三角形-2022年中考数学课本知识梳理（全国通用）(解析版)

专题15三角形

**—一—一~1——------—J——\

三角形是中学数学重要的基础知识，中考中多以选择题、填空题、解答题的形式出现，主要考查基本

概念、基本技能以及基本的数学思想方法，难度系数较易。主要体现的思想方法：转化的思想、数形结合

的思想等。

1.掌握三角形的基本概念认识三角形的基本元素；了解三角形的分类，熟悉三角形的种类；掌握三角形中

的重要线段；学会三角形的中位线；掌握三角形的三边关系以及各角之间的关系.

2.全等三角形的有关概念；三角形全等的判定（SAS、ASA、SSS、AAS）和性质；直角三角形全等的判定定

理（HL）；定义、命题、定理、推论的意义；区分命题的条件和结论；原命题与逆命题的概念；识别两个互

逆命题，并判断其真假；利用反例判断一个命题是错误的。

3了解掌握等腰三角形的有关概念及性质.；学会等腰三角形的判定；掌握等边三角形的性质及判定方法；

掌握线段垂直平分线与角平分线的相关性质；学会直角三角形的相关性质与判定方法.

顶点、边、内角及其表示方法

三角形三边的关系两边之和大于第三边（指任意两边）

三角形的高

三条重要线段三角形的中线

三角形的角平分线

三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°

三角形的外角及其性质三角形的外角

三角形外角的性质

多边形

多边形的有关概念内角、外角、对角线

凸多边形

正多边形

多边形的内角和n边形的内角和等J（n-2）x180'

多边形的外角和n边形的外角和等于360°

全等三角形」

对应边

性质｛对应角

陪，等边对等角

口三线合一

腰与底不相等的等腰三角形

S,二角对等边

等腰三角形“医.三边相等

推画一!三角相等

等边三角形

和三边相等或三个角相等

ELJ有一个角等于60度的等腰三角形

fe有一个直角

三角形的证明以T两锐角互余

性质勾股定理

-直角三角形LMT30度所对的边等于斜边的一半

有个直传

判定f⅞赢理的逆定理（注意书写格式）

_________________性质定理

线段的垂射⅛li‰t

性质定理

角平分线

三角形的内心

,廿反证法（了解即可）

互=逆Ia命g题T及其真假卜I---------------

县知底边及底边上的高作等腰

:尺规作图已知一条直角边和斜边作直角三角形

过一点作已知直线的垂线

重要考点门

一、三角形有关的概念

1、三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。

三角形有三条边，三个内角，三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三

角形的内角；相邻两边的公共端点是三角形的顶点，三角形ABC用符号表示为AABC,三角形ABC的边

AB可用边AB所对的角C的小写字母C表示，Ae可用b表示，BC可用a表示。三角形具有稳定性。

2、三角形的分类:

（1）按边分类

(2)按角分类

3、三角形的主要线段的定义：

(1)三角形的中线

三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段.

表示法：LAD是AABC的BC上的中线.

1

2.BD=DC=-BC.

2

注意：①三角形的中线是线段；

(2)三角形的角平分线

三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段

表示法：LAD是AABC的NBAC的平分线.

1

2.N1=N2=-ZBAC.

2

(3)三角形的高

从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段.

注意：三角形的中线、角平分线、高是均是线段。

4、三角形的三边关系：

三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边.

5、三角形的角与角之间的关系：

⑴三角形三个内角的和等于180°;

(2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；

(3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.

(4)直角三角形的两个锐角互余.

三角形的内角和定理

定理：三角形的内角和等于180。.

推论：直角三角形的两个锐角互余。

三角形的外角的定义

三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.

注意：每个顶点处都有两个外角，但这两个外角是对顶角.

三角形外角的性质

(1)三角形的外角和等于360。(三个外角的和)。

(2)三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和.

(3)三角形的一个角大于与它不相邻的任何一个内角.

6、特殊三角形的性质和判定：

1.有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特

殊的等腰三角形。

2.等腰三角形的性质：

(1)等腰三角形的两个底角相等；

(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。

3.等腰三角形的判定：

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。

4.等边三角形的性质：

等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60。。

5.等边三角形的判定：

（1）三个角都相等的三角形是等边三角形；

（2）有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形。

一、单选题

1.（2020.贵州毕节.中考真题）等腰三角形的两条边长分别为3和7,则这个等腰三角形的周长是（)

A.10B.13C.17D.13或17

【答案】C

【分析】

因为等腰三角形的两边为3和7,但已知中没有点明底边和腰，所以有两种情况，需要分类讨论，还要注意

利用三角形三边关系考虑各情况能否构成三角形.

