2023-2024学年北京西城区北师大二附中高三（上）期中数学试题及答案

2023北京北师大二附中高三（上）期中

数学

一、单选题（共10小题；共40分）

1.已知集合A={止2<x<3},3={中〉0},则（）

A.[-2,3]B.[0,3]C.(0,+")D.[-2,+oo)

2.复数z=/一的共辗复数彳=()

1+1

A.1-iB.1+i

11.11.

C.--------1D.—+—1

2222

3.已知向量a=(租,1),。二(一1,2).若〃〃人，则机=()

1

A.2B.1C.-1D.——

2

4.下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递减的是()

A./(x)=sinxB./(x)=2^

Cj(x)=/+xD./(x)=g(er—e)

5.记cos(-80°)=左，那么tanl00°=

A.J-/B._'J*c.D.--T=^

kkyl-kyjl-k

6.已知两点4-2,0),5(0,2),点C是圆九2+y2—4%+4y+6=。上任意一点，贝।ABC面积的最小值

是()

A.8B.6c.3+V2D.4

7,函数/（x）=COS（0X+?）的部分图像如图所示，则"X）的单调递减区间为

13

A.(k兀——,k7i+-),keZB.(2左万——，2左»+―),左EZ

4444

1313

C.(k—,k-\—),keZD.(2k——,2k+—),keZ

4444

8.若x〉0,y〉0,则“x+2y=2/斤”的一个充分不必要条件是

A.x=yB.x=2y

C.%=2且y=lD.%=>或y=l

9.已知函数/（无）=；-示匕，/'（x）是Ax）的导函数，则下列结论正确的是（）

A.f（-x）-f（x）=0

B.ru）<o

C.若。<为<无2，则%/（%2）>%27"（七）

D.若。<玉<%,则y（xj+y（x2）〉/（芯+々）

10.设数列｛%｝的前〃项和为S",若对任意的正整数”，总存在正整数加，使得s“=a,"，下列正确命题

的个数是（）

①｛4｝可能为等差数列；

②｛4｝可能为等比数列；

③卬。22）均能写成｛%｝的两项之差；

④对任意〃eN,〃\1.总存在相£]^,m21.使得=Sm.

A.0B.1C.2D.3

二、填空题（共5小题：共25分）

11.函数/（X）=log2（l-X）+Vx的定义域是.

12.已知04=。，OB=b，|<9A|=5,|OB|=12,ZAOB=90°,贝U£-匕=.

13.能够说明>x+1恒成立”是假命题的一个元的值为.

14.《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著，被誉为人类科学史上应用数学的最早

巅峰.全书分为九章，卷第六“均输”有一问题：“今有竹九节下三节容量四升，上四节容量三升问中间二节

欲均容各多少?”其意思为：“今有竹9节，下3节容量4升，上4节容量3升使中间两节也均匀变化，每节

容量是多少?”这一问题中从下部算起第5节容量是升.（结果保留分数）

x+2.x<-a.

15.设。〉0,函数/（x）=|，。2-%,一4三%三。,,给出下列四个结论：

-Vx-1,X><2.

①/a）在区间（。-L+8）上单调递减；

②当。21时，/（X）存在最大值；

③设河（西,"玉））（芯<tz）,A^（x2,/（x2））（x2>a）,则

④设尸（鼻,/（演））（不<-«）,2（^4>/（X4））（X4-~a）-若IPQI存在最小值，则。的取值范围是

其中所有正确结论的序号是.

三、解答题（共6小题：共85分）

16.在A3C中，2asin3=

（1）求出

（2）若/,=28，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得ABC存在且唯一确定，求ABC的

面积.

条件①：cosC=一边@；

10

条件②：（2=2;

条件③：sinB=-

5

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

17.已知以点A（-1,2）为圆心的圆与直线机：x+2y+7=0相切，过点3（-2,0）的动直线/与圆/相交于

M>N两点.

（1）求圆N的方程；

（2）当MN=2j历时，求直线/的方程.

