2022-2023学年江西省重点高中高一（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年江西省重点高中高一（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知（1-i）z=2,其中i为虚数单位，则复数Z在复平面内对应的点在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.已知角ɑ的终边经过点P（l,m）（m<0）,则下列各式一定为正的是（）

A.sιnaB.tanaC.cosaD.-t-ana

3.在AABC中，已知角4,B,C所对的边分别为a,b,c,a=l,b=yΓz,C=45°,则

边C等于（）

A.1B.yJ~2C.√-3D.2

4.设击，杳是两个不共线的向量，若向量记=-各+/^2（16用与向量五=杳-&共线,

k∕

∖l

AOBC1D2

若COS

(θ-√32

5425

BCD

A.-9-9-3-9-

6.从长度分别为1,2,3,4,5的5根细木棒中选择三根围成一个三角形，则最大内角（）

A.可能是锐角B.一定是直角C.可能大于咨D.一定小于生

ɔO

7.已知平面向量S=（1,4）,K=（-2,1），则下列说法正确的是（）

A.若;I=0,则I方+石I=2

B.若五//ð,则A=-2

C.若W与石的夹角为钝角，贝IJA<2

D.若;1=一1,则弓在石上的投影向量为一IE

8.己知函数/（x）=√^Zs⅛ι2x-cos2x,若函数/（x+α）的图像关于y轴对称，则Ial的最小值

为（）

A.⅞B.IC.ID.ɪ

6ɔoIZ

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.下列四个式子中，计算正确的是（）

A.CoSG+1)=S出1B.Sin(Tr+2)=-sin2

-tan85o-tan25or~^rʌ√-2

C.—~ʒ-~-r?=y∏3D.sin640cosl90-COS64°Sinl9°=—

l+tan85tan252

10.下列关于复数的说法，其中正确的是（）

A.复数Z=a+bi（a,b∈R）是实数的充要条件是b=0

B.复数Z=α+bi（a,b∈R）是纯虚数的充要条件是b≠0

C.若Zi，Z2互为共规复数，则Z]Z2是实数

D.若zi，Z2互为共转复数，则在复平面内它们所对应的点关于y轴对称

11.将函数/Q）=sin（2x-今的图象向左平移>0）个单位长度后，所得图象关于原点对

称，则伊的值可以是（）

A.ɪB.IC.yD.工

12.在锐角AABC中，内角4,B,C的对边分别为α,b,c,（sinA+sinB）2=（2sinB+

SinQsinC,且SizM>浮，则下列结论正确的是（）

A.c—a=acosCB.a>cC.c>aD.C>

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.设复数Z满足zi+l=z,贝匹=.

14.己知函数y=2si∏3x（3>0）在区间[冶币上的最大值为2,则实数3的取值范围为

15.正五角星是一个有趣的图形，如图，顺次连接正五角星各顶点，可得到X∕↑∖

一个正五边形，正五角星各边又围成一个小的正五边形，则大五边形与小五ŋʒ√

边形的边长之比为.VXV

（参考数据：Sinl8°=",b

16.已知I耐∣=6,I症|=3,若对Vt6R,恒有I耐T小I≥I荏且点M满足丽=

∣OE+∣O½,N为04的中点，贝力而I=.

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题10.0分）

已知虚数Z满足IZl=√-5∙

(1)求证：Z+子在复平面内对应的点在直线y=X上;

(2)若Z是方程2/+4x+k=O(fceR)的一个根，求Zc与z.

18.(本小题12.0分)

已知同=2,∖b∖=4,且刈+I∣=2√^3.

(1)求方与方的夹角；

(2)若(2苍一石)10+kB)，求实数k的值.

19.(本小题12.0分)

1-SirIal-cos2a+sin2a

(1)已知一5<α<0,化简:------rt

-l+r-s.ιnal+cos2α+siτι2α'

(2)已知Sin号也=亨,tan∣=∣,a,βe(O,π),求α+与的值.

20.(本小题12.0分)

己知△4BC的内角4,B,C的对边分别为α,b,c,向量沅=(b-2c,a),亢=(COS4cosB),

且记1n.

(1)求角4

(2)若AABC的周长为3，3，且AABC外接圆的半径为1,判断△4BC的形状，并求△ABC的

面积.

