线性代数课件

线性代数

历史上,行列式因线性方程组的求解而提出

G.W.Leibniz[德](1646.7.1~1716.11.14)

S.Takakazu[日]

(1642~1708.10.24)

第1章行列式（Determinant）1.1二阶与三阶行列式

考虑用消元法解二元一次方程组

(a11a22-a12a21)x2=a11b2-b1a21

(a11a22-a12a21)x1=b1a22-a12b2第1节行列式的概念用a22和a12分别乘以两个方程的两端，然后两个方程相减，消去x2得

同理，消去x1得二阶行列式

当时，方程组的解为当时，方程组的解为为便于叙述和记忆，

引入符号D=D1=称D为二阶行列式.按照二阶行列式定义可得D2=于是，当D≠0时，方程组的解为j=1,2,3.类似引入符号，其中D1,

D2,D3分别为将D的第1、2、3列换为常数项后得到的行列式.三阶行列式

求解三元方程组称D为三阶行列式.25431是一个5级排列.如，3421是4级排列；例1．写出所有的3级全排列.

解：所有的3级排列为：321.312，231，213，132，123，1.2排列定义：n个自然数1,2,…,n按一定的次序排成的一个无重复数字的有序数组称为一个n级排列，记为i1i2…in.显然，n级排列共有个n!.其中，排列12…n称为自然排列.342

1逆序数的计算方法(向前看法)43

21从而得τ(3421)=5.5逆序及逆序数定义在一个n级排列i1i2

in中，若一个较大的数排在一个较小数的前面，则称这两个数构成一个逆序.一个排列中逆序的总数，称为这个排列的逆序数，记为τ(i1i2

in).奇排列与偶排列逆序数是奇数的排列，称为奇排列.逆序数是偶数或0的排列，称为偶排列.

如3421是奇排列，1234是偶排列，因为τ(3421)=5.因为τ(1234)=0.逆序及逆序数定义在一个n级排列i1i2

in中，若一个较大的数排在一个较小数的前面，则称这两个数构成一个逆序.一个排列中逆序的总数，称为这个排列的逆序数，记为τ(i1i2

in).定义符号称为n阶行列式，它表示代数和

其中和式中的排列j1

j2

jn要取遍所有n级排列.元素aij列标行标1.3

n阶行列式n阶行列式定义a11a21…an1

a12a22…an2

a1na2n…ann

…………

(3)n阶行列式共有n!项.

(-1)τ(j1

j2

jn).之前的符号是n个元素的乘积.(1)在行列式中,项是取自不同行不同列的行列式有时简记为|a

ij|.一阶行列式|a|就是a.

=说明：(2)项以三阶行列式为例

每一项都是三个元素的乘积.每一项的三个元素都位于不同的行和列.行列式的6项恰好对应于1,2,3的6种排列.各项符号与对应的列标的排列的奇偶性有关.a11a12

a13a21a22

a23a31

a32

a33=a11

a22

a33+a12

a23

a31+a13

a21

a32

a11

a23

a32

a12

a21

a33

a13

a22

a31

.a11a12

a13a21a22

a23a31

a32

a33j1

j2

j3的逆序数对所有不同的三级排列j1

j2

j3求和

写出三阶行列式的一般形式a14a23a31a44a14a23a31a44

a14a23a31a42

a14a23a31a42再如，四阶行列式a11a21a31a41

a12a22a32a42

a13a23a33a43

a14a24a34a44

(-1)τ(4312)

a14a23a31a42为行列式中的一项.

表示的代数和中有4!=24项.a14a23a31a42取自不同行不同列,

的列标排列为4312不是行列式中的一项.中有两个取自第四列的元素，所以它(为奇排列)，D=行列式计算解：根据行列式定义例1．计算2

阶行列式D=注：3阶行列式的计算类似，略.例2．计算n阶下三角形行列式D的值其中aii

0(i=1,2,

,n).D=a11a21a31…an1

0a22a32…an2

00a33…an3

000…ann

……………

解：为使取自不同行不同列的元素的乘积不为零，D=(-1)τ(12

n)a11a22a33

ann第一行只能取a11，第三行只能取a33，第二行只能取a22，第n行只能取ann.

