河北省2022-2023学年高一年级上册期末数学试题

2022-2023学年度河北高一上学期期末考试

数学试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答

题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案

标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择

题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

考试时间120分钟，满分150分

一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个

选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.命题“土€（1,+<»）,/*4X+1”的否定是（）

2x2x

A.Vxe(l,+oo),e>x+\B.Vxe(l,+oo),e<x+l

C.(l,+oo),e2r<x+lD.3XG(1,+OO),e2x>x+\

2.函数=+W的定义域为(

)

A.B.{小。-1}

C.{1-3且XH一1}D.{x|x>-3}

3.若a为第四象限角，则()

A.cos2a>0B.cos2a<0C.sin2a>0D.sin2a<0

4.基函数y=x",y=x",y=x"y=x"在第一象限的图像如图所示，则a,b,c,。的

大小关系是（）

试卷第1页，共5页

C.d>c>b>aD.b>c>d>a

5.“字节”(约我，B)常用于表示存储容量或文件的大小.随着网络存储信息量的增大，

我们还用干(K,kilo)、兆(M,mega)、吉(G,giga)、太(T,tera)、拍(P,peta)

等单位表示存储容量.各单位数量级之间的换算关系如下：1KB=1O24B；1MB=1O24KB；

1GB=1024MB；1TB=1024GB：1PB=1024TB=XB<>已知x是一个机位整数，则机=()

(参考数据：lg2»0.3010)

A.8B.9C.15D.16

6.如图所示，函数y=cosx|tanx|（Ooe?且X#]）的图像是（）.

7.已知/(x)是定义在R上的偶函数，且在区间［0,+8)单调递减，则不等式

/(2xT)>/(x+l)的解集为()

A.(0,2)B.(7,0)U(2,+8)C.(-8,2)D.(2,+«?)

8.若关于x的方程(sinx+cosx)2+cos2x=w在区间(。,句上有两个不同的实数根x/,

TT

X2f且㈤一刈工;，则实数加的取值范围是()

4

A.[0,2)B.[0,2]

C.[1,72+1]D.[1,72+1)

试卷第2页，共5页

二、多项选择题：共4小题，每小题5分,共20分.在每小题给出的四个

选项中，有多项是符合题目要求的.

9.若a>b,c<0,则下列不等式不成立的是()

A.ac2>be2B.—>—C.a+c<b+cD.a>b-c

cc

10.已知。e（O,兀），sine+cos®=",则下列结论正确的是（）

337

A.—,7tB.cosO=——C.tan6=——D.sin。-cos。=一

545

b

11.若a>b>l,x=logah,y=logAa,z=a，则下列结论一定正确的是()

A.x<yB.y<zc.x<zD.y>z

12.已知函数/（x）=l+2cosxcos（x+2*）是偶函数，其中9«0,兀），则下列关于函数

g(x)=cos(2x-夕)的正确描述是()

A.g(x)在区间-石，］上的最小值为

B.g(x)的图象可由函数“X)的图象向左平移:个单位长度得到

C.点是g(x)的图象的一个对称中心；

D.0看］是g(x)的一个单调递增区间.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知函数=则/(/(-1))=.

14

14.设加且〃?+〃=1,则一+―最小值为；

nm

15.已知函数/(x)=2^sin?cos竽+28/?(0>0)的周期为会，当xw0,f时,

函数g(x)=/(X)+*恰有两个不同的零点，则实数左的取值范围是.

ar+l,x<0

16.已知函数,给出下列三个结论：

|lnx|,x>0

①当。=-2时，函数/(x)的单调递减区间为(—,1)；

②若函数/")无最小值，则a的取值范围为(0,+8)；

③若a<l且4W0,则mbeR,使得函数y=〃x)-b.恰有3个零点公，演，覆，且

xtx2x3=-1

其中，所有正确结论的序号是

试卷第3页，共5页

四、解答题：本题共6小题，70分，其中第17题10分，其余均12分.

17.记不等式”x40(aeR)的解集为4,不等式x?-2x-3＞0的解集为8

(1)当”=1时，求4u5；

(2)若Ac纵B手0,求实数a的取值范围.

