2023届高考二轮总复习试题数学（文）练习18利用导数求参数的值或范围含解析

考点突破练18利用导数求参数的值或范围

1.(2022-全国甲∙文20)已知函数7(x)=x3-x,g(x)=x2+α,曲线>寸了)在点(xι√(xι))处的切线也是曲线y=g(x)的切

线.

⑴若XI=-I,求a∙,

(2)求α的取值范围.

2.(2022•辽宁抚顺一模)已知函数兀ι)=e2i+(1-2")e'-0r.

⑴讨论函数T(X)的单调性；

⑵当α=l时,若Vx>0,都有货x)√V)W-f-(m+2)x,求实数m的取值范围.

1

3.(2022-四川泸州三模)已知函数Mr)=WX3+ar,α∈R

⑴讨论函数段)的单调性；

(2)若g(x)=∕(x)∙e，有且只有一个极值点,求实数a的取值范围.

4.已知函数y(x)=x2-InH

⑴求函数兀V)在x=l处的切线方程；

(2)若qAx)+eκ∕x>O,求实数a的取值范围.

5.(2022•北京东城二模)已知y(x)=x+^-+alnx(α∈R).

⑴当a=l时,求曲线y=∕U)在点(ItAl))处的切线方程；

⑵当x∈[e,+8)时,曲线)，=危)在X轴的上方,求实数a的取值范围.

6.(2022•山东济宁一模)已知函数√U)=αv2-XInR,“，0),曲线y=J(x).

⑴当α=l时,求曲线)，力U)在点(IJAl))处的切线方程；

(2)若不等式於)≤0对任意XG(O,+S)恒成立,求实数a的取值范围.

考点突破练18利用导数求参数的值或范围

L解(1)V∕(X)=3X2-1,Λ∕(-1)=2.

当即二-1时tA-l)=O,

故丁力(%)在点61,())处的切线方程为y=2x+2∙

又y=2x+2与y=g(x)相切,将直线y=2x+2代入g(x)=x2+α,得x2-2x+a-2=0.

由∕=4-4(o-2)=0,得a=3.

(2)∙.∕ɑ)=3x2-l,∙Vr(X])=3蜡-1,则曲线y=√(x)在点3√Uι))处的切线为y-(君-M)=(3瓷-I)(X-XD,

整理可得y=(3*∙l)x∙2片.

由g(ι)=∙d+。,得g,(x)=2x.

设曲线y=g(X)在点(x2,g(x2))处的切线为y-(底+。)二级2(『尢2),整理得y=2x2x-X2÷^∙

由题可得管勺1=2?

[-2%ι=α-%29

.".a-X2-2xγ=^(9%1-8xf-6xf+1).

令〃(Xl)=9xf-8琦-6%ι+1,则Λ,(x∣)=36%ι-24*-12Λ∣=12X∣(X∣-1)(3X∣+1).

当\|<[或0<*1<1时,/?'(XI)<0,此时函数y=∕Gι)单调递减;当t<xι<。或x∣>l时"(xι)>0,此时函数

y=G(xι)单调递增.则〃($=豢?(0)=1,〃(1)=-4,.'.〃(不标=/7(1)=-4,.'.心*-1，即a的取值范围为[-1,+8).

2.解(1)由已知得函数40的定义域为R,

则F(X)=2e2x+(l-2α)ex-α=(2ejc+l)(ex-α).

由于2e'+l>0,从而当α<0时/(x)>0恒成立,故函数7U)在R上单调递增.

当a>0时,由/(x)>0,解得Λ>ln4;由八x)<0,解得x<lnα,从而函数«r)在(In4,+s)上单调递增,在(-0>,Inα)

上单调递减.

综上,当t∕≤0时,函数/U)在R上单调递增；

当a>0时√(x)在(Inα,+co)上单调递增,在(-8,Inα)上单调递减.

(2)当a=l时,由⑴得2βx)-f(x)=-er-2x+l.

当x>0时,不等式4(%)/00μ-/-(/72+2)%可化为m<eɪ.

设g(3⅛i,则

设A(x)=eA-x-l,W⅛,(x)=ex-l.

因为x>0,所以"(x)>0,因此〃㈤在(0,+8)上单调递增,所以或r)>∕7(0)=0,即e"*l>0,

得g(∕)在(0,1)上单调递减,在(1,+8)上单调递增，

所以g(x)2g(l)=e-2.

因此机We-2,得实数m的取值范围为(-8,e-2].

3.解(1)由题意∕f(x)=-x2+4,当tι≤0时/(x)W0恒成立，

∙*∙∕(X)在(・8,+8)上单调递减；

当a>0时,由/(x)=-χ2+q>o,得-逐vχ<v0,

则X%）在（∙√H,迎）上单调递增,在（-8广荷）,（仿,+00）上单调递减.