【解析】

解：当3为底时，其它两边都为7,3、7、7可以构成三角形，周长为17；

当3为腰时，其它两边为3和7,

Y3+3=6<7,

所以不能构成三角形，故舍去，

二答案只有17.

故选：C.

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，

应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论.

2.（2021•广西河池・中考真题）如图，ZA=40o,NCBO是.ABC的外角，NCBD=I20°,则NC的大小是

A.90oB.80oC.60oD.40o

【答案】B

【分析】

根据三角形的外角性质直接求解即可.

【解析】

NCBD是_ABC的外角，ZA=40o,NCBD=I20°,

ZCBD=ZA+ZC.

ZC=NCBD-ZA=120o-40o=80°.

故选B.

【点睛】

本题考查了三角形外角的性质，掌握三角形外角性质是解题的关键.

3.（2021・四川内江・中考真题）如图，AB//CD,/1=45。，Z2=35o,则/3的度数为（)

A.55oB.750C.80oD.105°

【答案】C

【分析】

根据平行线的性质以及三角形外角的性质可得结果.

【解析】

解：如图，

ABHCD,Zl=45°,/2=35。，

.∙.Z4=Zl=45o,

√Z3=Z4+Z2,

.∙.∠3=45o+35o=80o.

故选：C.

【点睛】

本题考查了平行线的性质以及三角形外角的性质，熟知两直线平行，内错角相等以及三角的外角等于与它

不相邻的两个内角的度数.

4.（2021•贵州黔东南,中考真题）将一副直角三角板按如图所示的方式放置，使用30°角的三角板的直角边

和含45。角的三角板的直角边垂直，则Nl的度数为（）

【答案】D

【分析】

由三角板的特征可得/8=45。，/E=30。，ZEFD=90o,利用三角形的外角的性质及对顶角的性质可求解

/AGE的度数，再利用三角形外角的性质可求解/1的度数.

【解析】

解：由题意得AA8C,△DEF为直角三角形,/8=45。，ZE=30o,NEFD=90°,

：.NAGE=NBGF=45°,

'：Z∖=ZE+ZAGE,

ΛZl=30o+45o=75o,

故选：D.

【点睛】

本题主要考查三角形外角的性质，等腰直角三角形，求解NAGE的度数是解题的关键.

5.（2020・四川巴中•中考真题）如图，在.ABC中，/347=120。，AO平分ZBAC,DEHAB,AD=3,CE=5,

则AC的长为（）

【答案】B

【分

根据角平分线的性质可得到/BAO=NC4。=INBAC=60。，然后由班〃AB可知/843=ZAZJE=60。，从

而得到NADE=NE4£>=60。，所以..ADE是等边三角形，由AC=A£+CE,即可得出答案.

【解析】

解：VZBAC=l20o,AC平分NBAC,

.∙.NBAD=ZCAD=-NBAC=60°,

2

,/DEHAB,

：.ABAD=ZADE=MO,

：.ZADE=ZEAD=60°,

.••_4坦是等边三角形，

二AE=Ao=3,

CE=5,

：.AC=AE+CE=3+5=8

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了角平分线的性质、平行线的性质、等边三角形的判定和性质，熟练掌握相应的判定定理和

性质是解题的关键，属于基础综合题.

6.（2016•贵州安顺•中考真题）已知有理数X,y满足∣x-4∣+TT^=0,则以x，y的值为两边长的等腰三角

形的周长是（)

A.20或16B.20C.16D.以上都不对

【答案】B

【分析】

根据绝对值和二次根式的非负性求出X,y,再根据等腰三角形的性质和三角形三边关系判断即可；

【解析】

V∣X-4∣+77Ξ8≈0-

.卜-4=0

"[γ-8=0,

Λx=4,y=8,

设以4,8为两边长的等腰三角形的三边长分别为a,b,c,且a=4,b=8,则有两种情况：

当a为等腰三角形的腰时，有c=α=4,此时α+c=6,该等腰三角形不存在；

当b为等腰三角形的腰时，有c=8=8,4=4,该等腰三角形存在，周长为a+6+c=4+8+8=20.

故答案选B.

【点睛】

本题主要考查了三角形三边关系，等腰三角形的定义，绝对值和二次根式的非负性，准确分析计算是解题

的关键.

