江苏省南京市六校联合体2023-2024学年高一年级上册12月联合调研数学试题

江苏省南京市六校联合体2023-2024学年高一上学期12月联

合调研数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.函数/(%)=炮(％-1)+(%-2)°的定义域为()

A.(1,+")B.(l,2)u(2,+a?)C.[1,2)u(2,+o5)

D.(~oo,2)u(2,+o))

2.已知点P(tanasine)是第二象限的点，则。的终边位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

7T

3.已知扇形的圆心角为:，其弧长为2兀，则此扇形的面积为()

A.3兀B.6兀C.9兀D.12K

11

5-设a=0.73,6=0.68,c=k>go,82，则。，4c的大小关系是()

A.b>a>cB.a>b>cC.c>a>bD.a>c>b

6.神舟十二号载人飞船搭载3名宇航员进入太空，在中国空间站完成了为期三个月的

太空驻留任务，期间进行了很多空间实验，目前已经顺利返回地球.在太空中水资源有

限，要通过回收水的方法制造可用水，回收水是将宇航员的尿液、汗液和太空中的水收

集起来经过特殊的净水器处理成饮用水，循环使用.净化水的过程中，每过滤一次可减

少水中杂质20%,要使水中杂质减少到原来的1%以下，则至少需要过滤的次数为（）

（参考数据：lg2no.3010）

A.19B.20C.21D.22

7.已知暴函数y=meN*）的图象关于y轴对称，且在[0,+向上单调递增，则

满足（2.+1广<（1-°广的a的取值范围为（）

A.（0,+oo）B.[---!）（1,+=°）C.（0,1）

D.1。o,一；（0,1）

8.已知定义在R上的偶函数满足独龙）=/（2-x）,当xe[0,l]时，〃x）=2x.函数

g（x）=e+T（_l<x<3）,则与g（x）的图象所有交点的横坐标之和为（）

A.2B.4C.6D.8

二、多选题

9.下列结论正确的是（）

现37

A.log6-log4=lB.=log7C.21+1O&5=10

221%44

D.

「J.兀2

10.已知Sin[§+a=§,则正确的有（）

_V52K2

A.cos-+aB.sin--a

13一33

712sin竺+a2

C.cos~~aD.

3I33

11.若函数/（%）=lg（/+2以-a）,则下列说法正确的是（）

A.若a=0,则为偶函数B.若〃尤）的定义域为R,则—l<a<0

C.若。=1,则的单调增区间为（-1，+8）D.若在（-1,0）上单调递

减，则aV0

12.已知函数〃尤）的定义域为，若存在区间使得“X）同时满足下列条

试卷第2页，共4页

件:

①f(X)在［m,M］上是单调函数；②/(X)在172,可上的值域是日机3n］.

则称区间［加,“］为函数f(x)的“倍值区间”.

下列函数中存在“倍值区间''的有()

A.f(x)=2x2B./(x)=g

77r

C./(x)=x+-D.=

三、单空题

13.函数y=a、"2+4(a>0且awl)的图象必过定点.

14.函数元的单调递减区间是.

15.已知正数x,y满足2x+y-肛=0,则二:「的最大值为

x+2y

16.如果函数/(x)在其定义域D内,存在实数x°wD使得/(玄+1)=/(x0)+/(l)成立，

则称函数7'(X)为“可拆分函数”.设函数/(无)=1g号为“可拆分函数”，则实数机的取

值范围是.

四、问答题

17.设集合4=｛引24-1<%<°+5,0€用，2=｛x—-2尤-8<。｝.

(1)当〃=0时，求集合AcB；

(2)若“九GA”是气GB”的必要条件，求实数a的取值范围.

cos产一夕

sin（7i+6^）-

18.已知=I2

tan（^-7i）

71

⑴化简/(e),并求了的值;

⑵若6c"今71，且“。)=<，

2,71求cos6-sine的值.

19.已知函数〃x）=Jogslog］（9x）

⑴若〃x)=T，求实数x的值；

⑵若xeI，27,求函数的值域

五、应用题

20.某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的年收益

与投资额成正比，投资股票等风险型产品的年收益与投资额的算术平方根成正比•已知

各投资1万元时，两类产品的年收益分别为0.25万元和0.5万元.

(1)分别写出两种产品的年收益与投资金额的函数关系式；

(2)该家庭现有10万元资金，全部用于理财投资，设投资债券等稳健型产品的金额为x万

元.如何分配资金才能使投资获得最大年总收益？其最大年总收益是多少万元？

六、问答题

21.已知函数=a-aeR).

