高考文科数学一模试卷（含答案）

高考数学一模试卷(文科)

一、选择题

1.集合A={x∣x>O},B={-2,-1,1,2},则([RA)∩B=()

A.(0,+∞)B.{-2,-1,1,2}C.{-2,-1}D.{1,2}

JT

2."φ=∙y”是“曲线y=sin(x+φ)关于y轴对称”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

3.如图所示的程序框图，输出S的值是()

A.30B.10C.15D.21

4.某几何体的三视图如图所示(单位：cm),则该几何体的侧面PAB的面积是

>

22

5.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点F与双曲--J=I的右焦点重合，抛物

45

线的准线与X轴的交点为K,点A在抛物线上且IAKI=&|AFI,则A点的横坐

标为()

A.2Λ∕2B-3C.2√3D.4

6.已知等比数列｛aj的首项为1,若4a∣,2a2,a3成等差数列，则数列｛j｝的

前5项和为()

A.—B.2C.—D.—

161664

7.已知函数y=f(x)的定义域为｛x∣x∈R,且x≠0｝，满足f(x)+f(-x)=0,

当x>0时，f(x)=Inx-x+l,则函数y=f(x)的大致图象是()

fCoS(XI；)，xE[O,兀]

8.已知函数f(x)=,若有三个不同的实数a,b,

[lo¾017⅛,x"π∙+c0)

c,使得f(a)=f(b)=f(c),则a+b+c的取值范围为()

A.(2兀,π)B.(2π,π)C.(弓\，)D.(兀,π)

二、填空题

9.设i为虚数单位，则复数逑=.

1

10.经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如

下：

排队人数0123425

概率0.10.160.30.30.10.04

则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是—.

11.函数f(x)=Sin2x-2丑si/x的最大值为.

12.已知圆C的圆心为C(1,1),且经过直线x+y=4上的点P,则周长最小的

圆C的方程是.

13.已知AABC是边长为1的等边三角形，点D,E分别是边AB,BC的中点，

连接DE并延长到点F,使得DE=2EF,则加•前的值为.

②若f(x)=2x-2'x,则Vx∈R,f(-x)=-f(x)；

③若f(x)=x+-则mxo∈(0,+8),f(χ)=1；

x+10

④等差数列｛a11｝的前n项和为Sn,若a4=3,则S7=2i;

⑤在AABC中，若A>B,贝IsinA>SinB.

三、解答题(本大题共6小题，共80分)

15.在aABC中，A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=3,b=2√β,B=2A.

(1)求cosA的值；

(2)求C的值.

16.某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的

市场需求量非常大,有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况(如资金、

劳动力)确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大.已知对这两种产品有直

接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如表:

试问：怎样确定两种货物的月供应量,才能使总利润达到最大,最大利润是多少？

资金单位产品所需资金(百元)

空调机洗衣机月资金供应量(百元)

成本3020300

劳动力(工资)510110

单位利润68

17.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA_L平面PDC,E为棱

PD的中点.

(1)求证：PB〃平面EAC；

(2)求证：平面PAD，平面ABCD.

18.已知等比数列｛aj的前n项和为Sn,公比q>0,S2=2a2-2,S3=a4-2.

(1)求数列｛a11｝的通项公式；

孚至，n为奇数

(II)设bn=n(n+2),T11为｛brι｝的前n项和，求T2n∙

旦，n为偶数

Ian

19.已知函数f(x)=-x3+ax2+b(a,b∈R).

(1)设函数g(x)=f(x)-b,若a=l,求函数g(x)在(1,g(1))处的切

线方程；

(2)若函数f(X)在(0,2)上是增函数，求a的取值范围.

20.已知椭圆E：(a>b>0)的离心率e=零，且点(1,在椭圆

E上.

(I)求椭圆E的方程；

(II)直线1与椭圆E交于A、B两点，且线段AB的垂直平分线经过点(0,方).求

ΔAOB(O为坐标原点)面积的最大值.

