《统考版》高考数学（理科）一轮练习专练7二次函数与幂函数

专练7二次函数与幂函数命题范围：二次函数、幂函数的解析式、图象与性质．[基础强化]一、选择题1．[2021·包头市一中测试]若幂函数y＝f(x)的图象过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(1,5)))，则f(2)为()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,2) D．－12．幂函数y＝f(x)的图象经过点(3，eq\r(3))，则f(x)是()A．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数B．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数C．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数D．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数3．当x∈(0，＋∞)时，幂函数y＝(m2－m－1)x－5m－3为减函数，则实数m的值为()A．m＝2 B．m＝－1C．m＝－1或m＝2 D．m≠eq\f(1±\r(5),2)4．如果函数f(x)＝x2－ax－3在区间(－∞，4]上单调递减，那么实数a满足的条件是()A．a≥8 B．a≤8C．a≥4 D．a≥－45．如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意的实数x，都有f(1＋x)＝f(－x)，那么()A．f(0)<f(2)<f(－2)B．f(0)<f(－2)<f(2)C．f(2)<f(0)<f(－2)D．f(－2)<f(0)<f(2)6．已知函数f(x)＝－2x2＋bx＋c，不等式f(x)>0的解集为(－1,3)．若对任意的x∈[－1,0]，f(x)＋m≥4恒成立，则m的取值范围是()A．(－∞，2] B．[4，＋∞)C．[2，＋∞) D．(－∞，4]7．[2021·邢台一中测试]已知二次函数f(x)＝ax2－2x＋c的值域为[0，＋∞)，则eq\f(9,a)＋eq\f(1,c)的最小值为()A．3 B．6C．9 D．128．[2021·唐山摸底]设函数f(x)＝x(ex＋e－x)，则f(x)()A．是奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数B．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数C．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数D．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数9．[2021·衡水一中测试]已知定义在R上的奇函数f(x)满足：当x≥0时，f(x)＝x3，若不等式f(－4t)>f(2m＋mt2)对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是()A．(－∞，－eq\r(2))B．(－eq\r(2)，0)C．(－∞，0)∪(eq\r(2)，＋∞)D．(－∞，－eq\r(2))∪(eq\r(2)，＋∞)二、填空题10．已知a∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－2，－1，－\f(1,2)，\f(1,2)，1，2，3))，若幂函数f(x)＝xa为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则a＝________.11．已知幂函数f(x)＝x(k∈N*)满足f(2)<f(3)，则f(x)的解析式为________．12．已知函数f(x)＝x2＋2x＋1，如果使f(x)≤kx对任意实数x∈(1，m]都成立的m的最大值是5，则实数k＝________.[能力提升]13．[2021·辽宁测试]对于任意a∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值总大于0，则x的取值范围是()A．{x|1<x<3} B．{x|x<1或x>3}C．{x|1<x<2} D．{x|x<1或x>2}14．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a<b.其中正确的是()A．②④ B．①④C．②③ D．①③15．已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值为8，则f(x)的解析式为f(x)＝________.16．设函数f(x)＝ax2－2x＋2，对于满足1<x<4的一切x值都有f(x)>0，则实数a的取值范围是________．专练7二次函数与幂函数1．C∵幂函数y＝f(x)的图象过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(1,5)))，∴可设f(x)＝xα，∴5α＝eq\f(1,5)，解得α＝－1，∴f(x)＝x－1.∴f(2)＝f(2)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))－1＝eq\f(3,2)，故选C.2．D设幂函数的解析式为f(x)＝xα，将(3，eq\r(3))代入解析式得3α＝eq\r(3)，解得α＝eq\f(1,2)，∴f(x)＝x.∴f(x)为非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，故选D.3．