18.某校设计了一个实验学科的实验考查方案；考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独

立完成全部实验操作，规定：至少正确完成其中2题便可通过.已知6道备选题中考生甲有4题能正确完

2

成，2题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是且每题正确完成与否互不影响，求：

（1）分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望；

（2）试用统计知识分析比较两考生的实验操作能力.

19.小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固

定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本为W（x）万元.在年产量不足8万件时，

W（x）=,x2+x万元；在年产量不小于8万件时，W（x）=6x+UW—38万元，每件产品售价为5

3x

元.通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完.

（1）写出年利润L（x）万元关于年产量x万件的函数解析式；（注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成

本）

（2）年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？

1+a

20.已知函数/(x)=x—alnx,(a>0).

x

(1)若a=l,求函数/(x)的极值；

(2)设函数〃(％)=/(%)-g(x),求函数丸⑴的单调区间；

(3)若存在e],使得/(%0)<8(兀)成立，求a的取值范围.

21.已知｛%｝为无穷递增数列，且对于给定的正整数总总存在i,j,使得,其中i〈九令

bk为满足％Wk的所有i中的最大值，ck为满足句>k的所有)中的最小值.

(1)若无穷递增数列｛4｝的前四项是1,2,3,5,求〃和C4的值；

(2)若｛为｝是无穷等比数列，％=1,公比4是大于1的整数，&<仇=々，。3=。4,求4的值；

(3)若｛4｝是无穷等差数列，％=1,公差为工，其中加为常数，且根〉l,meN*,求证：

m

伪力2，.,4,一和J。2，,Ck,都是等差数列，并写出这两个数列的通项公式.

参考答案

一、单选题(共10小题；共40分)

1.【答案】D

【分析】利用并集的定义可求得集合AuB.

【详解】因为集合4={42。＜3},5={小〉0},因此，2,+s).

故选：D.

2.【答案】B

【分析】先利用复数的除法得到复数z,再求共辗复数.

【详解】解：因为复数z=二一,

1+1

22(l-i)

所以z=---=-----=l—i,

1+i(l+i)(l-i)

所以彳=l+i,

故选：B

3.【答案】D

【分析】由两向量共线直接列方程求解即可

【详解】因为a=(因=(—1,2),且a〃b，

所以」rri=—1,解得机1=-:，

-122

故选：D

4.【答案】D

【分析】根据函数的奇偶性，基本初等函数的单调性，逐项判断即可.

【详解】对于A,函数〃x)=sinx为奇函数，但在定义域R上函数不单调，故A不符合；

对于B,〃司=州的定义域为R,/(-x)=2H=2H=/(%),则〃x)=2国为偶函数，故B不符

合；

对于C,/(X)=%3+X的定义域为R,/(-x)=-x3-%=-/(%),则“X)=d+X为奇函数，又函数

y=/,丁=%在R上均为增函数，故=+X在R上为增函数，故C不符合；

对于D,/(力=3(尸_巧的定义域为口，/(-%)=1(ex-e-")=-/(%),则/为

奇函数，又函数丫=b在R上为减函数，y=e，在R上为增函数，故/'(x)=；(e-*—e")在R上为减函

数，故D符合.

故选：D.

5.【答案】B

【详解】cos(—80°)=左，

cos80=%,从而sin80=71-cos280=^1-k2，

“sin80J—2

.-.tan80=--------=---------，

cos80k

Ji_P

那么tanlOO=tan(180-80)=-tan80=---------，

k

故选B.

6.【答案】D

【分析】求出圆心坐标和半径，可得圆心到直线的距离，求得圆上的点到直线A3距离的最小值，从而得

三角形面积最小值.

【详解】解：圆一+丁―4x+4y+6=0即(x—2)2+(y+2)2=2,

，圆心(2,—2),半径是厂=行.

直线AB的方程为x—y+2=0,

|2+2+2|

圆心到直线AB的距离为^一—=3血，

V2

直线AB和圆相离，

点C到直线AB距离的最小值是3血_r=3血一0=2血，

A5C的面积的最小值为20x2及><工=4

2

故选：D.

