高考数学二轮复习练习：9三角恒等变换与解三角形

专题突破练9三角恒等变换与解三角形

一,单项选择题

1.（2021.深圳高级中学月考）在钝角AABC中4B=2,sinB=苧,且MBC的面积是苧,则AC=（）

A.√3C.√7D.限或y∏

2.（2021.辽宁大连二模）若ta或=瓢

sin(3π-α)

3.（2021•山东日照期中）已知"8C的三内角A,8,C所对的边分别为“力,G其中R为AABC外接圆的半

径,若3αsinA+3⅛sin8+4αsinB=6Rsi∏2C,则SinAsinB-cosACOSB-（）

4.（2021•海南二模）古希腊数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图,发现了黄金分割

率,黄金分割率的值也可以用2sin18°表示.若实数n满足4sin218o+川=4,则与畔一=（）

8nzsιnz18

5.（2021•江西南昌期末）“欲穷千里目,更上一层楼”出自唐朝诗人王之涣的《登鹳雀楼》，鹳雀楼位于

今山西永济市,该楼有三层,前对中条山,下临黄河,传说常有鹳雀在此停留,故有此名.下面是复建的鹳

雀楼的示意图,某位游客（身高忽略不计）从地面点Z）看楼顶点A的仰角为30°,沿直线前进79m到

达点E,此时看点C的仰角为45°,若BC=2AC,则楼高4B约为（）m.

6.(2021.河北邯郸期末)已知CoSα+sin%=∣,sina+sinSCoS4=；,则COS(a+20=(

7.

（2021•湖南长沙模拟）小李在某大学测绘专业学习,节日回家,来到村头的一个池塘（如图阴影部分）,为

了测量该池塘两侧CQ两点间的距离,除了观测点CQ外,他又选了两个观测点PbBJl尸/2=&已经

测得NplP2。=火/尸221。=£,由于条件不足,需要再观测新的角,则利用已知观测数据和下面三组新观

测的角的其中一组,就可以求出CO间距离的是（）

①NOPc和/。CPi;②NP1P2C和/PCP2；③NPlOC和/OCPI.

A@②

C.②③D.①②③

（2021•吉林月考）如图,正三角形ABC的边长为4,O,E,F分别在边AB,BC和CA上（异于端点）,且。为

AB的中点.若∕EQF=120°,则四边形CFz迫的面积为（）

A.2√3B.%

C.3√3D.无法确定

二、多项选择题

9.（2021•山东师大附中期末）若MBC的内角A,8,C所对的边分别为a,b,c,且满足尻2“+4•1?等=0,

则下列结论正确的是（）

A.角C一定为锐角B,a2+2b2-c2=0

C.3tanΛ+tanC=OD.tanB的最小值为苧

三、填空题

10.（2021•北京延庆模拟）已知AABC的面积为2√X4B=2,B=*贝IJ喘=.

11.（2021・山西运城模拟）已知tan（9,tangj）是方程x2+αx-3=0的两个根,则a=

12.（2021•广东揭阳一模）已知“8C的内角A,B,C所对的边分别为α,6,c,且满足α=2,∕=2∕+c2,则

△ABC的面积的最大值为.

13.

（2021.山东潍坊一模）某市为表彰在脱贫攻坚工作中做出突出贡献的先进单位,制作了一批奖杯,奖杯

的剖面图形如图所示,其中扇形OAB的半径为∖0,ZPBA=ZQAB=60QHQ=QP=P8,若按此方案设

计,工艺制造厂发现,当OP最长时,该奖杯比较美观,此时/AOB=.

专题突破练9三角恒等变换与解三角形

IC解析设内角A,BC所对的边分别为α也c.

