2023年中考数学探究性试题复习14 三角形【含答案】

2023年中考数学探究性试题复习14三角形(1)如图1,若点A,B在直线l的同侧，在直线上找一点P,使AP+BP的值最小.作法如下：作点B关于直线l的对称点B',连接AB'与直线l的交点就是所求的点P.如图2,在等边三角形ABC中，点E是AB边的中点，AD是高，且AD=2,在AD上找一点P,使BP+PE的值最小.作法如下：作点B关于直线AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P,求BP+PE的最小值.(2)实践运用：如图3,在四边形ABCD中，点B与点D关于直线AC对称，对角线AC与BD相交于点O,AC=8,点P是对角线AC上的一(3)拓展延伸：如图4,在四边形ABCD的对角线AC上找一点P,使∠APB=∠APD.(保留作图痕迹，不必写出作法)(1)【发现证明】如图1,在正方形ABCD中，点E,F分别是BC,CD边上的动点，且∠EAF=45°,求证：EF=DF+BE.小明发现，当把△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADG,使AB与AD重合时能够证明，请你给出证明过程.(2)【类比引申】则(1)中的结论还成立吗?若不成立，请写出EF,BE,DF之间的数量关系(不要求证明)图①(1)【初步应用】如图③,点D,E图②(4)【拓展延伸】(1)综合与实践问题情境：如图1,在Rt△ABC中，AC=BC=2,∠ACB=90°,D,E分别是AC,BC的中点，D如图2,将△CDE绕着点C逆时针旋转a°,连接BE和AD,小明发现AD=BE,BE⊥AD,请你证明该结论.(2)猜想探究：如图3,将△CDE绕着点C逆时针旋转a(0<交AD于点F,试猜想四边形CDFE的形状，并说明理由.(3)如图4,将△CDE绕着点C逆时针旋转a(90<α<270),直接写出四边形AEDB的面积的最大值.5.阅读与思考.纯几何法验证勾股定理我们知道，勾股定理：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.勾股定理的验证方法到目前为止也有300多种，最著名的有“赵爽弦图法”“总统证证法.如图1,在Rt△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,先证明△ACD~△ABC,可得AC²=AD·AB,再证明△BCD~△BAC,可得BC²=BD·AB,两式相加即可得勾股定理，这种方法避开了利用拼图和面积法繁琐的证明，不失为一种很好的验证方法.阅读下列材料，并完成相应的任务.(1)根据材料中的方法，请写出完整的证明过程.(2)如图2,将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，我们把这样的直角三角形称为“勾股形”,图3是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成的矩形，若a=3,b=10,求该矩形的面积.(1)【问题呈现】如图1,△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD,CE.求证：BD=CE.(2)【类比探究】如图2,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°.连接BD,CE.请直接写的值.出(3)【拓展提升】连接BD,CE.延7.如图1,已知△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，点D、E分别在线段AB、AC上，∠C=∠AED=(1)观察猜想：如图2,将△ADE绕点A逆时针旋转，连接BD、CE,BD的延长线交CE于点F.当BD的延长线恰好经过点E时，点E与点F重合，此时，的值为(2)类比探究：如图3,继续旋转△ADE,点F与点E不重合时，上述结论是否仍然成立，请说明理由.图3(3)拓展延伸：若AE=DE=√2,AC=BC=√10,当CE所在的直线垂直于AD时，请直接写8.在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°,∠B=∠E=30°,AC=AF=6,用角形研究图形的变换.A(D)A(D)A图1图2图1EE图3(1)【翻折】如图1,将△DEF沿线段AB翻折，连接CF,下列对所得四边形ACBF的说法正确的是点共圆.(2)【平移】如图2,将△DEF沿线段AB向右平移，使D点移到AB的中点，连接CD、CF、FB,请猜想四边形CDBF的形状，并说明理由.