第八章 二元一次方程组重难点知识归纳总结2023-2024学年人教版七年级数学下册

二元一次方程组要点一、二元一次方程组的相关概念1.二元一次方程的定义定义：方程中含有两个未知数（一般用和），并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程.特别说明：（1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数.（2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1.（3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式.例1.方程2x﹣=0，3x+y，2x+xy=1，3x+y﹣3x=0，x2﹣x+1=0中，二元一次方程的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2.关于x、y的方程mx﹣2y=x+1是关于x的二元一次方程，则m满足条件为。3.方程（k2﹣4）x2+（k+2）x+（k﹣6）y=k+8是关于x、y的方程，试问当k为何值时，（1）方程为一元一次方程？（2）方程为二元一次方程？要点二、二元一次方程的解1.定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.特别说明：二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值，一般要用大括号联立起来，即二元一次方程的解通常表示为的形式.例1.方程3x+y=7有（）个正整数解．A．1 B．2 C．3 D．无数变式练习：1.二元一次方程2x+y=7的正整数解有（）四个 B．三个 C．二个 D．一个2.以为解的二元一次方程组（）有且只有1个B、有且只有2个C、有且只有3个D、有无数个例2.小亮解方程组的解为，由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，则这两个数分别为（）A．4和6 B．6和4 C．2和8 D．8和﹣2要点三、二元一次方程组的定义定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数.例如，二元一次方程组.特别说明：（1）它的一般形式为（其中，，，不同时为零）．（2）更一般地，如果两个一次方程合起来共有两个未知数，那么它们组成一个二元一次方程组．（3）符号“”表示同时满足，相当于“且”的意思．例1.下列方程组是二元一次方程组的是（

