2023-2024学年福建省宁德市蕉城区宁德第一中学九年级上学期开学数学试卷含详解

宁德第一中学九年级2023-2024学年第一学期

暑期开学考试数学试卷

（本试卷满分100分，考试时间90分钟）

注意事项：考生将自己的姓名和班级等信息及所有答案均用水笔填写在答题卡上.选择题部分用2B

铅笔填涂，注意答题卡不要折叠.

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）

1.下列方程是一元二次方程的是（）

A.X-2=0B.X2-4x-1=0C.x2-2r-3D.xy+-l=0

2.一元二次方程2∕-3χ+l=0的一次项系数为（）

A.-3B.1C.2D.3

3.如果一元二次方程V+px+4=0能用公式法求解，那么必须满足的条件是（）

A.p2-4q≥0B.p'-4q≤0C.p~-4q>0D.p2-4<7<0

4.如果/+7α=(),那么”的值是()

A0B.7C.0或7D.0或一7

5.已知关于X的方程/+阳+3=0的一个根为X=1,则实数”的值为（）

A.4B.-4C.3D.-3

6.用配方法解一元二次方程/-8χ+ll=0,此方程可化为()

A(χ-4)2=5B.(X+4)2=5C.(X-4>=27D.(x+4)2=27

7.如图，在一张长宽分别为50Cm和30Cm的长方形纸板上剪去四个边长为XCm的小正方形，并用它做成一个无盖

的小长方体盒子，若要使长方体盒子的底面积为300cm2,求X的值，根据题意，可列得的方程为（）

50cm--------1

FT

30Cm

∏l

A.(50-x)(30-x)=3∞B.(50-2X)(30-2Λ)=300

C(50-2X)(30-Λ)=300D.1500-4X2=300

8.若一元二次方程皿2+2χ+1=0有实数解，则”的取值范围是（）

A.m≥-∖B.m£1C./"≥-1且加。（）D.，〃£1且加。（）

9.三角形两边长分别为3和6,第三边的长是方程d-i3χ+36=0的两根，则该三角形的周长为（）

A.4B.13C.4或9D.13或18

10.为了迎接校庆,初三年级组织乒乓球比赛,赛制为单循环形式（每两个选手之间都必须赛一场）,全年级共进行了28

场比赛,这次参赛的选手有（）

A7位B.8位C.9位D.10位

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

11.方程（x-3p+5=6X化成一般形式是.

12.一元二次方程（尢一3）（%—2）=0的根是.

13.若关于X的一元二次方程χ2-2x+左=0有两个不相等的实数根，则人的取值范围是.

14.已知七、演是方程2f-3%+l=0两根，则代数式f_上的值为_______.

ɪ乙l+x1x2

15.若x=3是关X的方程"2—笈=6的解，贝∣J2023-6α+%?的值为.

16.在解一元二次方程χ2+pχ+q=o时，小红看错了常数项心得到方程的两个根是—3,1.小明看错了一次项

系数P,得到方程的两个根是5,-4,则原来的方程是.

三、解答题（本大题共3小题，17题20分，18题10分，19题12分，共42分）

17.解方程

（1）（X+2）2=1

⑵√+2=2√2x

（3）（%-5）2=8（%-5）

（4）2X2-4X=3

18.如图，用篱笆靠墙围成矩形花圃ABCr>,墙可利用的最大长度为15米，花圃一面利用墙，其余三面用篱笆围

成，篱笆总长为24米.

（1）若围成的花圃面积为40平方米时，求BC的长；

（2）围成的花圃面积能否为75平方米，如果能，请求BC的长；如果不能，请说明理由.

19.2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱.某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每

件58元的价格出售.经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件.

(1)求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率.

(2)从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客.经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增

加20件.当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？

宁德第一中学九年级2023-2024学年第一学期

暑期开学考试数学试卷

（本试卷满分100分，考试时间90分钟）

注意事项：考生将自己的姓名和班级等信息及所有答案均用水笔填写在答题卡上.选择题部分用2B

铅笔填涂，注意答题卡不要折叠.

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）

1.下列方程是一元二次方程的是（）

A.X-2=0B.X2-4x-1=0C.x2-2r-3D.xy+-l=0

【答案】B

【分析】本题根据一元二次方程的定义解答.一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）

二次项系数不为0;（3）是整式方程；（4）含有一个未知数.由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件

者为正确答案.

【详解】解：4、本方程未知数X的最高次数是1;故本选项错误；

8、本方程符合一元二次方程的定义；故本选项正确；

C、N-2x-3是代数式，不是等式；故本选项错误；

D、本方程中含有两个未知数X和），；故本选项错误；

故选：B.

【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后

看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2.

2.一元二次方程2χ2-3χ+l=0的一次项系数为（）

A.-3B.1C.2D.3

【答案】A

【分析】根据一般形式的定义求解即可.

【详解】解：一元二次方程2f一3x+l=0的一次项系数为一3.

故选A.

【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，即办2+bx+c∙=0（α≠0）.其中α是二次项系数，〃是一次项系

数，c是常数项.

