福建省宁德市2023-2024学年高一上学期1月期末质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1福建省宁德市2023-2024学年高一上学期1月期末质量检测数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求的.1.（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗原式.故选：D.2.已知命题，，则命题的否定是（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗C〖解析〗已知命题，，其否定为存在量词命题：，.故选：C.3.已知扇形的面积为6，圆心角为3rad，则此扇形的周长为（）A.2cm B.6cm C.10cm D.12cm〖答案〗C〖解析〗设扇形半径为，弧长为，由题意：，解得：，所以扇形的周长为：.故选：C.4.设，，，则，，的大小关系正确的是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，，，所以a，b，c三者的大小关系为.故选：A.5.已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表：则下列结论正确的是（）1234561082A.在内恰有3个零点 B.在内至少有3个零点C.在内最多有3个零点 D.在内不可能有4个零点〖答案〗B〖解析〗依题意，，根据根的存在性定理可知，在区间和及内至少含有一个零点，故函数在区间上的零点至少有3个.故选：B．6.已知且，函数与的图象是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗对函数得，故函数的图象应该在轴的左侧，排除BC选项；对D：由的图象看，函数单调递减，所以，但从的图象看：，所以有矛盾，D选项错误；对A：当时，与的图象都吻合，故A正确.故选：A.7.是函数在上单调递增的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗C〖解析〗令，该函数在区间恒大于0且单调递增，则当时，单调递减，可得函数在上单调递减；则当时，单调递增，可得函数在上单调递增；故当是函数在上单调递增的充分必要条件.故选：C.8.函数和的定义域均为，且为偶函数，为奇函数，，均有，则（）A.335 B.345 C.356 D.357〖答案〗B〖解析〗由函数偶函数，可得，所以，所以函数的图象关于对称，又由为奇函数，可得，即，所以函数的图象关于对称，由，均有，所以，因为的图象关于对称，可得，又因为的图象关于对称，，可得，所以，因为，联立方程组，可得，所以.故选：B.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.9.已知，则下列选项正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗因为，由函数为R上的增函数，可得，A正确；由函数为上的减函数，可得，B错误；由函数为上的增函数，可得，C正确；由函数为R上的减函数，可得，D错误.故选：AC.10.下列函数中，在上有零点且单调递增的函数有（）A. B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗令，得，不合题意，A错误；令，得，且，即函数在和上单调递增，则在上单调递增，B正确；对于在上为减函数，不合题意，C错误；令，得，且由增函数+增函数为增函数，所以在上有零点且单调递增，D正确.故选：BD.11.若将函数的图象先向右平移个单位长度，再将所得的图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，则（）A.的最小正周期为B.的定义域为C.图象的一个单调区间为D.图象的一条对称轴方程为〖答案〗ABD〖解析〗依题意得，，的最小正周期为，故A项正确；由，得，得的定义域为，故B项正确；在上单调递减，在上单调递增，故C项错误；由，当时，，则图象的一条对称轴方程为，故D项正确.故选：ABD.12.已知函数，若存在四个实数，，，，使得，则（）A.的范围为 B.的取值范围为C.的取值范围为 D.的取值范围为〖答案〗ACD〖解析〗函数的图象如图所示：因为函数与交于4个交点，则，选项A正确；因为，则，由于，则，所以，则，且，，令，得，或，所以，又，则，所以，且，所以，则，选项B错误；，由，得，，由函数在为增函数，可知，则，所以，选项C正确；，设，则，，且为增函数，所以，即，选项D正确.故选：ACD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把〖答案〗填在答题卡的相应位置13.函数（且）的图象经过的定点坐标为_________.〖答案〗〖解析〗由函数（且），令，得，所以，所以函数（且）的图象经过的定点坐标为.故〖答案〗为：.14.，恒成立，则实数的取值范围是_________.〖答案〗〖解析〗，，当且仅当，即时，等号成立，故，解得，故实数的取值范围是.故〖答案〗为：.15.，函数同时满足：①，②，写出函数的一个〖解析〗式_________.〖答案〗（〖答案〗不唯一）.〖解析〗因为，函数同时满足：①由，此时函数可以是指数函数型或常值函数；②由，可得函数的图象为“凸”型函数或常值函数，所以函数的一个〖解析〗式可以为.故〖答案〗为：（〖答案〗不唯一）.16.关于的方程有且仅有1个实数根，则实数的值为_________.〖答案〗1〖解析〗关于的方程有且只有1个实数根，设函数，，问题转化为：两个函数的图象有且只有1个公共点，且两个函数由公共的对称轴：，当时，函数有最小值：，且，由或，若，则，，如图，根据函数图象，两个函数的公共点不唯一，故不合题意，当时，，有最小值；，有最大值，且（当且仅当时取等号），而，所以两函数的图象只有一个公共点.故〖答案〗为：1.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知集合，，.（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围.解：（1）当时，，于是，故.（2）由，可得，当时，，即，此时符合题意；当时，由可得：，解得：，故实数的取值范围为：.18.已知.（1）若，求的值；（2）求关于的不等式的解集.解：（1）由得函数对称轴：，由.（2）由，当时，可得：；当时，可得：；当时，可得：，综上，当时，原不等式的解集为：，当时，原不等式的解集为：，当时，原不等式的解集为：.19.在单位圆中，已知锐角终边与单位圆交于点，将角的终边按照逆时针方向旋转交单位圆于点.（1）求的值；（2）求的值.解：（1）已知锐角的终边与单位圆交于点，所以，所以，则.（2）将角的终边按照逆时针方向旋转，交单位圆于点，可知点位于第二象限，所以，所以则.20.定义域为的奇函数只能同时满足下列的两个条件：①在区间上单调递增；②；③.（1）请写出这两个条件的序号，并求的〖解析〗式；（2）判断在区间的单调性，并用定义证明.解：（1）若选①②，因为在是奇函数，所以，又，则不满足在区间上单调递增，故舍去；若选②③，因为在是奇函数，所以，而，不满足，故舍去；故只能选①③，在区间上单调递增，，且易验证符合题意，结合题意：，解得，所以，经验证当时，满足为奇函数，故.（2）结合（1）问可知，在区间的单调递减，证明如下：任取，且，，因为，所以，，因为，所以，即，所以，即，所以在区间的单调递减.21.如图为某市拟建的一块运动场地的平面图，其中有一条运动赛道由三部分构成：赛道的前一部分为曲线段，该曲线段为函数在的图象，且图象的最高点为）；赛道的中间部分为长度是的水平跑道；赛道的后一部分是以为圆心的一段圆弧.（1）求，和值；（2）若要在圆弧赛道所对应的扇形区域内建一个矩形草坪，如图所示，记，求矩形草坪面积的最大值及此时的值.解：（1）由题意可得，则，故，将点代入，得，所以，又，所以，从而可得曲线段的〖解析〗式为，令，可得，所以，所以，则，.（2）由（1），可知，又易知当矩形草坪的面积最大时，点在弧上，故，由，则，，，所以矩形草坪的面积为，又，所以，故当，即时，，矩形草坪面积取得最大值．22.固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程，其中为参数.当时，就是双曲余弦函数，类似地我们可以定义双曲正弦函数.它们与正、余弦函数有许多类似的性质.（1）类比正弦函数的二倍角公式，请写出双曲正弦函数的一个正确的结论:_____________.（只写出即可，不