21.(本小题12.0分)

如图，某运动员从4市出发沿海岸一条笔直的公路以每小时15kτn的速度向东进行长跑练，长

跑开始时，在A市南偏东方向距4市75kτn的B处有一艘小艇，小艇与海岸距离45kτn,若小艇

与运动员同时出发，要追上这位运动员.

(1)小艇至少以多大的速度行驶才能追上这位运动员？

(2)求小艇以最小速度行驶时的行驶方向与AB的夹角.

22.(本小题12.0分)

已知函数/(cosx)=1—cos2x—2cosx.

(1)求函数/(x)的解析式；

(2)若关于％的方程/(s讥x)+2(SLΠX+CoSX)=2α(α∈R)在(看兀)内有两个不相等的实数根打,

X2»求证：%ι+X2<y∙

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：T(I-i)z=2,

,22(l+i).,.

1-1(l-ι)(l+i)

二复数Z在复平面内对应的点(1,1)位于第一象限.

故选：A.

根据已知条件，结合复数的乘法原则和复数的几何含义，即可求解.

本题考查了复数的几何含义，以及复数代数形式的乘法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础

题.

2.【答案】C

【解析】解：因为角α终边经过点P(l,m)(m<0),所以α在第四象限，

所以Sina<°，cosa>0,tana<0,黑<0,故C正确.

故选：C.

依题意可得α在第四象限，根据各象限三角函数值的正负情况判断即可.

本题主要考查了三角函数定义的应用，属于基础题.

3.【答案】A

【解析】解：由余弦定理得，c=√a2+b2-2abcosC=Jl+2-2×1×/7×ɪ=1-

故选：A.

由已知结合余弦定理即可直接求解.

本题主要考查了余弦定理在求解三角形中的应用，属于基础题.

4.【答案】C

【解析】解：由共线向量定理可知存在实数九使沅=λn,即—&+ke2=λ(e2-e1)=λe2-Ae1,

又备与各是不共线向量，所以12；一乙解得｛：：；•

故选：C.

由题意，利用两个向量共线的性质，共线向量定理，计算求得A的值.

本题主要考查两个向量共线的性质，共线向量定理的应用，属于基础题.

5.【答案】A

【解析】解：因为cos(。一》=?，

所以COSG-9)=¥，

所以sin26>=CoSe-20)=COS[2©-0)]=2cos2ζ-O)-I=2x∣—I=J

故选：A.

根据诱导公式和二倍角的余弦公式可求出结果.

本题主要考查了诱导公式及二倍角公式的应用，属于基础题.

6.【答案】D

【解析】解：从长度分别为1，2,3,4,5的5根细木棒中选择三根有(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),

(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5)共10种取法，

其中能够围成三角形的有(2,3,4),(2,4,5),(3,4,5)三种，

若三边为2,3,4,设最大角为0,

则CoSg=2凌■2=故9eg,登

若三边为2,4,5,设最大角为。，

则c。So=袈3=-⅛>-∣,此时8e(消)；

若三边为3,4,5,故最大角为直角，

综上所述，。选项正确，

故选：D.

首先列出所有能够围成三角形的三边组合，再分类讨论利用余弦定理计算即可.

本题考查了三角形三边关系，余弦定理判断最大角，属于基础题.

7.【答案】D

【解析】解：平面向量苍=(1,4),b=(-2,1)，

对于4,当，=O时，a+b=(-1,1)»因此I五+B∣=J(-1产+#=√^N,A错误;

对于B,a∕∕b,则有-24=1,解得4=一右8错误；

对于C,五与方的夹角为钝角，

则方不<O且3与3不共线，

当五不<0时，l×(-2)+λ×l<0,解得A<2,

由B选项知，当;I片一T时，W与方不共线，因此4<2且；I片一：，C错误；

对于D,当4=—1时，a-b=-3>而Ibl=J(-21+/=

因此为在方上的投影向量为蓝∙V=—：方，。正确.

∖b∖∣⅛∣5

故选：D.

由向量的坐标运算可判断4;由向量共线的坐标运算可判断B；由向量夹角的坐标运算可判断C；

计算出五不，商|,再计算五在至上的投影向量可判断D.

本题考查向量数量积的基本运算，向量共线定理的应用，投影向量的概念，属中档题.