，

这样不为零的乘积项只有a11a22a33

ann，所以=a11a22a33

ann.例3．计算n阶行列式D的值D=00…0bn………bn-1*00…**b1*…**

0b2…**解：为使取自不同行不同列的元素的乘积不为零，D=(-1)τ(nn-121)b1b2b3

bn第一行只能取b1，第n-1行只能第二行只能取b2，第n行只能取bn.

，

这样不为零的乘积项只有b1b2b3

bn，所以取bn-1，下三角形行列式的值：a11a21a31…an1

0a22a32…an2

00a33…an3

000…ann

……………

=a11a22a33

ann.上三角形行列式的值：a1100…0a12a220…0a13a23a33…0a1na2na3n…ann

……………

=a11a22a33

ann.对角形行列式的值：a1100…00a220…0

00a33…0

000…ann

……………

=a11a22a33

ann.结论：2.1向量的概念与运算

定义1

n个数a1,a2,

,an组成的有序数组(a1,a2,

,an)，称为n维向量,记为a,其中ai(i=1,2,…,n)叫做向量的第i个分量.

a=(a1,a2,

,an)，a1a2an

.

a=写成列的形式，称为列向量，记为n维向量写成行的形式,称为行向量，记为1.1向量的概念

(-a1,-a2,

,-an)T，为向量a的负向量，记作-a.称向量

(0,0,

,0)T为零向量，记作o.称向量如果向量a=(a1,a2,

,an)T与向量b=(b1,b2,

,bn)T都是n维向量，且对应的分量都相等，则称它们相等，记作a＝b.a1a2an

.

a=本教材约定向量的形式为列向量，即向量满足以下8条运算规律(设a、b、g都是n维向量，k、l为实数):

(1)a+b=b+a(2)a+(b+g)=(a+b)+g(3)a+o=a

(4)a+(-a)=o(5)(k+l)a=ka+la(6)k(a+b)=ka+kb(7)(kl)a=

k(la)(8)1

a=a1.2向量的运算定义2

设

,则(1)

(2)

k为常数.1.向量的加法2.向量的数乘3.向量的减法设a、b都是n维向量，利用负向量可定义向量的减法为:

a-b,即对应分量相减.=a+(-b)例1．设解：定义3

设a=(a1,a2,

,an

)T与b=(b1,b2,

,bn

)T是两个n维向量，则实数称为向量a和b的内积，记为(a,b)，或aTb.4.向量的内积

例如，设a=(-1,1,0,2)T，b=(2,0,-1,3)T,则a与b的内积为(a,b)=(-1)

2+1

0+0

(-1)+2

3=4.内积的性质

设a，b，g为Rn中的任意向量，k为常数.(1)

(a,b

)=(b,a

)

；

(2)(ka,b

)=k(a,b

)

；

(3)(a+b,g

)=(a,g

)+(b,

g

)

；

(4)

(a,a

)

0，当且仅当a=o时，有(a,a

)

=0.5.向量的长度定义4

对于向量a=(a1,a2,

,an

)T，其长度(或模)为

例如，向量a=(-3,4)T的长度为向量长度的性质（了解）

(1)||a||

0，当且仅当a=o时，有||a||=0；

(2)||ka||=|k|

||a||(k为实数)；

(3)三角不等式:||a+b

||≤||a||＋||b||；

(4)对任意非零向量a，b，有|(a,b)|

||a||

||b||.

长度为1的向量称为单位向量.

向量的单位化（标准化）例4．n维单位向量组e1，e2，

，en，是两两正交的：(ei,ej)=0(i

j).

例3．零向量与任意向量的内积为零，因此零向量与任意向量正交.6.正交向量组定义5

如果向量a与b为非零向量，它们的夹角θ定义为：

若(a,b)=0，则称向量a与b互相正交(垂直),

.其中

aij称为矩阵的第

i行第

j列的元素.

