高等数学（第三版） 练习题答案汇总 练习1-7

练习LLl

求出下列函数的反函数，并在同一个直角坐标系内作出函数及其反函数的图像.

3-

(1)y=-∣x+6；(2)y=x2.

解(1)函数的定义域和值域都是R∙由y=]x+6得x=故反函数为y=(x-4,

x∈R.

322

(2)函数的定义域和值域都是由y=q得X=/，故反函数为y=∕∙

练习1.1.2

1.指出下列函数的复合过程

(1)y=sin3(8x+5)；(3)y=5(Λ+2)2；

解(1)y=/,U=sinf,f=8x+5；

(2)y=5U2,U=x+2.

2.写出各函数复合而成的函数并求其定义域.

(1)y=Inu,M=4-V2,U=COSx；(2)y-4u,w=x3+8.

解(1)y=ln(4-cos2x),定义域为(τo,+∞);

(2)y=λ∕√+8,定义域为［-2,÷∞)∙

练习1.2.1

1.利用函数图像求下列极限.

(1)ɪimC(C为常数)；(2)Iimd)*;

XfM)x→+∞2

(3)Iim2x；(4)Iimsinx；

Λ→-Λ>Λ→0

解做出相应的函数图像(略).

(1)观察常函数y=C的图像知，IimC=C;

(2)观察函数y=(%的图像知，Iimd)X=O；

2χ→∞2

(3)观察函数y=2'的图像知，Iim2x=Iim⅛=limɪɪθ;

X→→X).V→002.V→oθ2"

(4)观察函数y=sinx的图像知，Iimsinx=SinO=O.

x→0

2x,0≤x≤l,

2.作出函数/(X)=的图像，并求Iim∕∙(x).

3—X,l<x≤2x→4

解函数图像如下:

第2题图

观察图像知，Iim/(X)=2.

x→l

练习1.2.2

计算下列极限：

(1)lim(3x2-5x+2)；(2)HmX+：-；

4

Af2x→∞x-3x+1

r-3Y2-Q

(3)；(4)Iim---------.

—3X1+1x→3χ-3

解(1)lim(3x2-5x+2)=3limX2-51imΛ+lim2=12-10+2=4；

A→2X→2X→2X→2

1111.1

3一十三Iim—+IimF

X+XX→∞XX→αθχz

⑵Iimɪɪimɪʃ

Λ→∞x→∞3

1一1节+-Iim1-Iimʌ-+IimF

44

XXXTOOXToOXZXTOOɪ

alimɪ-Iim3

(3)Iim=^■=3T=0；

∙v→3χ2+1Iimx2+Iiml

x→3x→3

/八「χ2^9V(X-3)(X+3)4(

(4)Iim--------=Iim-------------------=lιm(x+3)=6.

X->3χ-3xτ3X—3Λ→3

练习L2.3

(1)当x→l时，比较无穷小Ir和1-/.

(2)当Xfl时，比较无穷小I-X和;(l-χ2).

+X

解(1)=lim(1^)(1+-ɔ=lim(l+x+x2)=3,

XTl]—XΛ→lɪ—XXTl

所以，当X→l时，I-X和l-d为同阶无穷小；

G「20-A)Ir(I-X)(I+X)I.,,ɪ∖

(2)Iinn----------=—Iim----------------=—h1m(l+x)=11,

I1-x2'→lI-Jt211

所以，当X→l时，I-X和1(1一/)为等阶无穷小，即当Xfl时，I-X〜J∙(l-χ2).

22

练习1.3・1

x-l,%<0,

设函数/(©=<2√,0≤Λ≤l,

3-X,x>∖.

(1)作出函数图像，讨论函数在x=0及X=I处的连续性;

(2)指出函数的连续区间.

解(1)函数图像如下：

练习题1.3.1图

观察图像知，函数在X=O处不连续，在x=l处的连续;

(2)函数的连续区间为(-8,0)与［O,+∞).

练习1.3・2

1.计算下列极限：

.JK-2+2

(1)Iim2-t;(2)1Iim-==——；

x→2χ->3√χ÷6+1

(3)Iim----------(4)Iimsin2X.

π

DI+cosNΛ→-

3

解(1)函数y=2*是初等函数，定义域为R,故lim2*=22=4;

x→2

(2)函数y=是初等函数，定义域为［2,+oo).故

Λ∕X+6÷1

√^2÷23

Z3J冗+6+1√3÷6+l4

(3)函数y=—!—是初等函数，定义域为{x∣xw(2Z-l)7α∈Z}∙故

l÷cosx

Iim----------=-----------=—

XTO1+cosX1+cosO2

2.利用高级计算器求方程χ3+l.lχ2+09χT.4=O的实数近似解(精确到0.0001).