7.【答案】D

171

—Q)+(P=—

A9jrjr

【详解】由五点作图知，｛:；,解得0=%,9=—,所以/(x)=cos(%x+—),令

53乃44

—a>+(p=——

42

1Q-]

2k兀<7rx—<2k兀+肛左eZ,解得2k—<x<2k—，左eZ,故单调减区间为(2k—,

4444

3._

2kH—■),左eZ,故选D.

4

考点：三角函数图像与性质

8.【答案】C

【详解】；x>Q,y>Q,

：.x+2y>2^2xy,当且仅当x=2y时取等号.

故"x=2,且y=1”是“x+2y=2J语”的充分不必要条件.选C.

9.【答案】D

【分析】根据函数的奇偶性概念判断A,根据导函数值域判断B,利用特例法排除选项C,利用指数运算

及指数函数的单调性结合不等式的性质即可判断D.

1__1_2X-1

【详解】对于A,易知xeR

2，+1-2(2*+1)

-xx

所以/(一元)=—2-1*=♦i』-2，所以/(f)=-/(x),错误;

112XIn2

对于B,因为/(%)=彳一=,所以r(%)=ky

22+1(2X+1)

由山2>0知r(x)>0,错误；

对于C,/(1)=-/(2)=1-^—=—,

22+16222+110

虽然0<1<2,©>lx/(2)<2x/(l),

故对。<再<%,%/(%2)>X2/(尤1)不恒成立，错误；

112X-1

对于D,函数f(x)

22+2

oxi_1_1,再+巧_1

贝玉)+f(X2)=-----------+------------，/(再+%2)=------7-------，

八"V-)2(2"'+1)2(2%+1)v12(2**+1)

因为%>不>。，所以2*〉2国〉1，所以2%(2*—1)>2也一1>0,

所以2*计工2+1>2为+2为，所以2・2A*+2>2'计爸+2X,+2*+1,

21

即2(2-+*+1)>⑵+1)(2七+1),所以⑵+1)(2“1)>广三，

2(2%1+X2-1)232_1

以(2』+1)(2*+1)>2>也+］，

又(2.一1)(2热+1)+(2*—1乂2』+1)=2(2为+起-1),

匕广,,(2%-1)(2*+1)+(29-1)(2%+1)2X>+也-1

所以--------------------------->-------,

(2.+1)(29+1)2%+整+1

匕一,(2%-1)(29+1)+(2也-1)(2X|+1)2工计也-1

所以---------------------------->---------

2(2』+1)(2*+1)2(2*也+1)

2'1-12也一123+也-1

即Hn-------+-------->----------,

2(2%+1)2(29+1)2(2』+*+1)

所以/'(XiH"%)〉"再+”)，正确.

故选：D

10.【答案】C

［分析】对于①,取an=n,可知①正确;对于②,当｛4｝的公比q=1,“22时，S"=%不存在正整数m,当

qw1时，S"=%即1+q++=q"i无有理数根,可知②错误；对于③,根据an=Sn-Sn_1（"22）,可

知③正确；对于④取数列an=n,显然不存在m，使得S„,=%=2，故④不正确.

【详解】对于①，取等差数列4=〃，易验证其满足要求，①正确.

对于②，若｛4｝为等比数列，设公比为4,显然q=1不满足要求，

考虑q丰1的情况,依题意,应有S“+i=,S2n+2=ain2,

即l+q+q2++q“=qg

1+q+q2++q2n+l=（1+q+q"++0）（1+</川）=q"。，

两式相除，得l+q'M=q股叫.

n+l,,+2

若同>1,则取〃为奇数,那么q〉0,所以qS-a\q|,

所以］=q也一叫_q"I/*-qn+'=同向（|同一1）.

当〃足够大时,显然不成立；

若则■叫丁«0,即。:+<，

因为@<i〈百，所以当足够大时，

（一

可以使1+0用€，故也不成立.从而知②错误；

I即

对于选项③，取九=2,则q+%=%,，所以=M一。2，

当〃2时，an=S”-S,T=a叫-dg,故③正确.

