2023-2024学年天津市育华实验中学数学九年级上册期末检测试题(含解析)

2023-2024学年天津市育华实验中学数学九上期末检测试题

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3,请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题（每小题3分,共30分）

1.如图，。是ΔABC的外接圆，已知NACB=50°,则乙钻。的大小为（）

A.30°B.40°C.45°D.50°

2.一元二次方程2/-3x-I=O的一次项系数是（）

A.2B.3C.-3D.-1

3.如图，A、B、C、D是。O上的四点，BD为。O的直径，若四边形ABCO是平行四边形，IMNADB的大小为（）

A.30oB.45oC.60oD.75°

4.抛物线》=/-（2加-I）x+加2一机与坐标轴的交点个数为（）

A.2个B.2个或3个C.3个D.不确定

5.下列计算正确的是（）

2

A.λ^-√3=√5B.3+百=36C.√24÷√6=2D.（√3+2）=7

6.在一个不透明的布袋中装有40个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸

到黄球的频率稳定在0.30左右，则布袋中黄球可能有（）

A.12个B.14个C.18个D.28个

7.如图下列条件中不能判定ΔACΓ>ΔA3C的是（）

A.ZACD=ZABCB.ZADC=ZACB

ABAD

C-----=------D.AC2=AD-AB

,BCCD

8.一个几何体由大小相同的小方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位

9.如图，在等边三角形ABC中，点P是BC边上一动点（不与点B、C重合），连接AP,作射线PD,使NAPD=60。，PD

交AC于点D,已知AB=a,设CD=y,BP=x,则y与X函数关系的大致图象是（）

10.在平面直角坐标中，把AA8C以原点。为位似中心放大，得到AA'Zrθ,若点A和它对应点*的坐标分别为（2,

5）,（-6,-15）,则A∕ΓUC,与AABC的相似比为（）

33

二、填空题（每小题3分,共24分）

11.若“是方程炉+工一1=0的一个根，则匕巴+二的值是.

12.一种药品原价每盒25元，两次降价后每盒16元.设两次降价的百分率都为X,可列方程.

13.若抛物线y=X2-3x+m与X轴没有交点，则m的取值范围是.

14.我市某公司前年缴税40万元，今年缴税48.4万元.该公司缴税的年平均增长率为.

15.小华在一次射击训练中的6次成绩(单位：环)分别为：9,8,9,10,8,8,则他这6次成绩的中位数比众数多

环.

16.如图，在自ΔA3C中，NABC=90。，3。为AC边上的中线，过点C作CELBD于点E,过点A作的平

行线，交CE的延长线于点尸，在AR的延长线上截取回G=BD,连接8G、DF.若AG=26,BG=I0,则CF

的长为.

几∣γi

17.已知实数m,n满足3〃，+6加—5=0,3/+6〃—5=0,且加则一+—=.

mn

18.如图，448C中，AB=6,BC=I.如果动点O以每秒2个单位长度的速度，从点8出发沿边A4向点4运动，

此时直线OE〃5C,交AC于点E.记X秒时OE的长度为y,写出y关于X的函数解析式_____(不用写自变量取值范

三、解答题(共66分)

19.(10分)如图，抛物线y=-]χ2+bx+c与X轴交于A、B两点，与y轴交于点C,且OA=2,OC=I.

(1)求抛物线的解析式.

(2)若点D(2,2)是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点P,使得ABDP的周长最小，若存在，请

求出点P的坐标，若不存在，请说明理由.

注：二次函数y=a√+bx+c(a≠o)的对称轴是直线X=——.

y

3

+—x+2与X轴交于点A,B,与)'轴交于点C.

2

(1)求点A，B,C的坐标:

(2)将AABC绕A3的中点M旋转180。，得到Δfi4Z)∙

①求点。的坐标；

②判断ΔΛD3的形状，并说明理由.

(3)在该抛物线对称轴上是否存在点尸，使ΔBΛ∕P与ΔfiW相似，若存在，请写出所有满足条件的P点的坐标；若

不存在，请说明理由.