(3)【旋转】如图3,将△DEF绕点C(F)逆时针方向旋转，使ACⅡED,连接AE、AD,则旋转角(1)【问题情境】如图1,四边形ABCD是正方形，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作正方形CEFG,连接DG、BE,则DG与BE的数量关系是(2)如图2,四边形ABCD是矩形，AB=2,BC=4,点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作矩形CEFG,且CG:CE=1:2,连接DG、BE.判断线段DG与BE有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；(3)【拓展提升】如图3,在(2)的条件下，连接BG,则2BG+BE的最小值为10.【思维探究】如图1,在四边形ABCD中，∠BAD=60°,∠BCD=120°,AB=AD,连接AC.求图1(1)小明的思路是：延长CD到点E,使DE=BC,连接AE.根据∠BAD+∠BCD=180°,推得∠B+∠ADC=180°,从而得到∠B=∠ADE,然后证明△ADE≌△ABC,从而可证BC+CD=AC,请你帮助小明写出完整的证明过程.(2)【思维延伸】如图2,四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°,AB=AD,连接AC,猜想BC,CD,AC之间的数量关系，并说明理由.(3)【思维拓展】在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°,AB=AD=V6,AC与BD相交于点O.若四边形ABCD中有一个内角是75°,请直接写出线段OD的长.11.综合与实践，【问题情境】:数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1,在正方形ABCD中，E是BC的中点，AE⊥EP,EP与正方形的外角△DCG的平分线交于P点.试猜想AE与EP的数量关系，并加以证明；图1图3(1)【思考尝试】同学们发现，取AB的中点F,连接EF可以解决这个问题.请在图1中补全图形，解答老师提出的问题.(2)【实践探究】希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2,在正方连接CP,可以求出∠DCP的大小，请你思考并解答这个问题.(3)【拓展迁移】突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3,连接DP.知道正方形的边长时，可以求出△ADP周长的最小值.当AB=4时，请你求出△ADP周长的最小值.方形.延长IH和FG,交于点L,连接LC并延长交DE于点J,交AB于点K,延长DA交L于点M.(1)证明：AD=LC;(2)证明：正方形ACHI的面积等于四边形ACLM的面积；(3)请利用(2)中的结论证明勾股定理.(4)【迁移拓展】如图2,四边形ACHI和BFGC分别是以△ABC的两边为一边的平行四边形，探索在AB下方是否存在平行四边形ADEB,使得该平行四边形的面积等于平行四边形ACHI、BFGC的面积之和.若存在，作出满足条件的平行四边形ADEB(保留适当的作图痕迹);若不存在，请说明理由.13.回顾：用数学的思维思考(1)如图1,在△ABC中，AB=AC.(2)猜想：用数学的眼光观察经过做题反思，小明同学认为：在△ABC中，AB=AC,D为边AC上一动点(不与点A,C重合).对于点D在边AC上的任意位置，在另一边AB上总能找到一个与其对应的点E,使得BD=CE.进而提出问题：若点D,E分别运动到边AC,AB的延长线上，BD与CE还相等吗?请解决下面的问题：如图2,在△ABC中，AB=AC,点D,E分别在边AC,AB的延长线上，请添加一个条件(不再添加新的字母),使得BD=CE,并证明.(3)探究：用数学的语言表达如图3,在△ABC中，AB=AC=2,∠A=36°,E为边AB上任意一点(不与点A,B重合),F为边AC延长线上一点.判断BF与CE能否相等.若能，求CF的取值范围；若不能，说明理由.14.《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑.在该书的第2幕“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，利用几何给人以强烈印象将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中.(1)我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形，找出可以推出的代数公式，(下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号)图1对应公式,图2对应公式,图3对应公式,图4对应公图5,请写出证明过程；(已知图中各四边形均为矩形)图5(3)如图6,在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°,D为BC的中点，E为边AC上任意一点(不与端点重合),过点E作EG⊥BC于点G,作EH⊥ADF点H过点B作BF//AC交EG的延长线于点F.