2022-2023学年福建省莆田市荔城区砺青中学七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年福建省莆田市荔城区砺青中学七年级（下）期中

数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.在dl,-3.14,-2-0.77-,刍1.6262262226…（每两个6之间依次增加一个2）,

J/

其中无理数的个数有（）

A.5个B.4个C.3个D.2个

2.如图所示的四个图形中，Nl与42是对顶角的是（）

3.下列各式中，正确的是（）

A4

√8=

4.下列命题是真命题的是（）

A.无理数的相反数是有理数

B.如果α+b>0,则α>O且b>O

C.同位角相等

D.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

5.如图，在平面内,DE//FG,点小B分别在直线CE、FG上,

△ABC为等腰直角形，Ne为直角，若Nl=20。，则N2的度数为

)

A.20°

B.22.5°

C.70°

D.80°

6.如图，现有条件：①NB+4BCD=180o;(2)zl=Z2:

③43=44;④4。=/5.能判断CC的条件有（）

A.①②B.②③C.①③D.②④

7.以方程组二;的解为坐标的点(x,y),在平面直角坐标系中的位置是在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

8.昌平公园建成于1990年，公园内有一个占地Ioooo平方米的静明湖，另外建有弘文阁、

碑亭、文节亭、诗田亭、逸步桥、牌楼等园林景观及古建筑.如图，分别以正东、正北方向

为X轴、y轴建立平面直角坐标系，如果表示文节亭的点的坐标为(2,0),表示园中园的点的坐

标为则表示弘文阁所在的点的坐标为()

垣至辐

1

图?单亭

A.(-2,-3)B.(-2,-2)C.(-3,-3)D.(—3,—4)

9.如图，把半径为0.5的圆放到数轴上，圆上一点4与表示1

的点重合，圆沿着数轴滚动一周，此时点4表示的数是()

A.0.5+Tr或0.5-πB.1+2Tr或1-2Tr

C.1+Tr或1-πD.2+兀或2-π

10.如图，在平面直角坐标系中4(-1,1),β(-l,-2),C(3,-2),

D(3,l),一只瓢虫从点4出发以3个单位长度/秒的速度沿4→B→

C-DTA循环爬行，问第2023秒瓢虫所处位置的坐标为()

A.(-1,-1)

B.(2,-2)

C.(-1,-2)

D.(3,-2)

二、填空题(本大题共6小题，共24.0分)

11.√ιτ的算术平方根是

12.自来水公司为某小区A改造供水系统，如图沿路线4。铺设管道

和BO主管道衔接(AOlBO),路线最短，工程造价最低，根据是

R

13.已知C是方程ɑx+y=2的解，则α的值为

14.如图，直线4B、CD相交于点O,OE平分Z8OC,OFJ.OE于

点。.若NAOD=80°,则N40F等于

15.点P在第三象限内，距离X轴4个单位长度，距离y轴2个单位长度，那么点P的坐标是

16.定义：若无理数，T（7为正整数）：M<T<m2（其中n为满足不等式的最大整数，πι为

满足不等式的最小整数），则称无理数C的“雅区间”为（n,m）.例如：因为12<2<22,所

以1<√^1<2,所以/1的“雅区间”为（1,2）：—C的雅区间为（一2,-I）.若无理数一，W（α

为正整数）的'‘雅区间”为（一3,-2）,的''雅区间”为（3,4）,则Wl的值为.

三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题8.0分）

计算.

（Iw（-5）2-强+C；

（2）∣-3∣2-∫4+VΞ27∙

18.（本小题8.0分）

求下列各式中的X.

（l）（x-3）3=64；

（2）4（2x-5）2-25=0.

19.（本小题8.0分）

若方程5χ2M+3n+20+4ym+5"=9是关于X、y的二元一次方程，求m、n的值.

20.（本小题8.0分）

己知，如图，∆ABC=∆ADC,BF,DE分别平分NABC与NADC,且Nl=43,求证：41+44=

180°.

请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由.

