2022年北京通州区北苑学校 高二数学理摸底试卷含解析

2022年北京通州区北苑学校高二数学理摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在同一坐标系中，方程与（＞ｂ＞０）的曲线大致是（）参考答案：D2.若是的导函数，要得到的图像，需将的图像（

）（A）向左平移个单位

(B)向右平移个单位

(C)

向左平移个单位

(D)向右平移个单位参考答案：A3.椭圆上一点与椭圆的两个焦点的连线互相垂直，则的面积为（

）.20

.22

.24

.25参考答案：C略4.曲线y＝1＋(|x|≤2)与直线y＝k(x－2)＋4有两个交点时，实数k的取值范围是()

A.

B.

C.

D.参考答案：A5.椭圆上一点P到一个焦点的距离为6,则P到另一个焦点的距离为(

)A、10

B、6

C、5

D、4参考答案：D6.双曲线的渐近线方程为(

)．(A)

(B)(C)

(D)参考答案：D略7.定义在上的奇函数，当时，，则关于的函数的所有零点之和为（）A．

B．

C．

D．参考答案：B略8.设a，b为正实数，则“a＜b”是“”成立的()A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件

D．充要条件参考答案：D9.设是等比数列的前项和，，则公比（

）A、

B、

C、或

D、或参考答案：C试题分析：，又解得或，选C.考点：等比数列公比【思路点睛】分类讨论思想在等比数列中应用较多，常见的分类讨论有①已知Sn与an的关系，要分n＝1，n≥2两种情况．②等比数列中遇到求和问题要分公比q＝1，q≠1讨论．③项数的奇、偶数讨论．④等比数列的单调性的判断注意与a1，q的取值的讨论．KS5U10.平面内有一长度为4的线段AB，动点P满足|PA|+|PB|=6，则点P的轨迹是（）A．直线 B．射线 C．椭圆 D．双曲线参考答案：C【考点】椭圆的定义．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】直接由椭圆的定义可得点P的轨迹．【解答】解：由题意可知，动点P在以A、B为焦点、长轴等于6的椭圆上，且a=3，c=2，b2=a2﹣c2=9﹣4=5．∴点P的轨迹是椭圆，且方程为．故选：C．【点评】本题考查椭圆的定义，是基础的会考题型．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.我们在学习立体几何推导球的体积公式时，用到了祖日恒原理：即两个等高的几何体，被等高的截面所截，若所截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．类比此方法：求双曲线（a＞0，b＞0），与x轴，直线y=h（h＞0）及渐近线所围成的阴影部分（如图）绕y轴旋转一周所得的几何体的体积．参考答案：a2hπ【考点】类比推理．【分析】确定AC2﹣BC2=a2，由祖暅原理知，此旋转体的体积，等价于一个半径为a，高为h的柱体的体积．【解答】解：y=m，是一个圆环其面积S=π（AC2﹣BC2）∵?，同理∴AC2﹣BC2=a2，由祖暅原理知，此旋转体的体积，等价于一个半径为a，高为h的柱体的体积为a2hπ．故答案为：a2hπ．12.已知函数是定义在上的周期为2的奇函数，则______.参考答案：0:试题分析：因为以2为周期为函数，故，而由奇函数可知，所以考点：函数的周期性及奇偶性综合应用13.已知函数f（x）=x3+3ax2+3x+1，当x∈[2，+∞），f（x）≥0恒成立，则实数a的取值范围是．参考答案：[﹣，+∞）【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】问题等价于x++≥﹣3a．令g（x）=x++，根据函数的单调性求出g（x）的最小值，从而求出a的范围即可．【解答】解：x∈[2，∞），f（x）≥0，即x3+3ax2+3x+1≥0，即x++≥﹣3a．令g（x）=x++，则g'（x）=，下面我们证g'（x）≥0在x∈[2，∞）恒成立，也即x3﹣3x﹣2≥0在x∈[2，∞）上恒成立，令h（x）=x3﹣3x﹣2，则h'（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1），易知h'（x）≥0在x∈[2，∞）上恒成立，∴h（x）在x∈[2，∞）上为增函数，∴h（x）≥h（2）=0，也就是x3﹣3x﹣2≥0在x∈[2，∞）上恒成立，∴g'（x）≥0在x∈[2，∞）上恒成立，g（x）在x∈[2，∞）为增函数，∴g（x）的最小值为g（2）=，﹣3a≤g（2）=，解得a≥﹣，故答案为：[﹣，+∞）．14.若点P是曲线y＝x2－lnx上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为______________参考答案：略15.一个圆柱的底面面积是S，其侧面展开图是正方形，那么该圆柱的侧面积为