21.(6分)如图，抛物线y=0√+⅛x+3(α,b是常数，且4≠0)与X轴交于A,B两点，与y轴交于点C.并且

A,B两点的坐标分别是A(-l,O),B(3,0)

(D①求抛物线的解析式；②顶点D的坐标为；③直线BD的解析式为；

(2)若P为线段BD上的一个动点，其横坐标为m,过点P作PQ_Lx轴于点Q,求当m为何值时，四边形PQOC

的面积最大？

(3)若点M是抛物线在第一象限上的一个动点，过点M作MN〃AC交X轴于点N.当点M的坐标为时,

四边形MNAC是平行四边形.

22.（8分）一个不透明的布袋中装有4个只有颜色不同的球，其中1个黄球、1个蓝球、2个红球.

（1）任意摸出1个球，记下颜色后不放回，再任意摸出1个球.求两次摸出的球恰好都是红球的概率（要求画树状图

或列表）；

3

⑵现再将n个黄球放入布袋，搅匀后，使任意摸出1个球是黄球的概率为“求n的值.

23.（8分）为了“创建文明城市，建设美丽家园”，我市某社区将辖区内的一块面积为IO（X）加2的空地进行绿化，一

部分种草，剩余部分栽花.设种草部分的面积为种草所需费用M（元）与％（相2）的函数关系式为

亿武喷Jr600）,

l^+6000（600<^,1000）∙其大致图象如图所示•栽花所需费用力（元）与M"）的函数关系式为

2

y2ɪ-0.01x-20x+30000(W1000).

（2）若种花面积不小于400（∕√）时的绿化总费用为w（元），写出W与X的函数关系式，并求出绿化总费用W的最

大值.

24.（8分）如图，抛物线y=x2+版+c过点4（3,0）,B（l,0）,交y轴于点C,点尸是该抛物线上一动点，点尸从C

点沿抛物线向A点运动（点尸不与A重合），过点尸作尸。〃y轴交直线AC于点D.

（1）求抛物线的解析式；

（2）求点尸在运动的过程中线段PD长度的最大值；

（3）AAPO能否构成直角三角形？若能，请直接写出所有符合条件的点尸坐标；若不能，请说明理由.

25.（10分）为落实“垃圾分类”，环卫部门要求垃圾要按A,B,C三类分别装袋,投放，其中A类指废电池,过期药品等有

毒垃圾，B类指剩余食品等厨余垃圾，C类指塑料,废纸等可回收垃圾.甲投放了一袋垃圾，乙投放了两袋垃圾，这两袋

垃圾不同类.

(1)直接写出甲投放的垃圾恰好是A类的概率；

(2)求乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类的概率.

26.(10分)如图1,在平面直角坐标系中，已知M的半径为5,圆心M的坐标为(3,0),M交X轴于点O,交

)'轴于A,B两点,点。是AOB上的一点(不与点A、D、8重合)，连结AC并延长，连结BC,CD,AD.

(1)求点A的坐标；

(2)当点C在Ar)上时.

①求证：ZBCD=ZHCDt

②如图2,在CB上取一点G,使C4=CG,连结AG∙求证：MBGΔAT>C;

(3)如图3,当点C在Bo上运动的过程中，试探究生的值是否发生变化？若不变，请直接写出该定值；若

变化，请说明理由.

A

参考答案

一、选择题(每小题3分,共30分)

1、B

【分析】根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半可得

ZAOB=IOOo,再根据三角形内角和定理可得答案.

【详解】VZACB=50o,

/.ZAOB=IOOo,

VAO=BO,

ΛZABO=(180o-100o)÷2=40o,

故选：B.

【点睛】

此题主要考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，

都等于这条弧所对的圆心角的一半.

2、C

【分析】根据一元二次方程的一般式判断即可.

【详解】解：该方程的一次项系数为-3.

故选：C

【点睛】

本题考查的是一元二次方程的项的系数，不是一般式的先化成一般式再判断.

3、A

【解析】解：T四边形ABCO是平行四边形，且OA=OC,

二四边形ABCo是菱形，

/.AB=OA=OB,

ΛΔOAB是等边三角形，

ZAOB=60o,

TBD是。O的直径，

二点B、D、O在同一直线上，

：.NADB=LNAOB=30。

2

故选A.

4、C

【分析】根据题意，与y轴有一个交点，令y=。，利用根的判别式进行判断一元二次方程的根的情况，得到与X轴的

交点个数，即可得到答案.