8.【答案】C

【解析】解：/(x)=2(ɪsinlx—ɪcos2x)=2sin(2x—

则/(%+ɑ)=2sin[2(x+ɑ)-^]=2sin(2x+2Q-看)，

•••/(x+a)的图像关于y轴对称，

,2α—g5+∕c7τ,k£Z,则α=J+”,Z∈Z,

当k=-l时，|可取得最小值也

故选：C.

用辅助角公式化简函数解析式，再由函数f(x+α)的图像关于y轴对称求出ɑ的值，最后判断Ial的

最小值.

本题主要考查了辅助角公式，正弦函数的对称性的应用，属于基础题.

9.【答案】BCD

【解析】解：对于4cosG+l)=-sinl,故A错误；

对于3:sin(ττ+2)=-sin2,故B正确；

对于C：=tan(85。-25。)=tαn60°=√^3,故C正确；

l+tαn85tan25kJ

对于。：Sin64。COSl9。-COS64。Sinl9。=sin(64。-19。)=Sin45。=?，故O正确.

故选：BCD.

利用诱导公式判断4、B,利用差角公式判断C、D.

本题主要考查了和差角公式及诱导公式的应用，属于基础题.

10.【答案】AC

【解析[解：对于选项人复数2=&+69/6/?)是实数的充要条件是/)=0,所以选项4正确；

对于选项B：复数z=ɑ+bi(ɑ,beR)是纯虚数的充要条件是ɑ=O且b≠O,所以选项B错误；

对于选项C：若Z],Z2互为共轨复数，不妨设Zl=a+bi(aER,b&R),则z?=a-bi,所以z/2=

(α+hi)(α-bi)=a2+b2e.R,所以选项C正确；

对于选项/)：若Zi，Z2互为共枕复数，不妨设Zi=α+bi(αeR,b∈R),则Z2=α-bi,则它们在

复平面内所对应的点分别为(α,b)和(a,-b),关于X轴对称，所以选项。错误，

故选：AC.

利用实数和纯虚数的概念即可判定选项A正确，选项8错误，再利用共甑复数的定义即可判定选

项C正确，选项。错误.

本题主要考查了复数的概念以及共朝复数的定义，是基础题.

11.【答案】AD

【解析】解:将函数/(x)=sin(2x-弓)的图象向左平移9个单位长度后得到y=sin(2x+2@—领勺

图象，

该图象关于原点对称，所以2。Y=keZ,

即9=费+刍kez,所以8的值可以是工，

故选：AD.

根据三角函数图象的平移变换求出变换后的解析式，再根据所得图象关于原点对称，即可求出答

案.

本题主要考查三角函数的图象与性质，属于基础题.

12.【答案】ACD

【解析】解：由正弦边角关系知：(Q+b^2=(2b+c)c,则小+2ab+62=2bc+c2,

所以M+62一¢2=2b(C-Q),而COSC=吐也二＞0，则C-Q=QCosC,A正确；

2ab

由上知：寸＞0，即C＞α,B错误，C正确：

Cr

SinC2si∏χcos^C√-3

由C—a=acosC矢口：SinC—sinA=sinAcosC贝ItJS讥4=--------τ=------⅛→=tan-＞

91+cosC2cos27^23

又0＜C＜^故0＜］＜%贝哈＜苧＜［,即为＜c＜aD正确.

224624ɔ2

故选：ACD.

利用正弦边角关系可得。2+力2—¢2=2b(c-α),结合余弦定理及锐角三角形知c-α=acosC.

籍＞0,判断4、B、C正误；再由正弦边角关系，倍角公式判断O正误.

本题考查正余弦定理，三角函数性质，属于中档题.

13.【答案】ɪ-ɪi

【解析】解：•・•zi+1=z,

则Z=口=H=(IT)(I+(=2+2K

故W=A吴

故答案为：ɪ—ɪi.

根据复数的四则运算可求得Z=i÷ii,进而可求共轨复数以及模长.

本题主要考查了复数的四则运算，属于基础题.

14.【答案】［2,+8)

【解析】解：3＞0,当X∈［-≡,≡L有"∈［-ɪ,ɪ］.函数y=2sinωx(ω＞0)在区间［一级］上

的最大值为2,

则有等得3≥2,所以实数3的取值范围为［2,+8).

故答案为：［2,+8).

先根据X的范围求出3X的取值范围，进而根据函数/Q)在区间［-辅］上的最大值求出3的范围.

