高中数学知识点汇总

高中数学知识汇总

1.集合与常用逻辑用语

一组对象的全体.元素特点：互异性、无序性、

概念

xwA%eAo确定性。

子集A；

真子集xeA=>xGB,3x()£民/任

集关系

〃个元素集合子

合相等

集集数2"。

合交集AB={x|xeA,MxGCV(AB)=(Cb,A)

与运算并集A_B={X|XGA,G5}Q(A8)=(QA)U(QB)

常补集GA={x|%£U且xeA}Q(CuA)=A

用概念能够判断真假的语句。

逻原命题：若p,则q原命题与逆命题，否命题

辑常逆命题：若q,则p与逆否命题互逆；原命题

用用否命题：若则与否命题、逆命题与逆否

命题四种

语逻命题互否；原命题与逆否

命题

辑逆否命题：若F,命题、否命题与逆命题互

用贝U->〃为逆否。互为逆否的命题

语等价。

充要充分条pnq,p是q的充分若命题p对应集合A,命题

条件件条件q对应集合8,则pnq等价

必要条pnq,4是p的必要于A=poq等价于A=3。

件条件

充要条p0q,p,q互为充要

件条件

pvq,p,q有一■为真即为真，均为类比集合

或命题

假时才为假。的并

逻辑

p/\q,p,q均为真时才为真，p,q有一类比集合

连接且命题

为假即为假。的交

词

「〃和〃为一真一假两个互为对立的类比集合

非命题

命题。的补

全称量V,含全称量词的命题叫全称命题，其否定为特

词称命题。

量词

存在量3,含存在量词的命题叫特称命题，其否定为全

词称命题。

2.复数

规定：『=_1；实数可以与它进行四则运算，并

虚数单

且运算时原有的加、乘运算律仍成立。

位

1,+1=+2=T,*+3=T*€Z)0

复概产=严z•，产

数念形如a+bi(a,b&R)的数叫做复数，a叫做复数的实

复数部，人叫做复数的虚部。”0时叫虚数、a=0,b#0

时叫纯虚数。

复数相

a+bi=c+di(a,b,c,deR)<=>a=c,b=d

等

共机复实部相等，虚部互为相反数。即2=。+初，则

数z=a-bio

加减法(a+bi)±(c+di)=(tz±c)+(/?±d)i,(a,b,c,deR)o

运

乘法(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(be+ad)i,(a,b,c,deR)

算

/,.、/八、cic+hdhe-dci...

除法(a+仇)+(c+dz)-----r+-----yi(zc+d瓦GR)x

c+dc'+力

几复数z=a+次（一一对应>复平面内的点Z（a,b）<一对应>向量0Z

何向量0Z的模叫做复数的模，z=一+〃

意

义

大多数复数问题，主要是把复数化成标准的z=a+次的类型来处理，若

是分数形式Z二色也，则首先要进行分母实数化（分母乘以自己的共朝

c+di

复数），在进行四则运算时，可以把i看作成一个独立的字母，按照实

数的四则运算律直接进行运算，并随时把i?换成-1

3.平面向量

既有大小又有方向的量，表示向量的有向线段的长度

平重向量

叫做该向量的模。

面要

0向量长度为0,方向任意的向量。【0与任一非零向量共线】

向概

平行向方向相同或者相反的两个非零向量叫做平行向量，也

量念

X叫共线向量。

向量夹起点放在一点的两向量所成的角，范围是[0,句。Q乃的

角夹角记为<a9b>o

<a]>=e,〃cose叫做b在a方向上的投影。【注意：投

投影

影是数量】

ei,e2不共线，存在唯一■的实数对（4〃），使。=痴+〃62。

基本定

若e,e2为轴上的单位正交向量，（4〃）就是向量a的

重理

坐标。

要

一般表示坐标表示（向量坐标上

法

下文理解）

则

共线条a,b（Bw。共线=存在唯一实

定（王，y）=%（工2,%）=西%=

件数4,a=Ab

理

垂直条

aA-h<=>a»h=0o玉乂=0°

件

加法a+方的平行四边形法则、三角

a+b=(xl+x2,yi+y2)。

法则形法则。

运算与加法运算有同样的坐

a-\-b=b+a,(a+/7)+c=a+(/?+c)