3.如果一元二次方程无2+pχ+q=0能用公式法求解，那么必须满足的条件是（）

A.p2-4q≥0B.p2-4^<0C.p2-4^>0D.p2-4⅛<O

【答案】A

【分析】根据在ANO的前提下用公式法解一元二次方程，即可确定答案.

【详解】解：,；ɑ=1，b=p,c=q,

■■Δ=⅛2-4"c=P?-4q≥0时，一元二次方程V+PX+g=0能用公式法求解，

故选：A.

【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键.

4.如果6+7α=0,那么。的值是（）

A.0B.7C.0或7D.0或一7

【答案】D

【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可求解.

【详解】解：a2+7a=0,

“（α+7）=0,

解得。=0或α=-7,

故选D.

【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键.

5.已知关于X的方程/+g+3=0的一个根为X=1,则实数〃?的值为（）

A.4B.-4C.3D.-3

【答案】B

【分析】根据方程根的定义，将X=I代入方程，解出机的值即可.

【详解】解：关于X的方程/+/+3=0的一个根为χ=l,

所以l+m+3=0,

解得m=—^.

故选：B.

【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握由方程的根求待定系数的方法是将根代入方程求解.

6.用配方法解一元二次方程d-8χ+ll=0,此方程可化为()

A.(X-4)2=5B.(尤+4)2=5C.(χ-4)2=27D.(χ+4)2=27

【答案】A

【分析】根据配方法计算方法化简即可；

【详解】炉一8χ+U=0,

X2-8x=-11，

X2-8X+42=-11+4?，

(X-•4)"=5；

故答案是A.

【点睛】本题主要考查了一元二次方程配方法的应用，准确化简是解题的关键.

7.如图，在一张长宽分别为50Cm和3()Cm的长方形纸板上剪去四个边长为XCm的小正方形，并用它做成一个无盖

的小长方体盒子，若要使长方体盒子的底面积为300cπ√,求X的值，根据题意，可列得的方程为()

，I∙5(km∙I

A.(50-x)(30-x)=3∞B.(50-2x)(30-2x)=300

C.(50-2x)(30-x)=3∞D.1500-4X2=300

【答案】B

【分析】先分别表示出底面长方形的长和宽，然后根据长方形面积公式列出方程即可.

【详解】解：由题意得，底面长方形的长为(50—2x)Cm,宽为(30—2x)cm,

•••要使长方体盒子的底面积为300cπ√，

.∙.(50-2x)(30-2x)=300,

故选B.

【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意表示出底面长方形的长和宽是解题的

关键.

8.若一元二次方程皿2+2χ+1=0有实数解，则机的取值范围是()

A.m≥-∖B.m£1C.“2≥T且Hl≠0D.且加HO

【答案】D

【分析】由于关于X的一元二次方程/n∕+2x+l=0有实数根，根据一元二次方程根与系数的关系可知A20,且

m≠0,据此列不等式求解即可.

【详解】解：由题意得，4-4m≥0,且加。0,

解得，〃?£1,且m≠0.

故选：D.

【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c^0(a≠0)的根的判别式△=从—4成,与根的关系，熟练掌握根的

判别式与根的关系式解答本题的关键.当A>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当△=()时，一元二次

方程有两个相等的实数根；当A<0时，一元二次方程没有实数根.

9.三角形两边长分别为3和6,第三边长是方程f-i3x+36=0的两根，则该三角形的周长为()

A.4B.13C.4或9D.13或18

【答案】B

【分析】利用因式分解解方程得到三角形的第三边长为4或9,然后计算三角形的周长.

【详解】解：f-i3χ+36=0,

(%-4)(%-9)=0,

解得：x=4或者x=9,

即第三边长为9或4,

边长为9,3,6不满足三角形三边关系；

而4,3,6能构成三角形，

.∙.三角形的周长为3+4+6=13,故B正确.

故选：B.

【点睛】本题考查一元二次方程的解以及三角形三边关系，理解三角形三边关系是解题的关键.

10.为了迎接校庆,初三年级组织乒乓球比赛,赛制为单循环形式(每两个选手之间都必须赛一场),全年级共进行了28

场比赛,这次参赛的选手有()

A.7位B.8位C.9位D.10位

【答案】B

【分析】设有X名选手，根据比赛规则可知gx(x-l)=28,解这个方程即可求出答案.

【详解】设有X名选手，由题意得，

ɪX(Λ-1)=28

解之得，

xι=8*2=-7(不合题意，舍去)，

这次参赛的选手有8位，

故选B.

【点睛】本题主要考查的是一元二次方程的应用的问题.解决本题的关键是正确理解题意，找出等量关系，列出方

程.难度不大，是一道中等题.

二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)

11.方程(x-3p+5=6X化成一般形式是.

【答案】√-12%+14=0

【分析】化为Or°+法+c=0(α≠0)的形式即可.

【详解】解：∙∙∙(x-3y+5=6x,

•∙f—6x+9+5—6x>

二f-6χ-6x+9+5=O，

•J-12X+14=0∙

故答案为：√-12%+14=0∙

【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，即αr2+fer+c=0(α≠0).其中。是二次项系数，6是一次项系

数，C是常数项.

