2023年高考数学之平面向量突破九 平面向量的奔驰定理含解析

2023年高考数学之平面向量专题突破专题九平面向量的奔驰定理

ɪ.奔驰定理

如图，已知P为AABC内一点，则有SNBe•/+SA用C♦油+&*比=0.

BDSAABDS&BPDSSABD-S&BPDS&PAB

证明：如图，延长A尸与BC边相交于点则。

DCS&ACDS&CPDSLACD~S^CPDSAPAC'

,：昨痴i跳就,.∖pb=.⅛­p⅞+ςPt,

-

万LO∆PACI□∆PAβO∆PΛC∣0∆PΛβ

..PDSABPDS>CPDSABPD+S^CPDSAPBC-.∖pb^-~⅛-PA,

PASABPAS^CPAS^BPA÷SΔCPΛS>PAC+S,ABS*PAC+SAPAB

即一<S喘一或=ES偿—p⅞+-⅛—Pb,：.S"8C∙成+S"AC∙协+S"AB∙死=0∙

3∆PACIO∆PAβO∆MC-ΓO∆PAβO∆PAC-∣*3∆PAβ

LIJ于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”.这个定理对于利用平面

向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用.奔驰

定理是三角形四心向量式的完美统一.

推论：已知P为AABC内一点，J≡lx^+y^+zM=0.(x,y,z∈R,Λ>∙Z≠0,x+y+z≠0).则有

(X)SAPBC:S,AC:S△咫B=IXl：∣y∣：∣z∣.

ʌXS△朋CJS△用8Z

1

5ΔABCx+y+zSΔASCx+y+z'SAABCx+y+z'

【例题选讲】

［例IKI)设点。在"BC的内部，且有次+2防+3求=0,贝IJAABC的面积和AAOC的面积之比为

)

53

A.3B.ɜC.2D.2

答案A解析分别取AC、BC的中点。、E,∖,θλ+2O^+3δt^0,ΛθA+θt=-2(O⅛+θt),

即2历=一4流，,O是。E的一个三等分点，.∙∙lς=3.

∙J∆AOC

秒杀根据奔驰定理得，SAABC:SΔAOC=(1+2+3):2=3.

⑵在△的中，。为"BC所在平面内一点，且加=拗+应，则鬻等于（

答案B解析如图，由点。在AABC中与AB平行的中位线上，且在靠近BC边的三等分点处，从

SABC∕>=(1一厂寸SAABC=

秒杀由病="+标得，成+2协+3求=0,根据奔驰定理得，S"CD：SMBD=I：3.

（3）已知点A,B,C,尸在同一平面内，丽=3可，荻/西萍=W无，则S”80：S“此等于（）

A.14：3B.19：4C.24：5D.29：6

11IOIO

答案B解析由豚=W效，得成一方=§（曲一丽），整理得成=W或+§丽=§油+g防由砂=

轲得那=g（沌一成），整理得发=一，ð,.∙.-∕t=g而+飘整理得4可+6屋+9灾=O,根据

奔驰定理得，.∙.S"BC:SAPBC=（4+6+9）：4=19：4.

（4）已知点P,Q在AABC内，M+2P⅛+3^,=2βA+3β⅛+5βt=0,则幽等于（）

I油

c

Q

------------------------>B

ʌ-30B'3?c'32D'33

答案A解析根据奔驰定理得，SAPBC:S^PAC:SAMB=I：2：3,SAQBC:SAQAC:SGQAB=2：3：5,

I111l

粉Q----

•SAaB=SAQAB=SA56

∙Bc53δ∙

点为4ABC内一点，若：SABoC：：设为。,次，则实数λ和μ的值

(5)OSΔA0B:SAAoC=432,=9+

分别为()

2442l221

-------

一C

9999

A.夕B.D.

9,9,9,

答案A解析秒杀根据奔驰定理，得3OA+2彷+4。C=0,即3OA+2(θλ+AB)+4(OA+AC)

=0,整理得Ad=意¾+京t，故选A.

(6)设点尸在AABC内且为AABC的外心，NBAC=30。，如图.若APBC,APCA,△/¾B的面积分别为

X,y,则x+y的最大值是.

答案坐解析根据奔驰定理得，飒+x4+)屁1=0,即#=2X防+2)网平方得砂=4犬2防2

+4)2反＜≈+8Xyl的∙∣无l∙cosNBPC,又因为点P是AABC的外心，所以网|=|的=|反］,且NBPC=2NBAC

2

=60。，所以x+V+孙=；,(x+y)2=；+AyW+(g∖),解得当且仅当x=y=*时取等号.所

以(x+y)maχ=乎.

