新疆喀什市2023年数学高二第二学期期末质量检测模拟试题（含解析）

2022-2023高二下数学模拟试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设—Ml,。②），其正态分布密度曲线如图所示，且P（庐3）=0.0228,那么向正方形物比中随机投掷10000个点，贝！J

落入阴影部分的点的个数的估计值为（）

（附：随机变量f服从正态分布/）,则尸（〃一+。）=68.26%,尸（〃-2f<〃+2。）=95.44%）

D.7539

2.下列函数中，既是偶函数又在（0,+c。）单调递增的是（）

A.y=>/xB.y=ln|x|C.y=exD.y=cosx

3.执行如图所示的程序框图，则程序输出“的结果为（）

D.

5

4.已知定义在R上的函数满足〃—x）=/（x）,且函数在（F,O）上是减函数，若。=/（一1）,

b=flog/,C=/（2°-3）,则人力，c的大小关系为（）

7

A.c<b<aB.a<c<hC.h<c<aD.a<b<c

5.给出下列三个命题：（1）如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行；（2）一个平面内的任

意一条直线都与另一个平面不相交，则这两个平面平行；（3）一个平面内有不共线的三点到另一个平面的距离相等，则

这两个平面平行；其中正确命题的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

6.已知x,y,ze/?+，且x+y+z=l,则/+产+的最小值是（）

1I

A.1B.-C.-D.3

32

7.设有两条直线。，b和两个平面a、/，则下列命题中错误的是（）

A.若a//a,且a//。，则。ua或Z?//a

B.若a//b,且a_La,bA./3,则。//4

C.若。//夕，且aJ_a,bA-J3,贝!］。///?

D.若a_L"且a//a,则〃J_a

8.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示.为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样

的方法抽取4%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（）

A.400,40B.200,10C.400,80D.200,20

9.定义1分的地球球心角所对的地球大圆弧长为1海里.在北纬45°圈上有甲、乙两地，甲地位于东经120°,乙位

于西经150°,则甲乙两地在球面上的最短距离为（）

A.540()海里B.2700海里C.4800海里D.3600海里

10.在棱长为1的正方体中，E,F分别为线段CD和A#上的动点，且满足CE=AF,则四边形

AEBE所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和（）

C

35

A.有最小值二B.有最大值一C.为定值3D.为定值2

22

11.已知a=0.3°3,b=0.3",c=1.30-3,则它们的大小关系是

A.c>a>bB.c>b>aC.b>c>aD.a>b>c

12.通过随机询问UI名性别不同的中学生是否爱好运动，得到如下的列联表：

男女总计

爱好412131

不爱好212151

总计3151111

”(《/-附得‘.110x(40x30-20x20」

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)60x50*60x50

>k)1.1511.Ill1.Ill

k2.8413.32511.828

参照附表，得到的正确结论是()

A.在犯错误的概率不超过LU1的前提下，认为“爱好运动与性别有关”

B.在犯错误的概率不超过1.11的前提下，认为“爱好运动与性别有关”

C.在犯错误的概率不超过1.111的前提下，认为“爱好运动与性别无关”

D.有99%以上的把握认为“爱好运动与性别无关”

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在极坐标系中，圆。=2上的点到直线夕(cos6+Gsine)=6的距离的最小值是一

14.设E为抛物线V=8x的焦点，48为抛物线上两点，若=贝！l|啊+2|冏=

15.对于自然数方幕和S«(〃)=a+2〃++/(〃eN*，£(〃)=':,邑(〃)=F+2?+…+/,

求和方法如下：

23-U=3+3+l,

33-23=3x22+3x2+1,

（71+I）3-〃3=3〃2+3〃+L

将上面各式左右两边分别，就会有(〃+l)3-13=3S2(〃)+3S|(〃)+”,解得S2(〃)=L"(〃+1)(2"+1),类比以上过程

6

可以求得S4(〃)=A〃5+B〃4+C〃3+D〃2+E〃+F,A,B,C,D,E,FeR且与"无关，则A+F的值为.

16.设,।.，贝______________

A={iiWS2019,xEXjzB=(r|y=vx-2020+V2020-X,x€ff)一

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)命题P：方程初兴+(加一2)9=1表示双曲线；命题〃不等式(加一1)%2+(加一])彳+2>0的解集是上

。八4为假，pvq为真,求〃？的取值范围.

18.(12分)已知抛物线C的顶点为原点，焦点F与圆f+y2-2》=0的圆心重合.