【详解】解：抛物线y=f-(2加一I)X+加2-加与y轴肯定有一个交点；

令y=0,贝IIy=X2-(2加-l)x+w?一加=0,

.∙.△=方2-4ac-[-(2m-1)J2-4×l×(∕w2-m)

-4W2—4m+1—4m2+4m

=1>0；

...抛物线与X轴有2个交点；

.∙.抛物线与坐标轴的交点个数有3个；

故选：C.

【点睛】

本题考查了二次函数与坐标轴的交点情况，以及一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握二次函数的性质，正确

得到与坐标轴的交点.

5、C

【分析】根据二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断；根据完全平方公式对D

进行判断.

【详解】A、原式=20-√3,所以A选项错误；

B、3与百不能合并，所以B选项错误；

C、原式=λ∕24÷6=2,所以C选项正确；

D、原式=3+4石+4=7+4百，所以D选项错误.

故选：C.

【点睛】

本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可.在

二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍.

6、A

【分析】根据概率公式计算即可.

【详解】解：设袋子中黄球有X个，

X

根据题意，得：—=0.30,

40

解得:X=12,

即布袋中黄球可能有12个，

故选：A.

【点睛】

本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越

小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率.

7、C

【分析】根据相似三角形的判定定理对各个选项逐一分析即可.

【详解】A.ZACD=ZABC,NA=NA可以判定ΔA8^ABC,不符合题意；

B.ΛADC=ZACB,NA=NA可以判定ΔACOΔABC,不符合题意；

ΛβΛΓ)

C.——=——不是对应边成比例，且不是相应的夹角，不能判定ΔACE>ΔAβC,符合题意；

BCCD

ʌɪɔAC

D.AC?=A£)-AB即---=且NA=NA,可以判定ΔACZ)ΔABC,不符合题意.

ACAB

故选C.

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定定理，熟练掌握判定定理是解题的关键.

8、D

【解析】试题分析：根据所给出的图形和数字可得：主视图有3列，每列小正方形数目分别为3,2,3,

则符合题意的是D；

故选D.

考点：1.由三视图判断几何体；2.作图-三视图.

9、C

【分析】根据等边三角形的性质可得出NB=NC=60°,由等角的补角相等可得出NBAP=NCPD,进而即可

证出AABPs^PCD,根据相似三角形的性质即可得出y=-j∙χ2+x,对照四个选项即可得出.

a

【详解】∙∙∙Z∖ABC为等边三角形，

ΛZB=ZC=60o,BC=AB=a,PC=a-x.

VZAPD=60o,ZB=60o,

ΛZBAP+ZAPB=120o,ZAPB+ZCPD=120o,

/.ZBAP=ZCPD,

Λ∆ABP∞∆PCD,

.∙.8=三

BPABXa

・12

・・y=--x-+x.

a

故选C.

【点睛】

考查了动点问题的函数图象、相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质找出y=-∙LX2+χ是解题

a

的关键.

10、B

【分析】根据位似图形的性质和坐标与图形的性质，进行解答即可.

【详解】解：∙.∙ZXABC和aA'B'C关于原点位似，且点A和它的对应点A'的坐标分别为(2,5),(-6,-15),

.∙.对应点乘以-1,则4A'BzC,与aABC的相似比为：1.

故选：B.

【点睛】

本题考查的是位似变换，熟知在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k,那么位似图形

对应点的坐标的比等于k或-k是解答此题的关键.

二、填空题(每小题3分,共24分)

11、1

2

【分析】将。代入方程/+χ-i=o,得到/+α一1=0,进而得到l-α=/,a=i-a,然后代入求值即可.

【详解】解：由题意，将“代入方程f+χ-i=θ

∙'∙+α—1=0>∖-a=a2>a=a2

1—aaa~1—cι~(l+α)(l—4)

..------+------=—+--------=a+------1-------=a+l-a=l

al+aa1+a∖+a

故答案为：1

【点睛】

本题考查一元二次方程的解，及分式的化简，掌握方程的解的概念和平方差公式是本题的解题关键.

12、25(l-χ)2=16

【解析】试题分析：对于增长率和降低率问题的一般公式为：增长前数量X(1+增长率广长次数=增长后的数量，降低

前数量χ(l-降低率-低次数=降低后的数量，故本题的答案为：25(1-X)2=16.

