勾股定理及其应用课件2025-2026学年人教版八年级数学下册

第二十章勾股定理20.1勾股定理及其应用第二十章勾股定理20.1勾股定理及其应用第1课时勾股定理目录页讲授新课当堂练习课堂小结新课导入学习目标1.经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理的一些文化历史背景，会用面积法来证明勾股定理，体会数形结合的思想.（重点）2.会用勾股定理进行简单的计算.（难点）新课导入教学目标教学重点新课导入其他星球上是否存在着“人”呢？为了探寻这一点，世界上许多科学家向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等.据说我国著名的数学家华罗庚曾建议“发射”一种勾股定理的图形(如图).很多学者认为如果宇宙“人”也拥有文明的话，那么他们一定会认识这种语言，因为几乎所有具有古代文化的民族和国家都对勾股定理有所了解.讲授新课典例精讲归纳总结

相传2500年前，一次毕达哥拉斯去朋友家作客，发现朋友家用砖铺成的地面反映直角三角形三边的某种数量关系，同学们，我们也来观察右面的图案，看看你能发现什么？讲授新课一、勾股定理的认识及证明ABC

问题1

图中正方形A、B、C所围成的等腰直角三角形三边之间有什么特殊关系？

以等腰三角形两直角边为边长的小正方形的面积和，等于以斜边为边长的大正方形的面积.即等腰直角三角形的三边之间有一种特殊的关系：斜边的平方等于两直角边的平方和.发现：问题2

在网格中一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形A、B、C

是否也有类似的面积关系？观察下边两幅图(每个小正方形的面积为单位1)：这两幅图中A,B的面积都好求，该怎样求C的面积呢？方法1：补形法(把以斜边为边长的正方形补成各边都在网格线上的正方形）：左图：右图：方法2：分割法(把以斜边为边长的正方形分割成易求出面积的三角形和四边形）：左图：右图：你还有其他办法求C的面积吗？根据前面求出的C的面积直接填出下表：

思考正方形A、B、C所围成的直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系？SA+SB=SCA的面积B的面积C的面积左图右图413259169命题1如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边长为c,那么a2+b2=c2.

由上面的几个例子，我们猜想：abc下面的动图形象的说明了命题1的正确性，让我们跟着以前的数学家们用拼图法来证明这一猜想.

我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦.图1称为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作法时给出的.

弦股勾图1勾股定理的证法1：abbcabca

让我们跟着我国汉代数学家赵爽拼图,再用所拼的图形证明命题吧.abc∵S大正方形＝c2，S小正方形＝(b-a)2,∴S大正方形＝4S三角形＋S小正方形，赵爽弦图b-a证明：

“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲.因此，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽.

毕达哥拉斯证法，请先用手中的四个全等的直角三角形按图示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧.勾股定理的证法2：aaaabbbbcccc∴a2+b2+2ab=c2+2ab，∴a2+b2=c2.证明：∵S大正方形=(a+b)2=a2+2ab+b2,S大正方形=4S直角三角形+S小正方形

=4×

ab+c2=c2+2ab，aabbcc∴a2+b2=c2.如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证：a2+b2=c2.（提示：3个三角形的面积之和=梯形的面积）勾股定理的证法3：

如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.勾股定理：abc归纳总结分清斜边和直角边．因为在Rt△ABC中，a，b，c是三边，所以可以用勾股定理解决问题．例1

在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c.(1)已知a＝b＝6，求c；

(2)已知c＝3，b＝2，求a；(3)已知a∶b＝2∶1，c＝5，求b.导引：二、勾股定理的简单运用CAB(1)∵∠C＝90°，a＝b＝6，∴由勾股定理，得(2)∵∠C＝90°，c＝3，b＝2，∴由勾股定理，得(3)∵∠C＝90°，a∶b＝2∶1，∴a＝2b.