一般情况下，我们用大写字母

A，B，C等表示矩阵.m

n矩阵A简记为

A

(aij)m

n

或记作

Am

n.a11

a12

a1n

a21

a22

a2nam1

am2

amn定义1

由

m

n个数

aij(i

1,2,

,m；j

1,2,

,n)排成一个

m行

n列的矩形表称为一个

m

n矩阵，记作什么是矩阵？黑客帝国3Thematrixrevolution机器帝国集结了乌贼大军攻打真实世界仅存的人类城市－锡安城，锡安城内的人类拼死抵抗，但最后仍是兵败如山倒；另一方面，电脑人史密斯进化成为更高等的电脑病毒，几乎占领了整个矩阵（Matrix），甚至包括了“矩阵之母”－先知。经过与先知密谈的救世主尼奥进入机器城市，与矩阵的造物主达成停战协议。代价是尼奥必须进入矩阵，删除叛逃异变的强大病毒—史密斯。零矩阵

所有元素均为0的矩阵称为零矩阵，记为O.行矩阵与列矩阵

只有一行的矩阵称为行矩阵，只有一列的矩阵称为列矩阵.常用小写黑体字母

a，b，x，y等表示.例如a=(a1

a2

an)，b1b2

bm

b=.负矩阵-a11

-a12

-a1n

-a21

-a22

-a2n-am1

-am2

-amn称矩阵为A的负矩阵,记作–A.b11b21

bn10b22

bn2

00

bnnB=.A=.a11a12

a1n

0a22

a2n

00

ann

如下形式的

n

阶矩阵称为上三角矩阵.三角矩阵

如下形式的

n

阶矩阵称为下三角矩阵.方阵

若矩阵

A的行数与列数都等于

n，则称

A为

n阶矩阵，或称为

n阶方阵.a110

00a22

0

00

annA=.对角矩阵

如下形式的n

阶矩阵称为对角矩阵.

对角矩阵可简单地记为A=diag(a11,a22,

,ann).

单位矩阵(Identitymatrix)

如下形式的n

阶矩阵称为单位矩阵，记为En

或E.10

001

0

00

1E=.2.2矩阵的运算定义1

设A与B为两个m

n矩阵A

Ba11+b11

a12+b12

a1n+b1n

a21+b21

a22+b22

a2n+b2nam1+bm1

am2+bm2

amn+bmn=.a11

a12

a1n

a21

a22

a2nam1

am2

amnA=，b11

b12

b1n

b21

b22

b2nbm1bm2

bmnB=，

A与B对应位置元素相加得到的m

n矩阵称为矩阵A与B的和，记为A

B.即C=A+B.1.矩阵的加法

设A,B,C都是m

n矩阵.容易证明，矩阵的加法满足如下运算规律：

（1）交换律：

A+B=B+A;（2）结合律：(A+B)+C=A+(B+C);

（3）A+O=A，其中O是与A同型的零矩阵;

矩阵的减法可定义为:

显然：若A=B，则A+C=B+C，A-C=B-C；若A+C=B+C，则A=B.（4）A+(-A)=O，其中O是与A同型的零矩阵.

a11

a12

a1n

a21

a22

a2nam1

am2

amnA=，

定义2

设A

(aij)为m

n矩阵则以数k乘矩阵A的每一个元素所得到的m

n矩阵称为数k与矩阵A的积，记为kA.即ka11

ka12

ka1n

ka21

ka22

ka2n

kam1

kam2

kamnkA=.2.数与矩阵的乘法(5)

k(A

B)

kA

kB；(6)(k

l)A

kA

lA

；(7)(kl)A

k(lA)；(8)1

A=A.

设A，B，C，O都是m

n矩阵，k，l为常数，则矩阵数乘的性质性质(1)-(8)，称为矩阵线性运算的8条性质，须熟记.

例1．设357

22043012

3A=

，132

02157064

8B=

，求3A-2B.

