命题（景山王宁）完整版

命题(mìngtí)与证明本章内容第2章第一页，共三十八页。命题本课内容本节内容2.2.1第二页，共三十八页。引入三角形的一边与另一边的延长线所组成(zǔchénɡ)的角叫三角形的外角.我们(wǒmen)前面学习了许多有关三角形的概念，如：不在同一直线上的三条线段首尾相接所构成(gòuchéng)的图形叫三角形.第三页，共三十八页。结论像这样，对一个概念的含义加以(jiāyǐ)描述说明或作出明确规定的语句叫做这个概念的定义.第四页，共三十八页。

说一说把数与表示数的字母用运算符号连接(liánjiē)而成的式子叫作代数式.

你能说说“代数式”的定义(dìngyì)吗？第五页，共三十八页。

请根据代数式的定义判断(pànduàn)下列式子是不是代数式.是是不是(bùshi)不是(bùshi)做一做第六页，共三十八页。注意：定义必须(bìxū)能清楚地规定出概念最本质的特征.第七页，共三十八页。你能说出下列概念的定义吗？方程：三角形的角平分线：在三角形中，一个角的平分线与这个(zhège)角的对边相交，这个(zhège)角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线.含有未知数的等式叫做(jiàozuò)方程．说一说第八页，共三十八页。（1）三角形的内角和等于180°；（2）如果|a|=3，那么a=3；（3）1月份有31天；（4）作一条(yītiáo)线段等于已知线段；（5）一个锐角与一个钝角互补吗？下列(xiàliè)语句中哪些对事情做出了判断？说一说第九页，共三十八页。结论一般地，对某一件事情作出判断的语句（陈述句）叫作命题.

如上述(shàngshù)语句中，（1），（2），（3）都是命题，（4），（5）就不是命题.第十页，共三十八页。下列命题的叙述(xùshù)方式有什么共同点？1.如果(rúguǒ)a=b且b=c，那么a=c．2.如果两个(liǎnɡɡè)角的和等于90°，那么这两个角互为余角．

它们的叙述方式都是“如果……，那么……”观察第十一页，共三十八页。结论

在“如果……，那么……”形式的命题中，“如果”连结的部分是条件(tiáojiàn)，“那么”连结的部分是结论．

有的命题表面上看不具有“如果(rúguǒ)……，那么……”的形式，但是可以写成这种形式.第十二页，共三十八页。例找出命题的条件(tiáojiàn)和结论，并改写成“如果…,那么…”的形式：举例同角的余角(yújiǎo)相等.如果两个角是同一个角的余角(yújiǎo)，那么这两个角相等．

改写：条件：两个角是同一个角的余角，结论：这两个角相等．第十三页，共三十八页。练习1.下列命题的条件(tiáojiàn)是什么？结论是什么？（1）如果(rúguǒ)两个角相等，那么它们是对顶角；（2）如果a＞b，b＞c，那么a＞c；（3）能被2整除的数是偶数.第十四页，共三十八页。(1)条件(tiáojiàn)：两个角相等；结论：它们是对顶角.(2)条件:a＞b，b＞c，结论:a＞c.(3)改写：如果一个数能被2整除，那么这个数是偶数.条件：一个数能被2整除，结论：这个数是偶数.第十五页，共三十八页。

在上述命题中，命题(2)的条件和结论分别是命题(1)的结论和条件，这样(zhèyàng)的两个命题称为互逆命题，其中的一个叫作原命题，另一个叫逆命题.上述命题（1）和（2）就是互逆命题.（1）同位角相等(xiāngděng)，两直线平行；（2）两直线平行(píngxíng)，同位角相等．结论第十六页，共三十八页。

下列命题(mìngtí)哪些正确？哪些错误？

说一说（1），（2）（3）是错的，（4）是正确(zhèngquè)的.

（1）每一个月都有31天；

（2）如果a是有理数，那么a是整数.

（3）同位角相等(xiāngděng)；

（4）同角的补角相等.第十七页，共三十八页。结论

我们(wǒmen)把正确的命题称为真命题，

把错误(cuòwù)的命题称为假命题．第十八页，共三十八页。判断下列命题(mìngtí)是真命题(mìngtí)还是假命题(mìngtí)(1)相等的角是对顶角(2)内错角相等(3)大于90度的角是平角(4)如果a>b，b>c，那么a>c真命题(mìngtí)假命题(mìngtí)假命题假命题举例第十九页，共三十八页。1、同旁内角互补(hùbǔ)，两直线平行.2、如果两个角都是直角，那么(nàme)这两个角相等.逆命题：两直线平行(píngxíng)，同旁内角互补.真逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是直角.假3、如果一个整数的个位数字是5，那么这个整数能被5整除.逆命题：如果一个整数能被5整除，那么这个整数的个位数字是5.假说出下列命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题.练习第二十页，共三十八页。结论

像此例的第(1)题那样，从一个命题的条件出发，通过讲道理(推理)，得出它的结论成立，从而判断(pànduàn)该命题为真，这个过程叫作证明.