各算律标表THo

种减法

a—〃的三角形法则。a-b=(xi-x2,yl-y2)

运法则

算运分

MN=ON-OMoMN=(xN-xM,yN-yM)0

算解

数概/.a为向量，/1>0与a方向相

Aa=(Ax,Ay)o

乘念同，

运4<0与ci方向相反，）@=囚忖o

算

算2(")=，(4+4)々=2a+4a,与数乘运算有同样的坐

律/l(a+b)=Za+Xb标表示。

概

a，b=|tz|-|/?|cos<a,b>

Cbh=XjX2+y%。

念

数主

量要忖=次+/，

=W,卜・/?卜\b\°

积性中2+X%|<旧+犬小;+必

运质

算与上面的数量积、数乘

算a»b=b^a,(a+b)»c=ci*c+b.c,

等具有同样的坐标表示

律(Aa)^b=a.(4Z?)=4(a・b)o

方法。

圆的方程圆心半径

x2+,y2-_r2(0,0)r

标准方程(x-a)2+(y-b)

(a,b)r

2二r2

x2+y2+Dx+Ey+F

(-f-f)

一般方程-VD2+E2-4F

=02

4.算法、推理与证明

顺序程序框图，是一种

依次执行

逻结构一用程序框、流程线

辑条件根据条件是否成立有不及文字说明来表

结结构同的流向示算法的图形。

算构循环按照一定条件反复执行

法结构某些步骤

基

本

输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句。

语

句

归纳由部分具有某种特征推断整体具有某种

合情推理特征的推理。

推推理类比由一类对象具有的特征推断与之相似对

理推理象的某种特征的推理。

推

演绎根据一般性的真命题（或逻辑规则）导出特殊性

理

推理命题为真的推理.

与

综合

证由已知导向结论的证明方法。

数直接法

明

学证明分析

由结论反推已知的证明方法。

证法

明间接主要是反证法，反设结论、导出矛盾的证明方法。

证明

数数学归纳法是以自然数的归纳公理做为它的理论基础

学的，因此，数学归纳法的适用范围仅限于与自然数有关

归的命题。分两步：首先证明当n取第一■个值no（例如n0-1）

纳时结论正确；然后假设当修^^《，心脸时结论正确，证

法明当n=k+1时结论也正确.

5.不等式、线性规划

(1)a>b,b>c^>a>c；两个实数的顺序关

(2)a>h9c>0=>>bc\a>h,c<O^ac<bc；系：

(3)人=>a+c>Z?+c；a>b<^a-b>0

不等式a=hoa—h=0

(4)a>h,c>d^>a+c>h+d；

a<hoa—h<0

的性质

a>h<^—<—的充要

ab

(5)a>b>Q,c>d>0=>ac>bd；条件是而>0o

(6)a>b>0,neN\〃>1=>a">bn；\[a>y[b

解一元二次不等式实际上就是求出对应的一元二次方程的实

一■元二数根（如果有实数根），再结合对应的函数的图象确定其大于

次不等零或者小于零的区间，在含有字母参数的不等式中还要根据

式参数的不同取值确定方程根的大小以及函数图象的开口方

向，从而确定不等式的解集.

a+b>2yfah(a,〃>0)；ah<(^+^)2(a,heR)；

基本2

不等式(a>O,b>O言W向W等(二^(a,b>0)；a2+b2>2abo

)

二元一次不等式Ax+5y+C>0的解集是平面直角坐标系中表示

二元一

Ar+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域。二元一次不等式

次不等

组的解集是指各个不等式解集所表示的平面区域的公共部

式组

分。

6.计数原理与二项式定理

分类完成一件事有〃类不同方案，在第1类方案中有叫种不

加法同的方法，在第2类方案中有外种不同的方法，…，在

基计数第〃类方案中有外种不同的方法.那么完成这件事共有

排

本原理N=g+++mn种不同的方法.

列

原分步完成一件事情，需要分成〃个步骤，做第1步有㈣种不

组

理乘法同的方法，做第2步有丐种不同的方法……做第〃步有

合

计数外种不同的方法.那么完成这件事共有

原理N=mixm2x---xmn种不同的方法.

