（江苏版）高考数学一轮复习 专题11.5 几何证明（测）理-人教版高三全册数学试题

专题11.5几何证明1.如图3，已知，是的两条弦，，，，则的半径等于________.【答案】2.如图，为⊙的两条切线，切点分别为，过的中点作割线交⊙于两点，若则.【答案】4【解析】试题分析：由切割线定理得，所以，所以.3.如图3，在平行四边形中，点在上且，与交于点，则.【答案】4.过圆外一点作圆的切线（为切点），再作割线分别交圆于、，若，AC=8，BC=9，则AB=________.【答案】4【解析】试题分析：5.如图，中，，以为直径的半圆分别交于点，若,则【答案】3【解析】试题分析：因为四边形为圆内接四边形,所以，,所以,所以.因为,所以,故答案为3.6．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，DF⊥AC于F，DE⊥AB于E，求证：(1)AB·AC＝BC·AD；(2)AD3＝BC·CF·BE.【答案】详见解析【解析】(1)在Rt△ABC中，AD⊥BC，∴S△ABC＝eq\f(1,2)AB·AC＝eq\f(1,2)BC·AD.∴AB·AC＝BC·AD.(2)Rt△ADB中，DE⊥AB，由射影定理可得BD2＝BE·AB，同理CD2＝CF·AC，∴BD2·CD2＝BE·AB·CF·AC.又在Rt△BAC中，AD⊥BC，∴AD2＝BD·DC，∴AD4＝BE·AB·CF·AC，又AB·AC＝BC·AD.即AD3＝BC·CF·BE.7.如图，是圆的直径，是圆上位于异侧的两点，证明【答案】证明见解析.【解析】8.【2018辽宁模拟】如图，EP交圆于E、C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.（Ⅰ）求证：AB为圆的直径；（Ⅱ）若AC=BD，求证：AB=ED.【答案】（Ⅰ）详见解析；(Ⅱ)详见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）因为PD=PG,所以∠PDG=∠PGD.由于PD为切线，故∠PDA=∠DBA,又由于∠PGD=∠EGA,故∠DBA=∠EGA,所以∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BAD,从而∠BDA=∠PFA.由于AF垂直EP，所以∠PFA=90°，于是∠BDA=90°，故AB是直径.(Ⅱ)连接BC，DC.由于AB是直径，故∠BDA=∠ACB=90°，在Rt△BDA与Rt△ACB9.如图，四边形是的内接四边形，的延长线与的延长线交于点，且.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）设不是的直径，的中点为，且，证明：为等边三角形.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）由圆的内接四边形的性质得，由等腰三角形的性质得，则有，充分挖掘角的等量关系是解题关键；（Ⅱ）要证明为等边三角形，只需证明三个内角10.如图，P是O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交O于点E。证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）ADDE=2【解析】试题分析：本题第（Ⅰ）问，先由已知得出PA=PD，然后由对应角相等，拆分角得出结论；对第（Ⅱ）问，可由切割线定理得出，，然后由相交弦定理，得出结论.试题解析：（Ⅰ）连结AB，AC，由题意知PA=PD，故，因为，，，所以，从而，因此BE=EC.（Ⅱ）由切割线定理得：，因为，所以，，由相交弦定理得：===，所以等式成立.【易错点】对第（Ⅰ）问，不容易找到思路;第（Ⅱ）问中不会灵活应用已知条件而出错.【考点定位】本小题主要考查圆的切线、割线、相交弦定理、圆内接四边形等平面几何知识，考查数形结合思想，考查分析问题、解决问题的能力.11.如图，圆O的半径OC垂直于直径AB，弦CD交半径OA于E，过D的切线与BA的延长线交于M.(1)求证：MD＝ME；(2)设圆O的半径为1，MD＝eq\r(3)，求MA及CE的长．【答案】(1)详见解析（2）eq\r(6)－eq\r(2).12.如图，已知PE切⊙O于点E，割线PBA交⊙O于A，B两点，∠APE的平分线和AE，BE分别交于点C，D.求证：(1)CE＝DE；(2)eq\f(CA,CE)＝eq\f(PE,PB).【答案】详见解析【解析】(1)∵PE切⊙O于点E，∴∠A＝∠BEP.13.如图所示，直线AB过圆心O，交圆O于A，B两点，直线AF交圆O于点F(不与B重合)，直线l与圆O相切于点C，交直线AB于点E，且与AF垂直，交AF的延长线于点G，连结AC.求证：(1)∠BAC＝∠CAG；(2)AC2＝AE·AF.【答案】详见解析【解析】(1)连结BC，因为AB是直径，所以∠ACB＝90°，所以∠ACB＝∠AGC＝90°.因为GC切圆O于点C，所以∠GCA＝∠ABC，所以∠BAC＝∠CAG.(2)连结CF，因为EC切圆O于点C，所以∠ACE＝∠AFC.又∠BAC＝∠CAG，所以△ACF∽△AEC，所以eq\f(AC,AE)＝eq\f(AF,AC)，所以AC2＝AE·AF.14.如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC·AE＝DC·AF，B，E，F，C四点共圆．(1)证明：CA是△ABC外接圆的直径；(2)若DB＝BE＝EA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．【答案】（1）详见解析（2）eq\f(1,2).15.如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是BD的三等分点，AE的延长线交BC于F，求eq\f(S△BEF,S四边形DEFC)的值．【答案】eq\f(1,14).【解析】过D点作DM∥AF交BC于M，因为DM∥AF，所以eq\f(BF,BM)＝eq\f(BE,BD)＝eq\f(1,3)，因为EF∥DM，所以eq\f(S△BEF,S△BDM)＝eq\f(1,9)，即S△BDM＝9S△BEF，又eq\f(S△DMC,S△BDM)＝eq\f(2,3)，即S△DMC＝eq\f(2,3)S△BDM＝6S△BEF，所以S四边形DEFC＝14S△BEF，因此eq\f(S△BEF,S四边形DEFC)＝eq\f(1,14).16.如图，在△ABC中，D为BC边的中点，E为AD上的一点，延长BE交AC于点F.若eq\f(AE,AD)＝eq\f(1,4)，求eq\f(AF,AC)