7.（2020・山东烟台・中考真题）如图，点G为..ABC的重心，连接CG,AG并延长分别交AB,Be于点E,

F,连接EF,若AB=4.4,AC=3.4,BC=3.6,则EF的长度为（）

A.1.7B.1.8C.2.2D.2.4

【答案】A

【分析】

由已知条件得EF是三角形的中位线，进而根据三角形中位线定理求得EF的长度.

【解析】

解：：点G为AABC的重心，

ΛAE=BE,BF=CF,

/.EF=ɪAC=1.7,

2

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了三角形的重心，三角形的中位线定理，关键正确利用重心定义得EF为三角形的中位线.

8.(2018•浙江湖州•中考真题)如图，已知在AABC中，NBAe>90。，点D为Be的中点，点E在AC上,

将ACDE沿DE折叠，使得点C恰好落在BA的延长线上的点F处，连结AD,则下列结论不一定正确的是

()

BDC

A.AE=EFB.AB=2DE

C.∆ADF和ZkADE的面积相等D.∆ADE和ZkFDE的面积相等

【答案】C

【分析】

先判断出ABFC是直角三角形，再利用三角形的外角判断出A正确，进而判断出AE=CE,得出CE是AABC

的中位线判断出B正确，利用等式的性质判断出D正确.

【解析】

如图，连接CF,

BDC

・・•点D是BC中点，

ΛBD=CD,

由折叠知，ZACB=ZDFE,CD=DF,

/.BD=CD=DF,

•••△BFC是直角三角形，

/.ZBFC=90o,

VBD=DF,

ΛZB=ZBFD,

/.∕EAF=NB+∕ACB=∕BFD+∕DFE=∕AFE,

.∙.AE=EF,故A正确，

由折叠知，EF=CE,

，AE=CE,

VBD=CD,

.∙.DE是AABC的中位线，

ΛAB=2DE,故B正确，

VAE=CE,

∙*∙S∆ADE=S∆CDE,

由折叠知，ACDEgZXAFDE,

SZkcDE=SAFDE>

∙,.S∆ΛDE=S∆FDE,故D正确，

.∙.c选项不正确，

故选C.

【点睛】

此题主要考查了折叠的性质，直角三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，作出辅助线是解本题的关

键.

二、填空题

9.（2021.山东滨州•中考真题）如图，在一ABC中，点力是边BC上的一点.若AB=Ar）=OC,ZBAD=44°,

则NC的大小为.

【答案】34°

【分析】

根据等腰三角形的性质和三角形内角和，可以先计算出NA。B的度数，然后再根据AD=OC,

ZADB=ZC+ZDAC,即可得到NC的度数.

【解析】

解：：AB=AO,

/.NB=NADB,

"：NzMD=44°,

180°-44°

二ZADB==68°,

2

"：AD=DC,AADB=AC+ZDAC,

：.ZC=ZDAC=yZΛDB=34o,

故答案为：34°.

【点睛】

本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键

10.（2021•江苏常州•中考真题）如图,在一ABC中，点£＞、E分别在3C、AC上，NB=40。,NC=60。.若DEHAB,

则乙MD=°.

【答案】100

【分析】

先根据三角形内角和定理求出/4=80。，再根据平行线的性质，求出NAED,即可.

【解析】

解：：NB=40。,NC=60。，

,ZA=180o-40o-60o=80o,

∖∙DEHAB，

.,.NAED=180o-80°=100°.

故答案是100.

【点睛】

本题主要考查三角形内角和定理以及平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补，是解题的关键.

11.（2021•内蒙古通辽♦中考真题）一副三角板如图所示摆放，且ABHCD,则Nl的度数为.

【答案】75。

【分析】

根据三角板的2个三角形中的特殊角求出即可.

【解析】

如图，ABHCD

,ZA=ZAEC

NI=ZC+ZAEC=ZC+ZA=300+45°=75°.

故答案为75。.

【点睛】

本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，利用三角形的外角来求NI的度数是解题的关键.

12.（2021.山东东营•中考真题）如图，在；中，E为BC的中点，以E为圆心，BE长为半径画弧交对

角线AC于点F,若Nfi4C=60。，NABC=Io0。，BC=A,则扇形8EF的面积为.

D

【答案】y

【分析】

根据三角形内角和、三角形的外角以及等腰三角形性质求出NBM,然后根据扇形面积公式计算.

【解析】

解：∖∙ZZMC=60o,NABC=I(X)。,

・・・NAcB=20。，

TE为BC的中点,EB、政为半径，

：,/EFC=ZECF=20。,

：.∕BEF=40°,

•：BC=4,

：•BE=2,

/.扇形BEF的面积=4-2--=—.