(1)求抛物线C的标准方程；

(2)设定点/(3,2),当P点在C上何处时，|PA|+|PH的值最小，并求最小值及点P的坐标；

11

(3)若弦MN过焦点尸，求证：忸可+网为定值.

19.(12分)已知函数/(x)=-x-—+21nx,meR.

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)若有两个极值点X],x2,且不<w，证明：./■(£)>1一%2.

TT

20.(12分)在直角梯形P8CO中，ND=NC=—,BC=CD=2,PD=4,A为PO的中点，如图L将AE43

2

沿AB折到八%3的位置，使SBLBC,点E在SQ上，且SE=gs。，如图2.

(1)求证：w，平面ABCO；

(2)求二面角E-AC-。的正切值.

21.(12分)时下，租车自驾游已经比较流行了.某租车点的收费标准为：不超过2天收费300元，超过2天的部分

每天收费10()元(不足1天按1天计算).甲、乙两人要到该租车点租车自驾到某景区游览，他们不超过2天还车的概

率分别为工和,，2天以上且不超过3天还车的概率分别为，和工，两人租车都不会超过4天.

3223

（1）求甲所付租车费比乙多的概率；

（2）设甲、乙两人所付的租车费之和为随机变量g，求J的分布列和数学期望.

22.（10分）某小组共有10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动1次的有2人、2次的有4人、3次的有4

人.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.

（I）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4"，求事件A发生的概率；

（II）设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】

分析：求出P（0<x<l）=l—gx0.6826=l—0.3413=0.6587,即可得出结论.

详解：由题意得，尸（后-1）=P（才23）=0.0228,

.•.P（-l<K3）=l-0.0228X2=0.9544,/.l-2o=-1,a=1,

...P（0W朕1）=：,P（0W朕2）=0.3413,

故估计的个数为10000X（1-0.3413）=6587,

故选：B.

点睛：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量〃和。的应用，考查曲线的对称性.

2、B

【解析】

根据函数的奇偶性和单调性，对选项逐一分析，由此得出正确选项.

【详解】

对于A选项，由于定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数.对于B选项，函数为偶函数，当x〉0时，y=lnx为

增函数，故B选项正确.对于C选项，函数图像没有对称性，故为非奇非偶函数.对于D选项，y=cosx在（0,+oo）上

有增有减.综上所述，本小题选B.

【点睛】

本小题主要考查函数的奇偶性与单调性，属于基础题.

3、C

【解析】

依次运行如图给出的程序，可得左=1,4=11;%=22,。=1次=3,。=14次=4,〃=13；

1?2

k=5,a=g；女=6,a=g；,所以输出的。的值构成周期为4的数列.因此当左=2018时，«=-.故程序输出。的

2

结果为彳.选C.

4、B

【解析】

利用函数奇偶性和单调性可得，距离y轴近的点，对应的函数值较小，可得选项.

【详解】

因为函数/(x)满足/(-x)=/(x),且函数/(x)在(9,0)上是减函数，所以可知距离y轴近的点，对应的函数值

2

较小；log2-=log22=-2,2°3>2°=1且2°3<21=2，所以。>c>a,故选B.

【点睛】

本题主要考查函数性质的综合应用，侧重考查数学抽象和直观想象的核心素养.

5、B

【解析】

根据面面平行的位置关系的判定依次判断各个命题的正误，从而得到结果.

【详解】

(1)若一个平面内有无数条互相平行的直线平行于另一个平面，两个平面可能相交，则(1)错误；

(2)平面内任意一条直线与另一个平面不相交，即任意一条直线均与另一个平面平行，则两个平面平行，(2)正确；

(3)若不共线的三点中的两点和另一个点分别位于平面的两侧，此时虽然三点到平面距离相等，但两平面相交，(3)

错误.

本题正确选项：B

【点睛】

本题考查面面平行相关命题的辨析，考查学生的空间想象能力，属于基础题.

6、B

【解析】

利用柯西不等式得出(俨+产+/)(炉+y2+z2)2(%+y+z)2,于此可得出炉+y2+z2的最小值。

【详解】

由柯西不等式得(『+『+『)(x2+y2+z2”(x+y+z)2=F=1,则f+y2+Z?2；,

当且仅当x=y=z=>!■时，等号成立，因此，/+9+22的最小值为1,故选：B.