,9

13、f∏>一；

4

【分析】利用根的判别式AVO列不等式求解即可.

【详解】解：V抛物线y=f-3x+机与X轴没有交点，

:∙Δ=Z?2-4ac<0,

BP(-3)2-4×l×m<0,

9

解得：m>—；

4

9

故答案为：加>二.

【点睛】

本题考查了抛物线与X轴的交点问题，利用根的判别式列出不等式是解题的关键.

14、10%.

【解析】设该公司缴税的年平均增长率是X,

则去年缴税40(l+x)万元，今年缴税40(l+x)(l+x)=40(l+x)2万元.

据此列出方程：40(l+x)2=48.4,解得x=0.1或x=-2.1(舍去).

.∙.该公司缴税的年平均增长率为10%.

15、0.5

【分析】根据中位数的定义和众数的定义，分别求出中位数和众数，然后作差即可.

【详解】解：将这6次的成绩从小到大排列：8,8,8,9,9,10,

故这6次的成绩的中位数为：(8+9)÷2=8.5环

根据众数的定义，这6次的成绩的众数为8环

•••他这6次成绩的中位数比众数多8.5—8=0.5环

故答案为：0.5.

【点睛】

此题考查的是求一组数的中位数和众数，掌握中位数和众数的定义是解决此题的关键.

16、12.

【分析】首先可判断四边形BGFD是平行四边形，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得BD=FD,则可判断

四边形BGFD是菱形，贝IJGF=I0,贝!∣AF=16,AC=20,在RtaACF中利用勾股定理可求出CF的值.

【详解】解：VAG/7BD,BD=FG,

：.四边形BGFD是平行四边形，

VCF±BD,ΛCF±AG,

又；点D是AC中点，

,BD=DF=LAC,

2

二四边形BGFD是菱形，

AGF=BG=IO,贝!|AF=26-10=16,AC=2×10=20,

;在RtZkACF中，ZCFA=90o,

.∙.AF2+CF2=AC2,即CF=√202-162=12,

故答案是：1.

G

【点睛】

本题考查了菱形的判定与性质、勾股定理及直角三角形的斜边中线的性质，解答本题的关键是判断出四边形BGFD是

菱形.

22

17、——.

5

【解析】试题分析：由加。〃时，得到m,11是方程3/+6%-5=0的两个不等的根，根据根与系数的关系进行求解.

试题解析：。〃时，则m,n是方程3χ2-6x-5=0的两个不相等的根，.∙.加+〃=2,"Z"=-∙∣.

,传式m2+n2（加+〃）2-2如?2-2*（一3）2222

••原式=-----=---------------=-------ξ----------->故答案为一-—.

mnmn_£55

^3

考点：根与系数的关系.

18、y=-3x+l

【分析】由OE〃8C可得出AAOESA45C,再利用相似三角形的性质，可得出y关于X的函数解析式.

【详解】,JDE∕∕BC,J.ΔADE‹^ΔABC,

.DEADy6-2x

••=,即—=-----・力=-3x+l.

BCAB96

故答案为：y=~3χ+ι.

【点睛】

DFAD

本题考查根据实际问题列函数关系式，利用相似三角形的性质得出一=—是关键.

BCAB

三、解答题(共66分)

19、(2)y=-Lχ2+'χ+3(2)P(ɪ,-)

2224

【详解】解：(2)VOA=2,OC=2,

.,.A(-2,0),C(0,2).

1,

将C(0,2)代入y=-∕χ2+bx+c得C=2.

11?

将A(—2,0)代入y=-ax~+bx+3得，0=-ɪ*(-2)+(-2)b+3,

解得b=1,

2

.∙.抛物线的解析式为y=-gχ2+gχ+3;

(2)如图：连接AD,与对称轴相交于P,

由于点A和点B关于对称轴对称，贝!|BP+DP=AP+DP,当A、P、D共线时BP+DP=AP+DP最小.

设直线AD的解析式为y=kx+b,

U

2k+b=01kv=—：

将A(-2,0),D(2,2)分别代入解析式得，＜、，C，解得，12,

2k+b=2

b=l

.∙.直线AD解析式为y=∣x+2.

ɪ

2ɪ

∙.∙二次函数的对称轴为X=—

2

2×

Wl一115

.∙.当X=一时，V=—X—+2=—.

