮复习文科数学试题（老高考旧教材）考点突破练2三角变换与解三角形

考点突破练2三角变换与解三角形一、选择题1.(2023山东潍坊一模)已知角α在第四象限内,sin2α+3π2=12,则sinα=(A.12 B.12C.2-642.(2023江西赣州一模)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a,b,c成等差数列,且C=2(A+B),则ba=(A.75 B.32 C.533.(2022北京,10)在△ABC中,AC=3,BC=4,∠C=90°.P为△ABC所在平面内的动点,且PC=1,则PA·PB的取值范围是(A.[5,3] B.[3,5]C.[6,4] D.[4,6]4.(2023四川南充南部中学模拟)已知sinθ+sinθ+π3=1,则cosπ3+2θ=()A.33 B.33 C.135.(2023四川内江一模)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知B=π3,bcsinA=8sinB,a=4,则b=(A.4 B.23 C.27 D.226.已知0<β<π4<α<π2,且sinαcosα=55,sinβ+π4=45,则sin(α+β)=A.31010 B.155 C.157.(2023四川南充二模)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若b2+c2=2023a2,则2sinBsinCtanA.2021 B.2022 C.2023 D.20248.魏晋南北朝时期,中国数学的测量学取得了长足进展.刘徽提出重差术,应用中国传统的出入相补原理.因其第一题为测量海岛的高度和距离,故题为《海岛算经》.受此题启发,某同学测量某塔的高度.如图,点D,G,F在水平线DH上,CD和EF是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度,称为“表高”,测得以下数据(单位:米):前表却行DG=1,表高CD=EF=2,后表却行FH=3,表距DF=61.则塔高AB为()A.60米 B.61米 C.62米 D.63米9.(2023四川凉山二模)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.命题p:1-tan2A21+tan2A2+bcos(A+A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件10.(2023广东茂名一模)在下列四个函数中,最小正周期与其余三个函数不同的是()A.f(x)=cos2x+sinxcosxB.f(x)=1C.f(x)=cosx+π3+cosxπ3D.f(x)=sinx+π6cosx+π611.(2023山西名校联考改编)将函数f(x)=sinx(sinx+3cosx)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到g(x)的图象,则下列说法不正确的是()A.g(x)的图象关于直线x=2πB.g(x)的图象关于点7π6,C.g(x)在[0,π]上的值域为[0,1]D.g(x)的图象可由y=cosx的图象向右平移2π3个单位长度,再向上平移112.(2023辽宁本溪名校联考)若sinθ1-cosθ=2,则A.5 B.43C.2 D.413.(2023贵州铜仁二模)在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c2=a(a+b),则sinA的取值范围是()A.0,22 B.12,2C.12,32 D.0,314.(2023四川成都二模)在△ABC中,已知AD=2DC,AC=3BC=3,sin∠BDC=3sin∠BAC,则△ABC的面积为()A.16 B.13 C.23二、填空题15.(2023广东湛江一模)cos70°-cos20°16.已知2sinα=5cosα,则sin2α+cos2α=.

17.(2023陕西咸阳名校联考)已知函数f(x)=3cos(x+θ)sin(x+θ)π2≤θ≤π2是奇函数,则θ=.

18.(2023江西赣州一模)已知锐角三角形ABC的内角A,B,C的对应边依次记为a,b,c,且满足cb=2bcosA,则sin(C+B)+2cos2(AB)的取值范围为.

19.如图,某直径为55海里的圆形海域上有四个小岛.已知小岛B与小岛C相距5海里,cos∠BAD=45,则小岛B与小岛D之间的距离为海里;小岛B,C,D所形成的三角形海域BCD的面积为平方海里.20.(2023河南南阳二模改编)锐角三角形ABC是单位圆的内接三角形,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a2+b2c2=4a2cosA2accosB,则a=.

