第07章 一阶电路和二阶电路的时域分析教材

一、电容元件+u-+q-qCi*电容元件的特性方程*电容元件储存的能量电容元件在任何时刻t所储存的电场能量当u为常数(直流)时，i=0，电容相当于开路，电容有隔断直流作用;当u、i为非关联方向时，微分和积分表达式前要冠以负号电容有记忆功能，电压不能突变，但电流可以突变，电容储存的能量也不能突变。二、电感元件*电感元件的特性方程+-uiL*电感元件储存的磁场能量当i为常数(直流)时，u=0，电感相当于短路。

电感上的电流不能突变，但电压可以突变，电感储存的能量也不能突变。三、电容、电感元件的串联与并联电容的并联电容的串联电感的串联电感的并联第七章一阶电路和二阶电路

的时域分析7.1动态电路的方程及其初始条件7.2一阶电路的零输入响应7.3一阶电路的零状态响应7.4一阶电路的全响应7.7一阶电路的阶跃响应7.8一阶电路的冲激响应7.5二阶电路的零输入响应含有动态元件电容和电感的电路称为动态电路。特点：1.动态电路

7.1动态电路的方程及其初始条件

当动态电路状态发生改变时（换路）需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变化过程称为电路的过渡过程。例+-USR1R2（t=0）i过渡期为零电阻电路0ti0K未动作前，电路处于稳定状态i=0,uC=0i=0,uC=USK+–uCUSRCi

(t=0)K接通电源后很长时间，电容充电完毕，电路达到新的稳定状态+–uCUSRCi

(t→

)前一个稳定状态过渡状态新的稳定状态t1USuCt0?i有一过渡期电容电路K未动作前，电路处于稳定状态i=0,uL=0uL=0,i=US/RK接通电源后很长时间，电路达到新的稳定状态，电感视为短路前一个稳定状态过渡状态新的稳定状态t1US/Rit0?uL有一过渡期K+–uLUSRLi

(t=0)+–uLUSRLi

(t→

)电感电路过渡过程产生的原因

电路内部含有储能元件L、C，电路在换路时能量发生变化，而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。电路结构、状态发生变化换路支路接入或断开电路参数变化K+–uCUSRCi

(t=0)应用KVL和电容的VCR得：+–uCUS

RCi

(t>0)2.动态电路的方程+–uLUSRLi

(t>0)有源电阻电路一个动态元件一阶电路应用KVL和电感的VCR得：+–uLUSRLi

(t>0)CuC＋－＋－二阶电路一阶电路一阶电路中只有一个动态元件,描述电路的方程是一阶线性微分方程。（1）描述动态电路的电路方程为微分方程；结论：（2）动态电路方程的阶数等于电路中动态元件的个数；二阶电路二阶电路中有二个动态元件,描述电路的方程是二阶线性微分方程。

(1)t=0＋与t=0－的概念认为换路在

t=0时刻进行0－

换路前一瞬间

0＋

换路后一瞬间3.电路的初始条件初始条件为t=0＋时u，i

的值0－0＋0tf(t)K+–uCUSRCi

(t=0)一．动态电路及特点：

1、动态元件：

电容元件和电感元件的电压和电流的约束关系是通过导数（或积分）表达的，称为动态元件，同时也是储能元件。

2、特点：

a、电路方程是以电流或电压为变量的微分方程。

b、电路的结构或元件的参数发生变化时，可能使电路改变原来的工作状态，转变到另一个工作状态，这种转变往往需要经历一个过程，在工程上称为过渡过程。

电路由一个工作状态转变到另一个工作状态。三、时间与时刻 时刻为一点。 时间是两个时刻的间隔。0t四、换路 电路的结构或元件的参数发生变化。 换路是由开关的动作实现的。S(t=0)打开S(t=0)闭合12S(t=0)换动二、过渡过程：稳态暂态旧稳态新稳态过渡过程:C电路处于旧稳态KRE+_开关K闭合电路处于新稳态RE+_“稳态”与“暂态”的概念: uC如何变化？t0uCE