3609

【点睛】

本题主要考查的是扇形面积计算，三角形内角和定理，等腰三角形性质，掌握扇形面积计算公式是解题的

关键.

13.(2021•湖北恩施•中考真题)如图，已知AE〃3C,ZBAC=l∞o,ZDAE=50°,则NC=.

【答案】30°

【分析】

由题意易得NB=ZDAE=50。，然后根据三角形内角和可进行求解.

【解析】

解：,.∙AEHBC,NZME=50°,

ZB=ZDAE=50。,

∙/ZBAC=IOOo,

：.ZC=180o-ZB-ZBAC=30°；

故答案为30。.

【点睛】

本题主要考查平行线的性质及三角形内角和，熟练掌握平行线的性质及三角形内角和是解题的关键.

14.（2021.江苏淮安•中考真题）一个三角形的两边长分别是1和4,若第三边的长为偶数，则第三边的长是

【答案】4

【分析】

利用三角形三边关系定理，先确定第三边的范围，再根据第三边是偶数这一条件，求得第三边的值.

【解析】

解：设第三边为“，根据三角形的三边关系知，

4-l<α<4+l,即3<a<5,

又•••第三边的长是偶数，

二”为4.

故答案为：4.

【点睛】

此题主要考查了三角形三边关系，掌握第三边满足：大于已知两边的差，且小于已知两边的和是解决问题

的关键.

15.（2021•黑龙江大庆•中考真题）三个数3,Jα,l-2a在数轴上从左到右依次排列，且以这三个数为边长

能构成三角形，贝IJa的取值范围为

【答案】-3<a<-2

【分析】

根据三个数在数轴上的位置得到3<1-α<1-2α,再根据三角形的三边关系得到1-α+3>1-2。,求解不等

式组即可.

【解析】

解：：3,1-α,J2α在数轴上从左到右依次排列，

•∙3<1—ci<1—24>解得a<-2,

Y这三个数为边长能构成三角形，

Λl-α+3>l-2a,解得。>一3,

综上所述，4的取值范围为-3<α<-2,

故答案为：-3<〃<-2.

【点睛】

本题考查不等式组的应用、三角形的三边关系，根据题意列出不等式组是解题的关键.

16.（2021•江苏连云港・中考真题）如图，8E是二ABC的中线，点F在BE上，延长AF交8C于点。.若

BF=3FE,则禺=.

【分析】

SS

连接即，由8E是ABC的中线，得到S=SAECE,SAED=SEDC,由8F=3FE,得到不皿=3,诚2=3,

JAFEɔFED

5SAnnBD

设Sm=X,sCTD=y,由面积的等量关系解得X=Wy,最后根据等高三角形的性质解得d=行，据此解

3ɔADC

题即可.

【解析】

解：连接E。

BE是二ABC的中线,

•∙Sabe=Sbce,SAED=SEDC

BF=3FE

.UVA"_3qBFD_3

V一，q

°AFEQFED

设S用=X,5EFD=y，

,∙SABF~SBFD~3〉

∙"∙SABE=4苍SBEC=4%，SBED=分

∙,∙SEOC=SBEC-S8M=4x-4y

JqADH-Jq麻C

.∖x+y=4x-4y

ABD与ι,ADC是等高二角形，

.SABoBD3x+3y3x+3y_3x§y+3y_ɪ_3

dc

SAOCx+y+4x-4y5x-3y5χ53ɪð5'

33∙

3

故答案为：—■

【点睛】

本题考查三角形的中线、三角形的面积等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键.

二、特殊三角形的性质和判定：

1.有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特

殊的等腰三角形。

2.等腰三角形的性质：

(1)等腰三角形的两个底角相等；

(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。

3.等腰三角形的判定：

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。

4.等边三角形的性质：

等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60。。

5.等边三角形的判定：

(1)三个角都相等的三角形是等边三角形；

(2)有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形。

7、全等三角形的性质与判定

L全等三角形的性质

全等三角形对应边相等，对应角相等.

2.全等三角形的判定定理

全等三角形判定I-“边边边”：三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.

全等三角形判定2-“角边角”：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或

“ASA”）.

全等三角形判定3-“角角边”：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角

角边”或“AAS”）

全等三角形判定4—“边角边”：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或

“SAS”）.

全等三角形判定5—在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以

简写成“斜边、直角边”或“HL”）

8、线段的垂直平分线

①定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线.