12.一元二次方程(x-3)(x-2)=0的根是.

【答案】xl=3,X2=2

【分析】利用因式分解法把方程化为x-3=0或x-2=0,然后解两个一次方程即可.

【详解】解：X—3=0或X—2=(),

所以X-3,X2=2.

故答案为Xl=3,W=2.

【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程解的方法，这种方法

简便易用，是解一元二次方程最常用的方法.

13.若关于X的一元二次方程V—2x+Z=0有两个不相等的实数根，则上的取值范围是.

【答案】k<∖

【分析】若一元二次方程有两个不相等的实数根，则根的判别式A=∕√-4αc>0,建立关于火的不等式，解不等式

即可得出答案.

【详解】解：•••关于X的方程V—2x+Z=O有两个不相等的实数根，

△=廿一4αc=(-2)2-4女>0,

解得左<1∙

故答案为：k<∖.

【点睛】此题考查了根的判别式.一元二次方程公2+陵+c=θ(αRθ)的根与A=6-40c有如下关系：(1)

A>Oo方程有两个不相等的实数根；(2)A=O=方程有两个相等的实数根；(3)△<()=方程没有实数根.

X+X

14.已知不、々是方程2f-3%+l=0两根，则代数式L1~9的值为.

1十∙A∙∣ʌɔ

【答案】1

b

Xj+%=----

【分析】根据/、巧是一元二次方程依2+bχ+c=O两个根，则有"，求解即可.

C

%多=-

Ia

【详解】解：由题意得

3

玉+%2=2

1，

xi∙χ2^-

3

原式=得=1.

1+ɪ

2

故答案：L

【点睛】本题考查了韦达定理，掌握定理是解题的关键.

15.若x=3是关X的方程"2一历c=6的解，则2023-6。+»的值为.

【答案】2019

【分析】将x=3代入方程，得到3。一万=2,利用整体思想代入求值即可.

【详解】解：∙∙∙χ=3是关X的方程Or2一法=6的解，

'∙a∙32-3b=6>即：3a-b=2,

：.2023-&/+2。

=2023-2(3α-⅛)

=2023-2x2

=2023-4

=2019；

故答案为：2019.

【点睛】本题考查方程的解，代数式求值.熟练掌握方程的解是使等式成立的未知数的值，是解题的关键.

16.在解一元二次方程f+a+q=。时，小红看错了常数项q,得到方程的两个根是—3,1.小明看错了一次项

系数产，得到方程的两个根是5,-4,则原来的方程是.

【答案】x2+2x-20=0

［分析］先设这个方程的两根是a,β,根据两个根是—3,1和两个根是5,~4，得出。+£=-〃=-2,协=4=-20,

从而得出符合题意的方程.

【详解】解：设此方程的两个根是a、4，根据题意得：a+分=一〃=-2,aβ=q=CO,

则以a、夕为根的一元二次方程是f+2x—20=().

故答案为：X2+2x—20=0-

【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若4为方程办2+"+C=0(。H0)的两个根，则为，

bc

*2与系数的关系式：X∣+X=，X-X=—.

2ai2'a

三、解答题(本大题共3小题，17题20分，18题10分，19题12分，共42分)

17.解方程

(1)(x+2)2=1

2

⑵X+2=2√2X

(3)(x-5)2=8(x-5)

(4)2∕-4χ=3

【答案】(1)Xl=T,X2=-3

(2)χl=χ,—y/2

(3)∙X∣—5,々=13

【分析】(1)用直接开平方法解一元二次方程;

(2)用配方法解一元二次方程；

(3)用因式分解法解一元二次方程；

(4)用配方法解一元二次方程.

【小问1详解】

解：原式=x+2=±l,

解得x+2=l或x+2=—1,

解得玉=-1,马二-3；

【小问2详解】

解：原式=V一2√ΣX+2=0,

即(x-√∑)2=o,

解得：

Λ∖=X2=V2

【小问3详解】

解：(X-5)2=8(x-5),

.∙.(Λ-5)2-8(X-5)=0,

.∙.(x-5)(x-5-8)=0,

解得％=5,W=13；

【小问4详解】

解：2∕-4X=3,

2(X2-2x)=3,

(%—I)2=—,

..X-1—±-----,

2

繇徂―亚-1ʌ/ɪθ

fflT-得%=Id----—>々=1---------

【点睛】本题主要考查解一元二次方程的方法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键.

18.如图，用篱笆靠墙围成矩形花圃ABcD,墙可利用的最大长度为15米，花圃一面利用墙，其余三面用篱笆围

成，篱笆总长为24米.

I，，，”，，，，，，，，，，，，，，，.，，，，，

AD

BC

（1）若围成的花圃面积为40平方米时，求BC的长；

（2）围成的花圃面积能否为75平方米，如果能，请求BC的长；如果不能，请说明理由.

【答案】（1）BC的长为4米

（2）不能围成面积为75平方米的花圃.理由见解析

【分析】（1）设BC的长度为X米，根据矩形的面积公式，列出方程进行求解即可；

（2）根据题意，列出方程，利用判别式进行判断即可.

【小问1详解】

24-X

解：设BC的长度为X米，则AB的长度