2024年福建省高考数学试卷(文科)

2024年福建省高考数学试卷（文科）

一、选择题：本大题共12小题,每小题5分，共60分.

I.（5分）（2024•福建）若（l+i）+（2-3i）=a+bi（a,bGR,i是虚数单位），则a,b的

值分别等于（）

A.3,-2B.3,2C.3,-3D.-1,4

2.（5分）（2024•福建）若集合M={x-2WxV2},N={0,I,2},则McN=（

A.{0}B.{1}C.{0,I,2}D.{0,1}

3.（5分）（2024•福建）下列函数为奇函数的是（）

A.y=VxB.y=exC.y=cosxD.y=ex-ex

4.（5分）（2024•福建）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为1,

则输出y的值为（）

A.2B.7C.8D128

5.（5分）（2024•福建）若直线工+寺=1（a>0,b>0）过点（1,1）,则a+b的最小值等于

）

A.2B.3C.4D.5

6.（5分）（2024•福建）若sina=--",则a为第四象限角，则tana的值等于（）

13

C.巨D.-A

・4卡1212

7.（5分）（2024•福建）设7=（1,2）,b=（1,1）,^=7+kE若E1W，则实数k的值等

于（）

A.・aB.-6c.$»a

2332

8.（5分）（2024•福建）如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为（1,0）,且

x+1,x>0

点C与点D在函数f（x）=11«,八的图象上，若在矩形ABCD内随机取一点,

-yX+1,X<0

乙

则此点取自阴影部分的概率等于（）

y

A.1.B.-1c.3D.工

6482

9.（5分）（2024•福建）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（）

俯视图

A.8+2沈B.11+2沈C.14+2&D.15

x+y>0

10.（5分）（2024•福处）变量x,y满意约束条件，x-2y+2〉0,若z=2x-y的最大值为

mx-y<0

2,则实数m等于（）

A.-2B.-1C.1D.2

22

U.（5分）（2。24•福建）已知椭圆E：个土―）的右焦点为F,短轴的一个端

点为M,直线1：3x-4y=0交椭圆E于A,B两点，若AF；+|BF|=4,点M到直线1的距

离不小于则椭圆E的离心率的取值范闱是（）

5

12.（5分）（2024•福建）“对随意x€（0,—）»1«1|^85*<乂"是"1<<1"的（）

2

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.

13.（4分）（2024•福建）某校高一年级有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分

层抽样的方法，从该年级学生中抽取•个容量为45的样本，则应抽取的男生人数

为•

14.（4分）（2024•福建）在ZXABC中，AC=%，ZA=45°,ZC=75%则BC的长度

是

15.（4分）（2024•福建）若函数f（x）（a£R）满意f（1+x）=f（1-x）,且f（x）

在［m,+8）上单调递增，则实数m的最小值等于.

16.（4分）（2024•福建）若a,b是函数f（x）=x2-px+q（p>0,q>0）的两个不同的零

点，且a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q

的值等于.

三、解答题：本大题共6小题，共74分.

17.（12分）（2024•福建）等差数列｛加｝中,a2=4,a4+a7=15.

（I）求数列｛an｝的通项公式:

（II）设bn=2"+n,求5i+b2+b3+...+bio的值.

18.（12分）（2024•福建）全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合

指标，依据相关报道供应的全网传播2024年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台"融合指

数的数据，对名列前20名的"省级H视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如表所示：

组号分组频数

1[4,5)2

2[5,6)8

3[6,7)7

4[7,8]3

（1）现从融合指数在［4,5）和［7,8］内的“省级R视新闻台”中随机抽取2家进行调研，求

至少有I家的融合指数在［7,8］内的概率；

（2）依据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台〃的融合指数的平均数.

19.（12分）（2024•福建）已知点F为抛物线E：y2=2px（p>0）的焦点，点A（2,m）在

抛物线E上,且物F|=3,

（I）求抛物线E的方程；

（II）已知点G（-1,0）,延长AF交抛物线E于点B,证明：以点F为圆心且与直线GA

相切的圆，必与直线GB相切.

20.（12分）（2024•福建）如雪，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A,B的点，PO

垂直于圆O所在的平面，且PO=OB=1,

（I）若D为线段AC的中点，求证：ACJ•平面PDO；

（n）求三棱锥P-ABC体积的最大值：

（in）BC=V2，点E在线段PB上，求CE+OE的最小值.

p

21.(12分)(2024•福建)已知函数f(x)=lO\/3sin^cos—+IDcos2—.