②线段的垂直平分线定理

线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等.

③线段的垂直平分线逆定理

和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.

注意：

到线段两个端点距离相等的所有点组成了线段的垂直平分线，也就是线段的垂直平分线可以看做是和

这条线段两个端点的距离相等的点的集合.

三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心一外心.

9、角的平分线的性质

①角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.

用符号语言表示角的平分线的性质定理：

若CD平分/ADB,点P是CD上一点，且PE_LAD于点E,PF_LBD于点F,则PE=PF.

②角的平分线的逆定理

角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.

一、单选题

1.如图，OE是AABC的边BC的垂直平分线，分别交边AB,BC于点D,E,且AB=9,AC=6,则△ACO

的周长是（）

D

BEC

A.10.5B.12C.15D.18

【答案】C

【分析】

由垂直平分线的性质可得DC=BD,再计算AACD周长即可.

【解析】

解：；OE是AABC的边8C的垂直平分线，

.'.BD=DC

J.AB=AD+BD=AD+DC^9

∙.,AC=6

.,.MCO的周长=4O+r>C+AC=9+6=15

故选：C

【点睛】

本题考查了线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.

2.如图，四边形ABCz)是菱形，点E,尸分别在BC。C边上，添加以下条件不能判定..ABEg.ADF的是

()

A.BE=DFB.ZBAE=ZDAFC.AE=ADD.ZAEB=ZAFD

【答案】C

【分析】

根据三角形全等判定定理SAS可判定A,三角形全等判定定理ASA可判定B,三角形全等判定定理可判定C,

三角形全等判定定理44S可判定。即可.

【解析】

解：；四边形ABa)是菱形，

：.AB=AD,ZB=ZD,

A.添加BE=可以，

在"8E和F中，

AB=AD

-ZB=ZD,

BE=DF

-ABEgADF(SAS),

故选项A可以；

B.添加NSAE=NZM尸可以，

在和AAO尸中

'NBAE=NDAF

<AB=AD,

ZB=ZD

,ABE^ADF(ASA)；

故选项B可以；

C.添加Af=4)不可以，条件是边边角故不能判定；

故选项C不可以；

D.添加NAEB=NA77)可以，

⅛∆AβE⅛∆ADFφ

"BEA=ZDFA

,NB=ZD,

AB=AD

，一ABEyADF(SAS).

故选项O可以；

故选择C.

【点睛】

本题考查添加条件判定三角形全等，菱形性质，掌握三角形全等判定定理，菱形性质是解题关键.

3.如图，在孜ABC中，ZACB=90%根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是()

B.NBAD=NB

C.DE=DCD.AE=AC

【答案】B

【分析】

先通过作图过程可得AZ）平分NBAC,OE"LAB,然后证明AACZ）丝Z∖AED说明C、Z）正确，再根据直角三角形

的性质说明选项4正确，最后发现只有AE=EB时才符合题意.

【解析】

解：由题意可得：AQ平分NBACQELAB,

在AACO和AAED中

ZAED=ZC,ZEAD=ΛCADAD=AD

：.ΔACD^∆AED(4AS)

：.DE=DCAE=AC,^C,。正确;

在RABEO中，ZBDE=90o-Zθ

在RABED中，ZBAC=90o-ZB

ΛZBDE=ZBAC,即选项4正确;

选项8,只有AE=EB时，才符合题意.

故选B.

【点睛】

本题主要考查了尺规作图、全等三角形的性质与判定、直角三角形的性质，正确理解尺规作图成为解答本

题的关键.

4.如图，AB、BC、CD、£）E是四根长度均为5cm的火柴棒，点A、C、E共线.若AC=6cm,CDLBC,

则线段CE的长度为（)

C

A.6cmB.7cmC.60CmD.8cm

【答案】D

【分析】

分别过8、。作AE的垂线，垂足分别为尸、G,证明ΔBFC式ACGO,即可证明族=CG,进一步计算即可

得出答案.

【解析】

解：分别过以。作AE的垂线，垂足分别为尸、G,

Y,CD工BC,

：.ZBCF+ZFBC=90o,/BCF+ZGCD=90°,

・・・ZFBC=ZGCD9

在「BfT和.CG。中；

ZBFC=ZCGD

<NFBC=NGCD,

BC=CD

・•・一BFC部人CGD,

：.BF=CG,

•：AB=BC=CD=DE=5cm,

・•・.ABaCDE均为等腰三角形，

VAC=6cm,

/.FC=—AC=3cm,

2

:∙BF=√BC2-FC2=√52-32=4cm，

・・・CE=2CG=2BF=2x4=8cm,

故选：D.