解：3A-2B

357

22043012

3=3132

02157064

8-2264

04210140128

16-91521

66012

9036

9

=.7917

62-22

-50-9-2

-7=9-215-621-4

6-06-40-212-10

9-140-03-126-8

9-16

=X

=½*(B-A)例2．已知357

22043012

3A=

，132

02157064

8B=

，且A+2X=B，求X.解：某厂家向A,B,C三个代理商发送四款产品.18000=1800020

200+50

100+30

150+25

1803.矩阵的乘法

某厂家向A,B,C三个代理商发送四款产品.1800018150=1815020

180+50

120+30

160+25

1503.矩阵的乘法

某厂家向A,B,C三个代理商发送四款产品.180001815016750=1675020

190+50

100+30

140+25

1503.矩阵的乘法

某厂家向A,B,C三个代理商发送四款产品.18000181501675010480=1048016

200+20

100+16

150+16

1803.矩阵的乘法

某厂家向A,B,C三个代理商发送四款产品.1800018150167501048010240=1024016

180+20

120+16

160+16

1503.矩阵的乘法

某厂家向A,B,C三个代理商发送四款产品.18000181501675010480102409680=968016

190+20

100+16

140+16

1503.矩阵的乘法

定义3

设A是一个m

s矩阵，B是一个s

n矩阵：构成的m

n矩阵C称为矩阵A与矩阵B的积，记为C

AB.

则由元素

cij

ai1b1j

ai2b2j

aisbsj(i

1,2,

,m；j

1,2,

,n)

a11

a12

a1s

a21

a22

a2sam1

am2

amsA=，b11

b12

b1n

b21

b22

b2nbs1

bs2

bsnB=，c11

c12

c1n

c21

c22

c2ncm1

cm2

cmnAB=.即3.矩阵的乘法

cij

ai1b1j

ai2b2j

aisbsj(i

1,2,

,m；j

1,2,

,n).

a11

a12

a1s

a21

a22

a2sam1

am2

amsb11

b12

b1n

b21

b22

b2nbs1

bs2

bsnc11

c12

c1n

c21

c22

c2ncm1

cm2

cmn=

ai1b1j

ai2b2j

aisbsj.(ai1

ai2

ais

)b1jb2j

bsj

注：

A的列数等于B的行数，AB才有意义;

C的行数等于A的行数，列数等于B的列数.

因此，cij

可表示为A的第i行与B的第

j列的乘积.cij

3.矩阵的乘法

矩阵乘法AB

：1.条件：前列=后行

2.结果：前行×后列

反例．设B=.

1-2-32-10A=

，010

-112151-2-32-10则AB=

010

-11215=无意义.m×

kk×

n相等m×nB=，求AB及BA.

A=

，

例3．设231-2311-2-32-10解：231-2311-2-32-10AB==-6-78（1）先行后列法B=，求AB及BA.

A=

，

例3．设231-2311-2-32-10解：231-2311-2-32-10AB==-6-78-30-3（1）先行后列法B=，求AB及BA.

A=

，

例3．设231-2311-2-32-10解：231-2311-2-32-10AB==-6-78-30-9-7-35（1）先行后列法B=，求AB及BA.

A=

，

例3．设231-2311-2-32-10解：231-2311-2-32-10AB==5-38（2）先列后行法B=，求AB及BA.

A=

，

例3．设231-2311-2-32-10解：231-2311-2-32-10AB==5-38-70-7（2）先列后行法B=，求AB及BA.

A=

，

例3．设231-2311-2-32-10解：231-2311-2-32-10AB==5-38-70-7-6-9-3（2）先列后行法B=，求AB及BA.

A=

，

例3．设231-2311-2-32-10231-2311-2-32-10BA==4-983解：231-2311-2-32-10AB==-6-78-30-9-7-35；通常采用：先行后列法

例6．设A=

，4-2-21B=

，求AB及BA.

4

2-6-3AB=4-2-214

2-6-3解：-32

-16168=BA=4-2-214

2-6-30

000=B=，求AB及BA.

A=

，

例3．设231-2311-2-32-10解：AB=-6-78-30-9-7-35,BA=4-983.

例4．设A=

，4-2-21B=

，求AB及BA.

4

2-6-3AB=解：-32

-16168，BA=0

000B=，求AB及BA.

A=

，

例3．设231-2311-2-32-10解：AB=-6-78-30-9-7-35,BA=4-983.注2：矩阵乘法一般不满足交换律，即AB

BA;注3：两个非零矩阵相乘，乘积可能是零矩阵，但不能从AB=O，推出A=O或B=O

.注意：左乘右乘的不同1110

例5．设A=

，B=

，求AB及BA.