产生过渡过程的电路及原因?无过渡过程I电阻电路t=0ER+_IK

电阻是耗能元件，其上电流随电压比例变化，不存在过渡过程。Et

电容为储能元件，它储存的能量为电场能量，其大小为：电容电路储能元件

因为能量的存储和释放需要一个过程，所以有电容的电路存在过渡过程。EKR+_CuCt储能元件电感电路

电感为储能元件，它储存的能量为磁场能量，其大小为：

因为能量的存储和释放需要一个过程，所以有电感的电路存在过渡过程。KRE+_t=0iL3-20

过渡过程是一种自然现象，对它的研究很重要。过渡过程的存在有利有弊。有利的方面，如电子技术中常用它来产生各种波形；不利的方面，如在过渡过程发生的瞬间，可能出现过压或过流，致使设备损坏，必须采取防范措施。研究过渡过程的意义五、一阶电路电阻： u=Ri

i=Gu动态元件： 电感电容

根据KCL、KVL、VCR建立的方程是以u和i为变量的微分方程，无源元件均为线性、非时变。电路方程：线性常微分方程对于只含一个储能元件，电路方程是一阶线性常微分方程，相应的电路称为一阶电路。六、跃变×七、换路定则√在换路前后，电容上的电压不发生跃变。1、电容2、电感在换路前后，电感中的电流不发生跃变。换路定则仅用于换路瞬间来确定过渡过程中uC、iL初始值。例1.求

uC

(0+),iC(0+).t=0时打开开关S.由换路定则：uC

(0+)=uC

(0

)0+等效电路：

+10ViiCuCS10k

40k

+

C解：+10Vi(0+)iC(0+)8V10k

+

八、初值的确定uC

(0+)=8V例2.t=0时闭合开关S.求uL(0+).iL(0+)=iL(0

)0+等效电路：10VS1

4

iLLuL+–解：10V1

4

iL(0+)uL(0+)+–注意：由换路定则：=10/(1+4)=2A依据换路定则和基尔霍夫定律。S(t=0)+-+-+-S(t=0)+-+-+-t0-0+5A10V05A0010V5A10V00-10A-10V15A3-27解:换路前大小,方向都不变！换路瞬间例K.ULVRiL已知：U=20V，R=1KΩ，

L=1H，电压表内阻RV=500KΩ，设开关K在t=0打开试求:K打开的瞬间,电压表两端的电压。3-28注意:实际使用中要加保护措施KULVRiLVUt=0+时的等效电路求初始值的一般方法：(1)由换路前电路求uC(0

)和iL(0

)；(2)由换路定则，确定uC(0+)和iL(0+)；(3)作0+等效电路：(4)由0+电路求所需的u(0+)、i(0+)。电容用电压为uC(0+)的电压源替代；电感用电流为iL(0+)的电流源替代。7-1图7-1(a)所示电路开关S在t=0时动作,试求电路在t=0+时刻电压、电流的初始值。0+等效电路7-1图(b)所示电路开关S在t=0时动作,试求电路在t=0+时刻电压、电流的初始值。0+等效电路§7.2一阶电路的零输入响应零输入：输入=0(外电源输入=0)储能元件储存的能量消耗能量的元件终值为01、推导过程：RR一、零输入响应二、RC电路的零输入响应最终能量来源初始：S合上前换路：S合上(t=0)：解一阶齐次微分方程：令通解i=-S(t=0)uCuRU0iR特征方程：由初始条件定A：S(t=0)uCuRU0iR解为2、结论：均按同样的指数规律衰减，最终趋于0。τ的大小反映此一阶电路过渡过程的进展速度τ小：过渡过程短，进展快τ大：过渡过程长，进展慢3、时间常数S(t=0)uCuRU0iR工程上认为,经过3