2224

ʌP(—>—).

24

20、(1)A(-l,0),3(4,0),C(O,2)(2)①0(3,—2)；②AARD是直角三角形；(3)P

5i(19

【分析】(1)直接利用y=0,x=0分别得出A,B,C的坐标；

(2)①利用旋转的性质结合A,B,C的坐标得出D点坐标；

②利用勾股定理的逆定理判断MDB的形状即可；

(3)直接利用相似三角形的判定与性质结合三角形各边长进而得出答案.

I3

【详解】解：(1)令y=0,则——i+—χ+2=0,

22

解得：尤1=4,x2=-l,

ΛA(-1,O),3(4,0).

令X=0,则y=2,.∙.C(0,2);

(2)①过。作Z)E_LX轴于点E,

VAABC绕点M旋转180。得至IJ^BAD,

ΛACBD,ZCAO=ZDBE,

在AAOC和ABED中

ZAOC=ZBED=90°

<ZCAO=NDBE,

AC=BD

：.ΔAOC^ΔBED(A4S),

：.OC=DE,OA=EB.

VA(-1,O),B(4,0),C(0,2),

ʌOC=DE=2,OA=BE=↑,AB=5,OB=4,

Λ(9E=4-1=3,

：点。在第四象限，

.∙.θ(3,-2);

②ΔABΓ>是直角三角形，

在RtAAED中，

AD2=AE2+DE2=(1+3)2+22=20,

在RtAfiDE中

BD2=BE2+=『+2?=5,

AB2=52,

:∙AD1+BD1AB1,

.∙∙ΔABE)是直角三角形；

(3)存在

VAP2=20,ʌA£>=2√5,

VBD1=5,.∙.BD=√5>

作出抛物线的对称轴元==3,

2

∙.∙M是AB的中点，A(-1,O),3(4,0),

3

.∙.M(一,0),

2

.∙.点M在对称轴上.

Y点P在对称轴上，

当Z∖BMPSA4∕5B时,

则也.∙.IId

DB

ADWr忑

id=—,.∙.∕=±2,

当APMfisA4PB时，

则处；”

bddaWT忑

IfI=5,.∙./=i5,

.•・呜，5)，E2-5

2,

353_5'呜5}P2-5

，P4

2,422,-42,

C

【点睛】

此题考查了二次函数与坐标轴的交点，全等三角形的判定与性质，勾股定理，二次函数的图像与性质，以及相似三角

形的判定与性质等知识，正确分类讨论是解题关键.

981

21、(1)®y=-x2+2x+3i②(1,4)；③y=-2x+6;(2)当〃Z=—时，S最大值二二7；(3)(2,3)

416

【分析】(D①把点A、点B的坐标代入y=0γ2+bχ+3,求出a,b即可；②根据顶点坐标公式(_2,如二生)求

2a4a

解；③设直线BD的解析式为y=履+”,将点B、点D的坐标代入即可;

(2)求出点C坐标，利用直角梯形的面积公式可得四边形PQoC的面积S与m的关系式，可求得面积的最大值

(3)要使四边形MNAC是平行四边形只要Me7/4V即可，所以点M与点C的纵坐标相同，由此可求得点M坐标.

【详解】解：(1)①把A(-1,0),B(3,0)代入y=ογ2+Zu+3,得

ci—Z?+3—0,

9。+3/?+3=0.

Q=-1

解得

b=2.

4ac-b2-12-4,

②当X=--=-—1时,y=-------=-------=4

2。-24a-4

所以顶点坐标为(1,4)

③设直线BD的解析式为＞="+〃，将点B(3,0)、点D(1,4)的坐标代入得

3Z+〃=0女=一2

…，解得

〃=6

所以直线BD的解析式为y=-2x+6.

(2)Y点P的横坐标为m,则点P的纵坐标为—2m+6.

当X=O时，

y=O+O+3=3.

ΛC(0,3).

由题意可知:

OC=3,OQ=m,PQ=-2m+6.

s=ɪ(-2m+6+3)∙∕7Z

=-m2+—9m

2

,9$81

=-{m—)H----.

416

9

∙.∙-l<0,K-<3,

4

981

当，ZZ=:时，S

416

如图，MN/7AC,要使四边形MNAC是平行四边形只要MC〃4V即可.