2110

解：11102110AB=3110=21101110BA=3110=显然AB=BA

.定义：如果两矩阵A与B相乘，有AB=BA，则称矩阵A与矩阵B可交换.显然AC=BC，但A

B.

例6．设注4：矩阵乘法不满足消去律.例8.100000001设A=则AA=100000001100000001100000001==A.显然AA=A，但A

E，A

O

.

例7．

对于任意矩阵A及相应的矩阵O，E，有AO=O，

OA=O；AE=A，

EA=A，EE=E.a11x1+a12x2+…+a1nxn

=

b1

a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2

…as1x1+as2x2+…+asnxn=bsb=b1

b2

…bs

a11

a12…a1na21

a22…a2n

…………as1

as2…asnA=Ax=b

x=x1

x2

…xn

例9.

线性方程组的矩阵表示（矩阵方程）应注意的问题(1)AB

BA

；(3)AB=OA=O或B=O；

/

(2)AC=BCA=B；

/

矩阵乘法的性质(4)AA=AA=E或A=O.

/

(1)(AB)C=A(BC)；(2)(A+B)C=AC+BC；(3)C(A+B)=CA+CB；(4)k(AB)=(kA)B=A(kB).4.方阵的幂

对于方阵A及自然数k

Ak=A

A

A(k个A相乘)，称为方阵A的k次幂.

方阵的幂有下列性质：

(1)ArAs=Ar+s；

(2)

(Ar)s=Ars.问题：(A+B)2=?②(A

B)2=A2

AB

BA

+B2

注:①(A+B)2

=(A+B)(A+B)=A2+AB+BA+B2

③

(A+B)(A

B)=A2

AB

+BA

B2

定义4

将m

n矩阵A的行与列互换，得到的n

m矩阵，称为矩阵A的转置矩阵，记为AT或A

.即如果a11a21…am1

a12a22…am2

a1na2n…amn

…………

A=，a11a12…a1n

a21a22…a2n

am1am2…amn

…………

AT

=则.

例如，设x=(x1

x2

xn)T，y=(y1

y2

yn)T，则(y1

y2

yn)xyTx1x2

xn

==x1y1x2y1…xny1

x1y2x2y2…xny2

x1ynx2yn…xnyn

…………

.5.转置矩阵及对称方阵显然，ET＝E.转置矩阵有下列性质

(1)(AT)T=A；

(2)(A+B)T=AT+BT；

(3)(kA)T=kAT；a11a21…am1

a12a22…am2

a1na2n…amn

…………

A=，a11a12…a1n

a21a22…a2n

am1am2…amn

…………

AT

=则.

定义4

将m

n矩阵A的行与列互换，得到的n

m矩阵，称为矩阵A的转置矩阵，记为AT或A

.即如果

(4)(AB)T=BTAT

.5.转置矩阵及对称方阵

定义5

设A

为n阶方阵，若AT=A，则称A为对称矩阵，如果AT=-A，则称A为反对称矩阵.分别是三阶对称矩阵和三阶反对称矩阵.显然：A为对称矩阵的充分必要条件是aij=aji

;

A为反对称矩阵的充分必要条件是

aij=-aji.如：定义6

设A是n阶方阵，由A的元素构成的n阶行列式称为方阵A的行列式，记为|A|或detA

.性质：设A、B为n阶方阵，k为数，则(1)|A|=|AT|;(3)|AB|=|A||B|.(2)|kA|=kn|A|;6.方阵的行列式显然，|E|=1.一般地，若A1,A2,…Ak都是n阶方阵，则

显然

A——方阵

f(x)=asxs+as1xs1+…+a1x+a0

f(A)=asAs+as1As1+…+a1A+a0E

f(x)——多项式

注意!!!

定义7.

方阵A的多项式

6.方阵的行列式例10．设

求解:

因为由公式

则若先求得

同样

例11．设

A，B均为四阶方阵，且.