对于选项④，取数歹U4=n,显然不存在a,使得Sm=%=2,故④错误.

故选：C

二、填空题(共5小题：共25分)

11.【答案】［0,1)

【分析】根据对数型函数的定义域，结合二次根式的性质进行求解即可.

1-%>0

【详解】由题意可知：<cnOKx<l,

［%>0

所以该函数的定义域为［0,1),

故答案为：［0,1)

12.【答案】13

【分析】根据向量减法几何意义，向量模的定义，结合勾股定理计算.

【详解】由题意A08是直角三角形，1_"=网=62+122=13,

故答案为：13.

13.【答案】0

【分析】不等式e*〉x+l恒成立等价于6工-x-1〉0恒成立，因此可构造函数/(x)=e、-x-1,求其最

值，从而找到命题不成立的具体值.

【详解】设函数/(x)="—x—1,则有

f\x)=ex-l,

当xe(—8,0)时，有/'(x)<0,Ax)单调递减；

当xe(0,+oo)时，有了'(x)〉0,/(x)单调递增；

故x=0为最小值点，有/(x)N/(0)=0.

因此，当x=0时，命题不能成立.故能够说明“"〉x+l恒成立”是假命题的一个x的值为0

【点睛】说明一个命题为假命题，只需举出一个反例即可，怎样找到符合条件的反例是关键.在处理时常

要假设命题为真，进行推理，找出命题必备条件.

14.【答案】g

66

【分析】记从下部算起第〃节的容量为,可知数列｛4｝为等差数列，利用等差数列通项公式可构造关

于的方程组，解方程组求得后，利用通项公式可求得为.

【详解】记从下部算起第〃节的容量为％,,

由题意可知：数列｛%｝为等差数列，设其公差为d,

f_95

则a1+。。+W+3,d=4….，解得：66；，

%+%+为+为=

4%+26d=3d-7-----

.•.%=q+4d="，即从下部算起第5节容量是2升.

6666

故答案为：——.

66

15.【答案】②③

【分析】先分析/(X)的图像，再逐一分析各结论；对于①，取a=g,结合图像即可判断；对于②，分

段讨论/(x)的取值范围，从而得以判断；对于③，结合图像可知|MN|的范围；对于④，取结合

图像可知此时|PQ|存在最小值，从而得以判断.

【详解】依题意，。〉0,

当x<—。时，/(x)=x+2,易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线；

当-aWxWa时，f(x)=y/a2-x2,易知其图像是，圆心为(0,0),半径为a的圆在x轴上方的图像

(即半圆)；

当为〉a时，/(x)=-V^-l,易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线；

对于①，取a=g,则的图像如下，

显然，当xe(a—l,+oo),即；,+oo］时，/(x)在1―g,。］上单调递增，故①错误;

对于②，当。21时，

当x<—Q时，/(x)=x+2<-di+2<l；

当一。<xKa时，〃x)=二3显然取得最大值a；

当X>a时，f=—y［x—1<—yju—1<—2,

综上：/(X)取得最大值a,故②正确；

对于③，结合图像，易知在玉=。，/>。且接近于尤=a处,

M(^,/(%1))(%!<a),>。)的距离最小，

当Xi=a时，y=/(xJ=O,当/且接近于无=。处，y2=f(x2)<-Va-l,

此时，|阿|>%-%>6+1>1，故③正确；

因为。(七"(%3)乂尤3<-。)，。(%4，/(%4»(%4

结合图像可知，要使忙。|取得最小值，则点？在/(x)=x+2(x<—上，点Q在

同时|「。|的最小值为点0到/(x)=x+2,<的距离减去半圆的半径。，

此时，因为〃工)=丁=工+21<—，的斜率为1,则％,=—1,故直线。尸的方程为》=一了,

y=-x(x=-l/、

联立c，解得，，则PT,1,

y=x+2[y=l、)

显然尸(T,l)在〃x)=x+21<—上，满足「。|取得最小值，

即a=g也满足「0存在最小值，故。的取值范围不仅仅是[o,g,故④错误.