像此例的第(2)题那样，找出一个例子，它符合命题的条件，但它不满足命题的结论，从而判断(pànduàn)这个命题为假，这个过程叫作举反例.（1）如果a是整数，那么a是有理数；解

如果a是整数，根据有理数的定义：“整数和分数统称为有理数”，得出a是实数.因此命题(1)为真．（2）如果a是有理数，那么a是整数解

0.5是有理数，因此命题(2)为假．但是0.5不是整数.第二十一页，共三十八页。判断(pànduàn)下列命题为真命题是根据什么呢？说一说

是分别根据有理数、等腰（等边）三角形的定义(dìngyì)作出的判断．（1）如果a是整数，那么a是有理数；（2）如果三角形ABCD是等边三角形，那么它是等腰三角形．第二十二页，共三十八页。

从上面的例子看到，在判断一个命题是否为真命题时常常要利用一些(yīxiē)概念的定义，但是光用定义只能判断一些(yīxiē)很简单的命题是否为真.

对于绝大多数命题的真假的判断，光用定义(dìngyì)是远远不够的，那么除了根据定义(dìngyì)外，还能根据什么来推理，去判断命题的真假呢？动脑筋第二十三页，共三十八页。结论数学中有些命题的正确性是人们在长期实践(shíjiàn)中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做基本事实。有些命题可以从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确(zhèngquè)的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理。第二十四页，共三十八页。

古希腊数学家欧几里得(Euclid，约公元前330—前275)对他那个时代(shídài)的数学知识作了系统化的总结，他挑选出一些人们在长期实践中总结出来的公认的真命题，作为证明的原始依据，称这些真命题为公理.

欧几里得结论第二十五页，共三十八页。小知识

欧几里得按照(ànzhào)这种方法(现在称为公理化方法)编写了一本书，书名叫《原本》.全书共分13卷，包括有5条公理，5条公设，119个定义和465条命题，构成了历史上第一个数学公理体系．（注：欧几里得把公设和公理加以区分，即公理是适用于一切(yīqiè)科学的真理，而公设只适用于几何.近代数学对此不再区分，都称为公理.)第二十六页，共三十八页。举例：1本书中常用的基本(jīběn)事实：过两点有且只有一条(yītiáo)直线.（2）两点之间，线段(xiànduàn)最短.（1）（3）经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.第二十七页，共三十八页。举例(jǔlì)：2.定理：同角或等角的补角(bǔjiǎo)相等.（2）余角(yújiǎo)的性质：同角或等角的余角相等.（4）垂线的性质：①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（1）补角的性质：（3）对顶角的性质：对顶角相等②垂线段最短.内错角相等，两直线平行.（5）平行线的判定定理：第二十八页，共三十八页。

定理也可以(kěyǐ)作为判断其他命题真假的依据,由某定理直接得出的真命题叫作这个定理的推论.结论第二十九页，共三十八页。例如，“三角形的一个外角等于与它不相邻(xiānɡlín)的两个内角的和”称为“三角形内角和定理的推论”，也可称为“三角形外角定理”．举例第三十页，共三十八页。平行线的性质定理Ｉ

两条直线被第三条直线所截，如果这两条直线平行(píngxíng)，那么同位角相等．动脑筋平行线的基本事实Ｉ两条直线(zhíxiàn)被第三条直线(zhíxiàn)所截，如果同位角相等，那么这两条直线(zhíxiàn)平行．上述这两个(liǎnɡɡè)定理是不是互逆的命题？1212第三十一页，共三十八页。结论

如果一个(yīɡè)定理的逆命题也是定理，那么称它是原来定理的逆定理，这两个定理称为互逆的定理.

例如，平行线的基本事实(shìshí)Ｉ是平行线的性质定理Ⅰ的逆定理．第三十二页，共三十八页。下列定理(dìnglǐ)有逆定理(dìnglǐ)吗？如果有，把它写出来．两条直线(zhíxiàn)被第三条直线(zhíxiàn)所截，如果这两直线(zhíxiàn)平行，那么内错角相等；答：两直线被第三条直线所截，如果内错角相等(xiāngděng)，那么这两条直线平行；练习第三十三页，共三十八页。小结与复习理解(lǐjiě)什么叫“定义”？第三十四页，共三十八页。小结与复习1.命题都是由条件和结论两部分(bùfen)组成证明(zhèngmíng)3.说明(shuōmíng)一个命题是真命题的方法：举反例2.说明一个命题是假命题的方法：结论“如果……那么……”条件第三十五页，共三十八页。中考试题①题同位角相等是在两直线平行的前提下才有，所以它是错的；解下列四个命题中是真命题的有（）.

①同位角相等(xiāngděng)；②相等的角是对顶角；③直角三角形两锐角互余；④三个内角相等的三角形是等边三角形.A.4个B.3个C.2个D.1个C②题相等(xiāngděng)的角并不一定是对顶角；③

题正确(zhèngquè)；④

题正确.第三十六页，共三十八页。结束单位：景