天津市红桥区高考数学一模试卷(文科)

参考答案与试题解析

一、选择题

1.集合A={x∣x>O},B={-2,-1,1,2},则(CRA)∩B=()

A.(0,+∞)B.{-2,-1,1,2}C.{-2,-1}D.{1,2}

【考点】交、并、补集的混合运算.

【分析】根据补集和交集的定义，写出运算结果即可.

【解答】解：集合A={x∣x>O},B={-2,-1,1,2},

则［RA={X∣xWO},

所以(CRA)∩B={-2,-1).

故选：C.

K

2."φ=~y”是“曲线y=sin(x+φ)关于y轴对称”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.

【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合三角函数的性质进行判断即可.

【解答］解：若y=sin(x+φ)关于y轴对称，

rITT

贝IJφ=彳+kπ,k∈Z,

JT

故"φ=费•”是“曲线y=sin(x+φ)关于y轴对称”的充分不必要条件，

故选：A.

3.如图所示的程序框图，输出S的值是()

A.30B.10C.15D.21

【考点】程序框图.

【分析】由已知中的程序框图，可得该程序的功能是利用循环计算并输出满足条

件的S值，模拟程序的运行过程，可得答案.

【解答】解：当S=I时，满足进入循环的条件，执行循环体后S=3,t=3

当S=3时，满足进入循环的条件，执行循环体后S=6,t=4

当S=6时，满足进入循环的条件，执行循环体后S=10,t=5

当S=15时，不满足进入循环的条件，

故输出的S值为15

故选C.

4.某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的侧面PAB的面积是

()

A.√7B.2C.1D.ʌ/ɜ

【考点】由三视图求面积、体积.

【分析】如图所示，该几何体为三棱锥，其中底面ABC为等边三角形，侧棱PC

_L底面ABC.取AB的中点D,连接CD,PD,可得CD_LAB,PD±AB.

【解答】解：如图所示，该几何体为三棱锥，其中底面ABC为等边三角形，侧

棱PC_L底面ABC.

取AB的中点D,连接CD,PD,

则CDLAB,PDlAB,

CD=F,PD=√PC2+CD2=√22+(√3)2=

∙∙.SΛPAB=y×√7×2=√7.

故选：A.

22

5.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点F与双曲力一^∕=ι的右焦点重合，抛物

线的准线与X轴的交点为κ,点A在抛物线上且IAKI=6∣AF∣,则A点的横坐

标为()

A.2√2B.3C.2Λ∕3D.4

【考点】圆锥曲线的共同特征.

22

【分析】根据双曲线手今=1得出其右焦点坐标，可知抛物线的焦点坐标，从

而得到抛物线的方程和准线方程，进而可求得K的坐标，设A(xo,yo),过A

点向准线作垂线AB,则B(-3,yo),根据IAKI=近|AF|及AF=AB=XO-(-

3)=xo+3,进而可求得A点坐标.

22

【解答】解：•••双曲线--J=1，其右焦点坐标为(3,0).

45

二抛物线C：y2=12x,准线为X=-3,

ΛK(-3,0)

设A(xo,yo),过A点向准线作垂线AB,则B(-3,y0)

V∣AK∣=√2∣AF∣,XAF=AB=XO-(-3)=xo+3,

22

二由BK2=AK2-AB?得BK2=AB2,从而y()2=(χ0+3),即12x0=(x0+3),

解得xo=3.

故选B.

6.已知等比数列｛aj的首项为1,若4a”2a2,a3成等差数列，则数列｛j｝的

前5项和为()

A.—B.2C.—D.ɪ

161664

【考点】等比数列的前n项和.

【分析】等比数列｛a11｝的首项为1,由4a∣,2a2,a3成等差数歹U,可得2X2a2=a3+4aι,

即为4a∣q=aι(q2+4),解得q.再利用等比数列的求和公式即可得出.