解设置保留4位小数，在输入窗格输入“炉+Llf+09χ7.4=0"，点击输入，显示:

a∣√2170S092753aI√2170509275311

X=J--------------+—-+J------------------+—-------≈0.6707

{1800337SJ1800337S30

练习2.1.1

1.用定义求函数y=L在x=2处的导数.

∆γ_-1

(2)算比值

∆x2(2+Δx)

(3)取极限y,=Iim—=Iim-----------

ΔA→OʌXΔ,r→O2(2+∆x)4

2.求抛物线y=χ2在点p(2,4)处的切线方程.

解所求切线斜率左=y'L=2=4

由点斜式y-4=4(%-2)

所求切线方程为4x-y-4=0

练习2.1.2』

(1)y=2j?-lnx+5,求y，；

解y'-6X2---

(2)y=4x+xex,求My

xx

解y'=—4=+e+xeWl=g+2e

2√x

⑶y=三一求HA2

JX—4

-33

解V=——τ(y'∣,=_二

■(3x-4)2-1a'=_2IOO

练习2.L2.2求下列函数的导数并利用软件进行验证.

(1)y=e~x+x∖[x;

解y=-e-χ+-√^

2

验证：利用操作面板在输入窗格输入&(eT(—x)+x6)

点击输入得解∙

dx

(2)y=ln(l+χ2)；

解y'==2⅛γ

•l+x2

验证：利用操作面板在输入窗格输入&(In(I+xT2)),点击输入得解.

dx

(3)γ=√l-2x2.

...—4x—2.x

解yt=­/,∙=.

2√1-2X2√1-2X2

验证：利用操作面板在输入窗格输入&(Jl-2xT2),点击输入得解

dx

练习2.1.2.3求下列各隐函数的导数：

(1)4x2+γ2=9;

解方程两边同时对X求导，得

4χ

8x+2y∙y'=0y'=——

y

(2)xy=2'+/；

解方程两边同时对X求导，得

y+R=21n2+3y2y尸？*、'

x-3y

(3)xy-x2+ey=5

解方程两边同时对X求导，得

y+xy'-2x+ey∙y'=Oy'--

x+ey

练习2.1.3求下列函数的二阶导数

(1)y=2X2+X-5；

解y'=4x+ly"-4

(2)y=ln(l+x)

1-1

解y=-----y=---------7

-1+x-(l+x)2

练习2.1.4

1.求函数y=(x+5f在x=l,Ar=(M)I时函数的增量及微分.

解Ay=[(l+0.01)+5]2-(l+5)2=36.1201-36=0.1201,

dy[t=ι=于(x)∙∆x∣*=]=2(x+5)∙ΔX∣Λ∙=I=2×6×0.01=0.12

ΔΛ=O.O1-=0.01Δɪ=0.01

2.求下列函数的微分

⑴y=3f-2+5;

X

4

解dy=∕,(x)dx=(6x+-γ)A

X

(2)y=3X^2sinɪ；

解dy=∕f(x)dx=(-6X^3sinx+3x_2cosx)d⅛

(3)y=cos(4-3x).

解dy=∕r(x)dx=-sin(4-3x)∙(-3)d⅛=3sin(4-3x)d⅛

练习2.2.1求下列函数的单调区间

(1)/(χ)=χ3;

解函数y=/的定义域为(-OOJ+oo),且V=3χ2≥0

所以函数y=/在S+oo)上单调递增.

(2)y=2X2-Inx；

2

4r-1,令y'=0,得X=±；(舍负)

解函数的定义域为(0,+00),V=--------

X

当x∈(0q)时，y'<0,所以(0,5)为单减区间.

当Xe(L+8)时，/>0,所以(L+8)为单增区间.

22

(3)y=i[^.

解函数的定义域为(YΛ,+θθ),当X=O时,y'不存在.

当xe(-∞,0)时，/<0,所以(-∞,0)为单减区间.

当Xe(O,+8)时，y'>0,所以(0,+8)为单增区间.

练习2.2.2

L求下列函数的极值点和极值:

(1)y=2+X-X2；

解函数的定义域为(-∞,E),y'=∖-2x,令y'=0,解得x=g.