33

【点睛】

本题考查利用柯西不等式求最值，关键在于对代数式朝着定值条件等式去进行配凑，同时也要注意等号成立的条件，

属于中等题。

7、D

【解析】

对A,直接进行直观想象可得命题正确；对B,由线面垂直的性质可判断；对C,由线面垂直的性质定理可判断；对

D,b_La也有可能。

【详解】

对A,若a//a,豆allb,则Z?ua或万//a,可借助长方体直接进行观察命题成立，故A正确；

对B,若al1b,且a_La,可得又b，0,则由线面垂直的性质可知a//£,故B正确；

对C,若&//£,且“_1&,可得a，/?,又bJ_£,由线面垂直的性质定理可知a/e，故C正确；

对D,若：_]_，，且a//<z,则Z?_La也有可能人口。，故D错误.

故选：D.

【点睛】

本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系，熟练掌握空间线面之间关系的判定方法及性

质定理是解答此类问题的关键.

8、A

【解析】

由扇形图能得到总数，利用抽样比较能求出样本容量；由分层抽样和条形图能求出抽取的高中生近视人数.

【详解】

用分层抽样的方法抽取4%的学生进行调查，

样本容量为：(3500+4500+2000)x4%=400,

抽取的高中生近视人数为：2000x4%x50%=40,

故选A.

【点睛】

该题考查的是有关概率统计的问题，涉及到的知识点有扇形图与条形图的应用，以及分层抽样的性质，注意对基础知

识的灵活应用，属于简单题目.

9、D

【解析】

求出甲乙两地的球心角，根据比例关系即可得出答案。

【详解】

地球表面上从甲地（北纬45°东经120°）到乙地（北纬45°西经150°）,

乙两地对应的A8的纬圆半径是立R，经度差纬90。，

2

所以止凡球心角为60。，最短距离为60x60=3600海里

【点睛】

求出甲乙两地的球心角，根据比例关系即可得出答案。

10>D

【解析】

分别在后，上，左三个平面得到该四边形的投影，求其面积和即可.

【详解】

依题意，设四边形DiFBE的四个顶点在后面，上面，左面的投影点分别为D',F',B',E',则四边形DiFBE在上面，

后面，左面的投影分别如上图.

所以在后面的投影的面积为S后=1X1=1,

在上面的投影面积Si=D'E'xl=DExl=DE,

在左面的投影面积S左=BEX1=CEX1=CE,

所以四边形DiFBE所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和

S=S后+S上+Ss=l+DE+CE=l+CD=l.

故选D.

【点睛】

本题考查了正方体中四边形的投影问题，考查空间想象能力.属于中档题.

11、A

【解析】

由指数函数y=0.3、的性质可得0<0.3「3<0.3°3<1,而1.3°3>1，因此1.3°3>0.3°3>0.36，即c>a>h。选A。

12、B

【解析】

试题分析：根据列联表数据得到7.8,发现它大于3.325,得到有99%以上的把握认为“爱好这项运动与性别有关”，从

而可得结论.

解：V7.8>3,325,

.•.有1.11=1%的机会错误，即有99%以上的把握认为“爱好这项运动与性别有关”

故选B.

点评：本题考查独立性检验的应用，考查利用临界值，进行判断，是一个基础题

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、1

【解析】

试题分析：圆。=2的直角坐标方程为_?+/=4,直线夕905。+百$皿。）=6的直角坐标方程为"6吠-：晶=闻，

圆心（0,0）到直线的距离d*=3,圆上的点到直线的距离的最小值为。―r=3—2=1.

考点：直角坐标与极坐标、距离公式.

14、12

【解析】

分析：过点A,8两点分别作准线的垂线，过点B作AC的垂线，垂足为E，在直角三角形ME中，求得

A171

cosZBAE=——=-,进而得直线AB的斜率为攵=2及，所以直线AB的方程，联立方程组，求得点A,8的坐标,

AB3

即可求得答案.

详解：过点A,8两点分别作准线的垂线，过点3作AC的垂线，垂足为E,

设BF=m,则BD=m>

因为AE=2F3，所以AC=AE=2m,

在直角三角形4组中，AE—AC—BD=2m—m=m,AB—3m,

Ap1

所以cosZBAE=——=-,

AB3

所以直线AB的斜率为k=tanZBAE=20，所以直线AB的方程为y=20（x-2）,

将其代入抛物线的方程可得d—5x+4=0,解得芭=1,々=4,

所以点A（4,4板）,3（1,-2夜），又由尸（2,0）,所以怛同=J（l_2.+（2近）=3

所以闸+2附=4阿|=12.