）A． B． C． D．变式练习：1.下列各方程组中，是二元一次方程组的是()A． B． C． D．4.二元一次方程组的解定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.特别说明：：（1）方程组中每个未知数的值应同时满足两个方程，所以检验是否是方程组的解，应把数值代入两个方程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解.（2）方程组的解要用大括号联立；（3）一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无解，而方程组的解有无数个.例1.已知一个二元一次方程组的解是，则这个方程组是（）A．B．C．D．要点四、二元一次方程组的解法1.解二元一次方程组的思想2.解二元一次方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法（1）用代入消元法解二元一次方程组的一般过程：①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有（或）的代数式表示（或），即变成（或）的形式；②将（或）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去（或），得到一个关于（或）的一元一次方程；③解这个一元一次方程，求出（或）的值；④把（或）的值代入（或）中，求（或）的值；⑤用“”联立两个未知数的值，就是方程组的解.特别说明：：(1)用代入法解二元一次方程组时，应先观察各项系数的特点，尽可能选择变形后比较简单或代入后化简比较容易的方程变形；(2)变形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程组中的另一个方程；(3)要善于分析方程的特点，寻找简便的解法.如将某个未知数连同它的系数作为一个整体用含另一个未知数的代数式来表示，代入另一个方程，或直接将某一方程代入另一个方程，这种方法叫做整体代入法.整体代入法是解二元一次方程组常用的方法之一，它的运用可使运算简便，提高运算速度及准确率.例1.将方程32x-2y=1改写成用含x的式子表示y的形式为A.y=34x-12B.y=-34x+12C.x=43y-变式练习：1.已知方程组5y=4A.利用①,用含x的式子表示y,再代入②B.利用①,用含y的式子表示x,再代入②C.利用②,用含x的式子表示y,再代入①D.利用②,用含y的式子表示x,再代入①例2.用代入消元法解方程组:(1)y=2x①,3变式练习：1.用代入消元法解方程组:（1）（2）QUOTE2x+y=5,x-y=1.2x+y=5（2）用加减消元法解二元一次方程组的一般过程：①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式；②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程；③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值；⑤将两个未知数的值用“”联立在一起即可.特别说明：：当方程组中有一个未知数的系数的绝对值相等或同一个未知数的系数成整数倍时，用加减消元法较简单.例1.用加减消元法解方程组x+3y=8①,A.①+②,得4y=9B.①+②,得2y=9C.①-②,得4y=7D.①-②,得2y=7例2.二元一次方程组的解是______.变式练习：1.用加减法解下列方程组：(1)2x+y=2.用适当方法解下列方程组（1）；（2）；（3）例3.已知二元一次方程组x+2y=4,2变式练习：提升练习：已知x+2y-3z=0,2x+3y+5z=0，则。若2x﹣3y+z＝0，3x﹣2y﹣6z＝0，且xyz≠0，则＝．若x+2y+3z=10,4x+3y+2z=15，则x+y+z的值是________。要点五、三元一次方程组1．定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程；含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组.等都是三元一次方程组.特别说明：：理解三元一次方程组的定义时，要注意以下几点：（1）方程组中的每一个方程都是一次方程；（2）如果三个一元一次方程合起来共有三个未知数，它们就能组成一个三元一次方程组.2．三元一次方程组的解法解三元一次方程组的基本思想仍是消元，一般的，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而化三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数．解三元一次方程组的一般步骤是：（1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；（2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；（3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；（4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；（5）将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起．特别说明：：（1）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求比较简单的解法．（2）要检验求得的未知数的值是不是原方程组的解，将所求得的一组未知数的值分别代入原方程组里的每一个方程中，看每个方程的左右两边是否相等，若相等，则是原方程组的解，只要有一个方程的左、右两边不相等就不是原方程组的解．例1.解下列方程组（1）（2）（3）要点六、解含参数二元一次方程组例1.是关于x，y的方程组的解，则a，b的值是（）B、C、D、变式练习：1.已知是方程组的解，则代数式（a+b)（a-b）的值为____________。例2.方程组的解是二元一次方程x-y=1的解，则a的值为（）-1B、1C、2D、3变式练习：1.如果二元一次方程组的解是二元一次方程3x-5y-28=2的一个解，那么a的值是（）A.-7B.-11C.-3D.22.已知关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，则k的值是___________。例3.设（y≠0），则等于（）A、12B、-C、-12D、变式练习：如果x-y=5，y-z=5，则z-x的值是___________。例4.甲、乙两人同解方程组，甲正确解得，乙因抄错C解得，求A、B、C的值．变式练习：1.甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程（1）中的a，解得，乙看错（2）中的b，解得．试求a、b的值．2.在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得到方程组的解为，乙看错了方程组中的b，而得到方程组的解为（1）甲把a看成了什么？乙把b看成了什么？（2）求出原方程组的正确解．要点七、应用题二元一次方程应用题例1.袋里有若干个大小相同红球和白球，如果摸一红球得5分，摸一白球得1分．那么总得分为20分摸法有多少种？（）A．3 B．4 C．5 D．6变式练习：1.为奖励消防演练活动中表现优异的同学，某校决定用1200元购买篮球和排球，其中篮球每个120元，排球每个90元，在购买资金恰好用尽的情况下，购买方案有种（两种球都买）。二元一次方程组应用题古文问题例1.我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x匹，小马有y匹，则可列方程组为（

）A.

B.

C.

