北师大版九年级数学上册期中综合检测试卷(解析版)

北师大版九年级数学上册期中综合检测试卷（1-4）一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1.菱形具有而矩形不具有的性质是（）A.对角线互相垂直 B.对角线相等C.四个角都是直角 D.对角线互相平分【答案】A【解析】【分析】由菱形的对角线互相平分且垂直，矩形的对角线相等且互相平分，即可求得答案．【详解】∵菱形具有的性质：对角线互相垂直，对角线互相平分；矩形具有的性质：对角线相等，四个角都是直角，对角线互相平分；∴菱形具有而矩形不具有性质是：对角线互相垂直．故选A．【点睛】本题考查了矩形的性质与菱形的性质．注意熟记菱形与矩形的性质区别是关键．2.关于的方程解为()A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【详解】，，，，故选C．3.如图，一张矩形纸片ABCD的长，宽将纸片对折，折痕为EF，所得矩形AFED与矩形ABCD相似，则a：A.2：1 B.：1 C.3： D.3：2【答案】B【解析】【分析】根据折叠性质得到AF＝AB＝a，再根据相似多边形的性质得到，即，然后利用比例的性质计算即可．【详解】解：∵矩形纸片对折，折痕为EF，

∴AF＝AB＝a，

∵矩形AFED与矩形ABCD相似，

∴，即，

∴a∶b＝.

所以答案选B.【点睛】本题考查了相似多边形的性质：相似多边形对应边的比叫做相似比．相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．4.如果□ABCD的对角线相交于点O，那么在下列条件中，能判断□ABCD为矩形的是()A.∠OAB＝∠OBA B.∠OAB＝∠OBCC.∠OAB＝∠OCD D.∠OAB＝∠OAD【答案】D【解析】【分析】①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．据此判断即可．【详解】对于选项A，

∵∠OAB=∠OBA，

∴OA=OB，

∴AC=BD.

根据此条件，不能判断四边形ABCD是菱形，故A不符合题意.

对于选项B，由∠OAB=∠OBC，不能判断四边形ABCD的邻边相等，故B不符合题意.

对于选项C，由∠OAB=∠OCD，可得AB∥CD，根据已知也可得此条件，故不符合题意.

对于选项D.

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠OAB=∠ACD.

∵∠OAB=∠OAD，

∴∠DAC=∠DCA，

∴AD=CD，

∴四边形ABCD是菱形.