点睛：本题主要考查了主要了直线与抛物线的位置关系的应用问题，同时涉及到共线向量和解三角形的知识，解答本

题的关键是利用抛物线的定义作出直角三角形A5E,确定直线的斜率，得出直线的方程，着重考查了数形结合思想和

推理与运算能力.

A

1

15>—.

5

【解析】

分析：先根据推导过程确定A,F取法，即得A+F的值.

详解：因为("+1)4=4〃3+6〃2+4〃+1,

("+1)5—〃5=5〃4+10/+]0〃2+5〃+],

所以(〃+1)4-1=4S3(〃)+6s2(〃)+4&5)+〃，

(〃+1)5-1=5s4(〃)+IOS3S)+10S2(〃)+5S|(n)+n

所以S3(n)=+生〃2+。3〃，

SK")=("5+5/+c“3+Dn2+En,

所以A=g,/=0,A+E=g.

点睛：本题考查运用类比方法求解问题，考查归纳观察能力.

16、..

【解析】

首先解绝对值不等式求得集合A,根据偶次根式的条件求得集合B,之后求得两集合的交集，得到结果.

【详解】

解不等式,<201^=：一：。19二0：雪

根据产一202020'解得B={2020}，所以W=

bozo-xso

故答案是：©.

【点睛】

该题考查的是有关集合的运算的问题，涉及到的知识点有绝对值不等式的解法，函数的定义域，两集合的交集的求解,

属于简单题目.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、｛，〃|0<小<1或2«m<9｝

【解析】

分析：先化简命题p和q,再根据。八4为假，0Vq为真得到P真夕假或P假q真,最后得到m的不等式组，解不等

式组即得m的取值范围.

详解：2真：m（m-2）<0所以0<2,

m>1

q真:m=1或｛,cl<m<9

A<0

因为八q为假，为真所以。真夕假或。假q真，

由P真4假得0<加<1由P假4真得2Vm<9

m范围为｛610〈机<1或2<m<9｝.

点睛：（1）本题主要考查命题的化简和复合命题的真假，意在考查学生对这些知识的掌握水平.（2）复合命题真假判定

的口诀：真“非”假，假“非”真，一真“或”为真，两真“且”才真.

18、（1）y2=4x（2）4（3）1,P（l,2）

【解析】

分析：（1）化圆的一般方程为标准方程，求出圆心坐标，可得抛物线的焦点坐标，从而可得抛物线方程；（2）设点P在

抛物线C的准线上的射影为点B,根据抛物线定义知|。月=归3],要使|PA|+|PH的值最小，必P、A3三点共线，

’2

v=4x6

从而可得结果；（3）尸（1,0）,设/帆,：X=冲+1，<■=>y2-4my-4^o,根据焦半径公式可得

x=my+1

111111

同+向i=F+lT=一二十一二，利用韦达定理化简可得结果.

\FM\x1+1x2+1my1+2myi4-2

详解：（D由已知易得尸（1,0）,

则求抛物线的标准方程C为V=4x.

（2）设点P在抛物线C的准线上的摄影为点B,

根据抛物线定义知归耳=|尸耳

要使|PA|+|PH的值最小，必P、AB三点共线.

可得。（内,2）,22=4$=1.即P（l,2）

此时|PA|+|PF|=2+2=4.

(3)尸(1,0),设lMN:x=my+1知(斗X)小(%2，，2)

/.<)4x=)，2_4my-4=0

x=/ny-^-l

1111

m

^\FM\|F/V|x,+1x2+l

11

=----------1----------

myx4-2my1+2

二〃?(弘+%)+4

机2乂%+2加(y+%)+4

4"+4,

=---------=1.

4"+4

点睛：本题主要考查抛物线的标准方程和抛物线的简单性质及利用抛物线的定义求最值，属于难题.与抛物线的定义有

关的最值问题常常实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛物线上的点到准线的距化为该点到焦点的距

离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；（2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“点与

直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.本题是将P到焦点的距离转化为到准线的距离，再根据几何意义解题的.

19、（1）见解析.

（2）证明见解析.

【解析】

分析：⑴先求导数，再根据二次方程/一2%-m=0根得情况分类讨论：当机＜一1时，/（x）W0.在（0,+8）

上单调递减.当机＞-1时，根据两根大小再分类讨论对应单调区间，（2）先化简不等式2111X2--〉1，消《1得

21nx2-x2>-l,再利用导数研究〃(x)=21ar-x,x«l,2)单调性，得其最小值大于-1,即证得结果.

