新教材高中数学人教A版学案7-2-2复数的乘除运算

7.2.2复数的乘、除运算[目标]1.掌握复数的乘法法则，能熟练地进行复数的乘法运算；2.理解共轭复数的意义；3.掌握复数的除法法则，能熟练地进行复数的除法运算．[重点]复数的乘法与除法的运算法则．[难点]复数的除法运算．要点整合夯基础知识点一复数的乘法运算[填一填]1．复数的乘法法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.2．复数的乘法满足的运算律对任意z1、z2、z3∈C，有[答一答]1．两个复数的乘法运算法则类似多项式的乘法法则，多个复数的乘法呢？提示：多个复数的乘积运算也类似多项式相乘的规律，把复数逐一相乘，再分别合并实部、虚部．2．若z1，z2∈C，(z1＋z2)2＝zeq\o\al(2,1)＋2z1·z2＋zeq\o\al(2,2)是否成立？提示：成立．复数的乘法(乘方)类似于实数范围内的多项式的乘法(乘方)，只不过是在运算中遇到i2时就将其换为－1，因此在复数范围内，完全平方公式、平方差公式等仍然成立．知识点二复数的除法运算[填一填]复数代数形式的除法法则(a＋bi)÷(c＋di)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)．[答一答]3．复数除法的实质是怎样的？提示：复数除法的实质是分母实数化的过程，两个复数相除，就是先把它们的商写成分数的形式，然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数，再把结果化简即可．典例讲练破题型类型一复数的乘法运算[例1](1)已知a，b∈R，i是虚数单位，若a＋i＝2－bi，则(a＋bi)2＝()A．3－4i B．3＋4iC．4－3i D．4＋3i(2)已知a，b∈R，i是虚数单位．若(a＋i)(1＋i)＝bi，则a＋bi＝________.[分析]复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并．[解析](1)∵a，b∈R，a＋i＝2－bi，∴a＝2，b＝－1，∴(a＋bi)2＝(2－i)2＝3－4i.(2)因为(a＋i)(1＋i)＝a－1＋(a＋1)i＝bi，a，b∈R，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1＝0，,a＋1＝b，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝2，))所以a＋bi＝1＋2i.[答案](1)A(2)1＋2i正确使用乘法公式，此类题就不难解决.三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算与实数的运算一样，对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更简捷，如平方差公式、完全平方公式等.[变式训练1]计算下列各题．(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)；(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)；(3)(1－i)3.解：(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)＝1－i2－1＋i＝1＋i.(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＝(－2＋10i＋i－5i2)·(3－4i)＝(3＋11i)·(3－4i)＝9－12i＋33i－44i2＝53＋21i.(3)(1－i)3＝(1－i)2·(1－i)＝(1－2i＋i2)·(1－i)＝(－2i)·(1－i)＝－2i＋2i2＝－2－2i.类型二共轭复数[例2]已知复数z满足z·eq\x\to(z)＋2i·z＝4＋2i，求复数z.[分析]设z＝x＋yi(x，y∈R)→由题意得到方程组求x，y的值→得到复数z.[解]设z＝x＋yi(x，y∈R)，则eq\x\to(z)＝x－yi，由题意，得(x＋yi)(x－yi)＋2(x＋yi)i＝(x2＋y2－2y)＋2xi＝4＋2i，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－2y＝4，,2x＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－1，))∴z＝1＋3i或z＝1－i.[变式训练2]已知复数z＝eq\f(\r(3)＋i,1－\r(3)i2)，eq\x\to(z)是z的共轭复数，则z·eq\x\to(z)等于(A)A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C．