222

(I)求函数f(x)的最小正周期：

(H)将函数f(x)的图象向右平移三个单位长度，再向下平移a(a>0)个单位长度后

6

得到函数g(x)的图象，且函数g(x)的最大值为2.

(i)求函数g<x)的解析式；

(ii)证明：存在无穷多个互不相同的正整数xo,使得g(xo)>0.

22.(14分)(2024•福建)已知函数f(x)=lnx-——.

2

(I)求函数f(x)的单调增区间：

(D)证明；当x>l时，f(x)<x-1；

(DI)确定实数k的全部可能取值，使得存在XO>1,当'£(1,xo)时，恒有f(x)>k

(x-1).

2024年福建省高考数学试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.

1.（5分）（2024•福建）若（l+i）+（2-3i）=a+bi（a,b£R,i是虚数单位），则a,b的

值分别等于（）

A.3,-2B.3,2C.3,-3D.-1,4

【分析】由复数的加法运算化简等式左边，然后由实部等于实部，虚部等于虚部求得a,b

的值.

【解答】解：由（l+i）+（2-3i）=3-2i=a+bi,

得a=3.b=-2.

故选：A.

【点评】本题考查复数的加法运算及复数相等的条件，是基础题.

2.（5分）（2024•福建）若集合M={x|-2WxV2},N={0,1,2},则Mr»N=（）

A.{0}B.{1}C.{0,1,2}D.{0,1}

【分析】干脆利用交集及其运算得答案.

【解答】解：由乂=乐|-2WxV2）,N=[0,1,2],

得MnN={x|-2WxV2}c{0,I,2}={0,1}.

故选：D.

【点评】本题考查了交集及其运算，是基础题.

3.（5分）（2024•福建）下列函数为奇函数的是（）

A.y=VxB.y=exC.y=cosxD.y=ex-ex

【分析】依据函数奇偶性的定义进行推断即可.

【解答】解：A.函数的定义域为[0,+8）,定义域关于原点不对称，故A为非奇非偶函数.

B.函数y=ex单调递增，为非奇非偶函数.

C.y=cosx为偶函数.

D.f（-x）=ex-ex=-（ex-e'x）=-f（x）,则f（x）为奇函数，

故选：D

【点评】本题主要考查函数奇偶性的推断，依据函数奇偶性定义是解决本题的关键.

4.（5分）（2024•福建）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为1,

则输出y的值为（）

9-x2

【分析】模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是求y=的值，从而得解.

2Xx>2

，9一xx<2

【解答】解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是求y=的值，

2Xx>2

若X=1

不满意条件xA2,y=8

输出y的值为8.

故选：C.

【点评】本题主要考查了程序框图和算法，正确得到程序框图的功能是解题的关键，属于基

础题.

5.(5分)(2024•福建)若直线工+q=1(a>(),b>0)过点(1,1),则a+b的最小值等于

()

A.2B.3C.4D.5

【分析】将(1,1)代入直线得：工+工=1,从而a+b=(1+1)(a+b),利用基本不等式求

abab

出即可.

【解答】解：•・•直线三千1(a>0,b>0)过点(1,1),

.\i+A=i(a>0,b>0),

ab

所以a+b=(工+工)(a+b)=2_也+且22+2但■2=4,

ababVab

当且仅当旦&即a=b=2时取等号，

ab

，a+b最小值是4,

故选：C.

【点评】本题考察了基本不等式的性质，求出工+工=1,得到a-b=（1+1）（a+b）是解题的

abab

关键.

6.（5分）（2024•福建）若sina=-巨，则a为第四象限角，则tana的值等于（）

13

A.卫B.-12c.巨D.--L

551212

【分析】利用同角三角函数的基本关系式求出cosa,然后求解即可.

【解答】解：sinix--则a为笫四象限角，/-i_•2Q-12.,

13Q1sina13

tana=^siiini——a=-5

cosa12

故选：D.

【点评】本题考杳三角函数的化简求值，同角三角函数的基本关系式的应用，考查计嵬实力.

