2024年中考数学（沪科版）二轮复习高频考点突破课件 勾股定理

勾股定理考点一

利用勾股定理求线段的长典例1

(2023·随州)如图①,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,D为AC上一点.若BD是∠ABC的平分线,则AD=

.

方法归纳利用勾股定理求线段长的方法求直角三角形中线段的长,一般分为已知直角三角形的两边长求第三边长和已知直角三角形三边之间的数量关系列方程求边长.通常可以作三角形一边上的高,将其转化为两个直角三角形,然后利用勾股定理并结合已知条件,采用推理或列方程的方法解决问题.1.(2023·安庆大观期末)如图,△ABC与△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,AC=4,CD=2.若M,N分别是AB,DE的中点,则MN的长为

.

考点二

勾股定理与折叠问题典例2

(1)

如图①,将长方形纸片ABCD折叠,使BC落在对角线BD上,折痕为BE,点C落在点C'处.若∠ADB=46°,则∠DBE的度数为

.

(2)

小明手中有一张长方形纸片ABCD,AB=4,AD=9.【画一画】

如图②,点E在这张长方形纸片的边AD上,连接CE,将纸片折叠,使AB落在CE所在的直线上,折痕设为MN(点M,N分别在边AD,BC上),利用直尺和圆规画出折痕MN(不写作法,保留作图痕迹).

方法归纳折叠问题的计算技巧想要解决折叠问题,就要紧扣折叠前后的对应边相等,对应角相等,其解题步骤为(1)利用重合的图形传递数据;(2)选择直角三角形,利用勾股定理列方程求解.

A

方法归纳勾股定理的逆定理的应用在题目中若已知三角形三边的数量关系,则需要借助勾股定理的逆定理判断这个三角形是不是直角三角形.

D

方法归纳分类讨论思想的应用本章分类讨论有两种类型:(1)在直角三角形中,当只给出两边的长,未具体说明其中一边是斜边时,需要分类讨论;(2)当给出三角形的两边长及第三边上的高,求第三边的长却未明确三角形是锐角三角形或钝角三角形时,需要分类讨论.4.(2023·合肥肥东期末)若一个直角三角形的两边长分别为12和5,则第三边上的高为

.

考点五

方程思想结合勾股定理求值典例5

(2023·合肥庐阳一模)我国古代数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的三角形.如图,∠A=90°,BD=3,BC=13,则正方形ADOF的面积是

.

思路导引设正方形ADOF的边长为x,在Rt△ABC中,利用勾股定理可建立关于x的方程,解方程即可.规范解答设正方形ADOF的边长为x.由题意,得△BEO≌△BDO,△CEO≌△CFO,BD=3,BC=13,∴BE=BD=3,CE=CF=13-3=10.在Rt△ABC中,由勾股定理,得AC2+AB2=BC2,即(10+x)2+(x+3)2=132.整理,得x2+13x-30=0,解得x1=2,x2=-15(不合题意,舍去).∴

正方形ADOF的边长为2.∴

正方形ADOF的面积是4.故填4.方法归纳方程思想结合勾股定理的应用技巧当题目中存在直角三角形,且线段之间的关系比较复杂时,往往需要把所求线段的长设为未知数,再根据勾股定理列出方程,通过解方程来求得线段的长.5.如图,在△ABC中,D是BC的中点,ED⊥BC,垂足为D,交AB于点E,且BE2-AE2=AC2.(1)

求∠A的度数.(2)

若DE=3,BD=4,求AE的长.(1)连接CE.∵D是BC的中点,ED⊥BC,∴CE=BE.∵BE2-AE2=AC2,∴CE2-AE2=AC2,即AC2+AE2=CE2.∴△AEC是直角三角形,且∠A=90°.(第5题)

考点六

利用转化思想化空间问题为平面问题典例6

(2023·天长期中)如图①,长方体的高为4cm,底面是长为5cm、宽为3cm的长方形.一只蚂蚁从顶点A出发,沿长方体的表面爬到顶点B,则蚂蚁经过的最短路程是

cm.

方法归纳利用勾股定理解决最短路径问题的方法先根据题意把立体图形展开成平面图形,再确定两点之间的最短路径.一般情况是两点之间,线段最短.6.(2023·合肥庐阳期中)有一个圆柱形食品盒,它的高为10cm,底面圆的周长为32cm.(1)

如图①,点A位于食品盒外底面的边缘,若在点A处有一只蚂蚁,它想吃到食品盒外表面对侧中点B处的食物,求蚂蚁需要爬行的最短路程.(2)

若将圆柱形食品盒改为无盖,点C位于食品盒外表面,距离下底面3cm,此时蚂蚁从点C处出发,爬到食品盒内表面对侧中点B处(如图②),求蚂蚁需要爬行的最短路程.

D

B3.如图所示为正方形网格,每个小正方形的边长均为1,A,B,C均为格点,则∠ABC+∠BAC=

.45°

(第5题)

6.(2023·亳州涡阳期中)如图,一条东西走向的公路上有A,B两个站点,相距30km,C,D为两个村庄,DA⊥AB于点A,CB⊥AB于点B.已知DA=12km,CB=20km,现在要在公路AB上建一个土特产储藏仓库P,使得C,D两个村庄到储藏仓库P的直线距离相等,请求出储藏仓库P到A站点的距离(结果精确到1km).(第6题)由题意,得C,D两个村庄到储藏仓库P的直线距离相等,∴CP=DP.∵DA⊥AB,CB⊥AB,∴∠DAP=∠PBC=90°.在Rt△APD和Rt△BCP中,由勾股定理,得DP2=AD2+