【点睛】

本题主要考查等腰三角形判定与性质，全等三角形判定与性质以及勾股定理等知识点，正确画出辅助线是

解决本题的关键.

5.如图，已知在，ABC中，ZABC<90°,AB≠8C,8E是AC边上的中线.按下列步骤作图：①分别以点B,C

为圆心，大于线段BC长度一半的长为半径作弧，相交于点M,N；②过点M,N作直线MN,分别交BC,BE

于点。O;③连结CO,DE.则下列结论错误的是（)

C.DEHABD.DB=DE

【答案】D

【分析】

首先根据题意可知道MN为线段BC的中垂线，然后结合中垂线与中线的性质逐项分析即可.

【解析】

由题意可知，MN为线段BC的中垂线,

♦.•0为中垂线MN上一点,

：.OB=OC,故A正确;

∙/OB=OC,

二NOBC=NOCB,

'JMNLBC,

：.ZODB=AODC,

.∙.NBoD=NC0D,故B正确；

Y力为BC边的中点，BE为4C边上的中线,

.∙.OE为ZkABC的中位线，

.∖DE∕∕AB,故C正确；

由题意可知DB=DC,

假设DB=DE成立,

贝UQB=QE=OC,NBEC=90°,

而题干中只给出BE是中线，无法保证BE一定与AC垂直，

.∙.OB不一定与。E相等，故D错误；

故选：D.

【点睛】

本题考查三角形中几种重要线段的理解，熟练掌握基本定义，以及性质定理是解题关键.

二、填空题

6.如图，在AABC中，AC=4,/4=60。，NB=45。，BC边的垂直平分线OE交AB于点。，连接C£),则

AB的长为.

【答案】2+2√3

【分析】

根据线段垂直平分线的性质得到DB=DC,根据三角形的外角性质得到NAOC=90。，根据含30。角的直角

三角形的性质求出4。，根据勾股定理求出。C，进而求出AR

【解析】

解：•••£»£是BC的垂直平分线，

：.DB=DC,

ΛZDCS=ZB=45o,

NAr)C=NOeB+NB=90。，

,.∙NA=60。，

.∙.ZACD=30o,

.∖AD=^AC=2,

2222

由勾股定理得：DC=y]AC-AD=√4-2=2√3,

.∖DB=DC=2>f3,

：.AB=AD+DB=2+2y∕3,

故答案为：2+26.

【点睛】

本题主要考查了三角形外角性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关

知识点是解题的关键.

7.如图，在，ΛBC中，AC=BC,/3=38。，点。是边AB上一点，点B关于直线8的对称点为玄，当

B'D∕!AC时，则NBCD的度数为.

C

【答案】33°

【分析】

如图，连接CB',根据轴对称的性质及全等三角形的判定与性质可得N9=N8=38°,NDCB=NDCBZ并

由平行线的性质可推出NAC8'=Ng=38'，最后由等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可求得结果.

【解析】

解：如图，连接CQ

Y点B关于直线CD的对称点为8',

ΛCB=CB,,DB=DB'.

,：CD=CD,

.∙.ADCB=ADCB.

：.ZB1=ZB=38°,NDCB=ZDCB'.

•：BDMAC,

・・・ZAC?=NU=38°.

∙/AC=BC,

∙>∙NA=/B=38∙

.∙.ZACB=1800-2ZB=104°∙

、：ZACB=ZACB,+Z.DCB+NDCB'=ZAC8'+2/DCB=104.

・・・2/DCB=104°-ZACBr=66°.

：.NoeB=33°.

故答案为:33°.

【点睛】

本题考查了轴对称、等腰三角形及平行线的性质等知识，熟练掌握轴对称、等腰三角形的性质及全等三角

形的判定与性质是解题的关键.

8.如图，在RJABC中，ZC=90o,ZA=30o,线段AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E,连结

BD.若CD=I,则AO的长为.

【分析】

根据线段垂直平分线的性质得到AO=BQ,ZABD=ZA=30o,求得NeBr>=30。，即可求出答案.

【解析】

解：VZC=90°,

NA+NABC=90°,

：线段AB的垂直平分线分别交AC、AB于点。、E,

；.AD=BD,

ZABD=ZA=30°,

二NCBD=30°,

∙.∙CD=I,

.∖AD=BD=2CD=2,

故答案为：2.