(1)是否存在实数。使函数/(x)为奇函数；

⑵判断并用定义法证明的单调性；

⑶在(1)的前提下，若对WxeR,不等式〃/(x))+/(l-租)>。恒成立，求机的取值

范围.

22.函数广/⑺的定义域为R,若存在常数M>0,使得，对一切实数无

均成立，则称为“圆锥托底型”函数.

⑴判断函数〃尤)=3x,g(x)=V是否为“圆锥托底型，，函数？并说明理由；

⑵若=2x2+3是“圆锥托底型”函数，求出M的最大值；

(3)问实数％涉满足什么条件，/(引=丘+6是“圆锥托底型”函数.

试卷第4页，共4页

参考答案:

1.B

【分析】根据函数解析式列不等式组求解即可.

【详解】要使函数〃x)=lg(x—l)+(x—2)°有意义，贝«二；；；，解得x>l且x#2,

所以函数〃力=坨(》-1)+(》-2)°的定义域为(1,2)52,+8).

故选：B

2.B

【分析】点尸在第二象限，根据坐标特征得sin。,tan。的符号，即可得6所在象限.

【详解】因为点P(tan。,sin。)在第二象限，所以sin，>0,tan0<0,所以6为第二象限角.

故选：B

3.B

【分析】根据扇形的面积公式即可求解.

2兀,

【详解】由弧度制定义，该扇形的半径为7T,

3

所以该扇形的面积为［x2%x6=6兀.

2

故选：B

4.D

【分析】方法一：根据函数的奇偶性及函数值的符号排除即可判断；方法二：根据函数的奇

偶性及某个函数值的符号排除即可判断.

【详解】方法一：因为盘>0,gp(x+2)-(x-2)<0,所以-2Vx<2,

27_i_r

所以函数〃无)=^log4二的定义域为(-2,2),关于原点对称，

2-x

9_

又/(r)=(-Xplog4fv=-〃力，所以函数〃x)是奇函数，其图象关于原点对称，

故排除B,C；

当xe(O,2)时，1±|>1,即。4念>0,因此/(x)>0,故排除A.

故选:D.

方法二：由方法一，知函数/(x)是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B,C；

答案第1页，共11页

X/(l)=1log23>0,所以排除A.

故选：D.

5.A

【分析】根据对数函数以及塞函数的单调性比较大小得出结果.

【详解】因为函数y=log°.8工在(O,+e)上单调递减，函数y=/在R上单调递增，

■1!11

所以C=logo82<logo.81=0，0.6%>0.49%=(0.72F=0.7§〉0，即人〉〃>0，

所以Z?>a>c.

故选：A.

6.C

【分析】由条件列不等式，结合指数、对数的运算性质求解即可.

【详解】设经过〃次过滤达到要求，原来水中杂质为1,

依题意可得1x(1—20%)“<1x1%,即0.8"〈焉，

所以lg0.8®<lg*=_2,

所以出gO8<-2,又lg0.8<0,

所以—>———=------»-----------®20.619,

必/lg0.831g2-l3x0.3010-1

因为〃eN*,所以〃的最小值为21,故至少要过滤21次.

故选：C.

7.D

【分析】先利用题给条件求得加的值，再利用一元二次不等式解法即可求得实数“的取值

范围.

【详解】幕函数、=尤"+2日(根€产)的图象关于丫轴对称，且在［0,+8)上单调递增,

则-机2+2机+3eN*)为正偶数，则〃2=1,

则不等式(2a+l)f<(l-a厂"即(2。+11<(1_。厂,

整理得+

[3〃>0f3〃<0

此不等式等价于1(2a+D(a-l)<0或1(2a+l)(a-l)>0'

答案第2页，共11页

解之得Ovavl或a<—5.

贝I满足(2a+lf"的a的取值范围为0<。<1或a<.

故选：D

8.B

【分析】在同一坐标系内作出了(X)与g@)的图象，再利用图象的对称性即可求得与

g(x)的图象所有交点的横坐标之和.

【详解】函数g(x)=e+T(T<x<3)的图象有对称轴X=l,

定义在R上的偶函数满足/(x)=/(2-x),

则函数/'(X)有对称轴x=0,元=1,又当xe［0,l］时，f(x)=2x,

在同一坐标系在(T3)内作出与g(x)的图象，

又了⑺与g⑺的图象均有对称轴x=1,

则两函数所有交点的横坐标之和为4.

故选：B

9.BC

【分析】根据对数运算法则以及换底公式、对数恒等式逐一判断各选项.

【详解】对于A,log2670g24=g2=g|71,故A错误；

对于B,根据换底公式譬［=1/47正确，故B正确；

log34

对于C,21+log25=2x2log25=2x5=10,故C正确；

对于D,如才=亚=4,故D错误.