设点乂的坐标为(元-/+21+3),

由y=-/+2χ+3可知点C(0,3)

.MCHAN

—x~+2x+3=3

解得x=2或0(不合题意，舍去)

—x?+2x+3--4+4+3=3

当点M的坐标为(2,3)时，四边形MNAC是平行四边形.

【点睛】

本题考查了二次函数的综合题，涉及了二次函数的解析式及顶点、一次函数的解析式、二次函数在三角形和平行四边

形中的应用，将二次函数的解析式与几何图形相结合是解题的关键.

22、（1）-；（2）1.

6

【解析】（D先利用树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出两次摸出的球恰好都是红球的所占的结果数，然后

根据概率公式求解；

（2）根据概率公式得到，然后利用比例性质得注=3,求解即可.

【详解】解：（1）画树状图为：

黄蓝红红

共有12种等可能的结果，其中两次摸出的球恰好都是红球的占2种，

21

所以两次摸出的球恰好都是红球的概率=—=：;

126

（2）根据题意得上斗=?,

〃+44

解得n=l.

【点睛】

本题考查的是概率问题，熟练掌握树状图法和概率公式是解题的关键.

23、（1）kl=30,包=20；⑵w=-θ.oiχ2+i0χ+3OOOO,绿化总费用卬的最大值为32500元.

【分析】（I）将x=600、y=18000代入yι=kιx可得ki；将X=IOO0、y=26000代入yι=k2x+6000可得k2；

（2）根据种花面积不小于400（〃，），则种草面积小于等于600（A√）,根据总费用=种草的费用+种花的费用列出二次

函数解析式，然后依据二次函数的性质可得.

【详解】解：（1）由图象可知，点（600,18（XX））在M=KX上，代入得：18000=600%,

解得K=30,

由图象可知，点（6（X）,18000）在%=七％+6000上，

解得佝=20；

（2）∙.∙种花面积不小于400（机2）,

.∙.种草面积小于等于600（m2）,

由题意可得:

W=30Λ+(-0.01X2-20x+30000)=-0,01χ2+10Λ+30000

=-O.O1(x-500)2+32500,

•••当》=500时，卬有最大值为32500元.

答：绿化总费用W的最大值为32500元..

【点睛】

本题考查了一次函数的应用，以及二次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的性质是解题的关键.

9

24、(1)j=x2-4x+l;(2)点尸在运动的过程中，线段尸。长度的最大值为一；(D能，点尸的坐标为：(1,0)或(2,

4

-1).

【分析】(1)把点A、8的坐标代入抛物线解析式，解方程组得到AC的值，即可得解；

(2)求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式，再根据抛物线解析式设出点P的坐标，然后表示出

尸。的长度，再根据二次函数的最值问题解答；

(D分情况讨论①NAPD是直角时，点P与点3重合,②求出抛物线顶点坐标，然后判断出点P为在抛物线顶点时,

NBlO是直角，分别写出点尸的坐标即可；

【详解】(1)把点A(L0)和点B(L0)代入抛物线y=x2+加r+c,

9+3Z?+C=O

得：\

1+⅛÷c=0

W=-4

解得o

c=3

Λj=x2-4x+l.

(2)把X=O代入y=入-4x+l,得y=l.

ΛC(0,1).

XVA(1,0),

设直线AC的解析式为：y=kx+m9

772=3

把点4。的坐标代入得：∖11

K=-I

・•・直线Ac的解析式为：j=-χ+l.

39

PD=-X-Vl-(x2-4x+l)=-χ2+Ix=-(X--A+一.

24

V0<x<l,

・・3=一3时，PD最大为9一.

24

9

即点尸在运动的过程中，线段尸。长度的最大值为一.

4

(1)①NAP。是直角时，点尸与点3重合，

此时，点尸(1,0),

(2)*.,J=X2-4x+l=(X-2)2-1,

.∙.抛物线的顶点坐标为(2,-1),

VA(1,0),

...点P为在抛物线顶点时，N7¾0=45°+45°=90°,

此时，点P(2,-1),

综上所述，点尸(1,0)或(2,-1)时，AAPD能构成直角三角形；

【点睛】

本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，二次函数的对称性以及

顶点坐标的求解，直角三角形存在性