本题主要考查正弦函数的单调性和最值，属基础题.

15.【答案】岑ɪ

【解析】解：设大正五边形的边长为α,小正五边形的边长为b,

由正五边形的每个内角相等，且为（5-2）：180。=108。,

可得NFEA=180°-108°=72°,4DEF=108°-72°=36°,

乙DGE=72°,4EDG=72°,

则AEDG为等腰三角形，且DE=GE=EF+FG,

可得EF=EG-FG=a—b,

由NDFE=Io8。，乙DEF=乙EDF,可得EF=DF=a-b,

EFDE

⅛E∆DEFφ,

SinzFDFSinzfFD,

即为a—b_a

sin36°―SinlOS0

a-b_sin360_sin36o_1__11_C-I

2

口PaSiTllO8°sin7202cos36°2(1—2sin18°)2[l-2x(苧)2]2

可得S=3-尸,肥=3+5

故答案为：手

求得正五边形的内角，运用三角形的内角和定理和正弦定理，结合二倍角公式，化简整理，可得

所求值.

本题考查正五边形的性质，以及三角形的正弦定理，考查转化思想和运算能力，属于中档题.

16.【答案】C

[解析]解：因为T灰I=J刃2_2£一.反+12屁2=

J∖OA∖2-2tOA-OE+t2∖OE∖2

=√36-2tOA-OE+9t2'

∖AE∖=∖OE-OA∖=JOA-2OA-OE+OE2=J∖OA∖2-2OAOE+∖OE∖2

=√36-2O½∙OF+9'

因为对VteR,恒有I市一t屁I≥I而

所以J36-2t0X∙δ^+9t2≥√36-2^∙而+9对VteR恒成立，

即(一2t+2)瓦？•苏+9/一9≥0对Vt∈R恒成立，

^9t2-2tOA-OE+20A-OE-9≥0对Vt∈R恒成立，

所以/=(-2O2∙OF)2-4×9(2Λ4∙OF-9)≤0.

即(就•而一9)2≤0,所以耐.赤=9，

又丽=丽一两=465_4灰+:丽)=：,萌

ΛΛɔɔOɔ

所以I而I=后函一IOFI=J(那一|两2=J±OA2-^OA-OE+Of2=

J⅛∣OΛ∣2-∣OΛ∙OE+1∣OE∣2=√^.

故答案为：√3.

根据数量积的运算律得到J36-2tE∙^+9t2≥√36-2以赤+9对VteR恒成立，即可

得到弼一21瓦？∙U^+2瓦5•症-9≥0对VteR恒成立，根据4≤0求出示•布，再根据而=

⅛-,而及数量积的运算计算可得.

Oɔ

本题主要考查了向量的数量积运算，属于中档题.

17.【答案】证明：(1)设Z=Q+bi(α,b∈R,bHO),由忆|=仁，则Z2=5,

所以Z+y=z+zi=α+6i+(α-bi)i=(α÷6)÷(α+b)i,

所以z+费在复平面内对应的点为(α+b,α+fo),在直线y=X上.

(2)解：同(1)设复数Z=α+bi(α,b∈RbW0),因为Z是方程2/+4%+k=0(k∈R)的一个根,

所以2(α+bi)2+4(α+hi)+fc=0,即2小-262÷4α÷k÷(4ab+4b)i=0,

所以2小—2b2+4α+fc=0且4αb+4b=0,得Q=-1,

因为小÷ZJ2=5,所以b=+2,

把Q=-1,b=±2代入2M-2b2+4Q+/c=0得：k=10,

所以Zc=10,z=—1+2i.

【解析】(1)由题设可得z+费=Z+"，应用代数运算化简并确定点坐标，即可证结论；

(2)将复数Z=α+从代入方程求参数即可

本题主要考查复数的四则运算，属于基础题.

18.【答案】解：(1)因为I五∣=2,∣b∣=4,且I五+b∣=2√-3，

所以I4+方『=a2+2a-b+b∣2=4+2×2×4×cos<ɑ,ð>+16=12>

解得COS<a,b>=-ɪ,

又<区另>∈[0o,180o]>

则五与了的夹角为120。；

(2)由⑴可知，α∙h=2×4×(-∣)=-4,

因为(2H—E)1(a+kb)，

所以(2日一石)∙m+k3)=2五2+(2k-1评不一々片=0，

即2X22-4(2∕c-1)-16k=0,解得k=ɪ

【解析】⑴将I&+BI=215平方后，可得COS<方,b>=—上，进而得解；

(2)易知心加=一4，再根据(2五一及1C+kE>可建立关于可得方程，解出即可.