故选D.【点睛】本题考查的是平行四边形，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键.5.已知，若与的周长比为，则与的面积之比为（）A.2:3 B.3:2 C.3:4 D.4:9【答案】D【解析】【分析】由△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的周长比为2：3，根据相似三角形的周长比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案．【详解】∵△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的周长比为2:3，∴△ABC与△DEF的相似比为2:3，∴△ABC与△DEF的面积之比为4:9.故选D.【点睛】本题考查的是相似三角形，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键.6.已知a、b为一元二次方程的两个根，那么的值为（）A.11 B.0 C.7 D.-7【答案】A【解析】【分析】首先根据求根公式，得出方程的两根，即a和b的值，然后分情况代入代数式求解即可得解.【详解】方法一：由已知得，或∴当时，=当时，=综上所述，所求值为11，方法二：已知a、b为一元二次方程的两个根，则有即a2=-2a+9,且a+b=-2,∴故答案为A.【点睛】此题主要考查根据一元二次方程的两根求代数式的值，熟练掌握，即可解题.7.如图，是正方形的边上一点，下列条件中：①；②；③④．能使的有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】D【解析】【分析】由四边形ABCD为正方形，利用正方形的性质四个角为直角，可得出∠B=∠C=90°，若∠BAE=∠CEF，再由∠B=∠C=90°，利用两对对应角相等的三角形相似可得出三角形ABE与三角形ECF相似；若∠AEB=∠EFC，再由∠B=∠C=90°，利用两对对应角相等的三角形相似可得出三角形ABE与三角形ECF相似；若AE垂直于EC，根据平角的定义可得出一对角互余，再由直角三角形ABE的两个锐角互余，利用同角的余角相等可得出一对角相等，再由∠B=∠C=90°，利用两对对应角相等的三角形相似可得出三角形ABE与三角形ECF相似；若AB：EC=BE：CF，加上夹角∠B=∠C，利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，可得出三角形ABE与三角形ECF相似，综上，得出四个选项都能使三角形ABE与三角形ECF相似．【详解】∵四边形ABCD为正方形，∴∠B=∠C=90°，若∠BAE=∠CEF,可得△ABE∽△ECF，则选项①能使△ABE∽△ECF；若∠AEB=∠EFC,可得△ABE∽△ECF，则选项②能使△ABE∽△ECF；若AE⊥EF,可得∠AEF=90°，∴∠AEB+∠CEF=90°，又∵∠B=90°，∴∠BAE+∠AEB=90°，∴∠BAE=∠CEF，又∵∠B=∠C=90°，∴△ABE∽△ECF，则选项③能使△ABE∽△ECF；若AB：EC=BE：CF,再由夹角∠B=∠C=90°,可得出△ABE∽△ECF，则选项④能使△ABE∽△ECF，综上,能使△ABE∽△ECF的选项有①②③④，共4个.故选D.【点睛】本题考查的是相似三角形，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键.8.如图，已知，，，则和的面积比是（）A.2:3 B.2:5 C.4:9 D.4:25【答案】D【解析】【详解】试题解析：∵DE∥BC，∴∠ADE∽△ABC，∴，∵AD=2，BD=3，∴AB=5，∴，故选D．9.下列命题中，是真命题的是（）A.两条对角线互相平分的四边形是平行四边形B.两条对角线相等的四边形是矩形C.两条对角线互相垂直的四边形是菱形D.两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形【答案】A【解析】【分析】根据特殊四边形的判定方法进行判断．【详解】解：对角线互相平分的四边形是平行四边形，故选项A符合题意；对角线相等的平行四边形是矩形，故选项B不符合题意；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项C不符合题意；对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故选项D不符合题意．故选：A．10.如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE=20m，EC=10m，CD=20m，则河的宽度AB等于（）A.60m B.40m C.30m D.20m【答案】B【解析】【详解】∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴AB∥DC．∴△EAB∽△EDC．∴．又∵BE=20m，EC=10m，CD=20m，∴，解得：AB＝40（m）．故选：B．二、填空题（共10小题，每小题3分，共30分）11.如图中，，AB=5，AC=12，P为边BC上一动点，于E，于F，M为EF中点，则AM的最小值为______.【答案】【解析】【分析】连接AP，由在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，可证得四边形AEPF是矩形，即可得AP＝EF，即AP＝2AM，然后由当AP⊥BC时，可求得AP最小值，即可得出AM的最小值.【详解】解：如图：当P与C不重合时，连接AP，∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠AEP＝∠AFP＝90°，又∵∠BAC＝90°，∴四边形AEPF是矩形，∴AP＝EF，∵∠BAC＝90°，M为EF中点，∴AM＝EF＝AP，∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，AC＝12，∴BC＝＝13，当AP⊥BC时，AP值最小，此时S△BAC＝×12×5＝×13×AP，解得AP＝，∴AP的最小值为，∴AM的最小值是.【点睛】本题考查了矩形的性质的运用、勾股定理的运用、三角形的面积公式、垂线段最短的性质的运用等知识点，根据题意求出AP的最小值是解答本题的关键．