7.（5分）（2024•福建）设工（1,2）,淳（1,1）,ZW+kE若E1W，则实数k的值等

于（）

A.-卫B.-王■C.皂D.2

2332

【分析】由题意可得3的坐标.进而由垂直关系可得k的方程，解方程可得.

【解答】解：・・工=（1,2）,b=<h1），

c=d+kb=（1+k,2+k）

,**bJLc>***b*c=0，

.*.l+k+2+k=0,解得k=--^

2

故选：A

【点评】本题考查数量积和向量的垂直关系，属基础题.

8.（5分）（2024•福建）如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为（I,0）,且

x+1,x>0

点C与点D在函数f（x）=11一勺图象上，若在矩形ABCD内随机取一点，

-yx+1,x<0

则此点取自阴影部分的概率等于（)

A.B.JLc.3D.工

6482

【分析】由题意易得矩形和三角形顶点的坐标，进而可得面积，由几何概型可得.

【解答】解：由题意可得B（l,0）,把x=l代入y=x+l可得y=2,即C（l,2）,

把x=0代入y=x+l可得y=l,即图中阴影三角形的第3个定点为（0,1）,

令-1肝1=2可解得x=-2,即D（-2,2）,

2

・•・矩形的面积S=3X2=6,阴影三角形的面积S'=lx3X1=1,

22

.••所求概率P-£—1

S4

故选：B

【点评】本题考查几何概型，涉及而积公式和分段函数，属基础题.

9.（5分）（2024•福建）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（）

俯视图

A.8+2沈B.11+2比C.14+2&D.15

【分析】推断出该几何体是底面为直角梯形，高为2的直四楼柱，底面的梯形上底1,下底

2,高为1,运用梯形，矩形的面积公式求解即可.

【解答】解：依据三视图可推断该几何体是底而为直角梯形，高为2的直四棱柱，

底面的梯形上底1,下底2,高为1,

・•・侧面为（4+V2）X2=8+2V2»

底面为"Lx<2+i）X1=W,

22

故几何体的表面枳为8+2亚+2X邑11+2®,

2

故选:B.

【点评】本题考查了空间几何体的三视图的运用，空间想象实力，关键是能够复原推断几何

体的形态.

\ly>0

10.（5分）（2024•福建）变量x,y满意约束条件x-2y+2〉0,若z=2x-y的最大值为

mx-y<0

2,则实数m等于（）

A.-2B.-iC.ID.2

【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解,

联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数求得m的值.

\+y>0

【解答】解：由约束条件x-2y+2〉0作出可行域如图，

mx-y<0

化目标函数z=2x-y为y=2x-z,

由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最小，Z有最大值为

42m4-21Tlr

2ro-12m_1-2in-1―

解得：m=l.

故选：C.

【点评】木题考查了简洁的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题.

22

II.（5分）（2024•福建）已知椭圆E：^-+^-=1（a>b>0）的右焦点为F,短轴的一个端

a2b2

点为M,直线1：3x-4y=0交椭圆E于A,B两点，若|AF|+|BF|=4,点M到直线1的距

离不小于则椭圆E的离心率的取值范围是（）

5

A.（0,迎］B.（0,当C.［迎，1）D.［3,I）

2424

【分析】如图所示，设F为椭圆的左焦点，连接AF,BF,则四边形AFBF是平行四边形,

可得4=|AF|+|BF|=AF|+|BF|=2a.取M（0,b）,由点M到直线1的距离不小于工,可

5

得,暇12冷解得b》l.再利用离心率计算公式€=£=11-马■即可得出.

【解答】解：如图所示，设F为椭圆的左焦点，连接AF,BF,则四边形AFBF是平行四

边形，

；・4=AF|+|BF|=|AF|+|AF|=2a,Aa=2.

取M(0,b),•・•点M到直线1的距离不小于，解得bel.

5

・••椭圆E的离心率的取值范围是（0,

故选：A.

【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、点到直线的距离公式、不等式的性质,

考查了推理实力与计和实力，属于中档题.

1T

12.（5分）（2024•福建）“对随意x€（0,—），ksinxcosxVx"是"kVl”的（）

2

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【分析】利用二倍角公式化筒不等式，利用三角函数线推断充要条件即可.

