7.2.3同角三角函数的基本关系式（2知识点5题型强化训练）

同角三角函数的基本关系式课程标准学习目标（1）理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用；（2）会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明。（1）通过推导三角函数的基本关系，培养逻辑推理等核心素养；（2）通过同角三角函数基本关系的应用，提升数学运算等核心素养。知识点01同角三角函数基本关系式1、平方关系（1）公式：（2）文字表述：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于12、商数关系（1）公式：（2）文字描述：同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切3、对公式的理解（1）“同角”有两层含义：一是“角相同”；二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关，如sin23α＋cos23α＝1成立，但是sin2α＋cos2β＝1就不一定成立．（2）sin2α是(sinα)2的简写，读作“sinα的平方”，不能将sin2α写成sinα2，前者是α的正弦的平方，后者是α2的正弦，两者是不同的，要弄清它们的区别，并能正确书写．（3）注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的，sin2α＋cos2α＝1对一切α∈R恒成立，而tanα＝eq\f(sinα,cosα)仅对α≠eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)成立．【即学即练1】（2023·全国·高一随堂练习）解下列各题：（1）已知，且为第一象限角，求和的值．（2）已知，且为第三象限角，求和的值．（3）已知，且为第二象限角，求和的值．【答案】（1），；（2），；（3），【解析】（1）因为，且为第一象限角，则，且，.（2）因为，且为第三象限角，则，且，.（3）因为，且为第二象限角，则，，由同角三角函数的基本关系可得，解得，.知识点02对同角公式的变形1、公式的基础变形（1）的变形公式有：；（2）的变形公式有：；2、与之间的的转化（1）；（2）；（3）；（4）【即学即练2】（2023·全国·高一期末）设，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，，所以.故选：D.【题型一：sina、cosa、tana知一求二】例1．（2023·河南·高一镇平县第一高级中学校联考阶段练习）已知，且为第二象限角，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为,所以，因为为第二象限角，所以.故选：C.变式11．（2023·福建福州·高一校考阶段练习）已知A是三角形内角，且，则．【答案】【解析】因为，且A为三角形内角，所以A为钝角，则，又，解得（正值舍去）.变式12．（2023·贵州贵阳·高一贵阳一中校考阶段练习）（1）若，求和的值；（2）若，求的值.【答案】（1），；（2）2【解析】（1）由已知，可得，所以.（2），.变式13．（2023·高一课时练习）下列四个命题中，可能成立的是（）A．，且；B．，且；C．，且；D．，且．【答案】B【解析】选项A，因为，且，所以，所以A不正确；当时，，，所以B正确；因为，，所以或，故C不正确；因为，所以或，故D不正确；故选：B.【方法技巧与总结】已知三角函数值求其他三角函数值的方法（1）若已知，可以先应用公式，求得，再由公式，求得的值；（2）若已知，可以先应用公式，求得，再由公式，求得的值；（3）若已知，可以先应用公式及，求得，。【题型二：正、余弦齐次式的应用】例2．（2023·福建泉州·高一泉州市泉港区第一中学校联考阶段练习）已知，则等于（）A．B．2C．0D．【答案】D【解析】因为，所以.故选：D.变式21．（2023·山东烟台·高一校考期末）已知．（1）求的值；（2）的值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）；（2）因为，可得，所以，则，因为，所以.变式22．（2023·湖南邵阳·高一邵阳市第二中学校考阶段练习）已知点为角终边上一点.（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）由点，根据三角函数的定义，可得.（2）由（1）知，则.（3）由（1）知，则.变式23．（2023·湖南株洲·高一校考阶段练习）已知，（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）【解析】（1），等式左边的分子，分母同除以得，，即，解得；（2）【方法技巧与总结】化切求值的方法技巧：（1）对分式齐次式，因为，一般可在分子和分母中同时除以，使所求代数式化为关于的代数式，从而得解；（2）对整式（一般是指关于）齐次式，把分母看为“1”，用替换“1”，从而把问题转化为分式齐次式，在分子和分母中同时除以，即可得到关于的代数式，从而得解。【题型三：sina±cosa、sina·cosa关系应用】例3．（2023·全国·高一随堂练习）已知，求的值．【答案】或【解析】由，平方可得，可得，又由，可得，因为当时，可得；当时，可得.变式31．（2023·湖南邵阳·高一邵阳市第二中学校考阶段练习）已知，，则的值为.【答案】【解析】，则，即，，故，故，.变式32．（2023·湖北咸宁·高一校考阶段练习）已知关于的方程的两个根分别为和，且．（1）求的值；（2）求的值；（3）求方程的两根及的值．【答案】（1）；（2）；（3）两根为，；或.【解析】（1）因为和是方程的两个根，所以，原式.（2）因为，所以，所以，解得.（3）由（2）可知，，所以方程的两根为，，所以或，又因为，所以或.变式33．（2023·天津·高一校考阶段练习）已知，其中是的一个内角．（1）求的值，并判断是锐角三角形还是钝角三角形；（2）求的值．【答案】（1），钝角三角形；（2）.【解析】（1）由，两边平方得，即，所以；由是的一个内角，得，则，而，则，有，所以是钝角三角形.（2）由（1）知，，，所以.【方法技巧与总结】，，三个式子中，已知其中一个，可求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是：。求解过程中需注意三角函数值的符号。【题型四：三角函数化简求值问题】例4．（2023·全国·高一随堂练习）化简．（1）;（2）【答案】（1）；（2）【解析】（1）由同角的平方关系可得，.（2）原式变式41．（2023·全国·高一随堂练习）化简与求值（1）；（2）．【答案】（1）1；（2）1【解析】（1）.（2）.变式42．