计算.解

由方阵的行列式的运算规律，

定义1

对于n阶矩阵A，如果存在n阶矩阵B，使得

AB

BA

E，那么矩阵A称为可逆矩阵，而B称为A的逆矩阵.1.可逆矩阵的定义

这是因为，如果B和B1都是A的逆矩阵，则有

AB=BA=E，AB1=B1A=E

于是

B=B1.=EB1=(BA)B1=B(AB1)=BE

如果矩阵A可逆，则A的逆矩阵是唯一的.逆矩阵的唯一性

A的逆矩阵记为A

1.即若AB

BA

E

，则B

A

1.定义1

对于n阶矩阵A，如果存在n阶矩阵B，使得

AB

BA

E，那么矩阵A称为可逆矩阵，而B称为A的逆矩阵.1.可逆矩阵的定义定理1

如果矩阵A可逆，则A的逆矩阵是唯一的.

由于A，B位置对称，故A，B互逆，即B

A

1，A

B

1.

如可以验证，

2.方阵可逆的充分必要条件A11A21

An1A12A22

A2nA1nA2n

Ann

定义2

由矩阵称为矩阵A的伴随矩阵，记为A*.即a11a12

a1na21a22

a2nan1an2

ann

A=的代数余子式构成的矩阵

A11A21

An1A12A22

A2nA1nA2n

Ann

A*

=例1.

求

的伴随矩阵A*.

解:同理A13=1，A21=-2，A22=1，A23=-1，A31=-1，A32=2，A33=1因此A的伴随矩阵

A11A21A31A12A22A32A13A23A33三阶矩阵A的伴随矩阵A*为

，

定理2

n阶矩阵A为可逆的充分必要条件是|A|

0，而且其中A*为方阵A的伴随矩阵.所以|A|

0，即A为非奇异.设A可逆，故|A|·|A

1|

|E|

1，使AA

1

E

,即有A

1，

证：必要性.=—A*，1|A|A-1定义3

对于n阶矩阵A，若行列式|A|=0，则称A是奇异的(或降秩的或退化的)，否则称A为非奇异的(或满秩的或非退化的).2.方阵可逆的充分必要条件a11a12

a1na21a22

a2nan1an2

ann

A11A21

An1A12A22

An2A1nA2n

Ann

AA*==|A|E|A|

0

0

0|A|

0

0

0|A|

=充分性.定理2

n阶矩阵A为可逆的充分必要条件是|A|

0，而且其中A*为方阵A的伴随矩阵.

证：=—A*，1|A|A-1

设A非奇异，B=—A*1|A|取=A(—A*)1|A|则有

AB=—AA*1|A|注意：=

—

|A|E1|A|=E.同理可证BA=E.因此A可逆，=—A*.1|A|且A-1(即

AB=E.)

=—A*.1|A|A-1

矩阵

A可逆

|A|

0；

例2．求矩阵

A=的逆矩阵.

2-3

1

1

2

0

0-5

1

2-3

1

1

2

0

0-5

1

解:

因为=2

0，

所以A可逆.

又因为A12A13A11A22A23A21A32A33A31

A*=10

7-5-2-2

2

2

1-1

=，所以=—A*1|A|=—12A-110

7-5-2-2

2

2

1-1

5

7/2-5/2-1-1

1

1

1/2-1/2=

.|A|=推论

设A是n阶方阵，若存在同阶方阵B，使得AB=E

(或BA=E)，则A可逆，且A-1=B.

这一结论说明，如果要验证矩阵B是矩阵A的逆矩阵，只要验证一个等式AB=E或BA=E即可.例3．设n阶矩阵A满足aA2+bA+cE=O，证明A为可逆矩阵，并求A-1(a,b,c为常数，且c

0)

.又因c

0，故有

aA2+bA=-cE，

解:

由aA2+bA+cE=O，有

-c-1(aA2+bA)=E，即-c-1(aA+bE)A=E，因此A可逆，且A-1=-c-1aA-c-1bE.3.可逆矩阵的性质

(3)若A、B为同阶可逆矩阵，则AB亦可逆，且(AB)

1

B

1A

1.因为

(AB)(B-1A-1)=A(BB-1)A-1=AEA-1=AA-1=E所以(AB)

1

B

1A

1.