1 D．2解析：因为z＝eq\f(\r(3)＋i,1－\r(3)i2)，所以|z|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)＋i,1－\r(3)i2)))＝eq\f(|\r(3)＋i|,|1－\r(3)i2|)＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2)，所以z·eq\x\to(z)＝eq\f(1,4).类型三复数的除法运算[例3]计算：(1)eq\f(i－2i－1,1＋ii－1＋i)＋eq\f(－3－2i,2－3i)；(2)eq\f(－1＋\r(3)i3,1＋i6)＋eq\f(－2＋i,1＋2i).[分析]复数的除法法则，通过分子、分母都乘以分母的共轭复数，使“分母实数化”，这个过程与“分母有理化”类似．[解](1)因为eq\f(i－2i－1,1＋ii－1＋i)＝eq\f(i－2i－1,i2－1＋i)＝eq\f(i－2i－1,－2＋i)＝i－1，eq\f(－3－2i,2－3i)＝eq\f(－3－2i2＋3i,2－3i2＋3i)＝eq\f(－13i,13)＝－i.所以eq\f(i－2i－1,1＋ii－1＋i)＋eq\f(－3－2i,2－3i)＝i－1＋(－i)＝－1.(2)eq\f(－1＋\r(3)i3,1＋i6)＋eq\f(－2＋i,1＋2i)＝eq\f(－1＋\r(3)i3,[1＋i2]3)＋eq\f(－2＋i1－2i,1＋2i1－2i)＝eq\f(－1＋\r(3)i3,2i3)＋eq\f(－2＋4i＋i＋2,5)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋\f(\r(3),2)i))3,－i)＋i＝eq\f(1,－i)＋i＝eq\f(i,－ii)＋i＝2i.[变式训练3]已知复数z满足(z－1)i＝1＋i，则z＝(C)A．－2－i B．－2＋iC．2－i D．2＋i解析：z－1＝eq\f(1＋i,i)＝1－i，所以z＝2－i.课堂达标练经典1．z1，z2是复数，且zeq\o\al(2,1)＋zeq\o\al(2,2)<0，则正确的是(B)A．zeq\o\al(2,1)<zeq\o\al(2,2)B．z1，z2中至少有一个是虚数C．z1，z2中至少有一个是实数D．z1，z2都不是实数解析：取z1＝1，z2＝2i满足zeq\o\al(2,1)＋zeq\o\al(2,2)<0，从而排除A和D；取z1＝i，z2＝2i，满足zeq\o\al(2,1)＋zeq\o\al(2,2)<0，排除C，故选B.2．设复数z满足(1－i)z＝2i，则z＝(A)A．－1＋i B．－1－iC．1＋i D．1－i解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则(1－i)(a＋bi)＝2i，即(a＋b)＋(b－a)i＝2i.根据复数相等的充要条件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝0，,b－a＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝1，))∴z＝－1＋i，故选A.3．若(x＋i)i＝－1＋2i(x∈R)，则x＝2.解析：由题意，得x＋i＝eq\f(－1＋2i,i)＝eq\f(－i＋2i2,i2)＝eq\f(－i－2,－1)＝2＋i，所以x＝2.4．复数eq\f(5,2－i)的共轭复数是2－i.解析：eq\f(5,2－i)＝eq\f(52＋i,2－i2＋i)＝eq\f(52＋i,5)＝2＋i，其共轭复数为2－i.5．已知复数z满足z＝(－1＋3i)·(1－i)－4.(1)求复数z的共轭复数；(2)若w＝z＋ai，且复数w对应向量的模不大于复数z所对应向量的模，求实数a的取值范围．解：(1)z＝－1＋i＋3i＋3－4＝－2＋4i，所以复数z的共轭复数为－2－4i.(2)w＝－2＋(4＋a)i，复数w对应的向量为(－2,4＋a)，其模为eq\r(4＋4＋a2)＝eq\r(20＋8a＋a2).又复数z所对应向量为(－2,4)，其模为2eq\r(5).由复数w对应向量的模不大于复数z所对应向量的模，得20＋8a＋a2≤20，a2＋8a≤0，所以，实数a的取值范围是－8≤a≤0.——本课须掌握的三大问题1．复数的乘除法(1)复数乘法与多项式乘法类似，但注意结果中i2应化为－1.(2)复数除法先写成分式的形式，再将分母实数化，但注意结果一般写成实部与虚部分开的形式．2．共轭复数(1)复数z的共轭复数通常用eq\x\to(z)表示，即当z＝a＋bi(a，b∈R)时，eq\x\to(z)＝a－bi.(2)两个共轭复数的乘积是一个实数，这个实数等于两个共轭复数模的平