列表得：

1ɪ1

X(-8，-)(--+co)

22______2________

∕,(x)+Q______—

极大值

f(x)/9

4______

所以x=g为函数的极值点，函数的极大值/(；)=；.

(2)y=3x4-4xi+∖；

解函数的定义域为(-w,+∞),y=12√(x-l),

令y=0,解得4=0,々=1∙列表得

X(Fo)OO)1(l,+∞)

-0—0+

y无极值极小值0/

因此，函数的极小值为F（I）=o.

2.欲做一个底为正方形，容积为108/的开口容器怎样做法用料最省.

解设所求容器底面边长为X,容器高为〃.则Zz=*等.

X'

表面积S=χ2+4x∕z=χ2+*,s，=2x—t，令S'=0,得x=6

Xx^

由于驻点唯一，而由实际问题知道面积的最大值存在，因此驻点就是最小值点.

即当容器底面边长为6m,高为3m时容器用料最省.

练习3.1.1

1.求下列不定积分

⑵∫(ev-J=+2)dx

(1)πi

j2XJ√Γ7

⑶∫(x3-l)2dr；(4)ʃyfx(x-•-)dx；

解⑴ʃ(―H—)dx=—÷21nIX∖+C:

rx；

⑵f(e——,1+2)dr=e-arcsinx+2x+C

J√Γ7

ʃ(x3-l)2dx=ʃ(JC6-2X3+l)dx=Jχ7——x4+x+C；

(3)

13_125ɪ2

⑷J石(X——)dx-ʃ(x2-X2)dx=-X2-Ix1+C=-x2∖∕x-2y[x+C；

2.一曲线经过点（2,7）,且曲线上任意一点（x,y）处的切线斜率为y'=3d+ι,求该

曲线的方程.

解γ=∫（3χ2+l）dx=x3+x+C,由曲线过点（2,7）,得C=一3,故所求曲线的方程为

y=X3+X-3.

练习3.1.2

1.用凑微分法求下列不定积分

(1)∫(3x+l)5dλ-；(2)∫-^=dr;

(3)∫sin2xcosΛdr;(4)∫xexdr；

解(1)∫(3x+l)5dr=ɪ∫(3x+l)5d(3x+1)=ɪ(3x+1)6+C；

(2)[,ɪdr=[.ɪd(x-4)=2∖∣x-4+C；

J√x≡4J√x-4

(3)ʃsin2ɪeosxdx=ʃsin2.xd(sinɪ)=ɪsin3x+C；

(4)[xev~dχ=-∖evd(x2)=—ev÷C.

J2j2

2.用分部积分法求下列不定积分

(1)∫xexdx；(2)∫xcos3xdr；

解(1)∫xexdx=∫ʌd(eɪ)=xex-∫exdx=xex-ex+C；

(3)∫xcos3xdx=gjxd(sin3x)=g(xsin3x-jsin3xdx)=g(xsin3x+Jcos3x)+C；

3.用计算器求下列不定积分

小f~Λc、fCOSX.

(1)I√l-xdx；(2)I------------------rdr；

JsinX(I+sinx)

I------tan^,f/',

解⑴NI-X2dr=Z匕匚+----l√l-Λ-J+c；

J22

CCOSY

(2)[-----------------rdx=--------------ln(∣sin(x)+1∣)+ln(∣Sin(X)∣)+C.

Jsinx(l+sinx)sin(ɪ)+1

练习3.2.1

1.求Sfddx的值.

解ʃɪX2exdr=O.

2.已知j：sinx(ir=2,求Jjsinfck的值.

解fπsinzdr=2.

*0

3.利用定积分的几何意义求定积分Jj(3-x)dx.

解定积分Jj(3-x)dx的值等于如图所示梯形的面积，即

»2115

∫Jι(3-2%)dx=-(l+4)×3=y.

练习3.2.2

1.已知IJ：XdX=∙∣,ʃɪx5dx=^.,求「(J-4χ+3)dx的值.

解「(/-4Λ^+3)dx=ʃɪ-x^dx-41xdx÷ʃɪ-3dx=-.....—+3(2—1)=ɪ.

3

2.已知J°∕3ζjx=τ,J*χ<lrɪɪ,求∫1ddχ的值.

解F1/dx=「X%χ+∣dχ3dχ=γ+J.=一”

J-2J-2JO44

3.已知f+ι是/(χ)的一个原函数，求，f(x)dx的值.

解由题意，得j∕(X)ClX=X2+1+C,⅛pF(x)=%2+1,所以

f4

∫ι/(x)dx=F(4)-F(l)=17-2=15.

