（江苏版）高考数学一轮复习 专题4.7 正余弦定理应用（讲）-江苏版高三全册数学试题

专题4.7正余弦定理应用【考纲解读】内容要求备注ABC解三角形正弦定理、余弦定理及其应用

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掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．【直击考点】题组一常识题1．海上有A，B，C三个小岛，A，B两岛相距5eq\r(3)海里，从A岛观测到C和B成45°角，从B岛观测到C和A成75°角，则B，C两岛间的距离是________海里．【解析】易知∠ACB＝60°，由正弦定理eq\f(AB,sinC)＝eq\f(BC,sinA)，得eq\f(5\r(3),sin60°)＝eq\f(BC,sin45°)，即BC＝5eq\r(2).2．已知△ABC中，AB＝eq\r(3)，AC＝eq\r(2)，A＝60°，则△ABC的面积为________．【解析】由面积公式得S△ABC＝eq\f(1,2)AB·AC·sinA＝eq\f(3,4)eq\r(2).3．如图，山脚下有一座小塔AB，在塔底B测得山顶C的仰角为60°，在山顶C测得塔顶A的俯角为45°，已知塔高AB＝20m，则山高CD＝________m【解析】如图，设CD＝xm，则AE＝(x－20)m，tan60°＝eq\f(CD,BD)，所以BD＝eq\f(CD,tan60°)＝eq\f(x,\r(3))＝eq\f(\r(3),3)x(m)．在△AEC中，x－20＝eq\f(\r(3),3)x，解得x＝10(3＋eq\r(3))．题组二常错题4．在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60°，C点的俯角是70°，则∠BAC＝________．【解析】由已知可知∠BAD＝60°，∠CAD＝70°，所以∠BAC＝60°＋70°＝130°.5．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的方位是____________．题组三常考题6．要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40m【解析】设电视塔的高度为xm，则BC＝xm，BD＝eq\r(3)xm．在△BCD中，由余弦定理，得3x2＝x2＋402－2×40x×cos120°，即x2－20x－800＝0，解得x＝－20(舍去)或x＝40.7．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为________海里/小时．【知识清单】考点1正弦定理、余弦定理的实际运用仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．方向角相对于某一方向的水平角(如图③)．图③(1)北偏东α°：指北方向向东旋转α°到达目标方向．(2)东北方向：指北偏东45°或东偏北45°.(3)其他方向角类似．坡角和坡比坡角：坡面与水平面的夹角(如图④，角θ为坡角)．图④坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡比)．【考点深度剖析】这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解．注意：①基线的选取要恰当准确；②选取的三角形及正、余弦定理要恰当．【重点难点突破】考点1正弦定理、余弦定理的实际运用【1-1】甲，乙两船同时从点出发，甲以每小时的速度向正东航行，乙船以每小时的速度沿南偏东的方向航行，小时后，甲、乙两船分别到达两点，此时的大小为；【答案】平分BC，∴AB=AC=20km，根据余弦定理BC2=AB2+AC2-2AB•AC•cos∠BAC，得：1200=400+400-800cos∠BAC，∴cos∠BAC=-，又∠BAC为三角形的内角，则∠BAC=120°．故答案为：120°【1-2】某个公园有个池塘，其形状为直角△ABC，∠C=90°，AB=2百米，BC=1百米．

（Ⅰ）现在准备养一批供游客观赏的鱼，分别在AB、BC、CA上取点D，E，F，如图(1)，使得EF‖AB，EF⊥ED，在△DEF喂食，求△DEF

面积S△DEF的最大值；

（Ⅱ）现在准备新建造一个荷塘，分别在AB，BC，CA上取点D，E，F，如图(2)，建造△DEF连廊（不考虑宽度）供游客休憩，且使△DEF为正三角形，求△DEF边长的最小值．（Ⅱ）设正的边长为，，【思想方法】(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．【温馨提醒】测量角度时，要准确理解方位角、方向角的概念，准确画出示意