又c＝5，由勾股定理，得(2b)2＋b2＝52，

解得b＝解：【变式题】

在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长.解：本题斜边不确定，需分类讨论：当AB为斜边时，如图，当BC为斜边时，如图，43ACB43CAB图图归纳：当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜边，这种情况下一定要进行分类讨论，否则容易漏解.例2

已知∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=6,BC=8.求CD的长.解：由勾股定理可得

AB2=AC2+BC2=100，即AB=10.根据三角形面积公式，∴

AC×BC=AB×CD.∴CD=.ADBC68

归纳：由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积，它常与勾股定理联合使用．当堂练习当堂反馈即学即用1.下列说法中,正确的是（）A.已知a,b,c是三角形的三边，则a2+b2=c2B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方C.在Rt△ABC中，∠C=90°,所以a2+b2=c2D.在Rt△ABC中，∠B=90°,所以a2+b2=c2C当堂练习2.

若一个直角三角形的两直角边的长分别为a，b，斜边长为c，则下列关于a，b，c的关系式中不正确的是(

)A．b2＝c2－a2B．a2＝c2－b2C．b2＝a2－c2

D．c2＝a2＋b2C3.

设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c.(1)已知a=6，c=10，则b=

.

(2)已知a=5，b=12，则c=

.

(3)已知c=17，b=15，则a=

.

81384.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为

.8cm10cm36cm²5.求下列图中未知数x、y的值：解：由勾股定理，得81+144=x2，

解得x=15.解：由勾股定理，得

y2+144=169，

解得

y=56.如图，在△ABC中，AD⊥BC，∠B=45°，∠C=30°，AD=1，求△ABC的周长．解：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°．在Rt△ADB中，∵∠B+∠BAD=90°，∠B=45°，∴∠B=∠BAD=45°，∴BD=AD=1，∴AB=

．在Rt△ADC中，∵∠C=30°，∴AC=2AD=2，∴CD=

，

∴BC=BD+CD=1+，∴△ABC的周长=AB+AC+BC=．7.

观察如图所示的图形，回答问题：(1)如图①，△DEF为直角三角形，正方形P的面积为9，正方形Q的面积为15，则正方形M的面积为________；

(2)如图②，分别以直角三角形ABC的三边长为直径向三角形外作三个半圆，则这三个半圆形的面积之间的关系式是______；(用图中字母表示)(3)如图③，如果直角三角形两直角边的长分别为3和4，分别以直角三角形的三边长为直径作半圆，请你利用(2)中得出的结论求阴影部分的面积．24S1＋S2＝S3(1)24

(2)S1＋S2＝S3(3)设两个小半圆形的面积分别为S1，S2，大半圆形

的面积为S3，三角形的面积为S△，则S阴影＝S1＋S2＋S△－S3＝S△＝×3×4＝6.解：本例考查了勾股定理及正方形的面积公式，半圆形面积的求法，解答此类题目的关键是仔细观察所给图形，面积与边长、直径有平方关系，就很容易联想到勾股定理．以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，等腰直角三角形等，都具有相同的结论：S1+S2=S3,即两直角边上图形面积的和等于斜边上的图形面积．总结：课堂小结归纳总结构建脉络课堂小结勾股定理内容在Rt△ABC中，

∠C=90°,a,b为直角边，c为斜边，则有a2+b2=c2.注意在直角三角形中看清哪个角是直角已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论第二十章勾股定理20.1勾股定理及其应用第2课时勾股定理的应用目录页讲授新课当堂练习课堂小结新课导入学习目标1.会运用勾股定理求线段长及解决简单的实际问题.

（重点）2.能从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型，利用勾股定理建立已知边与未知边长度之间的联系，并进一步求出未知边长.（难点）新课导入教学目标教学重点新课导入数学来源于生活，勾股定理的应用在生活中无处不在，观看下图，你们能帮他们将鱼缸装进电梯吗？讲授新课典例精讲归纳总结讲授新课问题观看下面同一根长竹竿以三种不同的方式进门的情况，对于长竹竿进门之类的问题你有什么启发？一、勾股定理的简单实际应用这个跟我们学的勾股定理有关，将实际问题转化为数学问题例1

一个门框的尺寸如图所示，一块长3m,宽2.2m的长方形薄木板能否从门框内通过?为什么?2m1mABDC解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，AC2=AB2+BC2=12+22=5因为AC大于木板的宽2.2m,所以木板能从门框内通过.