依题意,三角形ABC是钝角三角形,c=2,sinB=MSAABC=%csinB=苧,解得a=∖,a<c,

所以A为锐角.当C为钝角时,cosB=√l-sin2F=ɪ∕j=√α2+c2-2accosB=代,此时cos

a2c2

c=↑^h=黑l=°c=3不符合题意•

2ab2×1×√32

当B为钝角时,cosB=Hl-Sin2B=-g,故b=y∣dz+c2-2ac∙cosB=夕,此时cos

C=殁;=⅛g⅛=孚>°，所以C为锐角，符合题意，故AC=5

竽

sin(α+)-1cosα-l

2.A解析因为

sin(3π-α)Sina

由于cosα=l-2sin2j,sina=2sinɪcosj,

斫以CoSa-I_-2sin2I_a_1

所以飞天一与耐Ta%一行

3.C解析由正弦定理号=刍=-⅛=2Λ

SIrL4SlnBSinC

得sinA=摄,sinfiɪʌsinC脸,

QΠ2∆,∩h2□Γ2

代入3asinA+38sin8+4asinB=6/?sin2C,#—+—+—=6Rr—ɔ=vF,

1∖ΔιΓ∖Lt1\4/^

化简得3<72+3⅛2+4^=3c2,SPa2+b1-c1=-^ab,

4CIb9

所以cosC=abcɔ___乙

^2tabh~2ab~~3

2

故sinAsinβ-cosAcosB=-cos(A+B)=cosC=--.

4A⅛2⅛cl-sinl8o_l-sinl8o_l-sinl8o_l-sinl8o

2o2o2o

4.AW4π8n2sin218θ-8siM180(4-4siM180)-8sin18×4cos18-8sin36-

l-sinl8o_l-sinl8o_1

8x1-8.72。=4(l-cos72°)=4*

5.B解析设AC=X(X>0),贝IJ由已知可得AB=3x,BE=BC=2x,BD=--"=3v⅞所以

t3∏Z.Λz√Drw

_r7Q

QE=Bo-8E=3√Ix-2x=79,解得X=段建《24.7,所以楼高AB≈3×24.7=74.l≈74(m).

6.C解析由cosa+sin2夕",知2cosɑ-eos24=2①,因为sinα+sin夕COS夕=§,所以2sin

a+sin2夕=|②,将①②两个等式平方相加得4+l∙4cos(24+[)=4+*解得cos(α+2y?)=^.

7.D解析根据题意,△aP2。的三个角和三条边均可以求出,①中,而瑞？

-SinzDCP1

故C添黑等,故①可以求出S③与①条件等价.②中,在M收中,若猊=

PlC故PC=曙舒，在APCO中，利用余弦定理求解6即可∙

SinNPIP2。

8.C解析设∕BDE=8(0<e<60°),⅛∆BDE中,由正弦定理得DE=

SIn(INU-U)

sing+”则SABDE=EDE∙DBsm”工访(60°+，),

4Osin60°√3

在AADF中,NFD4=60°由正弦定理得OF=

sin(60o+0)-sin(60o+"

cInlr人八•衣八。小√3sιn(60-θ)

5∆ADF=-Z)F∙AZ)sιn(60-夕)二•“小∣》，

2sιn(60+0)

√¾in(60°-6)_凤孚CoSe十一访8

√3sin0

所以SΔBDE+SΔADFo+o=V3,

sin(60+6)sin(60+0)竽CoSe+%in6

所以四边形CFDE的面积为S^ABC-(S^ADF+S^BDE)=4√3-√3=3√3.

9.BC角平析：％-2。+4公也2竽=0,

.∙.b-2a+4tzsin2ɑ-亨)=0,

・7・2。+4优0$2亨=0,・：62。+4。・I+；。：'=。,

∙*+2αcosC=0,ZcosCVo,•：角C一定为钝角,A错误；

b+2.cosC=OnA+2Q∙A=0=>a1+2b2-c2=0,B正确；

2ab

0+2αcosC=0≠>sinB+2sinAcosC=0≠>3sinAcosC+cosAsinC=0=>3tanA÷tanC=0,C

正确；

tanB=-tan(A+O=吗r*=产"=——噂经检验，，=，，取得到D错

tan?ltanC-l-3tanzΛ-l*∏4.13

StanA十面百

误,综上选BC

10.V3解析设内角A,B,C所对的边分别为〃力,c,则AB=2=c,S^ABc=^acsinB=^×a×2×

y=2√3,M^⅜α=4,

ɪ

**b2=a2+c2-2accosB=16+4-2×4×2×-=12,

.>=2√5,∙∙∙等一=学

sinec2

11.-4解析因为tan仇是方程x2+αr-3=0的两个根,所以tane+tan（；-8）=.a,tan

MIe-6）=-34=OMXG3）20,所以呜=时6+（网］=:黑溜故a=^4∙

12.1解析由余弦定理及题意可得屋=〃+。2.2。CCOSA=2"2+c2