项

从〃个不同元素中取出加（加4〃）个元素，按照一定的次序

式

排成一列，叫做从从〃个不同元素中取出皿/〃4〃）个元素

定定义

排的一个排列，所有不同排列的个数，叫做从〃个不同元

理

列素中取出加（利《〃）个元素的排列数，用符号％"表示。

排列

=〃(〃-1)(〃一2)(〃-6+1)=—————(n,m€N,m<n),规定

(〃一附！

数

公式0!=1.

从〃个不同元素中，任意取出双利W”）个元素并成一组叫

做从〃个不同元素中取出加（加4〃）个元素的组合，所有不

定义

同组合的个数，叫做从〃个不同元素中取出砥利个元

组素的组合数，用符号C；表示。

合组合

_〃（九一1）（九一〃2+1）

数J一.，M一".

公式

性质C；；=CL（m,neN,且机<〃）；C™,=C；+C：?（m”N,且机</?）.

nnnrnrrn

（a+b）=C^,a+C'na-'b++Cna~b++C；；b（C；叫做二项式系

定理

数）

项通项

Ti=C：（TE（其中0<%«〃，ZeN,nsN'）

式公式

定系数

c；+cz+cz+…+C：=C：：：；C：+C；+C：+…+C：+…+C：=2"；

理和

C；+C：+C：+=C；+C：+C：+2"T；C：+2C：+3C；++〃C,；=〃2"T.

公式

7.函数、基本初等函数I的图像与性质

基（-00,+oo）单调递减，x<0时y<l,x>0时

指数函0VQvl函数图

本0<y<1

数象过定

初（-oo,+oo）单调递增，x<0时0<y<l,x>0时

x

y=aa>1点。1）

等y>l

函在(0,+oo)单调递减,Ovxvl时y>0,x>1

对数函0<a<l函数图

数时y<0

数象过定

1在(0,+oo)单调递增，0<x<l时y<0,x>l

y=log。％a>l点(1,0)

时y>0

a>0在在O+oo)单调递增，图象过坐标原点函数图

幕函数

象过定

y=xaa<0在在(0,+oo)单调递减

点(1,1)

8.函数与方程、函数模型及其应用

函方程/(幻=0的实数根。方程/(x)=0有实数根o函数y=f(x)

概念

数的图象与x轴有交点O函数y=/(x)有零点.

零存在定图象在他,句上连续不断，若f(a)/(b)<0,则y=/(x)在(a,份内

点理存在零点。

对于在区间［a,句上连续不断且的函数y=/(x),

通过不断把函数〃x)的零点所在的区间一分为二，使区间

方法

的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫

做二分法.

分

第一

法确定区间［a,可，验证/(a)"S)vO,给定精确度

步

步骤

第二

求区间［a，l的中点c；

步

计算/(c)：(1)若/(c)=0,则C就是函数的零点；

(2)若/(«)-/(c)<0,则令》=c(此时零点小w(a,c))；

第三

(3)若/©,则令a=c(此时零点

步

X0G(C,Z?)).(4)判断是否达到精确度£：即若k一耳<£,

则得到零点近似值a(或力)；否则重复(2)〜(4).

把实际问表达的数量变化规律用函数关系刻画出来的方

概念

法叫作函数建模。

阅读分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数

函审题学问题。

数数学弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关

建建模系式。

解题步

模解答

骤利用数学方法得出函数模型的数学结果。

模型

解释

将数学问题的结果转译成实际问题作出答案。

模型

9.导数及其应用

概概念函数y=/(x)在点x=/处的导数/(%)=lim"也十&")一”演)。

心7°Ax

念

与

几

几何f'(x0)为曲线y=f(x)在点、(X。,/(瓦)处的切线斜率，切线方程

何

意义是y-f(,xo)=f'(xo)(x-x())o

意

义

C=o(。为常数)；(xny=MX"-1(MGN*)；

rr；

(sinx)=cosx,(cosx)=-sinx0T；

导基本

(ex\=ex,{axy=axIna(Q>0,且awl)；

数

公式(ln|x|),=^o

(Inx)r=-,(logx)r=-\oge(a>0,且

及XXfla

运aw1).

其

算

"(为)土()()土，()；

应gx]'=rxgx

用运算"(x)・g(x)]'=/'(x)・g(x)+/(x)・g'(x),[Cf(x)]'=Cf'(x)；

3'=/'(x)g(x)—g'(x)/(x)(g(x)丰0),

法则-二gU).