【解答】解：对随意x€（0,ksinxcosxVx,即对随意x€（0,ksin2x<2x,

22

IT

当k<l时，ksin2x<2x恒成立，但是对随意x£（0,---）,ksinxcosx<x/\可得k=l也成

2

立，

所以"对随意xW（O,—）>ksinxcosxVx”是“kVl”的必要而不充分条件.

2

故选:B.

【点评】本题考杳充耍条件的推断与应用，三角函数线的应用，考查逻辑推理实力.

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.

13.（4分）（2024•福建）某校高一年级有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分

层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为学.

【分析】依据分层抽样的定义求出在各层中的抽样比，即样本容量比上总体容量，按此比例

求出应抽取的男生人数.

【解答】解：依据题意得，用分层抽样在各层中的抽样比为正=工，

90020

则应抽取的男生人数是500X2=25人，

20

故答案为：25.

【点评】本题的考点是分层抽样方法，依据样本结构和总体结构保持一样，求出抽样比，再

求出在各层中抽取的个体数目.

14.(4分)(2024•福建)在aABC中，AC二低,ZA=45°,ZC=75°,则BC的长度是_&_.

【分析】依据NA和NC求得NB,进而依据正弦定理求得AC二BC求得BC.

sirBsinA

【解答】解：ZB=180o-45o-75o=60°

由正弦定理可知ACsinB=BCsinA

••BC=sinA=&

sino

故答案为近

【点评】本题主要考查了正弦定理的应用.属基础题.

15.(4分)(2024•福建)若函数f(x)=2|x*a|(aGR)满意f(1+x)=f(1-x),且f(x)

在［m,+8)上单调递增，则实数m的最小值等于

【分析】依据式子f(l+x)=f(1-x),对称f(x)关于x=l对称，利用指数函数的性质得

出：函数f(x)=亦刊(a£R),x=a为对称轴，在［1,+8)上单调递增，即可推断m的最

小值.

【解答】解：Vf(l+x)=f(1-x),

f(x)关于x=l对称，

•・,函数f(x)=2|x'a|(aGR)

x=a为对称轴,

a=l,

Af(x)在［1,+8)上单调递增，

Vf(x)在［m,+8)上单调递增，

的最小值为I.

故答案为：1.

【点评】本题考查了指数型函数的单调性，对称性，依据函数式子对称函数的性质是本题解

决的关键，难度不大，属于中档题.

16.(4分)(2024•福建)若a,b是函数f(x)=x2-px+q(p>0,q>0)的两个不同的零

点，且a,b,・2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q

的值等于9.

【分析】由一元二次方程根与系数的关系得到a+b=p,ab=q,再由a,b,-2这三个数可适

当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列列关于a,b的方程组，求得a,b后得答

案.

【解答】解：由题意可得：a+b=p,ab=q,

Vp>0,q>0,

可得a>0,b>0,

又a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，

可得［2b二a-2①或12a二b-2②

lab二4lab二4

解①得：二4解②得：(&」.

Ib=lIb=4

p=a+b=5，q=lX4=4，

则p+q=9.

故答案为：9.

【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，考查了等差数列和等比数列的性质，是

基础题.

三、解答题：本大题共6小题，共74分.

17.（12分）（2024•福建）等差数列｛an｝中，a2=4,a4+a7=15.

（I）求数列｛an｝的通项公式:

（II）设bn=2"+n,求5i+b2+b3+...+bio的值.

【分析】（I）建立方程组求出首项与公差，即可求数列｛an｝的通项公式；

（n）bn=2^n=2n+n,利用分组求和求bi+b2+b3+...+bio的值.

ajd二4

【解答】解：（I）设公差为（1,则

(a1+3d)+(aj+6d)=15

解得

d二1

所以an=3+(n-I)=n+2：

(II)bn=2+n=2n+n,

所以bi+b2+b3+...+bio=(2+1)+(22+2)+...+(2l0+10)

=(2+22+...+210)+(1+2+...+10)

一2(1-21°).(1+10)X10=2]01

1-22

【点评】本题考查等差数列的通项，考查数列的求和，求出数列的通项是关键.

18.（12分）（2024•福建）全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合

指标，依据相关报道供应的全网传播2024年某全国性大型活动的"省级卫视新闻台"融合指

数的数据，对名列前20名的”省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如表所示：

组号分组须数

1[4,5)2

2[5,6)8

3[6,7)7

4[7,8]3

3）现从融合指数在［4,5）和［7.幻内的“省级北视新闻台”中随机抽取2家进行调研.求

至少有1家的融合指数在［7,8］内的概率；

（2）依据分组统计表求这2（）家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数.