证明：∙∙∙BF,DE分别平分乙4BC与乙4DC(已知)，

.∙.Zl=YABC,42=^∆ADC().

∙.∙∆ABC=∆ADC(i),

Nl=/2(等量代换).

∙••Zl=/3(已知)，

：•z2=Z.().

：・AB//CD,().

・•・Zl+Z4=180°.().

21.(本小题8.0分)

在平面直角坐标系Xoy中，4ABC的三个顶点分别是A(—2,0),B(0,3),C(3,0).

(1)在所给的图中，画出这个平面直角坐标系；

(2)点4经过平移后对应点为D(3,-3),将△4BC作同样的平移得到AOEF,画出平移后的△

DEF；

(3)在(2)的条件下，点M在直线CD上，若CM=2DM,直接写出点M的坐标.

22.(本小题10.0分)

已知2α-1的算术平方根是3,3α+h-1的平方根是±4,C是Ara的整数部分，求3α+2b-c

的平方根.

23.(本小题10.0分)

我国传统数学名著仇章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金

十六两.问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子：2头牛、5只

羊，值16两银子.问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问

题：

(1)求每头牛、每只羊各值多少两银子？

(2)若某商人准备用19两银子买牛和羊(要求既有牛也有羊，且银两须全部用完)，请问商人有

儿种购买方法？列出所有的可能.

24.(本小题12.0分)

如图1所示，ABHCD,E为直线CD下方一点，BF平分N4BE.

(1)求证：∆ABE+NC-/E=180°.

(2)如图2,EG平分乙BEC,过点B作求心FBH与NC之间的数量关系.

(3)如图3,CN平分4ECO,若BF的反向延长线和CN的反向延长线交于点M,且ZE+=

130°,请直接写出NE的度数.

25.(本小题14.0分)

如图，以直角三角形4。C的直角顶点。为原点，以。C、。4所在直线为无轴和y轴建立平面直角

坐标系，点4(0,α),C(b,O)Y两足√^^a—2b+∖b—21=0♦

(I)C点的坐标为；A点的坐标为.

(2)如图1,已知坐标轴上有两动点P、Q同时出发，P点从C点出发沿X轴负方向以1.5个单位长

度每秒的速度匀速移动，Q点从。点出发以2个单位长度每秒的速度沿y轴正方向移动，点Q到

达4点时整个运动随之结束.4C的中点。的坐标是(1,2),设运动时间为t(t>O).问：是否存在

这样的3使SAODP=SAODQ?若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由.

(3)如图2,过。作。G〃/1C,作乙4。F=NAOG交AC于点F,点E是线段OA上一动点，连CE交。尸

于点H,当点在线段上运动的过程中，4的值是否会发生变化?若不变，请求出

E04“”∆需0EC'E

它的值；若变化，请说明理由.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：＜721=11-

故在，TΣI,-3.14,一--0.77V-1.6262262226…（每两个6之间依次增加一个2）,无理

数有一*1.6262262226∙∙∙（每两个6之间依次增加一个2）,共2个.

故选：D.

根据无理数的概念可判断出无理数的个数.

此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理

数.如兀，√^6,0.8080080008...（每两个8之间依次多1个0）等形式.

2.【答案】D

【解析】解：4、Zl与42不是对顶角，故本选项不符合题意；

B、Nl与/2不是对顶角，故本选项不符合题意；

C、Nl与42不是对顶角，故本选项不符合题意；

。、41与42是对顶角，故本选项符合题意；

故选：D.

根据对顶角的定义逐个判断即可.

本题考查了对顶角的定义，能理解对顶角定义的内容是解此题的关键.

3.【答案】C

【解析】解：4、y∕^^8=2√~2≠4＞本选项错误，

B、Jl∣=本选项错误，

C、+f±=+2本选项正确，

r81-9

D、VM=4,本选项错误，

故选：C.

根据平方根和立方根的知识点进行解答，若/=α,贝卜=讪，χ2=b（b≥0）则X=+yΓb,算术

平方根只能为正，据此进行判断正确答案.