【对点训练】

1.设O是AABC内部一点，且。4+OC=-208,则AAOB与AAOC的面积之比为.

2.设。在AABC的内部，。为AB的中点，且殖+防+2求=0,贝IJAABC的面积与AAOC的面积的比

值为.

3.已知P,Q为AABC中不同的两点，且3国+2防+用=0,酬+效+爱=0,则SA/M：SAQAB为.

4.已知。为AABC的边48的中点，M在OC上满足5AM=AB+3AC,则“8M与AABC的面积比为（）

1r2-3-4

AgB-5C∙gDg

5.若M是AABC内一点，且满足就+病=4俞，则AABM与AACM的面积之比为（）

11ClC

A.2B.ɜC.4D.2

6.已知。是面积为4的AABC内部一点，且有苏+加+2历=0,则AAOC的面积为.

7.已知点。为AABC所在平面上一点，且满足足）=/屈一,GL若AACQ的面积为1,贝IJAABO的面积为

8.已知点尸是AABC的中位线EF上任意一点，且E/〃BC,实数x,y满足方+x西+y郎=0,设ZkABC,

APBCLPCA,△以B的面积分别为S,S∣,S2,S3,记］=九,⅞=12.⅜=A3,则%力取最大值时,

ɔɔɔ

3x+γ的值为（）

13

A.2B.2C.1D.2

专题九平面向量的奔驰定理

1.奔驰定理

如图，已知尸为AABC内一点，贝IJ有SNBC•国+SAMC∙曲+SA阴B∙危=0.

证明：如图，延长AP与BC边相交于点则。，黑=沁=沁=沁匚沁=沁,

"CO∆,ACD'XCPD∂∆ACD—bACPD^∆PAC

vpZ)=⅛+⅛t,.∙.pb=~⅝—∕⅞+-⅛.7⅞,

万L力CJAPAC十〉APAB3∆PAC^r□∆P4B

..PDSABPDS2CPDSABPD+SACPDSAPBC-,:.pb=~.⅛PA,

PAS^BPAS^CPAS^BPA÷5ΔCEASSAC+S"ABS^PAC÷5ΔPAB

由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理这个定理对于利用平面

向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用.奔驰

定理是三角形四心向量式的完美统一.

推论：已知P为AABC内一点，且X可+)庐⅛+z沌=0.(x,y,z∈R,xyz≠0,x+y+z≠0).则有

(X)SAPBC:S^PAC:SA∕¾8=∣X∣：Iyl：∣z∣.

ɔ∆PBCIXIS△附C]ySAMBIZ

S^ABCx÷y+z'S^ABCx+y+z'S^AHCx+y+z*

【例题选讲】

[例1](1)设点。在AABC的内部，且有次+2成+3及1=0,贝IJ"BC的面积和MOC的面积之比为

()

53

A.3B.ɜC.2D.2

答案A解析分别取AC、BC的中点。、E,,.'δλ+2δh+3δt=o,:.oX+ot=~2(ob+ob),

即2历=-4/，.∙∙。是DE的一个三等分点，.•・莫=3∙

4A

秒杀根据奔驰定理得，SAABC:SAAoC=(I+2+3):2=3.

(2)在AABC中，。为AABC所在平面内一点，且At)=拗+；公，则部”等于

O^ABD

ʌ-6B-3c∙2D.ɪ

答案B解析如图，由点。在AABC中与AB平行的中位线上,，且在靠近BC边的三等分点处，从

而有SAABD=2SAABC,SAACD=WSAABC，SA3CD=(1-/一1)SAABC=不44/«:,所以2=;.

O∆AffDɔ

B

秒杀由病=辆+g公得，Dλ+2Db+3Dt=0,根据奔驰定理得，SABC°：SAABo=1：3.

（3）已知点A,B,C,P在同一平面内，P^=^Pk,碇=（砂，吩=融,则SAABC：SAPBC等于（）

A.14：3B.19：4C.24：5D.29：6

11i-ɔlɔ

答案B解析由或=%k得成一通=§（曲一所），整理得沐=5或+］而=yδ+g防由成=

躯：，得那=；（沌一成），整理得成=一3沌，.∙.一∕t=T而+,防整理得4可+6防+9反=0,根据

奔驰定理得，.∙.SΔΛSC:SA∕>BC=（4+6+9）：4=19：4.