考点突破练2三角变换与解三角形1.D解析由sin2α+3π2=cos2α=12,得cos2α=1所以sin2α=1-cos2α2=34.又因为角α在第四象限内,所以sin2.C解析由C=2(A+B),A+B+C=π,得C=2π3,由a,b,c成等差数列,得2b=a+c,由余弦定理,得cosC=a2+b2-c22ab,即12=a2+b2-(2b-a)22ab,整理得3.D解析如图所示,以点C为坐标原点,CA,CB分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,则C(0,0),A(3,0),B(0,4).∵PC=1,∴可设P(cosθ,sinθ),θ∈[0,2π),∴PA·PB=(3cosθ,sinθ)·(cosθ,4sinθ)=3cosθ4sinθ+sin2θ+cos2θ=15sin(θ+φ),其中tanφ=34,∵1≤sin(θ+φ)≤1,∴4≤PA·PB≤4.C解析sinθ+sinθ+π3=32sinθ+32cosθ=332sinθ+12cosθ=3sinθ+π6=1,∴sinθ+π6=33,则cosπ3+2θ=cos2π6+θ=12sin2θ+π6=123=13.5.B解析∵bcsinA=8sinB,由正弦定理得bca=8b,∴ca=8,又a=4,∴c=2.由余弦定理b2=a2+c22accosB=16+42×4×2×12=12,得b=23,故选B6.D解析因为sinαcosα=55,所以sinαπ4=1010,因为π4<α<π2,所以cosαπ4=31010.因为0<β<π4,sinβ+π4=45,所以cosβ+π4=35,所以sin(α+β)=sinαπ4+β+π4=107.B解析因为b2+c2=2023a2,则根据正弦定理和余弦定理有2sinBsinCtanAsinA=2sinBsinCsi8.D解析∵EF为表高,∴EF⊥BH,同理CD⊥BH.根据三角形的性质可得,△EFH∽△ABH,△CDG∽△ABG,则3BH∵BH=BD+DF+FH=BD+64,BG=BD+1,∴3BD+64=1BD+1,解得BD=30.5,BG=31.5.9.D解析由正弦定理,得1-tan2A21+tan2A2+bcos(A+C)a=cos2A2-sin2A2cos2A2+sin2A2-sinBcosBsinA=cosAsinBcosBsinA=sin2A-sin2B2sinA=0,∴sin2A=sin2B.∵0<A<π,010.C解析对于选项A,f(x)=1+cos2x2+12sin2x=22sin2x+π4+12,∴T=π;对于选项B,要使函数有定义,则sinx≠0且cosx≠0,f(x)=1-(1-2sin2x)2sinxcosx=2sin2x2sinxcosx=tanx,∴T=π;对于选项C,f(x)=12cosx32sinx+12cosx+32sinx=cosx,∴T=2π;11.C解析对于A,∵f(x)=sinx(sinx+3cosx)=sin2x+3sinxcosx=1-cos2x2+32sin2x=sin2xπ6+12,∴g(x)=sin12×2xπ6+12=sinxπ6+12,将x=2π3代入g(x)中,即g2π3=sin2π3-π6+12=32,则g(x)的图象关于直线x=2π3对称,故A正确;对于B,∵g7π6=sin7π6-π6+12=12,故g(x)的图象关于点7π6,12对称,故B正确;对于C,当x∈[0,π]时,xπ6∈π6,5π6,sinxπ6∈12,1,sinxπ6+12∈0,32,故C错误;对于D,y=cosx的12.A解析sinθ1-cosθ=2sinθ2cosθ∴1+2sin2θ+3cos2θ1-2sin2θ+3cos2θ=si13.B解析由c2=a(a+b),得c2=a2+ab,由余弦定理得c2=a2+b22abcosC,∴a2+ab=a2+b22abcosC,即b=a+2acosC,由正弦定理得sinA+2sinAcosC=sinB,∵B=π(A+C),∴sinA+2sinAcosC=sinB=sinAcosC+cosAsinC,即sinA=sin(CA).∵c2=a2+ab,∴c>a,∴CA>0,又三角形ABC为锐角三角形,∴0<A<π2,0<CA<π2,∴A=CA,解得C=2A,又0<A<π2,0<B=π3A<π2,0<C=2A<π2,∴π6<A<π4,∴sinA∈14.D解析如图,由AD=2DC,得DC=13AC,因为AC=3BC=3,所以BC=DC=1,AD=2,又因为sin∠BDC=sin(π∠BDA)=sin∠BDA=3sin∠BAC,所以在△BDA中,由正弦定理可得AB=3BD,在△ABC中,由余弦定理可得BC2=AB2+AC22AB·AC·cos∠BAC,即1=9BD2+918BD·cos∠BAC,在△ABD中,由余弦定理可得BD2=AB2+AD22AB·AD·cos∠BAC,即BD2=9BD2+412BD·cos∠BAC,②①②联立解得BD=63,cos∠BAC=7618,所以AB=6,sin∠BAC=3018,所以S△ABC=12AB·AC·sin∠BAC=15.2解析cos70°-cos2016.2429解析因为2sinα=5cosα,所以cosα≠0,tanα=52,所以sin2α+cos2α=17.π3解析f(x)=3cos(x+θ)sin(x+θ)=2cosx+θ+π6,由f(x)是奇函数,得θ+π6=π2+kπ,k∈Z,解得θ=π3+kπ,k∈Z,∵π2≤θ≤π18.2,3+32解析由正弦定理,cb=2bcosA,即为sinCsinB=2sinBcosA,即sin(A+B)sinB=2sinBcosA,整理得sin(AB)=sinB,因为在锐角三角形ABC中,A,B∈0,π2,AB∈π2,π2,所以AB=B,则A=2B,A+B>π2,又因为A+B+C=180°,A=2B,C=180°3B<90°,B>π6,所以π6<B<π4.因为sin(C+B)+2cos2(AB)=sinA+2cos2B=sin2B+cos2B+1=2sin2B+π4+1,因为π6<B<π4,所以π3<2B<π2,所以7π12<2B+π4<3π4,所以22<sin2B+π4<6+24,所以2<2sin2B+π4+1<3+319.3515解析∵圆的内接四边形对角互补,∴cosC=cos(πA)=cosA=45,sinC=1-cos2C=35,在△BCD中,由正弦定理得在△BCD中,由余弦定理得(35)2=CD2+522·CD·5·45,整理得CD28CD20=0,(CD+2)(CD1