－5

,过渡过程结束。

：电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间。U00.368U00.135U00.05U00.007U0

t0

2

3

5

U0

U0e

-1

U0e

-2

U0e

-3

U0e

-5

tU0uC0I0ti0令

=RC,称

为一阶电路的时间常数

（1）电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；连续函数跃变

（2）衰减快慢与RC有关；3-38

=RC

大→过渡过程时间长

小→过渡过程时间短电压初值一定：R大（C一定）

i=u/R

放电电流小放电时间长U0tuC0

小

大C大（R一定）W=Cu2/2

储能大物理含义4、能量关系C放电，C不断放能，电阻R不断耗能,直至C上电场能量衰减为0。三、RL电路的零输入响应1、推导过程：换路，K打到2求解一阶齐次微分方程：初始，K打到1由初始条件定A：令iL(t)=Aept则(Lp+R)Aept=0特征方程：Lp+R=0得特征根解为：2、结论：大小均按指数规律衰减，最终趋于0。与RC串联电路相反R大

小衰减快R小

大衰减慢3、时间常数4、能量关系：

L不断把储存的磁场能量放出，R不断吸收并转化为热能，直至L上的磁场能量为0为止。小结：一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响应，都是一个指数衰减函数。2.衰减快慢取决于时间常数

。τ要由换路后的电路结构和参数计算。

RC电路：

=RC,RL电路：

=L/R3.同一电路中所有响应具有相同的时间常数。iL(0+)=iL(0－)uC

(0+)=uC

(0－)RC电路RL电路S(t=0)解：τ=RCR=2//3τ=RC1Ω2Ω3Ω6V例：求电容两端电压。=[6/(1+2+3)]3=3V

7-4开关S原在位置1已久，t=0时合向位置2，求

和。解：零输入响应7-5图中开关S在位置1已久，t=0时合向位置2，求换路后的i(t)和解：零输入响应7-6图示电路中，若t=0时开关S闭合，求电流i。

解：由题意得(零输入响应)§7.3一阶电路的零状态响应一、零状态响应初始状态为零外电源输入直流交流充电与电源变化规律相同能量来源最终终值零状态：二、RC电路1、推导：iUSuRuCRS(t=0)C换路后：求解一阶非齐次微分方程非齐次方程的特解齐次方程的通解强制分量(稳态分量)自由分量(暂态分量)特解：重新达到稳态时的值齐次方程的通解：满足uC(0+)=US

+

A

=0

A=

US求全解定常数强制分量(稳态)自由分量(暂态)-USOUStuCiuC,i电阻R消耗的能量：能量关系：能量关系：电源提供的能量一部分被电阻消耗，一部分储存在电容中，且WC=WR充电效率为50%USRC例：USuRuCRS(t=0)iCUS=220V，R=100Ω，C=0.5µF，C未充过电。t=0时合上开关S。求： （1）uC、i； （2）最大充电电流； （3）合上S后150µs后uC、i

的值。解:(1)US=220V，R=100Ω，C=0.5µF，C未充过电。t=0时合上开关S。求:（1）uC、i；（2）最大充电电流；（3）合上S后150µs后uC、i

的值。USuRuCRS(t=0)iC=209(V)=2.2e-3=0.11(A)（2）最大充电电流；（3）合上开关S150µs后uC、i

的值。t=0时闭合开关S,求uC的零状态响应。uiCi12i1++2V+1

1

1

0.8FuC

S例.+1.5V+0.25

1

0.8FuC

S戴维宁等效.i12i1++2V+1

1

1

0.8FuC

SuC

(V)t1.5O戴维宁等效:i12i1++2V+1

1

1

0.8FuC

SRL电路的零状态响应iL(0

)=0USLS(t=0)+–uLR+–uRiL三、RL电路直流电源7.4一阶电路的全响应一、全响应

当一个非零初始状态的一阶电路受到激励时，电路的响应称为全响应。S(t=0)二、RC电路设电容原有电压为U01、电路方程初始条件2、方程的解方程的全解特解对应齐次方程的通解得根据uC(0+)=uC(0-)=U0A=U0-US全响应=零输入响应+零状态响应全响应=稳态分量+瞬态分量上式改写成三、RL电路