⑷已知点P,Q在∙MBC内，成+2肪+3瓦?=2发+3砂+5发=0,则囱ɪ等于（）

电I

答案A解析根据奔驰定理得，SAPBC:S^PAC:心雨8=1：2：3,SAQBC:SAQAC:SAQAB=2：3：5,

_1„.I⅞111

,SAMB=SAQAB=ISAABC,∙'∙PQ//AB,XVSHPBC—^SLABC一尹ABC，,•一§6-30∙

（5）点O为MBC内一点，若S^AOB-SABoC:SAAOC=4：3：2,设A夙，则实数2和〃的值

分别为（）

2442l221

----C----

A.9B.99D.9

9,9,9,9,

答案A解析秒杀根据奔驰定理，得3θλ+2θb+4θt=0,即3次+2（醇+砧）+4（殖+祀）

=0,整理得Að=抛+料，故选A.

(6)设点P在AABC内且为AABC的外心，ZBAC=30°,如图.若APBC,∆PCA,△/¾B的面积分别为

/X,y,则x+y的最大值是.

答案当解析根据奔驰定理得，羽+x彷+通=0,即#=Zr防+2烟，平方得#=4x2/

+4)2市+8xy∣ph∖∖Pt∖-cosZBPC,又因为点P是AABC的外心，所以同|=|闻|=|曲，且NBPC=2NBAC

=60。，所以(+犬+孙=],(x+y)2=J+DW]+d)4,解得Oa+y≤申，当且仅当x=y=当时取等号.所

fcTfcτfcι\/JIJ

以(x+y)maχ=乎.

【对点训练】

1.设O是AABC内部一点，且Q4+OC=-2O8,则AAOB与AAOC的面积之比为.

1.答案\解析设。为AC的中点，连接。。，则ðA+比=2仍.又况+比=-2仍，所以帅=一

彷，即。为B力的中点，从而容易得AAOB与AAOC的面积之比为今

秒杀由。4+OC=-2OB,得。4+OC+208=0,根据奔驰定理得，ZiAOB与A40C的面积之比

2.设。在AABC的内部，。为A8的中点，且次+份+2求=0,则AABC的面积与∆AOC的面积的比

值为.

2.答案4解析；£＞为AB的中点，则应)=；(次+两，又温+循+2次=0,.•.沆)=一比，二。

为CZ)的中点.又：。为AB的中点，；.SAAOC=;SAAoC=:SAABC,则科里=4.

24∂∆AOC

C

秒杀因为温+时+2求=。，根据奔驰定理得，葭=4.

3.已知尸，。为MBC中不同的两点，且3成+2或+元=O,Qλ+Qh+Qb=0,则心校：SAQAB为

3.答案1：2解析因为3可+2屈+反'=2（或+闻）+可+同=0,所以尸在与BC平行的中位线上，

且是该中位线上的一个三等分点，可得SAm8=∣SAABC,或+磅+友=0,可得。是AABC的重心，因

此S40A6=QS"6C,S△/¾B：SAQAB=I:2,故选A.

：SMBC=I：

秒杀由3α+2协+由=0,βA+β⅛+βt=0,根据奔驰定理得，S^PAB：6,S^QABSMBC

=1：3=2：6,所以SAM8：SAEB=I：2,故选A.

4.已知。为AABC的边AB的中点，M在。C上满足5磁=翁+3元,则AABM与AABC的面积比为（）

A.1B.IC.D.

4.答案C解析因为。是AB的中点，所以矣=2病，因为5危=油+3公，所以2施—2病=3企

-3AM,即2DM=3>MC,所以5DM^3DM+3MC^3DC,所以加/=|皮,设立①分别是AABM,LABC

的AB边上的高，所以舞=H=*=器=哽=|.

δabcWABXh2~∖DC∖

秒杀由5AM=AB+3AC,得加前+3加。，根据奔驰定理得,⅛=∣-

5.若M是AABC内一点，且满足就+进=4威L则AABM与AACM的面积之比为（）

A・；B∙；C.；D.2

5.答案A解析设AC的中点为£>,则或+或=2/），于是2前）=4俞,从而应）=2俞，即M为8。

ɪ/出占手曰S&ABMSAABMBM1

的中总，于zeS-仞=2S-MQ一砺=1

秒杀由威+证=4威/,得施+2前+E∕=0,根据奔驰定理得，步幽=）

o^ACML

6.己知。是面积为4的AABC内部一点，且有方+加+2求=0,则AAOC的面积为.

6.答