D.变式练习：1.古代“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索．索比竿子长一托，折回索却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索．用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．则绳索和竿长分别为（）A．30尺和15尺 B．25尺和20尺 C．20尺和15尺 D．15尺和10尺2.《九章算术》是我国古代数学的经典著作，方程术是它的最高成就，其中记载：五只雀，六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量为多少？设每只雀、燕的重量各为x两、y两，列方程组为（）A． B．C． D．2．用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可做盒身25个，或做盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒．现有36张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底可以使盒身与盒底正好配套？①设用x张制盒身，可得方程2×25x=40（36-x）；②设用x张制盒身，可得方程25x=2×40（36-x）；③设用x张制盒身，y张制盒底，可得方程组④设用x张制盒身，y张制盒底，可得方程组；其中正确的是（）A．①④ B．②③ C．②④ D．①③提升练习：1.小明欲购买红玫瑰、黄玫瑰、白玫瑰三种玫瑰花若干，若购买1束红玫瑰，1束黄玫瑰，1束白玫瑰共需100元，若购买1束红玫瑰，2束黄玫瑰，3束白玫瑰共需180元，那么下列判断一定正确的是（）A．1束白玫瑰和1束黄玫瑰共60元B.1束红玫瑰比1束黄玫瑰多10元 C.1束红玫瑰比1束白玫瑰多20元D.1束黄玫瑰比1束白玫瑰多15元路程问题例1.甲、乙两人练习跑步，如果甲让乙先跑10米，甲跑5秒钟就可追.上乙，如果甲让乙先跑2秒，那么甲跑4秒就能追上乙，问甲、乙每秒各跑多少米?变式练习：1.甲乙两人在一环形跑道上同时从A点匀速跑步，已知甲的速度比乙的速度快，若两人同向出发，则两人在6分钟时第1次相遇；若两人背向出发，两人在3分钟时第1次相遇，则甲的速度是乙的速度的（）倍．A．2 B．3 C．4 D．52.张翔从学校骑自行车出发去县城，中途因道路施工步行了一段路，1.5h后到达县城，他__________，路程全长20km，他骑车与步行各用多少时间？依题意，设骑车的时间为xh，步行的时间为yh，可列方程组为，则横线上的信息可以是（）A．一半的路程骑车平均速度为15km/h，一半的路程步行平均速度为5km/hB．一半的路程骑车平均速度为5km/h，一半的路程步行平均速度为15km/hC．骑车平均速度为15km/h，并且骑车平均速度是步行平均速度的3倍D．骑车平均速度为15kmh，并且步行平均速度是骑车平均速度的3倍甲、乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1小时20分相遇.相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机。这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米几何问题例1.如图：用8块相同的长方形拼成一个宽为48厘米的大长方形，每块小长方形的长和宽分别是多少？解：设小长方形的长是x厘米，宽是y厘米。题中的两个相等关系：1、小长方形的长+=大长方形的宽可列方程为：2、小长方形的长=可列方程为：变式练习：1.有一块长方形的牧场如图（1），它的周长为700米，将它分隔为六块完全相同的长方形牧场如图（2），每一块小长方形牧场的长和宽分别为？2.在长为10m，宽为8m的长方形空地中，沿平行于长方形各边的方向分割出三个相同的小长方形花圃，其示意图如图所示，设小长方形花圃的长为xm,宽为ym，则（）A． B． C． D．3.在矩形ABCD中，放入六个形状、大小相同的长方形，所标尺寸如图所示，求图中阴影部分的面积．销售利润问题例1.某班级为了奖励在期中考试中取得好成绩的同学，花了900元钱购买甲、乙两种奖品共50件，其中甲种奖品每件15元，乙种奖品每件20元，若设购买甲种奖品x件，乙种奖品y元，则所列方程组正确的是（）A．B．C．D．变式练习：1.某商场按定价销售某种电器时，每台可获利60元，按定价的九折销售该电器10台与将定价降低30元销售该电器13台所获得的利润相等．求该电器每台的进价、定价各是多少元？方案选择问题例1.我市移动通讯公司开设了两种通讯业务,A类是固定用户:先缴50元基础费,然后每通话1分钟再付话费0.4元;B类是“神州行”用户:使用者不缴月租费,每通话1分钟会话费0.6元（这里均指市内通话）；若果一个月9名师点睛内通话时间为x分钟，分别设A类和B类两种通讯方式的费用为y1和y2元，（1）写出y1、y2与x之间的关系式；（2）一个月内通话多少分钟，用户选择A类合算？还是B类合算？（3）若某人预计使用话费150元，他应选择哪种方式合算？变式练习：1.某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机，已知厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元。(1)若商场同时购进其中两种不同型号的电视机50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案；(2)若商场销售一台甲、乙、丙电视机分别可获利150元、200元、250元，在以上的方案中，为使获利最多，你选择哪种进货方案？2.随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车4S店计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，购进3辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车的共需95万元；购进4辆A型新能源汽车、1辆B型新能源汽车的共需110万元．问A、B两种型号