练习3.2.3

1.计算下列各定积分.

2π.

⑴(sιnx-l)dx；⑵∫θ(2x-l)l0dΛ-;

「°；

(3)—r——XAXx；(4)f'ɪeʌdɪ

j-1√+ιJO

re：

⑸jɪInxdx；(6)J|XIdx.

解⑴∫2π(sinx-l)dx=[-cosx-x]j=(-1-2π)-(l-π)=-2-π；

l0ll

⑵∫θ(2x-l)dx≈^∙l[(2x-l)]θ=^(l+l)=l;

∣∙oXdx='[^ln∣χ2+lIT=J(InI-In2)=-1n2;

⑶JTW+1

2L」T22

卜

(4)ʃθɪeʌdɪ=IXdM=e]-kdx=e-[e|°=e-(e-l)=l;

⑸∫Jnxdx=[xlnx[-∫∖-dx=e-(e-l)=1；

()

111

(6)IMmX=f(-χ)dχ+fxdx=--X1+=一+—=11・

2-I。2乙2乙

2.用高级计算器求下列定积分.

π

23

⑴loɪʒɑ%；(2)∫πxsinxdx.

~2

l

解⑴∫√=≈dx=^;

0√4-X26

⑵∫∖x,sinXdX=———12.

~22

练习3.2.4

计算下列各广义积分，并说明其敛散性.

f0.广+8I

(1)Jevdx；(2)∫——TdX;

J-8Ll+f

⑶;如；⑷L7⅛1χ∙

解(1)[°evdx=Γej^∣°=e0-Iimex=1,故「)e*dl收敛；

•-∞LJ-OOX—>-00J-CO

∕c∖「+81rη+∞..ITrTC兀

(2)―arctanʃ1=Iimarctanx-arctan1=-------=—,

JIl+χ2Lj,XTe244

故「8—⅛lx收敛；

Jll+x2

=

(3)∫4ʃ=Iim2&-24=+∞,故JJ^=dx发散；

2

(4)ʃ'—^rdX=g[ln11+Y|]=—ɑn2-Iimln(l+x)j=-∞,

故，,^∏⅛1x发散.

练习3.3.1

已知某物体做变速直线运动，速度V=Mf)是时间，的连续函数，现利用定积分计算物

体在时间段|工，心]经过的路程.请指出：

(1)积分变量与积分区间；

(2)路程S的微元dS；

(3)路程S.

解(1)积分变量为r,积分区间为[看，4]；

(2)dS=v(t)dt；

(3)5=∫∖(r)dr

练习3.3.2

1.求下列由曲线和直线围成的平面图形的面积

(1)y=e*,x=0,x-l；

(2)y=-y=x,x=2；

X

(3)ʃ=X2,y=x+2.

解⑴A=∫θexdx=∣^exJθ=e-1.

-23

(2)A=∫I~(x-t)dx=-X2-InlXl=一一ln2.

J.2

r2

22l√2x-l√=W+空

(2)A=∫ι(x+2-x)dx=+

23-J-I,366

t⅛

1J

第I-(I)题图第I-⑵题图

第1-(3)题图

2.求下列由曲线和直线围成的平面图形绕X轴旋转而成的旋转体的体积

(1)y=-，x=l,x=2；

X

2

(2)y=Xfy=0,x=1.

/1、2-—2

(i)vπdxπ

解<'U=Hri

第2-⑴题图第2-⑵题图

练习3.3.3

1.设一物体在距离坐标原点工处所受的力为V+2x,求作用力使它从工=1移动到x=3

所做的功.

3]2

解W=J(X2+2x)dx=-X3+x2=16—.

ɪ313

2.长50m、宽20m、深3m盛满水的池子，现将水全部抽出，问需做多少功？

解因为功微元dW=gp∙x∙50∙20dx,所以

,32

W=∫'gp.χ.50∙20dΛ∙=9.8∙10∙10∞-X

°L2」(

=441X105(J)X

第2题图

4.一直径为6m的半圆形闸门，其直径恰好位于水面,求闸门一侧所受的水压力.

解因为压力微元dP=gχ7∙x∙2j9-fdχ,所以

尸=JogP∙X∙2∖∣9-x1dx

=-gρ£∖∣9-x2d(9-X2)

r「3

2ɜ

3

=-gp-(9-X2)2=176.4×IO(N).第4题图

L3J0

练习3・3.4

1.求函数y=Sinx在区间［0,兀］上的平均值.