（2023·全国·高一随堂练习）求下列各式的值：（1）；（2）．【答案】（1）1；（2）25【解析】（1）；（2）.变式43．（2023·全国·高一课堂例题）化简：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）【解析】（1）原式．（2）因为，所以．原式．【方法技巧与总结】三角函数式的化简技巧：①化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．②对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．③对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造＋＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．【题型五：三角恒等式的证明问题】例5．（2023·全国·高一随堂练习）求证：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析；（4）证明见解析【解析】（1）左边==右边，故得证，（2）左边==右边，故得证，（3）左边==右边，故得证，（4）左边==右边，故得证变式51．（2023·全国·高一随堂练习）求证：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】（1）.故成立.（2）故成立.（3）.故成立.变式52．（2023·全国·高一随堂练习）求证：（1）＝；（2）【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）左边==右边.（2）左边==右边.变式53．（2023·上海·高一进才中学校考开学考试）证明：．【答案】证明见解析【解析】证明：，即.【方法技巧与总结】证明三角恒等式的过程，实质上是化异为同的过程，证明恒等式常用以下方法：①证明一边等于另一边，一般是由繁到简．②证明左、右两边等于同一个式子(左、右归一)．③比较法：即证左边－右边＝0或eq\f(左边,右边)＝1(右边≠0)．④证明与已知等式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立．一、单选题1．（2023·江苏盐城·高一伍佑中学校联考阶段练习）已知，且，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，，所以，所以.故选：C.2．（2023·四川遂宁·高一射洪中学校考阶段练习）若，，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以；因为，所以，解得；因为，所以，所以.故选：A.3．（2023·全国·高一专题练习）已知若为第二象限角，则下列结论正确的是（）A．B．C．或D．【答案】D【解析】由可得或，由于为第二象限角，所以，故当时，不符合要求，则符合要求，故选：D4．（2023·山东济宁·高一校考阶段练习）已知，则（）A．3B．C．D．【答案】B【解析】由，得，所以.故选：B5．（2023·四川成都·高一校考期末）若，且是方程的两实根，则的值是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由于是方程的两实根，所以，又，所以，故，由于，，所以，故，因此，所以，故选：D6．（2023·全国·高一专题练习）已知是三角形的一个内角，用，那么这个三角形的形状为（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等边三角形D．等腰三角形【答案】B【解析】两边平方得，即，因为是三角形的一个内角，所以，，故，所以，故这个三角形的形状为钝角三角形.故选：B7．（2023·重庆铜梁·高一校联考期末）计算的值为（）A．1B．1C．D．【答案】B【解析】因为，.故选：B.8．（2023·陕西西安·高一交大附中校考阶段练习）若，则的化简结果是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，由于，所以，故，故选：D二、多选题9．（2023·云南昆明·高一云南师大附中校考阶段练习）已知，且，则（）A．B．C．D．为第四象限角【答案】ACD【解析】，，，，故A正确；，故C正确；，故B错误；因为，且，所以为第四象限角，故D正确.故选:ACD.10．（2023·江苏·高一期末）已知，，则下列等式正确的是（）A．B．C．D．【答案】AD【解析】因为，则．对于选项，，可得，正确；对于选项，由选项可知，，则，所以，，则，错误；对于选项，，可得，则，错误；对于选项，，正确．故选：．11．（2023·江西上饶·高一校考期末）已知，，则（）A．B．C．D．【答案】ACD【解析】对于A，因为，所以，所以，所以，所以A正确，对于B，因为，，所以，因为，所以，，所以，，所以，所以B错误，对于C，因为，，所以，所以C正确，对于D，因为，所以，所以D正确，故选：ACD12．（2023·江苏盐城·高一校考阶段练习）下列计算或化简，结果正确的是（）A．B．C．若，则D．若，则【答案】ABD【解析】对于A，，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，若，则，故C错误；对于D，若，则，故D正确.故选：ABD.三、填空题13．（2023·全国·高一专题练习）已知，，且为第二象限角，则.【答案】【解析】为第二象限角，，解得：或；，即，，解得：（舍）或，，，.14．（2023·广东梅州·高一大埔县虎山中学校考阶段练习）已知，则.【答案】【解析】由，则.15．（2023·湖南株洲·高一校考阶段练习）已知，则．【答案】【解析】因为，则，原式.16．（2023·广东深圳·高一深圳外国语学校校考阶段练习）已知是关于x的方程的两个根，则．【答案】【解析】由题意得：，是的两个根，即：，解得：或，由根与系数的关系得：，所以：，即：，解得：，（舍去），.四、解答题17．（2023·宁夏吴忠·高一青铜峡市高级中学校考阶段练习）（1）已知，且为第二象限角，求的值；（2）已知，求的值.【答案】（1），；（2）答案见解析【解析】（1）因为且是第二象限角，所以，；（2）因为，所以是第二或第三象限角，当为第二象限角时，，所以，；当是第三象限角时，所以，18．（2023·陕西西安·高一校考阶段练习）已知角的终边上有一点的坐标是，其中.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为，所以.（2）原式.19．（2023·四川成都·高一成都七中校考阶段练习）已知点在角的终边上，且．（1）求和的值；（2）求的值．【答案】（1），；（2）【解析】（1）由三角函数的定义知：，则，于是解得