答案第3页，共11页

故选：BC.

10.BC

【分析】根据诱导公式、同角三角函数的基本关系式求得正确答案.

【详解】依题意，sin/+c]=g,所以cosg+'=±Jl_sin2)+“=土冬A选项错

误；

sinU=sin=sinf^+aUj,B选项正确；

I3JI3J

2

---D选项错误.

故选：BC

11.ABD

【分析】由函数的奇偶性判断A,由对数函数的性质判断B,根据复合函数的单调性判断

CD.

【详解】。=0时，/(x)=lgx2,定义域是{xlxwO},满足/(-%)=/(尤)，是偶函数，A正

确；

/(无)定义域为R时，A=4a2+4o<0,解得T<a<0,B正确；

。=1时，/(x)=lg(x2+2x-l),由炉+2彳一1>0得％<一1一血或尤>一1+0,增区间是

(―1+A/2,+oo),C错;

/(x)在(—1,0)上单调递减，由于y=炉+2依—。的对称轴是尤=-a,且x=0时，

x2+2cuc-a--a,因止匕有一aNO,即aVO,D正确.

故选：ABD.

12.ABD

【分析】根据定义分别讨论是否同时满足“倍值区间”的两个条件，即可得出结论.

【详解】依题意，函数存在“倍值区间”，则满足f(x)在上是单调函数，且

答案第4页，共11页

/(772)=3/77f/(m)=3ra

/(«)=3n〜[f(ra)=3m

QQa

对于A,f（x）=2x2,在区间［0,5上是增函数，且值域为［0,学，则区间［0,g是函数〃x）的

“倍值区间”，A正确；

对于B,〃x）=J在区间4,1］上是减函数，且值域为口,刃，则区间4,1］是函数的“倍

值区间”，B正确；

对于C,〃x）在［一"0）,（0,上单调递减，在（-oo,-四］,［五,+oo）上单调递增，

假定函数“X）存在倍值区间［办可，若〃可在［加，川上单调递增，则J［，］：，

'2c

m-\——=3m

即有，2，而加-^2或^2<m<n^无解，

及+—=3及

、n

2「

m-\——=3〃

f(m)=3n

若/（X）在卜上单调递减，则八)=3/即/,两式相减得，〃"=g,

n+—=3m―

n

而〃切>0,则两式相加得加=1,矛盾，“X）不存在倍值区间，C错误；

对于D,当x>0时，"x）=­2,函数y=x+2在（o,0］上单调递减，

X+—X

X

于是“X）在［（）,1］上单调递增，且值域为［0,石］,因此区间［0,6］是函数”尤）的“倍值区

间”，D正确.

故选：ABD

13.（2,5）

【分析】利用指数函数的性质即可得解.

【详解】因为y=，-2+4（a>0且awl）,

令x—2=0,得x=2,y=a°+4=5,

所以>=广2+4（a>0且"1）的图象必过定点（2,5）.

故答案为：（2,5）.

答案第5页，共11页

14.［2,4］（开闭区间均可）

【分析】求出函数的定义域，再结合复合函数单调性可得.

【详角单】由4x-d20得W4,又旷=4五一/=-（尤一2）2+4在［2,+00）上递减，）=〃在

［0,+oo）上是增函数,

所以/*）的减区间是⑵4］,

故答案为：［2,4］（写成开区间也正确）.

【分析】利用均值定理1的代换即可求得二I的最大值.

x+2y

【详解】正数X,＞满足2x+y-xy=0,

21

贝5|2x+y=q,故一+—=1,

yx

（当且仅当X=y=3时等号成立）

故—2—2则一2丁的最大值为2:

x+2y9x+2y9

7

故答案为：-

16.加

8

【分析】根据题中条件建立方程，化简变形后可得"43，求得函数的值域即可.

m=1--------------

33-3x°+l

【详解】根据题意可知，必有机函数”上炮三石的定义域为R,

则在其定义域R内存在实数为，使"%+1）=,

mmmm-mm

BP1g--；——=lg-------+lg-；——，即1g--；——=lg(------------),

3与”+13%+19+13殉”+13殉+14

8

所以3

88

又3芋+1〉1，所以0<丁一<1，所以o<J<§,则+3<4

3・3%+13333・3与+1

答案第6页，共11页

即加<4,所以实数机的取值范围是

故答案为：

17.(1)A5=(-1,4)

【分析】(1)解一元二次不等式得到集合B,再根据交集定义求得结果；

(2)根据必要关系得出集合之间的包含关系，再根据集合的包含关系求得结果.