π

解y=---[sinAdx=ɪ[-cosxΓ=—

-π-0jθπljoπ

2.有一根长度为。的细棒，其上任意点X处的密度夕=V+1,若细棒的一端与坐标原

点重合，求细棒的平均密度.

13

--x+x--cr+1.

a303

练习4.1.1

1.试写出下列各微分方程的阶数

(1)一阶；(2)一阶；(3)二阶；(4)二阶.

2.求微分方程y"=x+l,y\x=Q=1,4=O=O的特解.

,2

解两边积分得y=∫(x+l)d⅛=∣x+x÷C1,

再积分得

2

ʃ=∫(ɪ-x+x+C1)d⅛

13.1ɔ

=—X+—Y+C1X+C2

6212

代入儿=O=I，40=0得，C1=O>C2=I.

所求微分方程的特解为γ=-x3+-x2÷l.

练习4.1.2

1.求解微分方程yk=(x-l)dy.

11,

解分离变量得—ajy-------ax,

y-X-]

两边积分得Inj=ln(x-l)+lnC.

微分方程的通解为y=C(x-l).

2.求解微分方程—e『+3X=O.

心

解分离变量得=e"

dx

ye~γdy—etxdx

两边积分得∫ye^'dy=∫eixdx

--e-y2=-eix+C.

231

微分方程的通解3e-y2+2e3x+C=O,其中C=6C∣.

练习4.2.1

解下列微分方程

1.y,-3x2y=0.

解因为，P(X)=-3X2,

由通解公式得y==CeE

2.e"y'+y=O

解变形得y'+e-'y=。，

由于PO:)="*,所以，

y=Ce~^e=Ceex,

所求微分方程的通解y=Cee'x.

练习4.2.2

求解下列微分方程

1y'+3y=8.

解因为，P(X)=3,Q(X)=8,

由通解公式得

-f3drrfo卜公」

y=ej[I8ejdx+C],

=e^3'[∫Seixdx+C]=e^3x∖^e3x+C],

Q

所求微分方程的通解y^e^3x[^e3x+C].

2.y,+y=e^x.

解因为，P(X)=I,Q(x)=e-、，

由通解公式得

y-eʃʃ'ʧe~x^dλdx+CJ

=e^v[∫e-xexdx+C]=e-x[x+C].

所求微分方程的通解y=e-x[x+C].

3.Λy+y-e*=0,y⑴=0.

,11

解变形得y+-y=-ex,

XX

』，

于是得P(X)=QM=-e'

XX

y=e停K

由通解公式得eλejxdx-ir-C}

=e^'nx[∖-ex^xdx+C}=-{∖exdx+C]

Xʌ

=-[ex+C]

X

代入尤=I,y=0得C=-e.

所求微分方程的特解y^-[ex-e].

X

练习4.3.1

1.求下列微分方程的通解

(1)y"+4y'+3y=0;⑵y"-2y'+3y=0.

解⑴微分方程y"+4y+3y=0对应的特征方程r2+4r+3=0

特征根彳二-3,r2=-↑

x

所求微分方程的通解y=Cle^+C2e~.

(2)微分方程V-2y'+3y=0对应的特征方程r2-2r+3=0

特征根.=2±j472=]±衣

2

v

所求微分方程的通解y=e(C1cos√2x+C2sin√2x).

2.求微分方程y"+2y'+y=0,y(0)=4,/(0)=-2的特解.

2

解微分方程y"+23∕+y=O对应的特征方程r+2r+l=0

特征根力=-1，

x

微分方程的通解y=e-(Cl+C2x).

代入y(0)=4,V(0)=-2,得C1=4,C2=2.

所求微分方程的特解y=e-x(4+2x).

练习4.3.2

解下列微分方程.

(l)2∕+∕-j=2et;(2)y"-4y=2cosx.

解(1)微分方程2∕+y-y=2/对应的齐次方程2∕+y-γ=0的特征方程

2r2+r-l=0,

特征根rx=-1,为=g，

xr

齐次方程的通解y=cie-+c2e.

x

设非齐次方程的特解/=b0e,

x

于是y*'=hne,y*"=b0e'.

代入原方程，得⅛=1.

ɪ

xrx

所求微分方程的通解y=y+y*=Cle~+C2e+e.