分析：可以看出木板横着，竖着都不能通过，只能斜着.门框AC的长度是斜着能通过的最大长度，只要AC的长大于木板的宽就能通过.解：可以看出，BD=OD-OB.

在Rt△AOB中，根据勾股定理，OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1.∴OB==1.

在Rt△COD中，根据勾股定理，OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15.

OD=≈1.77,BD=OD-OB≈l.77-1=0.77.

所以梯子的顶端沿墙下滑0.5m时，梯子底端并不是也外

移0.5m，而是外移约0.77m.例2

如图,一架2.6m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4m.如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.5m吗？利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：（1）读懂题意，分析已知、未知间的关系；（2）构造直角三角形；（3）利用勾股定理等列方程；（4）解决实际问题.归纳总结数学问题直角三角形勾股定理实际问题转化构建利用决解1.一池塘的两端有A、B两点，从与BA方向成直角的BC方向上的点C测得CA=13米,CB=12米,则AB为()ABCA.5米B.12米C.10米D.13米1312?A练一练2.如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，小鸟至少飞行(

)A．8米

B．10米

C．12米

D．14米BCAB3.如图，学校教学楼前有一块长为4米，宽为3米的长方形草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“径路”，却踩伤了花草.（1）求这条“径路”的长；（2）他们仅仅少走了几步(假设2步为1米)？解：(1)在Rt△ABC中，根据勾股定理，得∴这条“径路”的长为5米.（2）他们仅仅少走了

(3+4-5)×2=4(步).别踩我,我怕疼!A21-4-3-2-1-123145二、利用勾股定理求两点距离例3

如图，在平面直角坐标系中有两点A(-3,5),B(1,2)求A,B两点间的距离.yOx3BC解：如图，过点A作x轴的垂线,过点B作x,y轴的垂线.相交于点C,连接AB.∴AC=5-2=3，BC=3+1=4，在Rt△ABC中，由勾股定理，得∴A,B两点间的距离为5.方法总结：两点之间的距离公式：一般地，设平面上任意两点ABA'ABBAO想一想：蚂蚁走哪一条路线最近？蚂蚁A→B的路线问题：在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想沿侧面从A处爬向B处，蚂蚁怎么走最近？BA根据两点之间线段最短易知第三个路线最近.

三、求实际中的最短距离的应用若已知圆柱体高为12cm，底面半径为3cm，π取3.BA3O12侧面展开图123πABA'A'解：在Rt△ABA′中，由勾股定理得归纳：立体图形中求两点间的最短距离，一般把立体图形展开成平面图形，连接两点，根据两点之间线段最短确定最短路线.例4

如图所示的长方体的高为8cm，底面是长为10cm，宽为6cm的长方形．一只蚂蚁从顶点A出发沿长方体的表面爬到顶点B.求：(1)蚂蚁经过的最短路程；

(1)蚂蚁爬行的最短路线可放在平面内，根据“两点之间，线段最短”去探求，而与顶点A，B相关的两个面展开共

有三种方式，先根据勾股定理求出每一种方式下蚂蚁

爬行的最短路程，从而可知蚂蚁经过的最短路程．导引：BB18AB2610B3AB12=102+（6+8）2=296，AB22=82+（10+6）2=320，AB32=62+（10+8）2=360，解：由题意知有三种展开方法，如图.由勾股定理，得∴AB1＜AB2＜AB3.∴小蚂蚁完成任务的最短路程为AB1，长为.当堂练习当堂反馈即学即用1.如图，从电线杆上离地面5m的C处向地面拉一条长为7m的钢缆，则地面钢缆A到电线杆底部B的距离是（）A.24mB.12mC.mD.mD2.如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm，则这只铅笔的长度可能是（）A.9cmB.12cmC.15cmD.18cmD3.如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C