故答案为：②③.

【点睛】关键点睛：本题解决的关键是分析得“X)的图像，特别是当-aWxWa时，f(x)=y/a2-x2

的图像为半圆，解决命题④时，可取特殊值进行排除即可.

三、解答题（共6小题：共85分）

_37T

16.【答案】（1）A或A=—

44

（2）答案见解析.

【分析】（1）由正弦定理边化角可得sinA=受，即可求出结果;

2

（2）若选①：根据已知可得C为钝角，则A为锐角，sinC=独O〉sinA，三角形唯一，根据两角和

10

的正弦公式可求出sinB=正，根据正弦定理求出。的值，根据SABc=^absinC即可求出面积；若选

52

②：根据正弦定理可求出sin3=l,B为直角，三角形唯一确定，可求出C=A,即可求出

1Q

SABC=-ac=2；若选③：由sinA〉sin3,可知4=：或4=学,有两解.

【小问1详解】

由2asin8=可得，2sinAsinB=J^sinB.

因为sinBwO,所以sinA=正，又0<4<兀，所以A或A=^

244

【小问2详解】

若选①：cosC=

10

因为0<C<7l,所以。为钝角，A为锐角,

又sinC=Vl-cos2C=^j^->sinA=sin（7i-A）>

71

又一<71—所以C<71—A,即A+C<71,所以ABC存在且唯一确定.

2

则A=i，由A+5+C=TI可得_6=兀一（A+C）.

sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=~^~xV23V10V5

H---X-----=---

2105

,.42血X交

ab,bsmA7入匚

根据正弦定理可得，a=~~-j==2,5

sinAsinBsinCsinBV5

T

所以s"C=ga沙sinC=gx2百义2也义^^=6；

若选②：a=2.

因为匕=2血〉。，所以4=，由正弦定理上-="-可得，.DbsinA2也乂方〔，

4sinAsinBsinB=------=-----^=1

a2

TT

因为0<B〈兀，所以3:一，所以4BC存在且唯一确定.

2

JT]

则。=兀一A—JB=—=A,所以C=Q=2,SABC=_ac=2；

42

若选③：sinB=—.

5

因为sinA=Y2>sin3,所以/>B,此时4=?或A=里，

244

所以，此时ABC存在但不唯一.

17.【答案】（1）（x+l『+（y—2『=20

（2）1=-2或3%-4>+6=0

【分析】（1）根据题意结合点到直线的距离公式求圆的半径，即可得圆的方程；

（2）先求圆心到直线/的距离，在结合点到直线的距离公式求直线/的斜率，注意讨论直线/的斜率是否存

在.

【小问1详解】

点A（-l,2）到直线m：x+2y+7=0的距离为d=[=26，

a+22

即圆/的圆心A（-l,2）,半径厂=2百，故圆N的方程为（x+l『+（y—2『=20.

【小问2详解】

设圆心4-1,2）到直线/的距离为"，则儿W=2，/—a?，解得d=l，

当直线/的斜率不存在时，则/:x=-2,此时圆心4-1,2）到直线/的距离为d=l,符合题意，成立；

当直线/的斜率存在时，设为左，则/:y=k（x+2）,即Ax-y+2左=0,

3

解得

直线/：3x—4y+6=0；

综上所述：直线/的方程为x=—2或3x—4y+6=0.

18.【答案】（1）甲分布列见解析，E4）=2；乙分布列见解析，E（〃）=2；

（2）答案不唯一，见解析.

【分析】（1）由题意可知，甲、乙两位考生正确完成实验操作的题数分别服从超几何和二项分布，分别列

出分布列，计算均值即可；

(2)结合分布列中的数据，分别计算对应的均值、方差及至少正确完成2题的概率比较即可.

