中精相关概率论与数理统计

第2章一维随机变量及其分布§2.1随机变量一.随机变量概念的引入

为全面研究随机试验的结果,揭示随机现象的统计规律性,需将随机试验的结果数量化,即把随机试验的结果与实数对应起来.1.在有些随机试验中,试验结果本身就由数量来表示.

例如,在抛掷一颗骰子,观察其出现的点数的试验中,试验的结果就可分别由数1,2,3,4,5,6来表示.2.在另一些随机试验中,试验结果看起来与数值无关,但可以指定一个数量来表示之.

例如,在抛掷一枚硬币观察其出现正面或反面的试验中,若规定"出现正面"对应数1,"出现反面“对应数-1,则该试验的每一种可能结果,都有唯一确定的实数与之对应;二.随机变量的定义

Se1e2e3X(e1)和X(e3)X(e2)OR定义1

设随机试验的样本空间为S,称定义在样本空间S上的实值单值函数X=X(e)为随机变量.

注:随机变量即为定义在样本空间上的实值函数.随机变量X的取值由样本点e决定.反之,使X取某一特定值a的那些样本点的全体构成样本空间S的一个子集,即

A={e|X(e)=a}

S.

它是一个事件,当且仅当事件A发生时才有{X=a},为简便起见,今后将事件

A={e|X(e)=a}记为{X=a}随机变量通常用大写字母X,Y,Z或希腊字母x,h等表示.而表示随机变量所取的值时,一般采用小写字母x,y,z等.

例1在抛掷一枚硬币进行打赌时,若规定出现正面时抛掷者赢一元钱,出现反面时输1元钱,则样本空间为

S={正面,反面},

记赢钱数为随机变量X,则X作为样本空间S的实值函数定义为例2在将一枚硬币抛掷三次,观察正面H,反面T出现情况的试验中,其样本空间

eHHHHHTHTHTHHHTTTHTTTHTTTX32221110S={HHH,HHT,HTH,THH,

HTT,THT,TTH,TTT};

记每次试验出现正面H的总次数为随机变量X,则X作为样本空间S上的函数定义为易见,使X取值为2的样本点构成的子集为

eHHHHHTHTHTHHHTTTHTTTHTTTX32221110A={HHT,HTH,THH}

故 P{X=2}=P(A)=3/8,

类似地,有

P{X1}=P{HTT,THT,TTH,TTT}

=4/8.例3在测试灯泡寿命的试验中,每一个灯泡的实际使用寿命可能是[0,+)中的任何一个实数,若用X表示灯泡的寿命(小时),则X是定义在样本空间S={t|t0}上的函数,即X=X(t)=t,是随机变量.三.引入随机变量的意义

随机变量的引入,使得随机试验中的各种事件可通过随机变量的关系式表达出来.例如,某城市的120急救电话每小时收到的呼唤次数X是一个随机变量.事件{收到不少于20次呼叫}可表示为{X=10}.可表示为{X20},事件{收到恰好为10次呼叫}§2.2离散型随机变量一.离散型随机变量及其概率分布

设X是一个随机变量,如果它全部可能的取值只有有限个或可数无穷个,则称X为一个离散型随机变量.

定义设离散型随机变量X的所有可能以值为xi(i=1,2,),

P{X=xi}=pi,i=1,2,

称为X的概率分布或分布律,也称概率函数.Xx1x2

xn

pip1p2

pn

常用表格形式表示X的概率分布:由概率的定义,pi,(i=1,2,)必然满足:Xx1x2

xn

pip1p2

pn

例某篮球运动员投中篮圈的概率是0.9,求他两次独立投篮投中次数X的概率分布.

例设随机变量X的概率分布为:试确定常数a.关于分布律的说明:

Xx1x2

xn

pip1p2

pn

则可求得X所生成的任何事件的概率,特别地,若已知一个离散型随机变量X的概率分布例如,设X的概率分布由例1给出:X012pi0.010.180.81则 P{X0}=?P{X<2}=?P{-2X6}=?X01pi1-pp则称X服从参数为p的0-1分布.习惯上常记q=1-p.易见0<p,q<1,p+q=1.1.两点分布定义若一个随机变量X只有两个可能取值,且其分布为

P{X=x1}=p,P{X=x2}=1-p,(0<p<1),

则称X服从x1,x2处参数为p的两点分布.特别地,若X服从x1=1,x2=0处参数为p的两点分布,

即二.常用离散分布

对于一个随机试验,针对所关心的任何一个

事件A,0<P(A)<1,都可以在S上定义一个服从

0-1分布的随机变量:来描述这个随机试验的结果.2.伯努利试验和二项分布设随机试验只有两种可能的结果:事件A发生或者事件A不发生,则称这样的试验为伯努利(Bernoulli)试验.记将伯努利试验在相同条件下独立地重复进行n次,称这一串重复的独立试验为n重伯努利试验,或简称为伯努利概型.特点：1）事件A在每次试验中发生的概率均为p；

2）每次试验之间是独立的。定理(伯努利定理)

设在一次试验中,事件A发生的概率为p(0<p<1),则在n重伯努利试验中,事件A恰好发生k次的概率为推论设在一次试验中,事件A发生的概率为p(0<p<1),则在伯努利试验序列中,事件A在第k次试验中才首次发生的概率为

在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p,用X表示n重伯努利试验中事件A发生的次数,则X的可能取值为0,1,,n,且对每一个k(0

k

n),事件{X=k}即为"n次试验中事件A恰好发生k次",根据伯努利概型,有定义若一个随机变量X的概率分布由下式给出,则称X服从参数为n,p的二项分布.记为X~b(n,p)(或B(n,p)).注:当n=1时,上式化为

P{X=k}=pkq1-k,k=0,1;q=1-p此时,随机变量X即服从0-1分布.二项分布的图形nOpkn=10,p=0.7二项分布的图形之二nOpkn=13,p=0.5并且：(2)当(n+1)p为整数时,二项概率P{X=k}

在k=(n+1)p和k=(n+1)p-1处达到最大值.

注:[x]为不超过x的最大整数值.

当(n+1)p不为整数时,二项概率P{X=k}

在k=[(n+1)p]达到最大值;

例已知某类产品的次品率为0.2,现从一大批这类产品中随机地抽查20件,

问恰好有k件(k=0,1,…,20)次品的概率是多少?

例某人进行射击,设每次射击的命中率为0.02,

独立射击400次,试求至少击中两次的概率.

例设某种鸭在正常情况下感染某种传染病的概率为20%,现新发明两种疫苗A和B,9只健康鸭注射疫苗A后无一只感染传染病,25只健康鸭注射疫苗B后仅有一只感染,

试问应如何评价这两种疫苗,能否初步估计哪种疫苗较为有效?3.泊松分布则称X服从参数为λ的泊松分布,记为X~p(λ).定义若一个随机变量X的概率分布为易见泊松分布的概率值可查P252页附表.(2)(1)P{X=k}0,k=0,1,2,…242220181614121086420.020.040.060.080.100.12OkP(l)l=12泊松分布的图形例