A因为函数y＝(m2－m－1)x－5m－3既是幂函数又是(0，＋∞)上的减函数，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－m－1＝1，,－5m－3<0，))解得m＝2.4．A函数图象的对称轴为x＝eq\f(a,2)，由题意得eq\f(a,2)≥4，解得a≥8.故选A.5．A由f(1＋x)＝f(－x)知函数f(x)图象的对称轴为x＝eq\f(1,2)，而抛物线的开口向上，且eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(0－\f(1,2)))＝eq\f(1,2)，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,2)))＝eq\f(3,2)，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－2－\f(1,2)))＝eq\f(5,2)，根据到对称轴的距离越远的函数值越大得f(－2)>f(2)>f(0)．故选A.6．B因为f(x)>0的解集为(－1,3)，故－2x2＋bx＋c＝0的两个根为－1,3，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(c,2)＝－1×3，,\f(b,2)＝－1＋3))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝4，,c＝6，))令g(x)＝f(x)＋m，则g(x)＝－2x2＋4x＋6＋m＝－2(x－1)2＋8＋m，由x∈[－1,0]可得g(x)min＝m，又g(x)≥4在[－1,0]上恒成立，故m≥4，故选B.7．B由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝4－4ac＝0，))∴ac＝1，又a>0，∴c>0.∴eq\f(9,a)＋eq\f(1,c)≥2eq\r(\f(9,ac))＝6eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(当且仅当\f(9,a)＝\f(1,c)，即a＝3，c＝\f(1,3)时等号成立)).8．A∵f(x)的定义域为[0，＋∞)，且f(－x)＝－x(e－x＋ex)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，又当x>0时，f′(x)＝ex＋e－x＋(ex－e－x)x>0，∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数，故选A.9．A当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝x3，∴f(x)＝x3(x∈R)，易知f(x)在R上是增函数，结合f(－4t)>f(2m＋mt2)对任意实数t恒成立，知－4t>2m＋mt2对任意实数t恒成立⇒mt2＋4t＋2m<0对任意实数t恒成立⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m<0，,Δ＝16－8m2<0))⇒m∈(－∞，－eq\r(2))，故选A.10．－111．f(x)＝x2解析：幂函数f(x)＝x(k∈N*)满足f(2)<f(3)，故－k2＋k＋2>0，∴－1<k<2，又k∈N*，∴k＝1，f(x)＝x2.12.eq\f(36,5)解析：设g(x)＝f(x)－kx＝x2＋(2－k)x＋1，由题意知g(x)≤0对任意实数x∈(1，m]都成立的m的最大值是5，所以x＝5是方程g(x)＝0的一个根，即g(5)＝0，可以解得k＝eq\f(36,5)(经检验满足题意)．13．B原题可转化为关于a的一次函数y＝a(x－2)＋x2－4x＋4>0在a∈[－1,1]上恒成立，只需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1x－2＋x2－4x＋4>0，,1×x－2＋x2－4x＋4>0))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>3或x<2，,x>2或x<1))⇒x<1或x>3，故选B.14．B因为图象与x轴交于两点，所以b2－4ac>0，即b2>4ac，①正确．对称轴为x＝－1，即－eq\f(b,2a)＝－1,2a－b＝0，②错误．结合图象，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，③错误．由对称轴为x＝－1知，b＝2a.又函数图象开口向下，所以a<0，所以5a<2a，即5a<b，④正确．15．－4x2＋4x＋7解析：设f(x)＝a(x－m)2＋n，∵f(2)＝f(－1)，∴f(x)的对称轴为x＝eq\f(2－1,2)＝eq\f(1,2)，∴m＝eq\f(1,2).又f(x)max＝8，∴n＝8，又f(2)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,2)))2＋8＝－1，得a＝－4，∴f(x)＝－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋8＝－4x2＋4x＋7.16.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))解析：由f(x)>0，即ax2－2x＋2>0，x∈(1,4)，得a>－eq\f(2,x2)＋eq\f(2,x)在(1,4)上恒成立．令g(x)＝－eq\f(2,x2)＋eq\f(2,x)＝－2eq\b\lc\(\rc\)(