【解答】解：等比数列｛aj的首项为1,V4aι,2a2,a3成等差数列,

.*.2×2a2=a3+4aι,Λ4aιq=aι(q2+4),解得q=2.

nn1

∙∙-an=2-',ɪ=(-∣)^.

贝IJ数歹U｛--｝的前5项和=—萼

an116

1方

故选：C.

7.已知函数y=f(x)的定义域为{x∣x∈R,且x≠0},满足f(x)+f(-x)=0,

当x>0时，f(x)=Inx-x+l,则函数y=f(x)的大致图象是()

【考点】函数的图象.

【分析】根据条件判断函数的奇偶性，利用特殊值的符号进行排除即可.

【解答】解：由f(χ)+f(-χ)=0得f(-χ)=-f(χ),即函数是奇函数，图

象关于原点对称，排除C,D,

当x>0时，f(x)=Inx-x+1,则f(1)=Inl-1+1=0,f(e)=Ine-e+l=l-e+l=

-e<0,排除B,

故选：A.

fJTr

cos(x一鼠)，x€[0,兀]

8.已知函数f(x)=，若有三个不同的实数a,b,

lo≡20i7π^,XWg+8)

c,使得f(a)=f(b)=f(c),则a+b+c的取值范围为()

A.(2π,π)B.(2π,π)C.(--q-,"°",；兀)D.(π,π)

【考点】根的存在性及根的个数判断.

【分析】作出y=f(x)的函数图象，根据函数的对称性可得a+b=τι,求出C的范

围即可得出答案.

TT

【解答】解：当χS［O,兀］时，f(x)=Cos(x--)=SinX,

TT

；.f(X)在［0,兀］上关于X=彳对称，且fmaX(X)=1，

又当x∈(π,+8)时，f(x)=log~^~是增函数，

作出y=f(X)的函数图象如图所示：

Vf(a)=f(b)=f(c),

Λa+b=π,c∈(兀,兀),

/.a+b+c=π+c∈(2π,π).

故选:B.

二、填空题

9.设i为虚数单位，则复数学-=-4-3i.

1

【考点】复数代数形式的乘除运算.

【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数？得答案.

1

【解答】解：学=土受LY-3i,

1-1

故答案为：-4-3i.

10.经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如

下：

排队人数O123425

概率0.10.160.30.30.10.04

则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是0.74.

【考点】互斥事件的概率加法公式.

【分析】由互斥事件的概率公式可得.

【解答】解：由表格可得至少有2人排队的概率

P=0.3+0.3+0.1+0.04=0.74

故答案为：0.74

11.函数f(x)=sin2x-2V3sin2x的最大值为2-岳>.

【考点】三角函数中的恒等变换应用.

Tr

【分析】利用三角恒等变形公式，函数f(X)=2sin(2x+g)-√3<2-√3∙

【解答】解：函数f(χ)=sin2x-2√3sin2x=sin2x-2«X上罢红=sin2x+

Tr.

√3cos2χ-√3=2sin(2x+-)-√3≤2-√3∙

故答案为：2-√3∙

12.已知圆C的圆心为C(1,1),且经过直线x+y=4上的点P,则周长最小的

圆C的方程是(X-1)2+(y-1)2=2.

【考点】直线与圆的位置关系.

【分析】当半径r等于圆心C到直线x+y=4的距离时，圆C的周长最小，由此

能求出周长最小的圆C的方程.

【解答】解：Y圆C的圆心为C(1,1),且经过直线x+y=4上的点P,

.∙.当半径r等于圆心C到直线x+y=4的距离时，圆C的周长最小，

止匕时r=d=I］；；I=&,

周长最小的圆C的方程是(X-I)2+(y-1)2=2

故答案为：(X-1)2+(y-1)2=2.

13.已知AABC是边长为1的等边三角形，点D,E分别是边AB,BC的中点,

连接DE并延长到点F,使得DE=2EF,则标•标的值为—

O

【考点】平面向量数量积的运算.

【分析】可作出图形，并连接AE,得至UAE±BC,根据条件可得出而4正,

从而正二标点正，这样带入屈•皮进行数量积的运算即可求出该数量积的值.