(2)若A可逆，数l

0，则lA

可逆，且(lA)

1

l

1A

1.

(1)若A可逆，则A

1也可逆，且(A

1)

1

A.

(4)若A可逆，则AT也可逆，且(AT

)

1

(A

1)T

.因为

AT(A-1)T

=(A-1A)T=ET=E，所以

(AT

)

1

(A

1)T

.(5)|A

1|=|A|

1.例4.

设三阶矩阵A,B满足关系式，且求矩阵

B.解:

由于A可逆，

将等式

两端右乘

有

，整理得

,于是

故

，线性方程组

的矩阵形式为

其中

当|A|≠0时，A-1存在，AX=b两边左乘A-1，得

X=A-1b这就是线性方程组解的矩阵表达式.

4.用逆矩阵求解线性方程组例5.

利用逆矩阵求解方程组

解:

将方程组写成矩阵形式

计算得

，故A可逆.

因而有

，即

A-1

=，

3

1-3-2-15/2

1

1-3/2

1

3

2

2

4

2

3

3

1

例6．设A=，B=，C=.

5

2

3

1

1

3

2

3

1

0

求矩阵X

使AXB

C.

-5

3

2-1B-1=

，解:X=

3

1-3-2-15/2

1

1-3/2

1

3

2

3

1

0-5

3

2-1-2-10

10

1

4-4=.X

A-1CB-1

为什么？

1.AA＊＝A＊A＝|A|E;

3.若|A|≠0,则|A*|=|A|n-1.2.若|A|≠0,则A＊＝|A|A-1;5.伴随矩阵的常用性质5.1初等变换

交换第i行与第j行记为ri

rj

.

1

5-1-1

1-2

1

3

1-9

3

7

3

8-1

1

1-2

1

3

1-9

3

7r2

r4———

1

5-1-1

3

8-1

1定义1

对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换.

(1)交换矩阵的某两行(列)；

(2)以数k

0乘矩阵的某一行(列)；

(3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上.例如-1

1

3-1

交换第i列与第j列记为ci

cj

.

1

5-1-1

1-2

1

3

1-9

3

7

3

8-1

1c1

c3———

5-2-9

8-1

3

7

1

1

1

1

3例如定义1

对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换.

(1)交换矩阵的某两行(列)；

(2)以数k

0乘矩阵的某一行(列)；

(3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上.5.1初等变换

用数k乘以第i行记为kri

.

1

5-1-1

1-2

1

3

1-9

3

7

3

8-1

14r2———

4

4-812

1-1

5-1

1

3-9

7

3-1

8

1例如定义1

对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换.

(1)交换矩阵的某两行(列)；

(2)以数k

0乘矩阵的某一行(列)；

(3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上.5.1初等变换

用数k乘以第i列记为kci

.

1

5-1-1

1-2

1

3

1-9

3

7

3

8-1

14c3———-4

412-4

1

5-1

1-2

3

1-9

7

3

8

1例如定义1

对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换.

(1)交换矩阵的某两行(列)；

(2)以数k

0乘矩阵的某一行(列)；

(3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上.5.1初等变换

第i行的k倍加到第j行记为rj+kri

.

1

5-1-1

1-2

1

3

1-9

3

7

3

8-1

1r3-3r1———

1

5-1-1

1-2

1

3

1-9

3

7

0-7

2

4例如定义1

对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换.

(1)交换矩阵的某两行(列)；

(2)以数k

0乘矩阵的某一行(列)；

(3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上.5.1初等变换

第i列的k倍加到第j列记为cj+kci

.

1

5-1-1

1-2

1

3

1-9

3

7

3

8-1

1c3+c1———

0

2

4

2

1

5-1

1-2

3

1-9

7

3

8

1例如定义1

对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换.

(1)交换矩阵的某两行(列)；

(2)以数k

0乘矩阵的某一行(列)；

(3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上.5.1初等变换定义2

对单位矩阵E施以一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵（或初等方阵）.

初等矩阵有下列三种：

E(i,j)、E(i(k))、E(j,i(k)).