18.已知函数/(》)=265皿*＜：0$*+＜：0$2》-$讪。+〃(X€1＜)的最大值为5.

(1)求“的值和/(力的最小正周期；

(2)求〃x)的单调递增区间.

19.已知函数〃x)=/sin(3+协0＞0,。＞0,|例＜百的部分图像如图所示：

(2)将函数y=/(x)的图像上各点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变，得到函数

y=g(x)的图像，求函数y=g5)在区间上的最大值及函数取最大值时相应的x

值.

20.若函数g(x)=ax2-2ax+1+6(。＞0)在区间区3］上有最大值4和最小值1,设

小)=出.

X

(1)求a、b的值；

(2)若不等式/(2、)-h2、＞0在xe［-l,l］上有解，求实数k的取值范围；

21.已知函数/(x)=lg(l+x)+mg(l-X),从下面两个条件中选择一个求出人,并解不

等式①函数/(力是偶函数；②函数"%)是奇函数.

22.2021年新冠肺炎疫情仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性更强的“德尔塔”、

“拉姆达”、“奥密克戎”变异毒株，尽管我国抗疫取得了很大的成绩，疫情也得到了很好

试卷第4页，共5页

的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然

艰巨，日常防护依然不能有丝毫放松.某科研机构对变异毒株在一特定环境下进行观测,

每隔单位时间7进行一次记录，用x表示经过单位时间的个数，用y表示此变异毒株的

数量，单位为万个，得到如下观测数据：

x(T)123456

近万个)105()150

若该变异毒株的数量为单位：万个)与经过x(xeN*)个单位时间7的关系有两个函数模

型尸px2+qy=ka'(k>0,a>1)可供选择.

(1)判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式：

(2)求至少经过多少个单位时间该病毒的数量不少于1亿个.(参考数据:

括”2.236,2.449,lg2=0.301,lg6Ho.778)

试卷第5页，共5页

参考答案

1.B

【分析】将特称命题否定改为全称命题即可

【详解】解：命题“玉e2*2x+l”的否定是e2x<x+\\

故选：B

2.C

【分析】根据给定函数有意义直接列出不等式组，解不等式组可得答案.

-[x+3>0

【详解】依题意，,c，解得2-3且XK-1,

[x+lwO

所以/（幻=而7+±■的定义域为{x|xN-3且xw-l}.

故选：C.

3.D

【分析】由题意结合二倍角公式确定所给的选项是否正确即可.

【详解】方法一：由a为第四象限角，可得9+2A;r<a<2;r+2A肛AwZ,

所以34+4%乃<2a<4乃+4k冗,keZ

此时2a的终边落在第三、四象限及V轴的非正半轴上，所以sin2a<0

故选：D.

方法二：当a二—q时，cos2cc=cosf>0,选项B错误；

当a=-2时，cos2a=cos（-当）<0,选项A错误；

由a在第四象限可得：sina<0,cosa>0,贝!]sin2a=2sinacosa<0,选项C错误，选项D

正确；

故选：D.

【点睛】本题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考

查学生的转化能力和计算求解能力.

4.D

【分析】根据事函数的性质，在第一象限内，x=l的右侧部分的图像，图像由下至上，塞

指数增大，即可判断；

【详解】根据基函数的性质，

答案第1页，共12页

在第一象限内，X=1的右侧部分的图像，图像由下至上，暴指数增大,

所以由图像得：b>c>d>a,

故选：D

5.D

【分析】先算得1PB=25°B,然后利用对数转化为10进制，得出结论.

【详解】1PB=2,°TB=220GB=230MB=240KB=250B,lg250=50xlg2»15,则2$晨10”，因

为x是一个加位整数，则机=16,

故选：D.

6.C

【分析】取绝对值符号，再根据正弦函数的图象即可得解.

.八71_衿371

sinx,0<x<—或冗<x<——

22

【详解】y=cosx|tanX

兀

-sinx,—<x<TI

2

根据正弦函数的图象，作出函数图象如下图所示,

故选：C.