的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A

爬到点B，需要爬行的最短距离是(

)A．5

B．25

C．10＋5

D．35B4.已知点(2,5),(-4,-3),则这两点的距离为_______.105.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于55cm，10cm和6cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？BAABC解：台阶的展开图如图，连接AB.在Rt△ABC中，根据勾股定理得AB2=BC2＋AC2＝552＋482＝5329,∴AB=73cm.课堂小结归纳总结构建脉络课堂小结勾股定理的应用用勾股定理解决实际问题用勾股定理解决点的距离及路径最短问题20.1勾股定理及其应用第二十章勾股定理第3课时利用勾股定理作图目录页讲授新课当堂练习课堂小结新课导入学习目标会运用勾股定理确定数轴上表示实数的点及解决网格问题.（重点）新课导入教学目标教学重点新课导入欣赏下面海螺的图片：在数学中也有这样一幅美丽的“海螺型”图案，如第七届国际数学教育大会的会徽.这个图是怎样绘制出来的呢？讲授新课典例精讲归纳总结讲授新课-101

23问题1你能在数轴上画出表示的点吗？呢？用同样的方法作呢？一、勾股定理与数轴提示：可以构造直角三角形作出边长为无理数的边，就能在数轴上画出表示该无理数的点.

我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示

的点吗？

如果能画出长为

的线段，就能在数轴上画出表示

的点.容易知道，长为

的线段是两条直角边的长都为1的直角三角形的斜边.那么长为

的线段能是直角边的长为正整数的直角三角形的斜边吗？

利用勾股定理，可以发现，直角边的长为正整数2,3的直角三角形的斜边长为

.由此，可以依照如下方法在数轴上画出表示

的点.

如图,在数轴上找出表示3的点A，则OA=3,过点A作直线l垂直于OA，在l上取点B，使AB=2,以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示

的点.01234lABCO也可以使OA=2，AB=3，同样可以求出C点.利用勾股定理表示无理数的方法:（1）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边.（2）以原点为圆心，以无理数斜边长为半径画弧与数轴存在交点，在原点左边的点表示是负无理数，在原点右边的点表示是正无理数.归纳总结“数学海螺”类似地，利用勾股定理可以作出长为线段.11类比迁移

例1

如图，数轴上点A所表示的数为a，求a的值.解：∵图中的直角三角形的两直角边长为1和2，∴斜边长为，即－1到A的距离是，∴点A所表示的数为.易错点拨：求点表示的数时注意画弧的起点不从原点起，则所表示的数不是斜边长.二、勾股定理与网格画一画

在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在给定网格中以A出发分别画出长度为的线段AB．BBB

例2

在如图所示的6×8的网格中，每个小正方形的边长都为1，写出格点△ABC各顶点的坐标，并求出此三角形的周长．解：由题图得A(2,2),B(-2,-1),C(3,-2).由勾股定理得∴△ABC的周长为归纳：勾股定理与网格的综合求线段长时，通常是把线段放在与网格构成的直角三角形中，利用勾股定理求其长度.ABCA′B′C′例3证明：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.已知：如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′,AC=A′C′.求证：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′证明：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°根据勾股定理，又AB=A′B′,AC=A′C′，∴BC=B′C′∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（SSS）三、勾股定理与在几何问题中的应用例4

如图，在△ABC中，∠C＝60°，AB＝14，AC

＝10.求BC的长．解：如图，过点A作AD⊥BC于D.∵∠ADC＝90°，∠C＝60°，∴CD＝

AC＝5.

在Rt△ACD中，AD

在Rt△ABD中，BD∴BC＝BD＋CD＝11＋5＝16.例5

如图，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的F点处，若AB=8cm，BC=10cm，求EC的长.DABCEF解：在Rt△ABF中,由勾股定理，得BF2=AF2－AB2=102－82=36，∴BF=6cm.∴CF=BC－BF=4.设EC=xcm，则EF=DE=(8－x)cm

，在Rt△ECF中,根据勾股定理得

x2+42=(8－x)2，解得x=3.即EC的长为3cm.要用到方程思想例6

如图，四边形ABCD中∠A=60°，∠B=∠D=90°，AB=2，CD=1，求四边形ABCD的面积．解：如图，延长AD、BC交于E．∵∠B=90°，∠A=60°，∴∠E=90°－60°=30°，在Rt△ABE和Rt△CDE中，∵AB=2，CD=1