12.为全面建设小康社会，加快推进社会主义现代化，力争到年国民生产总值比年翻两番．要实现这一目标，以十年为单位计算，设每个十年的国民生产总值的增长率都是，那么可列方程________．【答案】【解析】【分析】2000年的国内生产总值没有，应设其为1，可得翻两番是4，根据2020年国民生产总值=2000年国民生产总值×（1+x）2，把相关数值代入即可求解．【详解】可设2000年的国民生产总值为1，翻一番是2，再翻一番是4，每个十年的国民生产总值的增长率都是x，∴2010年国民生产总值为1×(1+x)，∴2020年国民生产总值为1×(1+x)×(1+x)=(1+x)2，∴可列方程为(1+x)2=4，故答案为(1+x)2=4.【点睛】本题考查的是一元二次方程的实际应用，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键.13.如图，为正方形外一点，，，则的长为________．【答案】【解析】【分析】过点E作EF⊥BC于F，交AD于G，作AE的垂直平分线交EF于点O，则点O是△ADE的外心，DG=a，则OE=OD=a，FG=2a，BF=a，在Rt△DEG中，利用勾股定理求出a2，再在Rt△EFB中，利用勾股定理求出BE即可．【详解】过点E作EF⊥BC于F，交AD于G，作AE的垂直平分线交EF于点O，则点O是△ADE的外心，∴∠AOD=2∠DEA=90°，OA=OD=OE，∴OG=DG=AG，设DG=a,则OE=OD=a，FG=2a，BF=a，在Rt△DEG中，DE2=EG2+DG2，∴9=(a+a)2+a2，解得a2=，∴BE====3.故答案为3.【点睛】本题考查了正方形的性质，解题的关键是熟练的掌握正方形的性质.14.某种型号的电脑，原售价7200元/台，经连续两次降价后，现售价为4608元/台，则平均每次降价的百分率为________．【答案】20%【解析】【分析】设平均每次降价百分率为，根据题意列出一元二次方程，解方程求解即可【详解】解：设平均每次降价的百分率为，根据题意得，解得（不符合题意，舍去）故答案为：【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．15.如图，与是位似图形，点是位似中心，若，，则________．【答案】18【解析】【分析】△ABC与△A′B′C′是位似图形，由OA=2AA′可得两个图形的位似比，面积的比等于位似比的平方．【详解】△ABC与△A′B′C′是位似图形且由OA=2AA′．可得两位似图形的位似比为2：3，所以两位似图形的面积比为4：9，又由△ABC的面积为8，得△A′B′C′的面积为18．故答案：18.【点睛】考查了位似图形的性质：面积的比等于位似比的平方．16.如图，在中，于．若不增加任何字母与辅助线，要使得四边形是正方形，则还需增加的一个条件是________．【答案】等（答案不唯一）【解析】【分析】根据菱形判定定理及正方形的判定定理即可解答．【详解】解：∵在▱ABCD中，AC⊥BD于O，∴四边形ABCD是菱形，当AC=BD时，菱形ABCD就是正方形，∴要使得四边形ABCD是正方形，则还需增加的一个条件是：AC=BD等（答案不唯一）．故答案为AC=BD等（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查了正方形的判定，解答此题的关键是熟练掌握正方形的判定定理，即对角线相等的菱形是正方形．17.填空：解一元二次方程的方法有四种，它们是直接开平方法、________、________、________．【答案】①.配方法②.公式法③.因式分解法【解析】【分析】根据解一元二次方程的方法有四种，①直接开平方法、②配方法、③公式法、④因式分解法填空即可．【详解】解一元二次方程的方法有四种，直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法.故答案填配方法、公式法、因式分解法.【点睛】本题考查了解一元二次方程的方法，解题的关键是熟练的掌握解一元二次方程的方法.18.书架上有两套同样的书，每套书分上下两册，在这两套书中随机抽取出两本，恰好是一套书的概率是________．【答案】【解析】【分析】本题需求出总的基本事件数和符合条件的额基本事件数，由古典概型公式可得．【详解】从4本书中随机抽取出两本共有6种情况，恰好组成一套教材需从两本上册和下册中各取一本，故恰好组成一套教材的情况数共有2×2=4种，故所求概率为：=.故答案为.【点睛】本题考查了古典概型及其概率计算公式，解题的关键是根据题意找出总的基本事件数和符合条件的额基本事件数再由古典概型公式可得.19.如图，正方形的对角线交于点O，以为边向外作，，连接，，，则另一直角边的长为_____．【答案】10【解析】【分析】过点O作于点M，作，交的延长线于点N，根据，易得四边形是矩形，，根据正方形对角线性质得到，，得到，推出，推出，推出四边形是正方形，根据，推出，推出，推出．【详解】解：过点O作于点M，作，交的延长线于点N，则，∵，∴四边形是矩形，，∵正方形的对角线交于点O，∴，，∴∴，∴，∴，，∴四边形是正方形，∴，∵，∴，∴，∴，∴．故答案：10．【点睛】本题主要考查了正方形，全等三角形，等腰直角三角形．解题的关键是正确作出辅助线，熟练掌握正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰直三角形边的性质．20.如图，在中，，点、同时由、两点出发，点在上沿方向以的速度移动，点在上沿方向以的速度移动，则________秒钟后，的面积为？【答案】或【解析】【分析】设P、Q同时出发x秒钟后，AP=2xcm，PC=（12-2x）cm，CQ=xcm，此时△PCQ的面积为：×x（12-2x），令该式=8，由此等量关系列出方程求出符合题意的值．【详解】设P、Q同时出发x秒钟后,△PCQ的面积为8cm2.依题意得：×x(12−2x)=8，解得x=2或x=4.故答案是：2或4.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程的应用.三、解答题（共6小题，每小题10分，共60分）21.解方程：．【答案】(1)，；(2)，；(3)，；(4)，．【解析】【分析】（1）先移项得到x2-6x+5=0，再利用因式分解法解方程即可；（2）利用直接开平方法解方程即可；（3）利用公式法解方程即可；（4）利用直接开平方法解方程即可.【详解】解：∵，