]g(x)」g(x)g2(x)•

复合函数求导法则y="(g(x))卜尸(g(x))g'(x)o

研单调/,(x)>0的各个区间为单调递增区间；尸(幻<0的区间为单

究性调递减区间。

函/(%)=0且尸(x)在与附近左负(正)右正(负)的为极

极值

数小(大)值点。

性[a,可上的连续函数一定存在最大值和最小值，最大值和

最值

质区间端点值和区间内的极大值中的最大者，最小值和区

间端点和区间内的极小值中的最小者。

/(X)在区间［a,b］上是连续的，用分点

a=x0<xi<--<xi_i<Xj<■<xn=6将区间［a,句等分成"个小区

概念

间，在每个小区间闻上任取一点④3=1,2,,〃)，

£/(x>Zx=JimX。

i=l

基本如果/(x)是［a,可上的连续函数，并且有尸(x)=/(x),则

定

定理J："X加=尸修)一尸(。).

积

=九世(％为常数)；

分

性质f[/(X)土g㈤V=f/(X以土J：g(xg；

j：/(M=j"(X9+r/(%四•

区间［〃肉上的连续的曲线y=f(x),和直线

简单

x=a.x=b(a#Z?),y=0所围成的曲边梯形的面积S=J|/(x)曲o

应用

10.三角函数的图像与性质

三任意角。的终边与单位圆交于点P(x,y)时,

基定义

角sina=y,cosa=x,tana_一J•

本X

函同角三角

.21sina

问sm-2a+cosa=l,----二tanao

数函数关系cosa

型膈

的诱导公式360。土a/80。土a,-a,90。土a,270。土a,“奇变偶不变，符

图号看象限”*

象周奇偶对称中对称

值域单调区间

与期性心轴

角ZE

性

函增+2k兀,生+2k兀X-

质y=sinx2k7i22奇函

[-M](火乃,0),7C

数k兀+一

(xeR)71-,3兀_,数2

减—h2k,7V,---F2k兀

_22_

的

性y=cosx

增［-7T+2左乃,2左乃］偶函

(xeR)TT

质[-M]2ATT(^+-,0)X=k7V

减［2左］,2%乃+乃］数

与

y=tanx

图奇函

\(X^k.7T-\■兀一(71,71.}

Rki增---\-K7t.——\-K7t无

象2122)

数(T-€

)

上下y=f(x)图象平移可得y=/(x)+女图象，k>0向上，

平移女<0向下O

平移变换

左右y=/(x)图象平移同得"：/(x+0)图象，°>0向左，

平移0<0向右O

图

X轴方y=f(x)图象各点把横坐标变为原来a)倍得

家

y=/(—x)的图象。

向co

变伸缩变换

y轴方y=/(x)图象各点纵坐标变为原来的A倍得

换

向y=Af(%)的图象。

中心y=/(x)图象关于点(a,b)对称图象的解析式是

对称变换对称y=2b-f(2a-x)