【分析】（1）利用列举法列出基本领件，结合古典概型的概率公式进行求解即可.

（2）依据平均数的定义和公式进行计算即可.

【解答】解：（1）融合指数在。，8］内的“省级卫视新闻台”记为Ai,A2,A3，

融合指数在［4,5)内的"省级卫视新闻台”记为Bi,B2,

从融合指数在［4,5)和［7,8］内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家进行调研的事务为：

IAI,A?}»{Ai,A3},{A2,A3},{Ai,Bi},{Ai,B2},{A2，Bi},{A2,B2),{A3,BI},

{A3,B2},

{Bi.B2)，共10个.

至少有I家的融合指数在［7,8］内的事务有：{Ai,A2),{Ai,A3},{A2,A3},{Ai,Bi),

(Ai,B2},

{A2,BI},{A2,B2},{A3,BI},{A3,B2},共9个,

则至少有1家的融合指数在［7,8］内的概率为且；

10

(2)依据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数为：

&5X枭5,5X袅6.5X《7.5X畀6.05.

【点评】本题主要考查占典概型，频率分布表，平均数等基础学问，考查数据处理实力，运

算求解实力，应用意识，考查必定与或然思想等.

19.(12分)(2024•福建)已知点F为抛物线E：y2=2px(p>0)的焦点，点A(2,m)在

抛物线E上，且|AF|=3,

(I)求抛物线E的方程：

(H)已如点G(-I,0),延KAF交抛物线E于点B,证明：以点F为圆心且与直线GA

相切的圆，必与直线GB相切.

【分析】解法一：(I)由抛物线定义可得：|AF|=2+匹3,解得p.即可得出抛物线E的方

(II)由点A(2,m)在抛物线E上，解得m,不妨取A(2，2&),F(1,0),可得直

线AF的方程，与抛物线方程联立化为2x2・5x+2=0,解得B2，-亚).又G(7,0),

计算kGA,kGB,可得kGA+kGB=0,ZAGF=ZBGF,即可证明以点F为圆心且与直线GA相

切的网，必与直线GB相切.

解法二：(I)同解法一.

(II)由点A(2,m)在抛物线F上.解得m.不妨取A(2,2版),F(1,0),可得直

线AF的方程，与抛物线方程段立化为2X2・5X+2=0,解得B(1,-亚>乂G(・I,0),

可得直线GA,GB的方程，利用点到直线的距离公式可得：点F(1,0)到直线GA、GB

的距离，若相等即可证明此以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切.

【解答】解法一：(I)由抛物线定义可得：|AF|=2+£=3,解得p=2.

2

・•・抛物线E的方程为y2=4x；

(II)证明：•・•点A(2,m)在抛物线E上，

.,.m2=4X2,解得m=±2&，不妨取A(2,2。^),F(1,0),

,直线AF的方程：y=2比(x-1)»

y=2核(x-1)11

联立2，化为2x2-5x+2=0,解得x=2或B(―,一诋).

y=4x22

又G一…GA淬^竽-近一02-72

.kGB=

kGA+kGB=0»

:.ZAGF=ZBGF,Ax轴平分NAGB,

因此点F到直线GA,GB的矩离相等,

•••以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切.

解法二：(I)同解法一.

(II)证明：点A(2,m)在抛物线E上，.•.m2=4X2,解得m=±2近，不妨取A(2,2^2),

F(1,0),

・,・直线AF的方程：y-2加(x-I),

尸2点(x-1)

化为2x2_解得x=2或B(L,

联立5X+2=0,-V2)-

2.

(y=4x

又G(-1,0),可得直线GA,GB的方程分别为：2后-3y+2心0,2^x+3y+2&=0,

ga+2&|

点F(1,0)到直线GA的距离d==_啦

/(2加)2+35717

472

同理可得点F(1,0)到直线GB的距离=

因此以点F为圆心旦与直线GA相切的圆，必与直线GB相切.