【详解】(1)当。=0时，集合4=何一1。<5}=(-1,5),

^B=(X|X2-2X-8<0}={X|(X+2)(X-4)<0}={X|-2<X<4}=(-2,4),

所以AB={A(-1<X<4}=(-1,4).

(2)若“xeA”是4e8”的必要条件,则5gA,

因为3={可-2<x<4},A=^x|2a—l<%<a+5,aeRj,

2«-l<-2

所以

<1+5>4

得到-l<a<-^故实数〃的取值范围-1,-g

18.⑴”e)=sin，cos<9,0^—,k；—

24

(2)-1

【分析】(1)利用诱导公式分析运算即可；

12

(2)由题意可得sin夕cos，=,结合同角三角关系分析求解.

【详解】(1)由题意可得：/⑺二一'山夕…叽而加^,9手匣，ksZ,

')tan(92

所以邛.

12

(2)因为/(e)=sine・cos。二一石,

/K?49

则(cos0-sin0^二1-2sin夕•cos0-——,

答案第7页，共11页

又因为sin0-cos0<0,0E,

则sin。>0,cos。<0,可得cos。一sin6<0,

一7

所以cos夕一sine=-《.

19.(l)x=5或x=9

9

⑵[T。,/

【分析】(1)利用对数的运算性质化简/(》)，利用外力=7解对数复合方程即可;

(2)令t=log3X,结合二次函数即可求出函数〃x)的值域.

【详解乂1)〃尤)=[1083：11。a(9无)=(log3x-l)log19+log[X=(log3x-l)(-log3x-2),

因为/(尤)=-4,所以(log3%T)(-log3X-2)=-4,gp(log3x+3)(log3x-2)=0,

解得1%户-3或log3；r=2,所以x或％=9；

(2)令"logs》,因为xeI，27,所以

则原函数可化为>=-〃t+2,Ze[-1,3],

丫=-2_/+2=_1+工[+2在[_1,_芍单调递增，在[二,3]单调递减，

'(2)422

19

当"―5时，为故="当，=3时，ymin=T°，

9

所以函数/⑺的值域为[-10,-].

4

20.(I)M之O,%=^4x,x>o

(2)当投资债券金额为9万元，投资股票金额为1万元时，能获得最大年总收益为?万元.

4

【分析】(1)依题意设％=勺苫，x>0,y2=k24x,xNO,根据己知求解《生即可；

(2)根据题意列出年总收益函数，用换元法求出函数最值即可.

【详解】(1)设投资债券等稳健性产品的年收益为%,投资股票等风险型产品的年收益为为,

答案第8页，共11页

由题意得X=匕x,X>0,%=k2五，xNO,

因为各投资1万元，两类产品的年收益分别为0.25万元和0.5万元，

所以0.25=尢，0.5=&/1,即&=：，心=；，

所以无NO,y2=^4x,x>0；

(2)因为投资债券等稳健型产品的金额为x万元(xe[0,10]),

则投资股票等风险型产品的金额为(10-x)万元.

设年投资总收益为八则yf+gjlOr，xe[0/0],令f=

则x=]0_/,则?E^O»A/IOJ,

当t=i即％=9时，y有最大值¥，

4

即当投资债券金额为9万元，投资股票金额为1万元时，能获得最大年总收益为9万元.

21.⑴存在，时是奇函数；

⑵是R上的增函数，证明见解析；

⑶鹿！

【分析】(1)利用题给条件列出关于实数。的方程，解之即可求得实数。的值；

(2)利用增函数定义和指数累的运算规则即可证得/'(X)为增函数；

(3)利用题给条件列出关于加的不等式，利用不等式性质即可求得加的取值范围.

【详解】(1)若〃x)=a-*(aeR)是R上奇函数，

贝U〃0)=。-；=°-'-a=~>

当时，”耳=1-1满足了(-》)=_/(》)，则“同是奇函数.

22e+1

(2)〃元)是R上的增函数，

证明如下：

设V玉,工2£R且工1<%2，则

答案第9页，共11页

/(X])-/(X)=------------------=---------『-------r

l"IOJe'2+le'+l(e-^+l)(eA>+1)

由西<工2,6>1可得，0<ev,<e12,则e』-e*<0,ef+1>e"+1>0

则/(%)-/(%)<0,即/(^)</(Xz)

则/(x)是R上的增函数.

(3)对VxeR,不等式/(/(力)+八1一m)>0恒成立，

即〃一㈤恒成立，

又fM是奇函数，则不等式可化为/(/(X))>/(根-1).

又