【点睛】

此题考查线段垂直平分线的性质，直角三角形30度角的性质，熟记线段垂直平分线的性质是解题的关键.

9.如图，在4ABC中，NB=45。,AB的垂直平分线交AB于点力，交BC于点E(BE>CE),点F是AC的中

点，连接4E、EF,若BC=7,AC=5,则的周长为.

【答案】8

【分析】

根据垂直平分线的性质求得NBEA的度数，然后根据勾股定理求出EC长度，即可求出ACEF的周长.

【解析】

解：E是AB的垂直平分线，

ΛABAE=ZABE=45°,BE=AE,

：.NBE4=90。，

BC=I,

：.BE+CE=1,

：.AE+CE=7,AE=7-CE,

又∙.SC=5,

二在△/©中，

AE-+CE2=AC2,

(7-Cf)2+Cf2=52

解得：CE=3,

又Y点F是AC的中点,

二EF=FC=-AC=-,

22

ACEF的周长=Cb+CE+尸E=-+3+-=8.

22

故答案为：8.

【点睛】

此题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，解题的关键是熟练掌握

勾股定理，等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质.

10.如图，在-ABC中，ZC=90o,AO平分ZfiAC交BC于点。，DELAB,垂足为E,若8C=4,DE=∖.6,

则8。的长为.

【答案】2.4

【分析】

先根据角平分线的性质可得CD=OE=I.6,再根据线段的和差即可得.

【解析】

解：AO平分ZAAC,ZC=90o,DE上AB,DE=IS,

CD=DE=1.6,

3C=4,

BD=BC-CD^4-l.6^2A,

故答案为：2.4.

【点睛】

本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题关键.

三、直角三角形

1.直角三角形的概念：

①按照角的度数对三角形进行分类：如果三角形中有一个角是直角，那么这个三角形叫直角三角形。

通常用符号“Rt△”表示“直角三角形”，其中直角所对的边称为直角三角形的斜边，构成直角的两边称为直角

边。如果△ABC是直角三角形，习惯于把以C为顶点的角当成直角。用三角A、B、C对应的小写字母a、

b、C分别表示三个角的对边。

②如果AB=AC且NA=90。，显然这个三角形既是等腰三角形，又是直角三角形，我们称之为等腰直角

三角形。

2、直角三角形的性质

定理I：直角三角形的两个锐角互余.

定理2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

推论1：在直角三角形中，如果一个锐角等于30。，那么它所对的直角边等于斜边的一半.

推论2：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30。.

3、勾股定理

①直角三角形直角边与斜边之间的大小关系

定理：在直角三角形中，斜边大于直角边.

②勾股定理

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为α,b，斜边长为c,那

么/+/i

③勾股定理的逆定理

如果三角形的三条边长α,b,c，满足6+廿=,2,那么这个三角形是直角三角形.

注意：当/+62<c2时，此三角形为钝角三角形；当"+层>02时，此三角形为锐角三角形，其中C为三

角形的最大边.

一、单选题

1.（2007•江苏连云港♦中考真题）如图，直线/上有三个正方形，若“，C的面积分别为5和11,则6的面积

为（）

A.4B.6C.16D.55

【答案】C

【分析】

运用正方形边长相等，结合全等三角形和勾股定理来求解即可.

【解析】

解：•••“、氏C都是正方形，

：.AC=CD,ZACr>=90o;

,.∙ZACB+ZDCE-ZACB+ZBAC=90o,

：.NBAC=NDCE,

VZABC=ZCED=90o,AC=CD,

：.∕∖ACB^∕∖DCE,

：.AB=CE,BC=DE;

在QZiABC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=AB2+DE2,

即Sb=Sa+Sc=11+5=16,

故选C.

【点睛】

此题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，结合图形求解，对图形的理解能力要比较强.

2.(2021.山东滨州•中考真题)在W.AfiC中，若NC=90。，AC=3,BC=4,则点C到直线AB的距离为

()

A.3B.4C.5D.2.4

【答案】D

【分析】

根据题意画出图形，然后作CD_LAB于点。，根据勾股定理可以求得AB的长，然后根据面积法，可以求得

CO的长.

【解析】

解：作C£>_LAB于点，如右图所示，

VZACB=90o,AC=3,BC=4,

ΛAfi=√AC2+SC2=5,

..ACBCABCD

♦=，

22

.3×45CD

,・--=---.

22

解得CD=2.4,

故选：D.