本题主要考查算术平方根和立方根的知识点，注意立方根只有一个，此题比较简单，但是做题要

仔细.

4.【答案】D

【解析】解：4、无理数的相反数是无理数，故本选项说法是假命题，不符合题意；

B、如果α+b>0,则α>O且b>0,本选项说法是假命题，不符合题意：

C、两直线平行，同位角相等，故本选项说法是假命题，不符合题意；

。、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是真命题，符合题意：

故选：D.

根据相反数的概念、实数的加法法则、平行线的性质、垂直的定义判断即可.

本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题.判断命题的真假

关键是要熟悉课本中的性质定理.

5.【答案】C

【解析】解：如图所示：过点C作NC〃9G,

贝IJOE//尸G//NC,

故Nl=4NCB=20°,42=乙ACN=90°-20°=70°.

故选：C.

直接利用平行线的性质作出平行线，进而得出42的度数.

此题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解题关键.

6.【答案】C

【解析】解：•••4B+/.BCD=180°,

AB//CD,故①符合题意；

VZl=z2,

ʌAD//BC,故②不符合题意；

Vz.3=Z.4,

.∙.AB//CD,故③符合题意；

VZD=Z.5,

.∙.azV∕BC,故④不符合题意;

能判断AB〃Cn的条件有①③，

故选：C.

根据平行线的判定定理求解，即可求得答案.

此题考查了平行线的判定.解题的关犍是掌握平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角

相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行.

7.【答案】D

【解析】解:产狞缁

[x-2y=7{2)

①-②得：5y=—5,

Jy=-1，

将y=-1代入②得X=5.

.∙.点(5,—1)在第四象限.

故选：D.

解出方程组的解，确定点的位置即可.

本题考查了二元一次方程组的解法，加减消元法是常用的解题方法.

8.【答案】B

9.【答案】C

【解析】解：由半径为0.5的圆从数轴上表示1的点沿着数轴滚动一周到达4点,

故滚动一周后4点与1之间的距离是兀，

故当2点在1的左边时表示的数是1-τt,

当4点在1的右边时表示的数是1+π.

故选：C.

根据半径为0.5的圆从数轴上表示1的点沿着数轴滚动一周，滚动的距离就是圆的周长，再由圆的

周长公式得出周长为7T,分两种情况，即可得答案.

本题主要考查了实数与数轴，准确求得数轴上两点间的距离是解决本题的关键.

10.【答案】D

【解析】解：•••4(一1,1),B(-l,-2),C(3,-2),D(3,1),

.∙.AB=CD=3,AD=BC=4,

.∙.AB+AD+CD+BC=14,

瓢虫爬行一个循环所用的时间为学S,

14

V2023÷y=433...7,

当t=2023秒时，瓢虫在点C处，

此时瓢虫的坐标为(3,-2).

故选：D.

根据点4、8、C、O的坐标可得出4B、4。，CD,BC及长方形4BCD的周长，由2023÷竽=433...7,

可得出当t=2023秒时瓢虫在点C处.

本题考查了规律型中点的坐标，根据瓢虫的运动规律找出当t=2023秒时瓢虫在点C处，是解题的

关键.

11.【答案】2

【解析】解：√16=4，

E的算术平方根是2.

故答案为：2.

如果一个正数X的平方等于α,即χ2=α,那么这个正数X叫做α的算术平方根.记为/7,由此即

可得到答案.

本题考查算术平方根，关键是掌握算术平方根的定义.

12.【答案】垂线段最短

【解析】解：根据是：直线外一点与直线上各点连接而得到的所有线段中，垂线段最短.

故答案为：垂线段最短.

过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短.据此作答.

此题主要考查垂线段最短在实际生活中的应用.

13.【答案】-1

【解析】解：把｛J二：代入到方程中得：α+3=2,

ʌa=—I,

故答案为：—1.

把方程组的解代入方程，得到关于α的一元一次方程，解方程即可.