7.A

【分析】根据函数的奇偶性和单调性化简/(2x-l)>/(x+l),由此求得不等式的解集.

【详解】依题意/(x)是定义在R上的偶函数，且在区间［0,+8)单调递减，

所以/(2x_l)>/(X+1)=(2X-1)2<(X+1)2,

-4x+l<x?+2X+1,J?-2x=x(x-2)<Onxe(0,2).

故选：A

8.B

【分析】首先化简方程为sin(2x+?)=*,通过换元设f=2x+?,若满足条件，利用图

答案第2页，共12页

象分析可知-也4早〈也，求得实数机的取值范围.

2V22

【详解】关于x的方程(sinx+cosx)2+cos可化为sin2x+cos2x=m—\,即sin[2x+?

=石，

易知sin(2x+?)=1/，在区间(0,乃]上有两个不同的实数根x/,X2,且同一

71

jr—1(7C97r

令2X+£=E,即sinf=-7h在区间T，-二上有两个不同的实数根。，5

4v2144_

作出y=sind(<f4?)的图象，如图所示，

冗JI

由出一工2巨-；得|。一例之彳，

42

所以李*兴,

故0<m<2.

故选：B

【点睛】本题考查根据三角方程的实数根的个数求参数的取值范围，重点考查转化与化归的

思想，数形结合分析问题的能力，属于中档题型，本题的关键是理解条件，并会数形结合分

析问题，转化为不等式解集问题.

9.BCD

【分析】根据不等式的性质可分别判断选项A,B,C,举反例可判断D.

【详解】对于A,因为c<0,所以°2>0，又a>b,故如2>儿2,A正确；

对于B,由于a>A,c<0,则故B错误；

CC

对于C,由于c<0,贝ija+c〉人+c,故C错误；

对于D,取4=2,b=l,c=-3满足。>b,c<0,但—c,D错误，

故选：BCD

10.ABD

答案第3页，共12页

,•>124

【分析】由题意得（sinO+cos。）-=l+2sin9cos6=石，可得2sin，cos6=-石，根据夕的范

围，可得sin。，cos。的正负，即可判断A的正误；求得sin。-cos。的值，即可判断D的正

误，联立可求得sin。，cos。的值，即可判断B的正误；根据同角三角函数的关系，可判断

C的正误，即可得答案.

【详解】因为sine+cos6=（,

,124

所以（sin。+cos。）-=l+2sin0cos^=—,贝lj2sin6cos6=—石,

因为g£（0,兀）,所以sin9>0,cos"。,

所以9故A正确；

s49

所以（sinO-cosOy=l-2sin6cose=—,

7

所以sin6—cose=w,故D正确；

sin0+cos0=-

联立；，可得sin”；cos0=-1,故B正确；

sing-cos”一

5

cinQ4

所以tan6="5=—；,故C错误.

cos。3

故选：ABD.

11.AC

【分析】由对数函数的单调性可得出0<x<l,从而夕=4>1,则V，x关系可判断；由

X

h

z=a>a'=a>\,则z,x关系可判断：取特殊数字可得z,y的大小不定.

【详解】由。>6>1,则0=log“l<log“b<log“,BP0<x<1,

y-•og/,a,即，=,，则所以y>x,故选项A正确.

XX

z=ah>a'=a>\，所以z>x,故选项C正确.

取a=2,b=0满足。>b>l,y=log应2=2,z=2^>2'=2-此时z>N,

取a=2,b=2：满足k吗2=、/=2屋22=4,此时z<九

所以z,y的大小不定.

故选：AC

12.AB

答案第4页，共12页

【分析】根据/(x)为偶函数，求得W的值，由此求得g(x)的解析式，根据三角函数最值、

图像变换、对称中心、单调区间的知识，判断四个选项的正确性.