【点睛】

本题考查勾股定理、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，画出相应的图形，利用勾股定理和面积

法解答.

3.（2021.陕西.中考真题）如图，AB.BC、CD,OE是四根长度均为5cm的火柴棒，点A、C、E共线.若

AC=6cm,CDVBC,则线段CE的长度为（）

A.6cmB.7cmC.60CmD.8cm

【答案】D

【分析】

分别过8、。作AE的垂线，垂足分别为尺G,证明∆β尸CgACGO,即可证明族=CG,进一步计算即可

得出答案.

【解析】

解：分别过8、。作AE的垂线，垂足分别为EG,

V,CDVBC,

.∙.ZBCF+NFBC=90o,NBCF+ZGCD=90°,

：.ΛFBC=ZGCD,

在,BFC和一CGo中;

ZBFC=ZCGD

ZFBC=ZGCD1

BC=CD

：..BFeMCGD,

：.BF=CG,

∙/AB=BC=CD=DE=5cm1

・・・.ABG二CDE均为等腰三角形，

∙/AC=6cm,

，FC=—AC=3cm,

2

∙,∙BF=y∣BC2-FC2=√52-32=4cm，

CE=2CG=2BF=2χ4=8an,

故选：D.

【点睛】

本题主要考查等腰三角形判定与性质，全等三角形判定与性质以及勾股定理等知识点，正确画出辅助线是

解决本题的关键.

4.（2021•江苏苏州・中考真题）如图，在平行四边形ABC。中，将,ABC沿着AC所在的直线翻折得到VABC,

B'C交AZ＞于点E,连接U。，若/3=60。，ZACB=45°,AC=娓,则875的长是（）

A.1B.√2C.√3D.—

2

【答案】B

【分析】

利用平行四边形的性质、翻折不变性可得aAEC为等腰直角三角形，根据已知条件可得CE得长，进而得出

E。的长，再根据勾股定理可得出*D；

【解析】

解：：四边形488是平行四边形

.'.AB=CD^B=ZADC=ω°,NACB=NCAD

由翻折可知：BA=AB1=DC,ZACB=-ZACB'=45°,

.∙.AAEC为等腰直角三角形

.,.AE=CE

ΛRtΔAEB'RtACDE

J.EB'=DE

：在等腰Rt△AEC中，AC=瓜

CE=√3

,/在RtADEC中，CE=√3,NAoC=60。

.∙.NOCE=30°

：.DE=\

在等腰RtAQEB'中，EB'=DE=X

/.β,D=√2

故选：B

【点睛】

本题考查翻折变换、等腰三角形的性质、勾股定理、平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基

本知识，属于中考常考题型.

5.（2021•浙江杭州•中考真题）已知线段A8,按如下步骤作图：①作射线AC,使AC_LAfi；②作ZSAC的

平分线Ar＞；③以点A为圆心，48长为半径作弧，交AO于点E;④过点£作EPJ于点P,则AP:AB=

()

C

A.lr√5B.1:2C.l:ʌ/ʒD.b√2

【答案】D

【分析】

由题意易得NBAO=45。，AB=AE,进而可得△APE是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质可

求解.

【解析】

解：VACYAB,

二ZCAB=90°,

「A。平分NBAC,

.∙.ZBAZ)=45o,

,：EPA.AB,

.∙.是等腰直角三角形，

：.AP=PE,

二AE=√AP2+PE2=无AP>

'：AB=AE,

∙*∙AB=√2AP，

；•AP:A8=1:a;

故选D.

【点睛】

本题主要考查等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理及角平分线的定义，熟练掌握等腰直角三角形的性

质与判定、勾股定理及角平分线的定义是解题的关键.

6.(2021•山东荷泽・中考真题)如图(1),在平面直角坐标系中，矩形ABC。在第一象限，且BC∕∕x轴，直

线y=2x+l沿X轴正方向平移，在平移过程中，直线被矩形458截得的线段长为。，直线在X轴上平移的

距离为b,4、。间的函数关系图象如图（2）所示，那么矩形ABCO的面积为（）

（1）（2）

A.√5B.2√5C.8D.10

【答案】C

【分析】

根据平移的距离b可以判断出矩形BC边的长，根据。的最大值和平移的距离6可以求得矩形AB边的长,

从而求得面积

【解析】

如图：根据平移的距离b在4至7的时候线段长度不变，

可知图中BF=7—4=3,

根据图像的对称性，AE=CF=I,

.∖BC=BF+FC=3+1=4

由图（2）知线段最大值为石，即BE=