【小问1详解】

设考生甲正确完成实验操作的题数为J,则J的取值范围是{L2,3},

C1C21C2cl3C3C01

==P(^=2)=-^=-,%=3)=-^=丁

所以占的分布列为

123

j_3j_

P

555

131

则E(^)=lx-+2x-+3x-=2.

设考生乙正确完成实验操作的题数为〃，易知〃〜

所以9=。)=如一||$，P(〃=I)=C；||J1|J=|，

“〃=2)=%；1|",叫=3)=q|j吟.

所以〃的分布列为

70123

1248

P

279927

所以E(〃)=3xg=2.

【小问2详解】

1312

由(1),知E(J)=E(〃)=2,D(^)=(1-2)2X-+(2-2)2X-+(3-2)2X-=-,

D(7)=3x-xfl-->|=-,P(^>2)=-+-=-,P(7>2)=-+—=—.

3I3j3555592727

所以£>G)<D(〃),P^>2)>P(rj>2),

故从正确完成实验操作的题数的均值方面分析，两人水平相当；

从正确完成实验操作的题数的方差方面分析，甲的水平更稳定；

从至少正确完成2题的概率方面分析，甲通过的可能性更大.因此甲的实验操作能力较强.

1

——x9+4x—3,0<x<8

19.【答案】（1）£（%）=<

35."一

,x>8

(2)年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润是15万元

【分析】(1)根据已知，分0<x<8以及x»8,分别求解，即可得出函数解析式;

(2)分为0<x<8以及x»8两种情况，根据二次函数的性质以及基本不等式，即可得出答案.

【小问1详解】

因为每件产品售价为5元，则x(万件)商品销售收入为5x万元，依题意得:

当0<x<8时，=5%—+xj—3=——%2+4x—3,

当x»8时，L（x）=5x-f6x+--38j-3=35-L+—

1

-—x9+4x-3,0<%<8

L（x）=<

【小问2详解】

i9

当0<%<8时，£（%）=—1（%—6）+9<9,

当x=6时，L(x)取得最大值9；

当x28时，L(x)=35-^x+—^<35-2^x—=15,

此时，当兀="%■=10时，L(x)取得最大值15〉9.

x

综上所述，年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润是15万元.

20.【答案】(1)极小值为1,无极大值

(2)单调递增区间为(1+。,+8),单调递减区间为(0,1+a).

【分析】(1)研究/(x)=x-Inx的单调区间，进而求出/(x)的极值；(2)先求〃'(x),再解不等式

〃(x)>0与/(x)<0,求出单调区间，注意题干中的。〉0的条件；(3)先把题干中的问题转化为在

%e[l,e]上有<0,再结合第二问研究的A(x)的单调区间，对°进行分类讨论，求出不同范围

下的求出最后结果

【小问1详解】

1X—]

当a=l时，/(%)=x-lnx,定义域为(0,+功，=1——=----

xx

令/'(x)=0得：x=l,当x〉l时，fx0,/(x)单调递增；当0<x<l时，r(x)<0,单

调递减，故x=l是函数/(%)的极小值点，/(x)的极小值为/(1)=1,无极大值

【小问2详解】

A(x)=/(x)-g(x)=x-alnx+^-^(fi!>0),定义域为(。,+°°)

x"ax1a(x+l)(x-1-a)

A7X)=1---1±^

XX

因为a〉0,所以l+a〉0,令〃(x)>0得：x>\+a,令〃(x)<0得：0<x<l+a,所以〃(x)在

(l+a,+co)单调递增，在(0,1+a)单调递减.

综上：〃(x)单调递增区间为(l+a,+s),单调递减区间为(0,1+a).

【小问3详解】

存在尤0©[1,e],使得/(毛)<g(x())成立，等价于存在x()e[l，e],使得/?(/)<0,即在xe[l,e]

上有

由(2)知，〃(x)单调递增区间为(l+a,+s),单调递减区间为(O,l+a),所以

当l+a»e,即a2e-l时，丸(x)在xe[l,e]上单调递减，故/?(%)在x=e处取得最小值，由

|1+1n4B/+1,,/+1

咽盥=()=-