江苏省南通市海安市2024届高三下学期期初学业质量监测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省南通市海安市2024届高三下学期期初学业质量监测数学试题一、选择题1.已知样本数据1，2，2，3，7，9，则2.5是该组数据的（）A.极差 B.众数 C.平均数 D.中位数〖答案〗D〖解析〗由题意得众数为，极差，均值，中位数，故D正确.故选：D.2.3名男生和2名女生站成一排．若男生不相邻，则不同排法种数为（）A.6 B.12 C.24 D.72〖答案〗B〖解析〗先排2名女生，有种排法，借助插空法，共有3个空位，故3名男生有种排法，共有种排法.故选：B.3.设．若函数为指数函数，且，则a的取值范围是（）A. B.C. D.且〖答案〗A〖解析〗由函数为指数函数，故且，当时，函数单调递增，有，不符合题意，故舍去；当时，函数单调递减，有，符合题意，故正确.故选：A.4.若a，b为两条异面直线，，为两个平面，，，，则下列结论中正确的是()A.l至少与a，b中一条相交B.l至多与a，b中一条相交C.l至少与a，b中一条平行D.l必与a，b中一条相交，与另一条平行〖答案〗A〖解析〗因为a，b为两条异面直线且，，，所以a与l共面，b与l共面.若l与a、b都不相交，则a∥l，b∥l，a∥b，与a、b异面矛盾，故A对；当a、b为如图所示的位置时，可知l与a、b都相交，故B、C、D错.故选：A.5.设各项均不相等的等比数列的前n项和为，若，则公比（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由数列为各项均不相等的等比数列，设公比为，由，得，又因为，当时，则，化简得，解得，或（舍）；当，则，化简得，因，所以无解；综上可得，故C正确.故选：C.6.记的内角A，B的对边分别为a，b，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗当时，由正弦定理可得，又，在中，，故，即，故“”是“”的充分条件；当时，例如，，，，有，符合题意，但，故“”不是“”的必要条件；故“”是“”的充分不必要条件.故选：A.7.已知双曲线的左、右焦点分别为，点P在C的左支上，，的周长为，则C的离心率为（）A.2 B. C. D.〖答案〗C〖解析〗令双曲线的焦距为，依题意，，解得，在中，，由余弦定理得，整理得，所以双曲线C的离心率为.故选：C.8.已知正五边形的边长为a，内切圆的半径为r，外接圆的半径为R，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如图所示，，，故，故，，由，故，即，即，故.故选：B.二、选择题9.已知函数，则（）A.的最小正周期为 B.关于直线对称C.关于点中心对称 D.的最小值为〖答案〗AD〖解析〗，由的最小正周期为，故的最小正周期为，故A正确；，且，故不关于直线，也不关于点对称，故B、C错误；由，且，故，故D正确.故选：AD10.在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为F，准线l与x轴的交点为A，点M，N在C上，且，则（）A. B.直线MN的斜率为C. D.〖答案〗ABC〖解析〗由，故为中点，又为中点，故，故A正确；由，故，，设，则，故有，解得，即、，则，故B正确；，故C正确；，，则，故D错误.故选：ABC.11.已知非零函数及其导函数的定义域均为，与均为偶函数，则（）A. B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗由与均为偶函数，故，，即有，，故关于对称，关于对称，又，故，即，故关于对称，由，可得，即有，为常数，即关于对称，故，故A错误；即对有、，则，即，故，即，即，故B正确；对有，，关于对称且关于对称，，有，即，故，即，故为周期为的周期函数，有，即，故关于对称，不能得到，故C错误；由关于对称，故，，由为周期为的周期函数，且关于对称，故关于对称，故，由关于对称，关于对称，故关于对称，故，，故，故D正确.故选：BD.三、填空题12.设，为虚数单位．若集合，且，则__________．〖答案〗〖解析〗因为，，所以，解得.故〖答案〗为：.13.一个三棱锥形木料，其中是边长为的等边三角形，底面，二面角的大小为，则点A到平面PBC的距离为________．若将木料削成以A为顶点的圆锥，且圆锥的底面在侧面PBC内，则圆锥体积的最大值为_________．〖答案〗〖解析〗取中点，连接，由底面，则即为二面角的平面角，故，由是边长为的等边三角形，故，故，，由、平面，故、，又，故，则，则，设点A到平面PBC的距离为，则有，即，即，作于点，由，，故为中点，作于点，则有,即，故圆锥体积的最大值为.故〖答案〗为：；.14.已知a，b，c为某三角形的三边长，其中，且a，b为函数的两个零点，若恒成立，则M的最小值为__________．〖答案〗〖解析〗由a，b为函数的两个零点，故有，即恒成立，故，，则，，由a，b，c为某三角形的三边长，且，故，且，则，因为必然成立，所以，即，解得，所以，则，令，，则，故在上单调递增，故，故恒成立，故的最小值为为.四、解答题15.假定某同学每次投篮命中的概率为，（1）若该同学投篮4次，求恰好投中2次的概率；（2）该同学现有4次投篮机会，若连续投中2次，即停止投篮，否则投篮4次，求投篮次数的概率分布及数学期望．解：（1）令投中次的概率为，则；（2）的可能取值为、、，，，，故的概率分布为：其数学期望.16.己知函数，其中．（1）若曲线在处的切线在两坐标轴上的截距相等，求；（2）求函数单调区间．解：（1），则，，故曲线在处的切线为，即，当时，令，有，令，有，故，即，此时，无切线，故不符合要求，故舍去；当时，此时切线为，符合要求，故（2），，则当时，在上恒成立，故在上单调递减；当时，令，则，当时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减；综上所述，当时，在上单调递减，当时，在上单调递增，在上单调递减.17.如图，己知三棱台的高为1，，为的中点，，，平面平面．（1）求证：平面；（2）求与平面所成角的大小．（1）证明：由，，，故与全等，故，又为的中点，故，又平面平面，平面平面，且平面，故平面；（2）解：连接，由平面，平面，故，又，为的中点，故，即、、两两垂直，且，故可以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，有、、、，由三棱台的高为1，故，故，、，则，，，令平面的法向量为，则有，即，令，则有、，故，则有，故与平面所成角的正弦值为，即与平面所成角为.18.已知椭圆的右焦点为，直线与相交于、两点．（1）求直线l被圆所截的弦长；（2）当时，．（i）求的方程；（ii）证明：对任意的，的周长为定值．（1）解：由题意得圆的圆心为，到直线的距离，则直线被圆所截弦长为.故直线被圆所截得的弦长为.（2）（i）解：当时，直线的方程为，联立，得，所以，又因为，所以，，所以，椭圆的方程为；（ii）证明：设点、，则，且，所以，，同理可得，因为原点到直线的距离为，过原点作，垂足为点，如下图所示：所以，，联立可得，，当且仅当时，等号成立，此时点、关于轴对称，合乎题意，因为，则，由韦达定理可得，，故，，所以，，因此，的周长为（定值）.19.设集合，其中．若对任意的向量，存在向量，使得，则称A是“T集”．（1）设，判断M，N是否为“T集”．若不是，请说明理由；（2）已知A是“T集”．（i）若A中的元素由小到大排列成等差数列，求A；（ii）若（c为常数），求有穷数列的通项公式．解：（1）是“集”;不是“集”.理由：当或时，只要横纵坐标相等即可，则满足，当，则；当，则；当，则；当，则；综上是“集”.对于向量，若存在，使得.则，故中必有一个为，此时另一个为或，显然不符合，则不是“集”.（2）(i)因为中的元素由小到大排列成等差数列，则该等差数列的首项为，公差为2，故.则向量坐