详解：(1)由/(x)=—x------F21nx得

X9

,m2-x2+2x+mx2-2x-mz,、

/'(x)=-l+—+-=-------5-------=------2——，xe(0n，”)・

XXXX

设g(x)=%2_2%_加，XG(0,+oo).

当mW-1时，即A=4+4/〃V0时，g(x)>0,/'(x)<0.

.•./(X)在(0,m)上单调递减.

当/%＞一1时，即A=4+4〃z＞0时，

令g(x)=0,得X=1—11+m＞x,-1+Jl+〃?)X1＜々.

当一1＜相＜0时，0＜西＜々，

在(。，.”孙田)上,/'(%)＜o,在(%,%2)上，/'(%)＞0,

.•./(力在(0,%)上单调递增，在(%,+8)上单调递减.

综上，当相《一1时，”X)在(0,+8)上单调递减，

当—1＜相＜0时，“X)在(0,1-后荷)，(i+JT嬴，m)上单调递减，在(1一后荷」+，工浣)上单调递增，

当机时，/(力在(0,1+‘4同上单调递增，在(i+Ji工荷,+℃)上单调递减.

(2)：/(x)有两个极值点为，x2,且玉＜々，

...由⑴知8(%)=/一2%一加有两个不同的零点占，x2,

2

X]=l-Jl+m,Xj=1+\J\+m,且-1＜机＜0,此时，x2-2x2-m=0,

ATI1YI

要证明/(々)=一工2—一+21-＞1-X2,只要证明21nx2---＞1.

x2x2

2

'：m=x2-2X2,.,.只要证明21nx2-々〉一1成立.

Vme(-1,0),:.々=l+Jl+m€0,2).

设〃(x)=21nx-x,XG(1,2),

2

贝必=

当xe(l,2)时，/z'(x)＞0,

二/z(x)在xe(l,2)上单调递增，

/.//(%)＞/z(l)=-l,即21nx2-%＞T，

二有两个极值点须,x2,且时，/(但)＞1一%.

点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得

出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.

20、(1)见解析(2)272

【解析】

试题分析：(1)证明：在图中，由题意可知,

为正方形，所以在图中，SA_LAB,SA=2,

四边形ABCD是边长为2的正方形，

因为SB上BC,AB1BC,

所以BC,平面SAB,

又SAU平面SAB,所以BCJ_SA,又SALAB,

所以SAJ_平面ABCD,

(2)在AD上取一点O,使=连接EO.

3

1

因为SE=—SO,所以EO//SA

3

所以EO,平面ABCD,过O作OHLAC交AC于H,连接EH,

则AC,平面EOH,所以AC^EH.

所以NEHO为二面角E—AC—D的平面角，

£。=254=,在吊_/1/70中，ZHAO=45,HO=AOsin45=2、也=变311分

33323

P0L

tanZEHO=——=272,即二面角E—AC—D的正切值为20

OH

考点：线面垂直的判定及二面角求解

点评：本题中第二问求二面角采用的是作角求角的思路，在作角时常用三垂线定理法；此外还可用空间向量的方法求

解；以A为原点AB,AD,AS为x,y,z轴建立坐标系，写出各点坐标，代入向量计算公式即可

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21、(1)—；(2)见解析

18

【解析】

(1)将情况分为甲租2天以上，乙租不超过2天；甲租4天，乙租3天两种情况；分别在两种情况下利用独立事件概

率公式可求得对应概率，加和得到结果；（2）首先确定J所有可能的取值，再求得每个取值所对应的概率，从而得到

分布列；利用数学期望计算公式求得期望.

【详解】

（1）若甲所付租车费比乙多，则分为：甲租2天以上，乙租不超过2天；甲租4天，乙租3天两种情况

①甲租2天以上，乙租不超过2天的概率为：|xl+l1-1-1=i

111

②甲租4天，乙租3天的概率为：1--X—=——

32318

117

二甲所付租车费比乙多的概率为:---1-----=----

31818

（2）甲、乙两人所付的租车费之和J所有可能的取值为：600,700,800,900,1000

贝”信=600）=2]_111]_13

P《=700）=—x--1——x

6332236

P（J=800）=gxg+gx1

4-—X1L11

2323）36

P（^=900）=1x1-1