【点评】本小题主要考查抛物线、直线与抛物线及其圆的位置关系及其性质、点到直线的距

离公式等基础学问，考查推理论证实力、运算求解实力，考查数形结合思想、化归与转化思

想、函数与方程思想，属于难题.

20.(12分)(2024•福建)如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A,B的点，PO

垂直于圆O所在的平面，且PO=OB=1,

(I)若D为线段AC的中点，求证：AC_L平面PDO：

(n)求三棱锥P-ABC体积的最大值；

(DI)若眈=加，点E在线段PB匕求CE+OE的最小值.

p

【分析】(I)由题意可证ACJ_DO,又PO_LAC,即可证明ACJ■平面PDO.

(D)当CO_LAB时，C到AB的距离最大且最大值为1,又AB=2,即可求aABC面积的

最大值，又三棱锥P-ABC的高PO=1,即可求得三棱锥P-ABC体积的最大值.

(ID)可求PB=d]2+]2=J^=PC,即有PB=PC=BC,由OP=OB,C'P=C'B,可证E为PB

中点，从而可求OC=OE+EC=&+捉=6+捉,从而得解.

222

【解答】解：(I)在△AOC中，因为OA=OC,D为AC的中点，

所以AC_LDO,

又PO垂直于圆O所在的平面，

所以POJ_AC,

因为DOcPO=O,

所以ACJ.平面PDO.

(口)因为点C在圆O上，

所以当CO_LAB时，C到AB的距离最大，且最大值为I,

又AB=2,所以4ABC面积的最大值为工X2Xm，

2

又因为三棱锥P-ABC的高PO=1,

故三棱锥P-ABC体积的最大值为：AX1X1=-.

33

(ID)在APOB中，PO=OB=1,ZPOB=90%

所以PB=7I2+I2=V2.

同理PC。，所以PB=PC=BC,

在三棱锥P-ABC中，将侧面BCP绕PB旋转至平面BCP,使之与平面ABP共面，如图所

示，

当O,E,C共线时，CE+OE取得最小值，

又因为OP=OB,CP=CB,

所以OC垂直平分PB,即E为PB中点.

从而OOOE+EO&+遍=&+遍.

222

亦即CE+OE的最小值为：返t返.

2

【点评】本题主要考查了直线与直线、直线与平面的位置关系、锥体的体积的求法等基础学

问，考查了空间想象实力、推理论证实力、运算求解实力，考式了数形结合思想、化归与转

化思想，属于中档题.

21.(12分)(2024•福建)已知函数f(x)=1(h/3>in-^cos-^.+lOcos2A.

222

(I)求函数f(x)的最小五周期；

(D)将函数f(x)的图象向右平移三个单位长度，再向下平移a(a>0)个单位长度后

6

得到函数g(x)的图象，且函数g(x)的最大值为2.

(i)求函数g(x)的解析式；

(ii)证明：存在无穷多个互不相同的正整数xo,使得g(xo)>0.

【分析】(I)先化简函数的解析式，进而求出最小正周期：

(H)(i)先求出每一步函数变换的函数解析式，再依据g(x)的最大值为2,简洁求出a

的值，然后进而写出g(x)的解析式：

(ii)就是要讦明存在无穷多个互不相同的不整数xo,使得IOsinxo-X>O.即*inxo>9.

5

由9<卫知，存在OVaoV二L,使得sinao*

5235

由正弦函数的性质当x£(2k^+ao.2kn+n-ao)(kGZ)时，均有sinx>9,即可证明.

5

【解答】解：(I)Vf(x)=1(h/3§in-^cos-^.+1Ocos2—5^/3sinx+5cosx+5=1Osin(x+~^~)+5,

2226

・•・所求函数f(x)的最小正扈期T=2TU

(H)(i)将函数f(x)的图象向右平移9个单位长度后得到y=lOsinx+5的图象，

再向下平移a(a>0)个单位长度后得到函数g(x)=10sinx+5-a的图象，

•・•函数g(X)的最大值为2,，IO+5・a=2,解得a=l3,

・二函数g(x)=10sinx-8.

(ii)要证明存在无穷多个互不相同的正整数xo,使得g(xo)>0,

就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数xo,使得IOsinxo-8>O,即sinxo〉9,

5

由9<工义知，存在O<ao<二L,使得sinao=2,

5235

由正弦函数的性质可知，当x£(ao,n-ao)时，均有sinx〉9,