重庆市2022-2023学年高一年级下册学期期末联考数学试卷（含答案）

重庆市部分区2022-2023学年高一下学期期末联考数学试卷

学校：姓名：班级：考号：

一、选择题

1、复数z=l—i的虚部为（）

A.lB.-lc.iD.-i

2、已知点C在线段A3上，且AC=2CB，若向量AC=/IAB，则几=（）

A.2C-lDt

3、某校高中生共有3000人，其中高一年级900人，高二年级600人，高三年级1500

人，现采用分层抽样的方法随机抽取容量为150人的样本，那么高一、高二、高三年级

被抽取的人数分别为（）

A.45,30,75B.45,15,90C.30,30,90D.60,30,60

4、已知向量〃=(4,2)，b=(6,x)若w//,，则x=()

A.12B.3C.-12D.-3

兀

5、函数f(JC)=2sin|x+—|,xe[0,可的单调减区间是（)

3

C兀2兀兀

A.BDn.—,71

呜.69T6

6、如图，在长方体ABCO-AQGA中，AB=2，BC=CG=1•则直线AG与平面

所成角的余弦值是（）

A.BC.B

23吗

7、2023年4月10日，重庆市中学生田径锦标赛在奉节举行.本次锦标赛设有长跑、短

跑、跳高、跳远、铅球等项目，某参赛队员要从短跑、跳高、跳远、铅球4个项目中任选2

项，假设每个项目被选中的可能性相等，那么跳高和铅球至少有一门被选中的概率是

()

A.lB.lC.-D.-

6236

8、已知锐角△ABC的内角ABC所对边为a,6,c,月.匕=2由118，则sinB+cosA的取值

范围是（）

植3）

A.化也1C.（0,V3）D.（1,V3）

*2’Z2J2’2

二、多项选择题

9、已知函数/（x）=Gsinx+cosx，贝4（）

A.八%）的最大值为行B./（x）的最小正周期为2兀

+是偶函数的图象关于原点对称

10、下列说法正确的是（）

A.若直线。不平行于平面a则a内不存在与“平行的直线

B.直线44互相平行的一个充分条件是44都垂直于同一个平面

C.已知平面a,/?,/若a///?,pilyDI1]ally

D.已知平面a,0,y,若a工0,/?J_y则a_Ly

11、为深入学习宣传党的二十大精神，某校开展了“奋进新征程，强国伴我行”二十大

主题知识竞赛.其中高一年级选派了10名同学参赛，且该10同学的成绩依次是：

85,77,92,88,95,88,93,92,96,84.则下列针对该组数据说法正确的是（）

A.平均数为89,方差为3.06

B.中位数为90,众数为88和92

C.每个数都加5后平均数和方差均无变化

D.75%分位数为93,极差为19

12、如图，正方体ABCD-棱长为1,侧面上有一个动点M,则下列

结论正确的是（）

D、G

4Bl

\M!

D\c

I/

AB

A.若MeA。，则CMJ.A"

B.三棱锥MG。体积的最大值是工

3

C.若MeAQ,则异面直线4M与CD所成角的余弦值范围是

D.不存在点M,使M到直线AD和直线GA的距离相等

三、填空题

13、一个正方体的体对角线长为后，它的顶点都在同一球面上，则该球的体积为

14、若cos(a-兀)=［，贝！Jsin22=-

15、甲袋中有4个黑球、2个白球，乙袋中有2个黑球、1个白球，先从甲袋中随机取出

一个球放入乙袋，再从乙袋中随机取出1球，记3=”从乙袋中取出的是黑球''则

尸(6=----------------

四、双空题

16、已知菱形ABC。的边长为石，且NABC=12()。，将菱形沿对角线AC翻折成直二

面角8-AC-。，则A5.A£)=；二面角4一3。一C的余弦值是.

五、解答题

17、已知向量a=(—1,2),人=(3,—1).

(1)求向量a在向量b方向上的投影向量“；

(2)确定实数2的值，使(a+2b)_L(Qz+。).