【详解】由〃-x)=/(x)得

2cos(-x)cos(-x+2(p)-2cosxcos(x+2夕)，

所以cos(-X+2g)=cos(x+2。)恒成立，

得X=2Q是曲线y=cosx的对称轴，

所以2Q=E(左eZ),

由8£(0,兀)得0=3,

g(x)=cos(2x-S=sin2x,

.八7T71_7t2兀

对于A：Qxe--2xe--,—,

123JL63_

g(x)在区间-Rg上的最小值为故A正确；

对于B：/(x)=1+2cosxcos(x+^)=l-2cos2x=-cos2x,

函数/(X)的图象向左平移;个单位长度，

得到y=-cos2(x+?J=sin2x=g(x),故B正确；

对于C：x=?,g('=si吟=1,

所以点不是g(x)的图象的一个对称中心，故C错误：

对于D：x=5，g(()=s呜=1,

所以0,1不是g(x)的一个单调递增区间，故D错误

故选：AB

13.-4

【分析】根给定分段函数代入适合的解析式即可求出函数值.

【详解】解：•••/(-1)=2'=2T=；,

故答案为：-4.

答案第5页，共12页

14.9

【分析】替换常数，再运用基本不等式即可

■、斗14加+〃.tn+ntn..m.m4〃八

【详解】一+—=----+4------=—+1+4+—.=5+—+—开5+2J-----=9

nmnmnmnmVnm

2

m4nm=一

—二—3

当且仅当nm，即v取等

m+n=1

故答案为：9

15.(-3,-2]

【分析】先利用二倍角公式和辅助角公式，结合周期为笄求得/(x)=2sin(3x+?J+l,然

后将xe0,j时，函数g(x)=/(x)+*恰有两个不同的零点，转化为xe0,y时，/(x)=-氏恰

有两个不同的根，在同一坐标系中作出函数，的图象，利用数形结合法求解.

【详解】函数/(x)=2万sin号cos等+2cos2会，

=百sinCOX+COS69X4-1,

=2sincox+—+1,

I6)

因为函数/(x)的周期为，

2乃

(o——=3,〃x)=2sin(3x+.)+1

所以2至

T

因为0,y时，函数g(X)=/(X)+%恰有两个不同的零点,

所以xe0,y时，/(x)=-*恰有两个不同的根，

在同一坐标系中作出函数y=/(X),)，=-*的图象如图所示:

由图象可知：2<-k<3,B|J-3<k<-2,

所以实数火的取值范围是(-3,-2],

答案第6页，共12页

故答案为：(-3,-2]

【点睛】方法点睛：函数零点个数问题：若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若

方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样

会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用.

16.②③

【分析】由题意结合函数单调性的概念举出反例可判断①；画出函数的图象数形结合即可判

断②；由题意结合函数图象不妨设演<0<X2<l<X3,进而可得看=9,

令％=T=-1验证后即可判断③；即可得解.

a

【详解】对于①，当。=一2时，由0<e<<l，/(0)=l</(e-2)=|lne-2|=2,所以函数/(x)在

区间(-8,1)不单调递减，故①错误;

QX+1,X<0

ax+l,x<0

对于②，函数②x)=«可转化为/W=<-lnx,o<x<l

|Inx|,x>0

Inx,x>1

画出函数的图象，如图:

由题意可得若函数/(x)无最小值，则。的取值范围为(0,+8),故②正确；

对于③，令y=/(》)—b=o即=结合函数图象不妨设项

则4-1=-Inx2=lnx3=b,

bb

所以玉,x2-e~,x3=ef所以“2*3=«，,/=1

令国=7=-1即6=—。+1,

当a<0时，/?=-a+1>1,y=/。)-6=0存在三个零点，且须々七二一1，符合题意;

当0<〃<1时，0</>=-«+1<1,歹=/(工)-6=0存在三个零点，且百工2七二一1，符合题意;

故③正确.

答案第7页，共12页

故答案为：②③.

【点睛】本题考查了分段函数单调性、最值及函数零点的问题，考查了运算求解能力与数形

结合思想，合理使用函数的图象是解题的关键，属于中档题.

17.(1)U[l,+oo)

⑵S，3]

【解析】(1)分别求出集合48,再求并集即可.

(2)分别求出集合A和8的补集，它们的交集不为空集，列出不等式求解.