本题考查平面向量数量积的运用，考查运算求解能力，属于基础题.

19.【答案】解：(1)因为一]<α<0,则COSa>0,sina<0,1-sina>0,

所以IIsina+l-cos2a+sin2a_(1—sina)2+2sinza+2sinacosa

y∣1+sinal+cos2a+sin2al-sin2a2cos2a+2sinacosa

_∖lsina∖2sina(sina+cosa)1-sina,sina1

∣cosa∣÷2cosa(cosa÷sina)COSaH--c-o--s-a-=cosa

(2)因为a,06(0,兀)，即有0<字<兀，而SinE等=COS孚=修

乙ΔZɔ

因此0<手<Sm岑=J1-32岑=2,tan亨=篝=等.

..02tan^^-2×∣41

于^an(a+S)=H=5,

77,

tan(a+/?)—tang^-ɪ

则tan(a+∣)=tan[(a+0)—刍=4—S/—ɪ

l+tan(α+B)tan4l+*x；

而0<字<90<7<即有0<α+g<7T,

LLLLN

所以α+3=%

【解析】(1)根据给定条件，利用平方关系及二倍角的正余弦公式化简作答.

(2)利用同角公式求出tan竽，利用二倍角的正切求出tan(α+夕)，再利用差角的正切求解作答.

本题主要考查了同角基本关系，二倍角公式，和差角公式的应用，属于中档题.

20.【答案】解：(1)因为而_L五，所以(b-2c)cosA+acosB=0,

即2ccos4=acosB+bcosA.

由正弦定理得2sinCcosA=SinAcosB+SinBcosA,

因为SmACoSB+SinBcosA=Sinol+8)=sinC,所以2sinCcos/=sinC.

因为C∈(O,τr),所以SinC≠0,所以CoSA=ɪ

因为46(0,τr),所以4=皋

(2)设A48C外接圆的半径为R,则R=L

由正弦定理，得α=2RsinA=√-3.

因为AABC的周长为3√^5,所以b+c=2√^豆.

由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccos^=(b+c)2-3bc,

即3=12—3bc,所以be=3.

则［b+c=2Λ∕~3=匕=©=Λ∕-3

所以△ABC为等边三角形,△4BC的面积S=^bcsinA=ɪ×3×=与ɪ

2224

【解析】(I)由记-L元,可得2ccos4=αcosB+bcos4,后由正弦定理结合Sin(4+B)=SinC即可

得答案；

(2)由(1),AABC的周长为3门，且AZBC外接圆的半径为1,可得b+c=2，？，

后由余弦定理可得be=3,解出b,C即可得答案.

本题主要考查三角形中的几何计算，考查转化能力，属于中档题.

21.【答案】解：(1)如图所示，设划艇以必m"的

速度从B处出发，沿BC方向行驶，比后与这位运动

员在C处相遇，

在^ABC<V,AB=75,AC=15t,BC=vt,B。为4C边上的高，BD=45,

设NBAC-a.)则Sina=—=—>cosa=Jl-(ξ)2——(，

由余弦定理，得BC2=AC2+AB2-2AB-ACcosa,

则后严=Q5t)2+752—2X75X15tX

整理得”2=等一竿+225=5625号-ɪ+(ɪ)2]+81=5625(,-ɪ)2+81,

当H亲即t=瓢"，*E=81，vmin=9,

即划艇至少以9km"的速度行驶才能追上这位运动员.

(2)当V=9∕σn∕∕ι时，在△力BC中，AB=75,AC=15×^=93.75,FC=9×ɪ=56.25,

由余弦定理，得COS乙4BC="此携':尹:=0.

2ABBC

则乙ABC=90°,

故划艇以最小速度行驶时的行驶方向与AB所成的角为90。.

【解析】(1)设划艇以迎巾/九的速度从B处出发，沿BC方向行驶，t∕ι后与这位运动员在C处相遇.在

ΛABCdp,AB=75,AC=15t,BC=vt,BD为A