轴对y=/(x)图象关于直线x=C1对称图象的解析式是

称y-f(2a-x)o

11.三角恒等变换与解三角形

和差角公式倍角公式

.c2tana

正弦sin(a±/?)sin2a=-------；—

变sinZz=2sinacosa1+tana

=sinacosp±cosasinJ3

仁1一tan2a

换cos2a=-------z-

1+tana

cos(a±J3)cos2a=cos?a-sin2a

余弦.1-cos2a

公=cosacosJ3.sinasin/3=2cos2cr-1=l-2sin2(zsin2a=------------

2

21+cos2a

式cos-a=------------

,小tana±tan£八2tana

正切tanz(a±J3)=---------------tan2a=----------2

1■tanatan/?1-tana

a=b=c。

定理sinAsinBsinC

正

夕卜接圆射影定理：

角a=2/?sinA,b=2RsinB,c=27?sinC(R

弦变形

a=Z?cosC+ccosB

半径)。

恒

定b—acosC+ccosA

三角形两边和一边对角、三角形两角

等c=acosB+bcosA

理类型

与一边。

变

定理222222222

换余a=b+c-2/7ccosA.b=a+c-2accosB.c=a+b-2abcosCo

83,4一从+。2-。2_(6+0)2-/

与弦变形COSri——I寸o

2bc2hc

解定

两边及一角（一角为夹角时直接使用、一角为一边对

类型

理角时列方程）、三边。

角

面基本

S=—a-h,=—b'h.=—c-h,=—absinC=—bcsinA=—tzcsinBo

形2"2"2c222

积公式

公导出

S=或£（H外接圆半径）；s=-（a+b+c）r（/•内切圆半径）。

式公式4R2

把要求解的量归入到可解三角形中。在实际问题中，

基本

往往涉及到多个三角形，只要根据已知逐次把求解目

思想

标归入到一个可解三角形中。

仰视线在水平线以上时，在视线所在的垂直平面内，

角视线与水平线所成的角。

实

俯视线在水平线以下时，在视线所在的垂直平面内，

际

角视线与水平线所成的角。

应

常用方方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正

用

术语向北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向

角

线所成的角（一般是锐角，如北偏西30°）o

方

某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方向

位

线之间的水平夹角。

角

12.等差数列、等比数列

数

列般通项数列｛4｝中的项用一个公式表示，_J5l,n=l,

a"卜―

、数公式4=/（〃）

等列前“项

S“=G+4++a„

差M和

数简累加%+i=4+/(〃)型

解决递推数列

列单法

问题的基本思

等的累乘%=«„/(«)型

想是“转

比递法

化”，即转化

数推

转化%+1=M”+4,p"'：：；=:+q

为两类基本数

列数法

歹I]等差数

列待定an+}=can+d(c。0,1,dw0)=an+x+4=c(an+4)。

列、等比数列

解系数比较系数得出4,转化为等比数列。

求解。

法法

满足*-4,=d（常数），d>0递增、d<0递减、d=0常

概念

等数数列。

差通项am+4=%+%<=>m+n=p+q。

an=4=am+{n-m)d

数公式am+an-2ap=m+n=2po

列前〃项

S“,S2m-Sm,S31n-S2m,为等差数

M和公

列。

式

等满足a,」a,=q（#0的常数），单调性由q的正负，q的

概念

比范围确定。

aa

数通项=Pq0根+〃=P+夕,

nm

a“==amq-

；

列公式aman=au>m+n=2p

M前八项公比不等于-1时，

和公S”=<\-q"qS3,—2,”成等比数

navq=\.

式列。

13.数列求和及其数列的简单应用

等差

5〃=叫+迎心。=幽冬，特别1+2+3++〃=四里h

n1222

数列

数

列等比-QT)=a「a“q.

S“=J\-q—\-q'/特另U1+2+22++2n-'=2n-lo

求常数列H%,q=1.

和用

自然

及求

数

数和1+2+3++n=------(1+24-+〃)=-------------o

平方36

列公

和

的式

自然

简

数——9

33H(H+1)-

单l+2+.+/?=(1+2+-+研=°

立方2

应

和

用

常公式常用裂项方法：

如an=2+2n,an—3〃0

1=1(1__L_)；

用法〃(〃+%)knn+k

求分组如=2〃+2",

rr-12(〃-1n+1；9

和法an-(一1)“〃+2o

1If11、

4〃2_1-212〃-12n+l；

方裂项

加111

如a=---------=--------o

n〃(〃+1)nn+l

n+\____1________1_

法法o

z1X/一ri1'C〃一1一

，八〃【J''\"乙II•乙

错位

相减如q=(2〃-1>2"o

法

倒序

相加如C"++g：++C,：'o

法

等差

基本特征是均匀增加或者减少。

数列

数等比基本特征是指数增长，常见的是增产率问题、存款复利

列数列问题。

模一个

基本特征是指数增长的同时又均匀减少。如年收入增长

型简单

率为20%,每年年底要拿出a（常数）作为下年度的开销，

递推

即数列｛｝满足a"+[=1.2a“-a。

数列

注：表中〃M均为正整数

14.空间几何体（其中「为半径、〃为高、/为母线等）

表面积体积

棱柱S全=S侧+2s底表V=S底•%

面Y染

棱锥s全=s侧+S底L=gs.〃

积

7Ts=s'

棱台s全=5例+s上底+s下底V=-(S'+4sS+S)h

3

即7

V^3=^S'+^[SS+S)h

圆柱S全=24/二+iTtrh空V=4/〃

1c,c