形式上和RC电路一致。初始值f(0+)稳态值f(∞)时间常数τ（仅适用直流激励）四、三要素法三要素三要素公式：(1)uC(0+)与iL(0+)按换路定则求出

换路前C视作开路iL(0+)=iL(0-)(2)其它电路变量的初始值1．初始值f(0+)的计算应画出t=0+的等效电路，然后按电阻电路计算L视作短路uC(0+)=uC(0-)在t→∞的等效电路中，因为直流作用电感视作短路2．稳态值f(∞)的计算作出t→∞的等效电路，然后按电阻电路计算电容视作开路3．时间常数τ的计算RC电路RL电路R0为换路后的电路，从动态元件两端看进去的戴维宁等效电阻。τ=L/R0τ=R0C例：求图示电路的τ值换路后的电路，从电容两端看进去的等效戴维宁电阻为：解：S(t=0)

电容C=0.1F，求S闭合后电容两端的电压uC和电流i。解：利用三要素法先求出uC 1、求初值例：iS(t=0)2、求终值10V2Ω5ΩuCS(t=0)3、求时间常数R0=2//5=10/7ΩR02Ω5Ω4、S(t=0)ii=－电流i也可以通过三要素法直接求得S(t=0)i换路后的电路10V2Ω5ΩuCi10V2Ω5ΩuCii

的初值i1i2i

的终值S(t=0)i求电路中的电流

i和iL。解：1、求初值2、求终值（L短路）例：S(t=0)i3、求时间常数4、7-9图示电路中，若t=0时开关S打开，求和电流源发出的功率

解：由题意得(零状态响应)7-10

图示电路中开关S闭合前，电容电压为零。在t=0时S闭合，求t>0时的

解：零状态响应

7-12图示电路中开关闭合前电容无初始储能，t=0时开关S闭合，求时的电容电压。

解：戴维宁等效电路为零状态响应

求戴维宁等效电路3-88

微分电路与积分电路TEtuiCR

对RC电路而言，若输入为矩形波(脉冲)，则当电路的时间常数τ=RC取不同值时，其输出电压波形和输入电压波形间可构成近似的微分或积分关系。3-89条件：τ<<T；电阻端输出。电路输出近似为输入信号微分TtEtt>T+-CRt=0~T++-E1微分电路因τ<<T，故除电容开始充放电的一段极短时间外，均有

ui=uC+uO≈uC>>uO3-90t电路输出近似为输入信号积分t=0~T+

-E+-+-t>TCR2积分电路条件：τ>>T；电容两端输出。因τ>>T，故电容的充放电非常缓慢，充电时有

ui=uR+uO≈uR=iRtTE应用:用作示波器的扫描锯齿波电压。§7.7一阶电路的阶跃响应1．单位阶跃信号的定义2．波形一．阶跃信号及其单边性相当于0时刻接入电路单位电流源或单位电压源若将直流电源表示为阶跃信号，则可省去开关：K：阶跃信号强度。10(V)→10ε(t)(V)K(V)→Kε(t)(V)，例如：3.实际意义4.延迟单位阶跃信号5．阶跃信号的单边性（截取信号的特性）

若用ε(t)去乘任何信号，都使其在t<0时为零，而在t≥0时为原信号。利用此信号可描述许多信号。f(t)0tof(t)to例：to1to-1例：tototo3-411、阶跃响应的定义电路在零状态条件下，对单位阶跃信号产生的响应。2、分析方法：t≥0同直流激励一样。二．阶跃响应的分析对于矩形脉冲信号，有两种分析方法：分段函数表示阶跃函数表示tou10V1sRC=1s例：用分段函数表示零状态响应零输入响应用阶跃函数表示tou10V1stoto7-27图示电路中，已知求全响应SguC(0-)=2V25.0,=i1(t),iC(t),uC(t)解：三要素法。已知：

t>0时，戴维宁等效为SguC(0-)=2V25.0,=i1(t),iC(t),uC(t)7-27图示电路中，已知求全响应当t>0时，由KCL加压求流法求Req(独立源置零)R1=1，R2=2

一般情