高一数学寒假（人教B版 第三册）第08讲 三角函数的定义（学生卷）

第08讲三角函数的定义【学习目标】1.理解并掌握任意角的三角函数定义，会求给定角的三角函数值，重点培养数学抽象、数学运算核心素养．2．借助任意角的三角函数定义，掌握三角函数在各象限的符号规律，重点提升逻辑推理等核心素养．3.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切，重点培养数学抽象核心素养．4．能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题．重点提升直观想象、逻辑推理核心素养．【知识导航】任意角的正弦、余弦与正切的定义使锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P，作PM⊥x轴于M，设P(x，y)，|OP|＝r.1．角α的正弦、余弦、正切分别等于什么？2．对确定的锐角α，sinα，cosα，tanα的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？任意角的三角函数的定义(1)对于任意角α来说，设P(x，y)是α终边上异于原点的任意一点，r＝eq\r(x2＋y2)，则称eq\f(y,r)为角α的正弦，记作__________；称eq\f(x,r)为角α的余弦，记作__________．即sinα＝__________，cosα＝__________．当角α的终边不在y轴上时，此时称eq\f(y,x)为角α的正切，记作__________，即tanα＝___________________．(2)对于每一个角α，都有唯一确定的正弦、余弦与之对应；当α≠eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)时，有唯一的正切与之对应．角α的正弦、余弦与正切，都称为α的__________．[点拨]1．在任意角的三角函数的定义中，应该明确：α是一个任意角，其范围是使函数有意义的实数集．2．要明确sinα是一个整体，不是sin与α的乘积，它是“正弦函数”的一个记号，就如f(x)表示自变量为x的函数一样，离开自变量的“sin”“cos”“tan”等是没有意义的．正(余)弦与正切在各象限的符号当α的终边不落在坐标轴上即α≠eq\f(kπ,2)(k∈Z)时，你能判断sinα，cosα，tanα在各象限的符号吗？提示：由三角函数定义可知，在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边上异于原点的任意点P(x，y)，r＝eq\r(x2＋y2)，则sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x).由r＞0可知，当α为第一象限角时，y＞0，x＞0，故sinα＞0，cosα＞0，tanα＞0，同理可得当α在其他象限时三角函数值的符号，如图所示．1．三角函数的符号规律(记忆口诀)一全正、二正弦、三正切、四余弦．2.三角函数值α落在坐标轴上sinαcosαtanαα＝2kπ(k∈Z)α＝2kπ＋π(k∈Z)α＝2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)不存在α＝2kπ＋eq\f(3π,2)(k∈Z)不存在正弦线、余弦线和正切线1．在平面直角坐标系中，任意角α的终边与单位圆交于点P，过点P作PM⊥x轴，过点A(1，0)作单位圆的切线，交α的终边或其反向延长线于点T，如图所示．(1)试求P点的坐标；(2)能否用向量直观表示sinα，cosα，tanα.(2)根据三角函数的定义，用向量eq\o(MP,\s\up6(→))，eq\o(OM,\s\up6(→))，eq\o(AT,\s\up6(→))表示sinα，cosα，tanα.2．三角函数线的方向是如何规定的？3．三角函数线的长度和方向各表示什么？图示正弦线角α的终边与单位圆交于点P，过点P作PM垂直于x轴，__________称为正弦线余弦线__________称为余弦线正切线过点A(1，0)作单位圆的切线，这条切线必然平行于y轴，设它与α的终边或其反向延长线相交于点T，__________称为正切线正弦线、余弦线和正切线都称为三角函数线．【知识预习】考点一：三角函数的定义1．已知角的终边经过点，则（

）A． B． C． D．2．已知角的终边经过点，则角的正弦值为（

）A． B． C． D．3．若角的终边过点，则（

）A． B．C． D．4．若，则点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．若，则所在的象限是A．二、四 B．一、二 C．一、四 D．二、三考点二：单位圆与三角函数线6．已知角α的正切线是长度为单位长度的有向线段，那么角α的终边在A．直线y＝x上 B．直线y＝－x上C．直线y＝x上或直线y＝－x上 D．x轴上或y轴上7．如图所示，P是角α的终边与单位圆的交点，PM⊥x轴于M，AT和A′T′均是单位圆的切线，则下列关于角α的说法正确的是（

）A．正弦线是PM，正切线是A′T′B．正弦线是MP，正切线是A′T′C．正弦线是MP，正切线是ATD．正弦线是PM，正切线是AT8．若和分别是角的正弦线和余弦线，则（

）A． B． C． D．9．，，的大小关系是（

）A． B．C． D．10．已知角的正弦线和余弦线长度相等，且的终边在第二象限，则A．0 B．1 C． D．【对点训练】一、单选题1．若为第二象限角，则下列各式恒小于零的是A． B． C． D．2．若，以下不等式成立的是（

）A． B．C． D．3．下面四个不等式中不正确的为A． B． C． D．4．下列关系正确的是（

）A． B．C． D．5．若为第四象限角，则（

）A．， B．，C．， D．，6．已知角的终边经过点，且，则（

）A． B．1 C．2 D．7．若点在角的终边上，则tan＝（

）A． B． C． D．8．已知角的终边经过点，则（

）A． B． C． D．二、多选题9．(多选)下列说法正确的有（

）A．当角的终边在轴上时，角的正切线是一个点B．当角的终边在轴上时，角的正切线不存在C．正弦线的始点随角的终边位置的变化而变化D．余弦线和正切线的始点都是原点10．下列四个选项，正确的有（

）A．在第三象限，则是第二象限角B．已知扇形OAB的面积为4，周长为10，则扇形的圆心角（正角）的弧度数为C．若角的终边经过点，则D．三、填空题11．用三角函数线比较与的大小，结果是______.（用“>”连接）12．若角的终边过点，则__________.四、解答题13．分别作出下列各角的正弦线､余弦线和正切线.(1);

(2).14．（1）如果，，则是第几象限角．（2）若，则是第几象限角．（3）若与异号，则是第几象限角．（4）若与同号，则是第几象限角．15．已知角的顶点为原点O，始边与x轴的非负半轴重合．若角的终边过点，且，(1)判断角的终边所在的象限；(2)求和的值．【提升作业】一、单选题1．已知角的终边经过点，且，则的值为（

）A． B． C． D．2．已知角，角，终边上有一点，则（

）．A． B． C． D．3．已知角的终边经过点，则的值为（

）A． B． C．1或 D．或4．设，和分别是角的正弦线、余弦线和正切线，则下列式子正确的是（

）A． B．C． D．5．如图，在平面直角坐标系中，､､､分别是单位圆上的四段弧，点在其中一段上，角以为始边，为终边.若，则所在的圆弧是（

）A． B． C． D．二、填空题6．已知角，则的大小关系为__