本题考查了二元一次方程的解,把方程组的解代入方程,得到关于ɑ的一元一次方程是解题的关键.

14.【答案】50°

【解析】解：•••/-AOD=80°,

乙BOC=∆AOD=80°.

VOE平分NBOC,

乙BoE=；乙BoC=40°.

•・,OF1OE,

・・・（EoF=90°,

∆AOF=180o-∆BOE-4EoF=180°-40°-90°=50°.

故答案为：50°.

根据对顶角相等可得NBOC=∆AOD=80°,再根据角平分线的性质得NBoE=；4BoC=40°,最

后根据平角的性质求解即可.

本题考查了角的度数问题、垂直定义以及角平分线的定义，掌握对顶角相等、平角的定义是解题

的关键.

15.【答案】（一2,-4）

【解析】解：•••点P位于第三象限，且距离X轴4个单位长度，距离y轴2个单位长度，

•••点P的纵坐标为-4,横坐标为一2,即点P的坐标为（一2,-4）.

故答案为：(—2,—4).

根据到X轴的距离即为纵坐标的绝对值、至的轴的距离即为横坐标的绝对值，再由第四象限点的坐

标符号特点可得答案.

本题主要考查点的坐标，解题的关键是掌握到X轴的距离即为纵坐标的绝对值、至。轴的距离即为

横坐标的绝对值及四个象限内点的坐标的符号特点.

16.【答案】2或通

【解析】解：:一广(α为正整数)的“雅区间”为(一3,-2),

•••(-2)2<ɑ<(-3)2,

.,.4<ɑ<9,

∙.∙K月的“雅区间”为(3,4),

.∙.32<ɑ+3<42,

ʌ9<α+3<16,

ʌ6<α<13,

.∙.6<α<9,

∙∙∙a为正整数，

.∙.a=7或8,

.∙.a+1=8或9,

∙∙∙vɑ+1=Vs=2或源,

故答案为：2或眄.

先根据已知条件，求出a的取值范围，从而求出a,再代入求值即可.

本题主要考查了无理数的估算，解题关键是根据已知条件求出a的取值范围.

17.【答案】解：(I)J(-5)2-遮+C

=5-2+3

=6；

⑵1一3/一zɪ+V=∑7

3

=9-∣-3

9

=2'

【解析】(1)直接利用算术平方根以及立方根的定义分别化简得出答案;

(2)直接利用算术平方根以及立方根的定义分别化简得出答案.

此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键.

18.【答案】解：(1)∙∙∙(x-3)3=64,

■■X—3=V64=4>

∙,■X=7；

(2)•；4(%—1)2-25=0,

.∙∙(x-I)2=予,

X-1=±|>

【解析】(1)方程两边同时开立方即可求解；

(2)首先移项，然后方程两边同时开平方即可求解.

本题主要考查了平方根和立方根的性质，并利用此性质解题.平方根的被开数不能是负数，开方

的结果必须是非负数；立方根的符号与被开立方的数的符号相同.本题易在符号上出现错误，要

严格按照性质解题.

2m÷3n+20=1

19.【答案】解：由题意得,

.m+5n=1

98

m=13

解得174

.n=^13

【解析】根据二元一次方程的定义列出二元一次方程组进行解答即可.

本题本题考查了二元一次方程的定义，掌握未知数的次数为1是解题的关键.

20.【答案】角平分线的定义已知3等量代换内错角相等，两直线平行两直线平行，同旁内

角互补

【解析】证明：∙∙∙BF,DE分别平分ZABC与乙4DC（已知）,

.∙∙N1=&ABC,N2=*DC（角平分线的定义），

∙.∙∆ABC=4ADC（已知），

二Zl=/2（等量代换），

VNl=43（已知），

42=/3（等量代换），

.∙.4B"CD（内错角相等，两直线平行），

.∙./1+/4=180。（两直线平行，同旁内角互补）.

故答案为：角平分线的定义；已知；等量代换；3；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁

内角互补.