∴，

∴或，

∴，；∵，

∴，；∵，

∴，

∴，；∵

即或，

∴，．【点睛】本题考查了解一元二次方程，属于基础题型，解题的关键要掌握一元二次方程的几种解法.22.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC+∠ADC＝180°．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若∠ADF：∠FDC＝3：2，DF⊥AC，求∠BDF的度数．【答案】（1）见解析；（2）∠BDF＝18°．【解析】【分析】（1）先证明四边形ABCD是平行四边形，求出∠ABC=90°，然后根据矩形的判定定理，即可得到结论；（2）求出∠FDC的度数，根据三角形的内角和，求出∠DCO，然后得到OD=OC，得到∠CDO，即可求出∠BDF的度数．【详解】（1）证明：∵AO＝CO，BO＝DO，∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠ADC，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ABC＝∠ADC＝90°，∴四边形ABCD是矩形；（2）解：∵∠ADC＝90°，∠ADF：∠FDC＝3：2，∴∠FDC＝36°，∵DF⊥AC，∴∠DCO＝90°﹣36°＝54°，∵四边形ABCD是矩形，∴CO＝OD，∴∠ODC＝∠DCO＝54°，∴∠BDF＝∠ODC﹣∠FDC＝18°．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，能灵活运用定理进行推理是解题的关键．注意：矩形的对角线相等，有一个角是直角的平行四边形是矩形．23.一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.（1）若降价3元，则平均每天销售数量为________件；（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？【答案】（1）26；（2）每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元.【解析】【分析】（1）根据销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，可得若降价3元，则平均每天可多售出2×3=6件，即平均每天销售数量为20+6=26件；（2）利用商品平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种商品利润列出方程解答即可．【详解】（1）若降价3元，则平均每天销售数量为20+2×3=26件．（2）设每件商品应降价x元时，该商店每天销售利润为1200元．根据题意，得（40-x）（20+2x）=1200，整理，得x2-30x+200=0，解得：x1=10，x2=20．∵要求每件盈利不少于25元，∴x2=20应舍去，∴x=10．答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售的利润是解题关键．24.如图，正方形AEFG的顶点E在正方形ABCD的边CD上；AD的延长线交EF于H点．（1）试说明：△AED∽△EHD（2）若E为CD的中点，求的值．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【详解】试题分析：（1）根据正方形性质得出∠ADE=∠HDE=90°，∠AEH=90°，求出∠DAE=∠DEH，根据相似三角形的判定推出即可；（2）根据相似得出比例式，即可求出答案．试题解析：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AD=DC，∠ADE=∠HDE=90°，∵四边形AEFG是正方形，∴∠AEH=90°，∴∠DAE+∠AED=90°，∠AED+∠DEH=90°，∴∠DAE=∠DEH，∵∠ADE=∠HDE=90°，∴△AED∽△EHD；（2）∵△AED∽△EHD，∴，∵E为CD的中点，∴DC=2DE，∴AD=2DE，∴，∴．考点：1.相似三角形的判定与性质；2.正方形的性质．25.将正面分别写着数字1，2，3的三张卡片（注：这三张卡片的形状、大小、质地，颜色等其他方面完全相同，若背面上放在桌面上，这三张卡片看上去无任何差别）洗匀后，背面向上放在桌面上，从中先随机抽取一张卡片，记该卡