=E(2,4)

例如，下面是几个4阶初等矩阵：1000010000100001E=0001100000100100r2

r4———=E(2,4)

1000010000100001E=0001100000100100c2

c4———5.2初等矩阵=E(3(4))

1000010000100001E=00401000010000014r3———=E(3(4))

1000010000100001E=00401000100000014c3———定义2

对单位矩阵E施以一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵（或初等方阵）.

初等矩阵有下列三种：

E(i,j)、E(i(k))、E(j,i(k)).

例如，下面是几个4阶初等矩阵：5.2初等矩阵=Er(2,4(k))

1000010000100001E=010k100000100001r2+kr4———=Ec(2,4(k))1000010000100001E=100000010001010kc2+kc4———定义2

对单位矩阵E施以一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵（或初等方阵）.

初等矩阵有下列三种：

E(i,j)、E(i(k))、E(j,i(k)).

例如，下面是几个4阶初等矩阵：5.2初等矩阵

定理1

设A是一个m

n矩阵，对A施行一次初等行变换相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换相当于在A的右边乘以相应的n

阶初等矩阵.E(1,2)A=

=与交换A的第一行(列)与第二行(列)所得结果相同.AE(1,2)==

例如，设=与第三行(列)的2倍加到第一行(列)所得结果相同.=例如，设E(1,3(2))A=

AE(1,3(2))=

定理1

设A是一个m

n矩阵，对A施行一次初等行变换相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换相当于在A的右边乘以相应的n

阶初等矩阵.

初等矩阵都是可逆的，且它们的逆矩阵仍是初等矩阵.初等矩阵的可逆性E(j,i(k))-1=E(j,i(-k)).

E(i(k))-1=E(i(k-1))；E(i,j)-1=E(i,j)；

这是因为，初等矩阵的行列式要么为1,要么为-1,要么为k(k≠0).其逆阵分别为:例1例2

设A可逆，A经过交换第i行与第j行后得到B，证明B可逆.

证明：由条件知，一定存在初等矩阵E(i,j),使得B=E(i,j)A.又A可逆，|A|≠0，|E(i,j)|=-1.|B|=|A||E(i,j)|≠0,即B可逆.6.3求逆矩阵的初等变换方法定理2

若n阶矩阵A可逆，则可以通过初等行变换将A化为单位矩阵.

证：

因为A可逆,即|A|≠0，所以A的第一列不全为0,不妨设a11≠0.将A的第一行元素乘以1/a11,再将变换后的第一行的(-ai1)倍加到第i行，i=2,3,…,n,使第一列其他元素全化为零，得如下形式矩阵B1:由定理1知，

其中Fi是对应初等矩阵.一直进行下去，最终把A化成了单位矩阵E.

同理可得B2:

即B2的第二行第二列元素化为1,第二列的其它元素全化为零.利用初等行变换求逆矩阵的方法(要求：熟练掌握)

构造一个n×2n矩阵(A|E)，对矩阵(A|E)作初等行变换，当左部A变成单位矩阵E时，右部单位矩阵E则变成A-1.即推论

方阵A可逆的充分必要条件是A可以表示为有限个初等矩阵的乘积.即若,则而就是说，当通过初等行变换将矩阵A变成E时，经过同样的变换把E变成了A-1.于是有,即解：例3.

若矩阵A可逆，则矩阵(A|E)可经初等行变换化为(E|A-1).-0.5r2¾¾®-r3定义1

设A是m╳n矩阵，在A中任取k行k列(1≤k≤min{m,n})，位于k行k列交叉位置上的k2个元素，按原有的次序组成的k阶行列式，称为A的k阶子式.如矩阵

第1,3行及第2,4列交叉位置上的元素组成的一个二阶子式为

三阶子式共有4个

7.1矩阵的秩的概念

定义2

若矩阵A有一个r阶子式不为零，而所有r+1阶子式(如果存在的话)全等于零，则r称为矩阵A的秩，记作r(A).规定零矩阵的秩为零.

易见：（1）若A是m╳n矩阵，则r(A)≤min{m,n}.

（2）若m╳n矩阵A中有一个r阶子式不等于零，则r(A)≥r；若所有r+1阶子式全等于零，则r(A)≤r.

（3）r(A)