首先根据角平分线定义可得Nl=*ABC,N2=*4DC,根据等式的性质可得ZI=N2,再由条

件41=43可得/2=43,根据内错角相等，两直线平行可得4B〃CD,根据两直线平行，同旁内

角互补得到41+44=180°.

此题主要考查了平行线的判定和性质以及角平分线的性质，能灵活运用知识点进行推理是解此题

的关键.

（3）利用已知坐标系结合图形得出M点位置.

此题主要考查了平移变换以及平面直角坐标系，正确得出对应点位置是解题关键.

22.【答案】解：由题意得：守Uu必

13Q+D-1=16

∙*∙ɑ=5,b=2•

∙・•9<13<16,

.∙.3<Λ∏3<4.

ʌc=3.

・•・3α+2&—c=16.

•1•α+26-C的平方根是±4.

【解析】先依据算术平方根和平方根的定义列出关于a、b的方程组求得a、b的值，然后估算出E

的大小，可求得C的值，接下来，求得a+2b-C的值，最后求它的平方根即可.

本题主要考查的是算术平方根、平方根的定义、估算无理数的大小，熟练掌握相关定义和方法是

解题的关键.

23.【答案】解：（1）设每头牛值X两银子，每只羊值y两银子，

根据题意得:腰：M3

解得：｛J≡2∙

答：每头牛值3两银子，每只羊值2两银子.

（2）设购买a头牛，b只羊，依题意有

3a+2b=19,

.19-3Q

b=-'

因为a,b都是正整数，

所以①购买1头牛，8只羊；

②购买3头牛，5只羊；

③购买5头牛，2只羊.

【解析】本题考查了二元一次方程（组）的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程（组）是解

题的关键.

（1）设每头牛值X两银子，每只羊值y两银子，根据“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、

5只羊，值16两银子”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论.

（2）可设购买a头牛，b只羊，根据用19两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），

列出方程，再根据整数的性质即可求解.

24.【答案】(1)证明：过点E作如图1所示:

・・・(ABE=乙BEK,

•：ABllCD,

・•・EKIICD,

图1

・•・Z.CEK+ZC=180°

・・・∆ABE+NC—4E=Z,BEC+乙CEK+ZC-乙BEC=(CEK+ZC=180°；

(2)解：・・・BF、EG分别平分乙AB£、(BEC,

Z-ABF=/.EBF,Z.BEG=/.CEG,

设乙4BF=4EBF=a,LBEG=ZCEG=β,

∙.∙BH//EG,

：.UiBE=乙BEG=β,

：.乙FBH=4FBE-乙HBE=a-β,

由(1)知，∆ABE+ZC-Z.BEC=180°,

即2α+∆C-2β=2(α-β)+∆C=180°,

2乙FBH+NC=180°；

(3)解：•••CN.BF分别平分/ECD、∆ABE,

：.4ABF=4EBF,乙ECN=4DCN,

设乙4BF=乙EBF=X,乙ECN=乙DCN=y,

由(1)知：∆ABE+∆C-∆E=180°,

即NE=2(x+y)-180。，

过M作尸Q〃AB〃C0,

贝此PMF=∆ABF=X,4QMN=乙DCN=y,

乙FMN=180o-"MF-NQMN=180o-(x+y),

乙E+乙FMN=X+y=130°,

乙E=2(x+y)-180=2X130°-180°=80°.

【解析】（1）过点E作EK〃4B,由平行线的性质得出乙4BE=ZBEK,NCEK+NC=180。，进而

得出答案;

(2)设ZABF=乙EBF=a,4BEG=乙CEG=β,由平行线的性质得出NHBE=LBEG=RsFBH=

乙FBE-∆HBE=a-β,由(1)知k4BE+ZC-NBEe=180°,即可得出答案；

(3)设4ABF=4EBF=X,乙ECN=乙DCN=y,由(1)知NE=2(x+y)-180°,过M作

PQ//AB//CD,由平行线的性质得出NPMF=