(2)微分方程y"-4y=2cosx对应的齐次方程y"-4y=0的特征方程

r2-4=0,

特征根?2=±2，

2x2x

齐次微分方程的通解y=Cie-+C2e

设非齐次方程的特解y*=Acosx+Bsinx,

于是y*'=-Asinx+3cosx,y*"--Acosx-Bsinx.

代入原方程得

-5ACOSX-58SinX=2cosX,

2

解得A=——.

5

所求微分方程的通解

2

2x2x

y=y+y*=Cle~+C2e—cosx.

练习4.4

1.某电机运转后，每秒温度升高1℃,设室内温度恒为15℃,电机温度的冷却速度和

电机与室内温度之差成正比.求电机温度与时间的函数关系.

解设电机运转t秒后的温度(单位℃)为y=T(f),比例系数为公则dy=dt-k(y-∖5}dt,

@+@=1+154.

dt-

1+15%

利用公式(4.4)解得y=T(t')=e^h[ek,+C],

k

代入初始条件W=O=I5,得C=--.

k

故经过时间t后，电机温度为7(0=15+,(1--如).

k

2.设弹簧的上端固定，有两个相同的重物寡欲弹簧的下端，使弹簧伸长了2/.现突然去

掉其中的一个重物，是弹簧由静止状态开始振动，求所挂重物的运动规律.

解设弹簧在自然状态下的长度为L,取弹簧铅直向下方向为X轴的正向，据弹簧固定

端原点取在L+/处，设弹性系数为4,重物位移为工则

d2χ

mg=kl,∕n-J-=mg-k(x+/).

即

X=ClCoS^^f+C,sin.

解得

dx

代入初始条件M=ι,=0，得G=/，C2=O.因此所挂重物的运动规律为

dt/=0

x=lcos

练习5.1.1

已知点A(2,-l,4),求

(1)点4到原点的距离;(2)点A关于y轴的对称点;

(3)点A关于yθz平面的对称点；(4)点A到y轴的距离;

(5)点A到)Oz平面的距离.

解(1)点A到原点的距离为IAOl=02+(-1)2+4z=01；

(2)点A关于y轴的对称点为4(-2,-1,-4);

(3)点A关于)0Z平面的对称点为4(-2,-1,4);

(4)点A到y轴的距离为2有；

(5)点A到MZ平面的距离为2.

练习5.1.2

L设向量α与X轴、y轴、Z轴之间的夹角分别为2、B、γ,且方向余弦分别满足:

COSa=O,COS/7=1,COSy=O.判断向量。与坐标轴及坐标平面之间的关系.

解。与y轴正方向同向.

2.已知空间两点R(4,√∑l)与6(3,0,2),求向量片鸟的坐标、模、方向余弦及方向角.

UUir/、IUUir∣

解的卜2；

1√21

COSCT=—,cospz3=-ɪ-,cos/=-—

兀Cπ2π

a=—fp=-,v=—.

343

练习5.2.1

设向量α=(2,T,3),⅛=(-2,-4,1),求为-36,同-网，,-川.

解2Λ-3⅛=(10,10,3):

因为&_34=川02+]02+32

所以^^3^=⅛≡¾-ι√≡,√10≡,

∣β∣-∣⅛∣=√14-√2T；∣α-ft∣=√29

练习5.2.2.1

1.已知空间三点：A(l,l,l),B(3,-2,-l),C(2,-l,l),求

(1)AB与AC的数量积；(2)AB与AC的夹角.

解(1)ABAC=(2,-3,-2)(1,-2,0)=2×1—3×(—2)—2x0=8；

ABAC88√85

(2)因为COSe=

∣AB∣∣AC∣√∏√585，

所以θ=areeos^ɔ^ɪ,即AB与AC的夹角为arccos犯史.

8585

2.计算以下各组向量的数量积：

(1)α=(l,2,3)与b=(3,2,l);(2)α=(4,-3,4)与6=(2,2,1).

解(1)α⅛=l×3+2×2+3×l=10;

(2)α∙*=4×2+(-3)×2+4×l=6.

练习5.2.2.2

1、已知空间三点：AQJD，5(3,-2,-1),C(2,-l,l),求

(1)AB与AC的向量积；(2)ΔABC的面积.

解(1)AB=(2,-3,-2),AC=(1,-2,0),则

(2)因为∣A8χ4q=J(-4)2+Q2)2+(T)2=历，

所以ΔAβC的面积为立L

2

2、计算以下各组向量的向量积：

(1)α=(l,2,3)与b=(3,2,l);(2)α=(4,-3,4)与b=(2,2,1).

2313

解⑴“xb=k