【解答】解：如图，连接AE,则AELBC；

根据条件，DE=/AC,且DE=2EF;

.,.EFqDE勺AC；

，AF=AE+EF=AE+yAC；

ʌAF-BC=(AE+yAC)∙^

=AE-≡+jAC•前

=O+∣×l×l×∣

=1_

^8^∙

故答案为：ɪ.

②若f(x)=2x-2'x,则Vx∈R,f(-x)=-f(x)；

③若f(x)=x+-则mXOW(0,+8),f(χ)=1；

x+10

④等差数列｛aj的前n项和为Sn,若a4=3,则S7=2i;

⑤在aABC中，若A>B,则sinA>sinB.

②，若f(x)=2x-2-x,则Vx∈R,f(-x)=-f(x),；

③，对于函数f(x)=x+1，当且仅当x=l时，f(X)=1；

x+1

77

④，,(a[+a?)干X2aq=7a4=2L;

⑤，若A>B,则a>b,=>2RsinA>2RsinB≠>sinA>sinB,.

对于②，若f(X)=2x-2-x,则Vx∈R,f(-x)=-f(x),正确；

对于③，对于函数f(x)=X+4J,当且仅当X=O时，f(x)=1,故错；

对于④,等差数列｛a∕的前n项和为Sn,若a4=3,y(aι+a7)^-×2a4=7a4=2b

故正确；

对于⑤，在AABC中，若A>B,则a>bo2RsinA>2RsinB=sinA>sinB,故正

确.

故答案为：①②④⑤

三、解答题(本大题共6小题，共80分)

15.在AABC中，A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=3,b=2√β,B=2A.

(1)求cosA的值;

(2)求C的值.

【考点】余弦定理.

【分析】。)依题意‘利用正弦定理嘉=惠及二倍角的正弦即可求得cosA

的值;

(2)易求SinA=g,SinB=卒,从而利用两角和的正弦可求得sin(A+B)=空,

339

在aABC中，此即SinC的值，利用正弦定理可求得C的值.

【解答】解:(1)•「△ABC中，a=3,b=2√6,B=2A,

3_2娓即2sinACoSA_2

.∙.由正弦定理得:

sinAsin2Asi∏A3

.∙.cosA=运

3

(2)由(1)知CoSA=夸，A∈(0,π),

•∙A—^/3

•∙si∩A------,又B=2A,

3

.e.cosB=cos2A=2cos2A-ɪɪɔB∈(0,兀)，

0

ΛsinB=^β,

3

在aABC中，sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=æ××,

33339

asinC3*毕

・.c=∙=5.

sinAV⅞

T

16.某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的

市场需求量非常大,有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况（如资金、

劳动力）确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大.已知对这两种产品有直

接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如表:

试问：怎样确定两种货物的月供应量,才能使总利润达到最大,最大利润是多少？

资金单位产品所需资金（百元）

空调机洗衣机月资金供应量（百元）

成本3020300

劳动力（工资）510110

单位利润68

【考点】简单线性规划的应用.

【分析】利用线性规划的思想方法解决某些实际问题属于直线方程的一个应

用.本题主要考查找出约束条件与目标函数，准确地描画可行域，再利用图形直

线求得满足题设的最优解.

【解答】解:设空调机、洗衣机的月供应量分别是x、y台,总利润是P,则P=6x+8y,

由题意有30x+20yW300,5x+10y≤110,x20,y≥0,x、y均为整数.

由图知直线y=-^∙x+±P过M（4,9）时，纵截距最大.

4o

这时P也取最大值PmaX=6X4+8X9=96（百元）.

故当月供应量为空调机4台，洗衣机9台时，可获得最大利润9600元.

17.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA_L平面PDC,E为棱

PD的中点∙

(1)求证：PB〃平面EAC；

(2)求证：平面PAD，平面ABCD.

【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定.