记△BFG与△CEG的面积之和为S₁,△ABD与△AEH的面积之和为S₂.请说明理由.问题提出：如图(1),△ABC中，AB=AC,D是AC的中点，延长BC至点E,使DE=DB,延(1)问题探究：先将问题特殊化.如图(2),当∠BAC=60时，直接写出的值；(2)再探究一般情形.如图(1),证明(1)中的结论仍然成立.(3)问题拓展：如图(3),在△ABC中，AB=AC,D是AC的中点，G是边BC上一点，至点E,使DE=DG,延长ED交AB于点F.直接写出的值(用含n的式子表示).16.某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形CDE,按如图1的方式摆放，∠ACB=∠ECD=90°,随后保持△ABC不动，将△CDE绕点C按逆时针方向旋转α(0⁰<α<90°),连接AE,BD,延长BD交AE于点F,连接CF.该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答：图4图5图6【初步探究】(2)如图3,当点E,F重合时，请直接写出AF,BF,CF之间的数量关系；(3)如图4,当点E,F不重合时，(2)中的结论是否仍然成立?若成立，请给出推理过程；若不成立，请说明理由.(4)如图5,在△ABC与△CDE中，∠ACB=∠DCE=90°,若BC=mAC,CD=mCE(m为常数).保持△ABC不动，将△CDE绕点C按逆时针方向旋转α(0⁰<α<90°),连接AE,BD,延长BD交AE于点F,连接CF,如图6.试探究明理由.图2图1图2(1)知识再现AF,BF,CF之间的数量关系，并说图3如图1,Rt△ABC中，∠ACB=90°,分别以BC、CA、AB为边向外作的正方形的面积为S₁、S₂、S₃.当(2)问题探究如图2,分别以BC、CA、AB为边向外作的等腰直角三角形的面积为S₁、S₂、Sʒ,则S₁、S₂、S₃之间的数量关系是(3)如图3,分别以BC、CA、AB为边向外作的等边三角形的面积为S4、Ss、S₆,试猜想S₄、Ss、S₆之间的数量关系，并说明理由.(4)实践应用如图4,将图3中的△BCD绕点B逆时针旋转一定角度至△BGH,△ACE绕点A顺时针旋转一定角度图4图5(5)如图5,分别以图3中Rt△ABC的边BC、CA、AB为直径向外作半圆，再以所得图形为底面作柱体，BC、CA、AB为直径的半圆柱的体积分别为V₁、V₂、V₃.若AB=4,柱体的高h=8,直接写出V₁+V₂的值.1.【答案】(1)解：如图，∵B,C关于AD对称∴AD是BC的垂直平分线PB+PE的值最为2.(2)解：如图，连接DP,DM.∴△ABD是等边三角形，四边形ABCD为菱形∴DM⊥AB∴AC与BD互相垂直平分，,PB=PD∴PM+PB的最小值即为PM+PD最小值即为DM长∴PM+PB的最小值为4.(3)解：如图：2.【答案】(1)解：证明：把△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADG,如图1,:F,D,G三点共线，(2)不成立，结论：EF=DF-BE;BE=EF+DF(3)解：由(1)可知AE=AG=3√5,图4∵正方形ABCD的边长为6,设DF=x,则EF=FG=x+3,CF=6-x,在Rt△EFC中，3.【答案】(1)50(4)解：4.【答案】(1)解：如图，延长BE交AD于点F,交AC于点G,∵△ACB,△DCE都是等腰直角三角形，AC=BC,DC=EC,∠ACB=∠DCE=90°,(2)解：正方形，理由：由(1)知，∠EFD=90°,∴四边形CDEF是矩形，∴四边形CDFE是正方形；∴当点C在线段BE上，且AC⊥BE时，即△CDE绕着点C逆时针旋转180°时，四边形AEDB的面积有最大值，此时BE=AD=2+1=3,5.【答案】(1)证明：在Rt△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,∴△ACD~△ABC,同理，△BCD~△BAC,(2)解：设小正方形的边长为x,则BC=a+x=3+x,AB=b+x=10+x,∵矩形的面积=(3+x)(10+x)=x²+13x+30,AA∴△ABC~△ADE,∴△DAB~△EAC,(2)解：设AC与BF交于O,BB∴△EAC~△DAB,(3)解：如图3-1所示，当CE⊥AD于O时，∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，AE=DE=√2,AC=BC=√10,∴同(1)可得AD=√2AE=2,同理可证△AEC~△ADB,如图3-2所示，当EC⊥AD时，延长CE交AD