（2）g（x）=fix）∙ex=ɪ3+αx'e∖g'（x）=（-#・/+奴+〃）∙e".

「Na）有且只有一个极值点,.∙.g'α）只有一个变号零点.

由（・$?4+办+〃）∙e"=0,得a*：：（χ≠-l）,当χ=-l⅛,（-^x3-x1+ax+a-eVO.

^X(□2+3X+3)

—X^+,

令h(x)^χ+1(x≠-1Yh(x)=.由∕f(x)>O,得x>0.又x≠-l,

.•・/心)在(・8,・1)上单调递减,在(・1,0)上单调递减,在(0,+8)上单调递增.

当X=O时例工)取得极小值力(O)=O,画出∕z(x)的图象如图.

由g(x)=O只有一个变号零点,.∙.αvθ,

Ja的取值范围是(-8,0).

4.解⑴定义域为(0,+8M(X)=ZrT,则F(I)=I力1)=1,

故切线方程为y-l=x∙l,即x-y=O.

(2)(方法一)记F(x)=ex2-elnx+ev-αr,

由尸(1)20,得e-0+e-020,即a≤2e.

下面证明6Z≤2e时,q∕(x)+ev-0r20.

当β≤2e时,由Λ>0,F(x)≥e%2-elnx+eλ-2ex,

令G(x)=ex2-elnx+ev-2ex,

贝UG,(x)=2e^-^+ev-2e=2e(x-1)+^ex-，，

当χ∈(0,l)时,GQr)vO;当x∈(l,+8)时,G'(x)>0,

所以Ga)在(0,1)上单调递减,在(1,+8)上单调递增,G(x)2G(l)=0,即F(x)≥G(x)≥0.

综上可知,实数。的取值范围为(∙8,2e].

(方法二)由条件得eχ2-elnx+ev-Qκ20,X>0,所以《方丝-elnx+e,记_ex-elnx÷e^

XX

则Fa)=(2ex9+e")x-(e∕-elnx+铲)=e(7-i-)e^eltu:

当x∈(0,1)时尸(X)V0；当x∈(l,+oo)时,P(x)>0,

所以F(X)在(0,1)上单调递减,在(1,+8)上单调递增,F(x)min=F(I)=2e,则实数α的取值范围为(-oo,2e].

5.解(1)函数7U)的定义域为(0,+α)).

当4=1时J(X)=X+[+In//(兀)=1・9+m

所以内)=3∕(l)=0∙

所以曲线y守(九)在点(1次1))处的切线方程为y=3.

(2)当a≥O时,由X£[e,+8),得/(x)>O,故曲线y=√i>)在x轴的上方.

当a<O时/(x)=l岑+≡=(X"+2α)

令∕r(x)=O,得X=-2”或α(舍去).

当X变化时/(x)向V)的变化情况如下.

X(O,Q)_________-2a(-2a,+∞)

-0-^+

极小值/

当-24We,即eWa<0时<x)在[e,+α>)上单调递增，

/)宓e)=e+手+W(α+9+⅛>O,

Cc∖4TZO

即曲线y=∕U)在X轴的上方.

当∙20>e,即α<-∙∣时於)在[e,∙2α)上单调递减,在(-2α,+8)上单调递增,则βx)^β-2a)=-3a+aln(-2a).

33

由∙34+αln(∙20)>O,解得。>三，所以三<〃<-].

综上,实数α的取值范围为(《,+8).

2

6.解(1)当a=l时<x)=x<dnx+2l∕(l)=3,

所以∕U)=2x-lnx-"(l)=l,所以曲线y=√(x)在点(1√(1))处的切线方程为y-3=x-l,即x-y+2=0.

(2)f(x)=2ax-↑nX-I,令g(x)=2ax-∖nX-I(X>0),

贝I]g'(x)=2α-=卓士

①当a>0时JU)=α+[>0与/(X)WO恒成立矛盾,不合题意.

②当a<0时,g'(x)<O∕(x)在(0,+8)上单调递减.

因为f(e,)^2ae'<0f(e2a^1)=2a(e2a-1-1)X),

所以现∈(e2(1"e∣),使得/5))=2的-In如1=0,即α=粤里.所以当x∈(O,xo)时/(x)>O√U)单调递增;当X

2

∈(项,+8)时/(x)<0√U)单调递减.所以/U)max="诏-XOInXo+-=等吐1Xo-Xoln⅜)+l1=

QZXQɪɪɪʌθɪɪ

2xO

端第*W0