【分析】(I)连接BD,交AC于F,运用三角形的中位线定理和线面平行的判

定定理，即可得证；

(2)运用面面垂直的判定定理，只要证得CDL平面PAD,由线面垂直和矩形

的定义即可得证.

【解答】证明：(1)连接BD,交AC于F,

由E为棱PD的中点，F为BD的中点，

则EF^PB,

又EFU平面EAC,PB。平面EAC,

则PB〃平面EAC；

(2)由PAL平面PCD,

则PA±CD,

底面ABCD为矩形，

则CD±AD,

又PA∩AD=A,

则有CD_L平面PAD,

由CDc平面ABCD,

则有平面PAD_L平面ABCD.

18.已知等比数列｛aj的前n项和为Sn,公比q>0,S2=2a2-2,S3=a4-2.

(I)求数列｛a11｝的通项公式；

生皿，n为奇数

(II)设bn=n(n+2),K为®｝的前n项和，求T2n∙

旦，n为偶数

Ian

【考点】数列的求和；数列递推式.

【分析】⑴等比数列｛an｝的前n项和为Sn,公比q>0,S2=2a2-2,S3=a4-2.可

得a3=a4-2a2,a2q=a2(q2-2),解得q.进而得出aι,可得all.

log2n_11

为奇数时，2=1).n为偶数时，bn=j∙.分

(II)nbn=∙2

n(n+2)n(n+2)2nn+2

组求和，利用“裂项求和”方法可得奇数项之和；利用“错位相减法”与等比数列的

求和公式可得偶数项之和.

【解答】解：(I)Y等比数列｛aj的前n项和为Sn,公比q>0,S2=2a2-2,S3=a4

-2.

.∙.a3=a4-2a2,可得a2q=a2(q2-2),

.*.q2-q-2=0,解得q=2..∖a1+a2=2a2-2,即a1=a2-2=2aι-2,解得aι=2.

n

/.an=2.

(II)n为奇数时，bn=Iclo221

)・

n2(n+2)n(n+2)

n为偶数时，bn=~.

2n

•+声

rι,12n-22n

则一^A=+22∏+肝2

ɪ-(lɪ)

n

2n_2、42n

22n÷2=-------ɪ------22n4^2

1T

•τ一n,88+6n

•Fn=而TV

9×4n

19.已知函数f(x)=-x3+ax2+b(a,b∈R).

(1)设函数g(x)=f(x)-b,若a=l,求函数g(x)在(1,g(1))处的切

线方程；

(2)若函数f(X)在(0,2)上是增函数，求a的取值范围.

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性.

【分析】(1)求得g(X)的解析式和导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式

方程，可得切线的方程；

(2)先求出f(X)的导函数，然后求出导函数的根，讨论a的取值范围分别求

出函数的单调增区间，使(0,2)是增区间的子集即可，解不等式即可得到所求

a的范围.

【解答】解:(1)函数g(x)=f(x)-b=-x3+x2,

导数为g'(x)=-3x2+2x,

函数g(x)在(1,g(D)处的切线斜率为-3+2=-1,

切点为(1,0),可得切线的方程为y=-(x-1),

即x+y-1=0；

(2)由题意，得f(x)=-3x2+2ax,

令P(X)=0,解得x=0或x=∙∣∙a,

当a<0时，由fr(x)>0,解得等<χV0,

所以f(X)在(等，0)上是增函数，与题意不符，舍去；

当a=0时，由F(x)=-3x2≤O,与题意不符，舍去;

当a>0时，由fγ(x)>0,解得0Vχ<等■,

所以f(X)在(0,等)上是增函数，

又f(X)在(0,2)上是增函数，

所以等22,解得aB3,

综上，a的取值范围为［3,+8).

20.已知椭圆E：⅛+ς∣=1(a>b>O)的离心率e宵，且点(1，卓)在椭圆

a'b'22

E上.

(1)求椭圆E的方程；

(II)直线1与椭圆E交于A、B两点,且线段AB的垂直平分