【详解】(1)当°=1时，/=[1,收)

*2-21-3>0的解为工〈-1或工>3

B=(-<30,—l)U(3,+8)

.1=(-00,-])0[],+8)

(2)A=[a,+x)

=[-1,3]

Ac£B*0

:.a<3

a的取值范围为(7,3]

71TV

18.(1)a=3,T=n.(2)\krc,k^+—],k&Z

36

【分析】(2)先降累，由两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由

正弦函数性质求解；

(2)由正弦函数的单调区间可得.

【详解】(1)/(x)=V3sin2x+cos2x+a=2sin(2x+—)+6t,由题意2+。=5,〃=3,

6

T=——=71.

2

TT7TTTIT7T

(2)2k兀<2x+—<2^+—,解得左左<x<k/r+—,

26236

ITTT

.•.增区间为[hr--,k7t+-],k&Z.

答案第8页，共12页

【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，考查正弦函数的性质：周期性，最值，单调性，掌

握正弦函数的性质是解题关键.

19.(1)y=2sin(2x+?J；(2)•*=乎寸，函数g(x)在0,(区间上的最大值为2.

【分析】(1)根据函数的最值求出A的值，根据函数的最小正周期求出。的值，根据函数的

最值点求出夕的值即得解；

(2)首先求出g(x)=2sin14x+(),再根据不等式的性质和三角函数的图象和性质求出最

大值及函数取最大值时相应的x值.

冗

【详解】解：(1)如图可知，Z=2,T=4x=兀，

VI

:.。=2.

T

2sin(2x-^-+^>j=2

H<y

.兀

、.(P二——

3

即函数解析式为y=2sin(2x+yj；

(2)根据图象变换原则得g(x)=2sin

Vxe0,-,

4

,冗714〃

/.4x+—G

3PT

:.2sin+w[一6,2],

当4x+(g,即x或时，函数g(x)在0,?区间上的最大值为2.

4

a=1

20.(1)

b=0

Q»41

【分析】(1)由二次函数在［2,3］上的单调性最大值和最小值，从而求得a力;

(2)用分离参数法化简不等式为1+(-!-］-2—>k,然后令/=4换元，转化为求二次函

2*2*

答案第9页，共12页

数的最值，从而得参数范围.

【详解】(1)g(x)=a(x-l)2+l+b-a,对称轴x=l,

。>0名(外在[2,3]上单调递增，

⑵=l+b=l(=i

所以二2IA/解得Lan；

[g(3)=3a+1+6=4[b=0

(2)由(1)知./•3=》+：-2&片0),/(2*)-h2*20化为2*+：7-22上2*,

令f=L，贝以4--2/+1,因为所以fe1,2,

2\_2_

问题化为k4(*-2，+1)皿，

记力(f)=/-2f+l,对称轴是t=l,因为re；,2,所以〃⑺max=4(2)=1,

所以％41.

21.若选①，解集为［噜噜)：若选②，解集为

【分析】先根据奇偶性得出鼠再结合对数函数的单调性，求解不等式即可

【详解】函数/(x)=lg(l+x)+0g(l-x),要使函数有意义，则即得定义域为(-1,1)

选择①：若函数"X)是偶函数

则/(-x)=/(x)即lg(l-x)+破(+x)=lg(1+X)+趣Q-x),

Alg(l+x)-lg(l+x)=Alg(l-x)-lg(l-x),

(Ar-l)[lg(l+x)-lg(l-x)]=O,xe(-l,l),

所以％=1,则/(x)=lg(l+x)+lg(l-x),

不等式/(x)<-l,即lg(l+x)+lg(l-x)<-l,即lg(l_x2)<lg\,

又因为N=*在(0，+。)上是单调递增的.

答案第10页，共12页

3V103M

x>-_-p.--X<------

即做'10或410

l+x>0-1<X<1-1<x<1

所以不等式/(x)<T的解集为

选择②：若函数/(x)是奇函数

则/(-X)=-/(X)即1g(1-X)+4g(1+X)=-1g(1+X)-Ag4-X),

AJg(l+x)