。参考答案：4πS16.双曲线的渐近线方程是__________．参考答案：y=±【分析】由双曲线的方程求得，再根据双曲线的几何性质，即可求解渐近线的方程，得到答案。【详解】由双曲线的方程，可得，又由焦点在轴上，故渐近线方程为，故答案为．【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单几何性质，其中解答中熟记双曲线的几何性质，合理计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题。17.直线与直线平行，则a的值是

.参考答案：或0

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）设，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围。参考答案：设命题p,q所在的集合分别为P，Q，，p是q的必要不充分条件，则Q是P的真子集，19.（本题满分13分）在四棱锥中，//，，，平面，.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求异面直线与所成角的余弦值（Ⅲ）设点为线段上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值．参考答案：（1）证明：因为，，所以以为坐标原点，所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，，，.

所以，，，所以，.所以，.因为，平面，平面，所以平面.

4分（2），

异成直线与所成角的余弦值

8分（Ⅲ）解：设（其中），，直线与平面所成角为.所以.所以.所以即.

所以.

10分平面的一个法向量为.

11分因为，所以.解得.所以.

13分20.如图，已知椭圆（a＞b＞0），A（2，0）是长轴的一个端点，弦BC过椭圆的中心O，且=0，|=2||．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设P、Q为椭圆上异于A，B且不重合的两点，且∠PCQ的平分线总是垂直于x轴，是否存在实数λ，使得=λ，若存在，请求出λ的最大值，若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由已知条件推导出△AOC是等腰直角三角形，C（1，1），由点C在椭圆上，得，由此能求出椭圆方程．（Ⅱ）对于椭圆上两点P，Q，由∠PCQ的平分线总是垂直于x轴，知PC与CQ所在直线关于x=1对称，kPC=k，则kCQ=﹣k，PC的直线方程为y=k（x﹣1）+1，QC的直线方程为y=﹣k（x﹣1）+1，由此求出PQ∥AB，从而得到存在实数λ，使得=λ，求出||的最大值，即可得出结论．【解答】解：（I）∵=0，∴∠ACB=90°，又|=2||，即||=2||，∴△AOC是等腰直角三角形

…∵A（2，0），∴C（1，1），而点C在椭圆上，∴∴b2=，∴所求椭圆方程为；

…（II）对于椭圆上两点P，Q，∵∠PCQ的平分线总是垂直于x轴，∴PC与CQ所在直线关于x=1对称，kPC=k，则kCQ=﹣k，…∵C（1，1），∴PC的直线方程为y=k（x﹣1）+1，①QC的直线方程为y=﹣k（x﹣1）+1，②将①代入得（1+3k2）x2﹣6k（k﹣1）x+3k2﹣6k﹣1=0，③∵C（1，1）在椭圆上，∴x=1是方程③的一个根，∴xP=…以﹣k替换k，得到xQ=．∴kPQ==∵∠ACB=90°，A（2，0），C（1，1），弦BC过椭圆的中心O，∴A（2，0），B（﹣1，﹣1），∴kAB=，∴kPQ=kAB，∴PQ∥AB，∴存在实数λ，使得=λ

…||==≤当时即k=±时取等号，又||=，λmax==

…21.（本小题满分12分）已知曲线，直线过、两点，原点到的距离是（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）过点B作直线交双曲线于M、N两点