18、骰子(b“zi),中国传统民间娱乐用来投掷的博具.早在战国时期就有.通常作为桌

上游戏的小道具，最常见的骰子是六面骰，它是一颗正立方体，上面分别有一到六个

孔(或数字)，其相对两面之数字和必为七.中国的骰子习惯在一点和四点漆上红色.骰

子是容易制作和取得的乱数产生器.骰经常会被错误念成.防山.现甲、乙两人玩掷骰子

(质地均匀)游戏，每人掷同一枚骰子各一次，若两人掷出的点数和为偶数算甲赢，

否则算乙赢.

(1)记4="甲、乙两人掷出的点数和为6”，写出事件A包含的样本点；

(2)现连玩三次，记3="甲至少赢一次"，C="乙至少赢两次“，试问：8与。是否为互

斥事件？为什么？

(3)这种游戏规则公平吗？试说明理由.

19、已知。力,c分别为△ABC的内角A,B,C的对边，sinB+JIcosB=2sinC，旦。＞o

⑴求A；

(2)若4=3',/\钻。的周长3+百，求△ABC的面积.

20、如图，在四棱锥P—ABCZ)中，PA_L平面ABC。，底面A8CQ是边长为2的菱

形，点。是对角线AC与8。的交点，乙钻。=120。,加是PO的中点.

(1)证明：0M〃平面PBC

(2)证明：平面平面

(3)若抬=/，求三棱锥O-P3C的体积.

21、“杭州2022年第19届亚运会”将于2023年9月23日至10月8日在中国浙江杭州

举行.在杭州亚运会倒计时两周年之际，由杭州亚运会组委会与中国日报社联合主办的

“杭州2022年第19届亚运会”双语学生记者活动正式启动.为助力杭州亚运会宣传工

作，向世界讲好中国故事，奏响亚运最强音.杭州市相关部门积极组织学生报名参加选

拔考试，现从参加考试的学生中抽出60名，将其成绩(成绩均为整数)分成

[40,50),(50,60),……,[90,100]六组,并画出如图所示的部分频率分布直方图,观察图

形，回答下列问题：

(1)求第四组的频率，并补全这个频率分布直方图；

(2)请根据频率分布直方图，估计样本的中位数和方差.(每组数据以区间的中点值为代

表).

22、已知向量/n=(cosox-sin0x,2sin0x)，"=(cos3x+sinsr,Gcos3x)(3>0)函数

f(x)=mn+t，若/(x)图象上一个最高点和它相邻最低点之间的水平距离为T，图

象过点

⑴求/(X)表达式和“X)的单调减区间;

(2)将函数“X)的图象向右平移:个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍

(纵坐标不变)，得到函数y=g(x)的图象,若函数产(x)=g(x)-左在区间［0,2可上

有且只有一个零点，求实数人的取值范围；

71571

(3)若函数〃(％)=f一2如+1，在(2)的条件下，若当玉40,2］时，总有々e

使得〃a)=g(w)，求实数〃，的取值范围.

参考答案

1、答案：B

解析：因为复数z=l-i，

故z=l-i的虚部为J

故选：B

2、答案：D

解析：如图，由4C=2CB，可得AC=2AB，所以AC=2AB,即4=2,

333

故选：D.

AC~~B

3、答案：A

解析：依题意，高一年级被抽取的人数为900x旦=45人，

3000

高二年级被抽取的人数为600x-^-=30人，

3000

高三年级被抽取的人数为1500x3_=75人.

3000

故选：A

4、答案：B

解析：因为向量a=（4,2），〃=（6,x），allby

所以有4x—2x6=0，解得％=3.

故选：B

5、答案：D

解析：令工+2火兀＜x+二〈池+2E,%£Z，所以3+2氏兀＜x＜4+2&兀，ZEZ

23266

当上=0,34XW2E，由于-,71u，故D正确，ABC均错误，

66|_6」-1_66J

故选：D

6、答案：C

解析：如图，连接直线8G，显然，在长方体ABC。-4与GA中，4?_L平面

BB©C，故NA。/即为直线ACt与平面BB©C所成角，

在RtZXAGB中，AB=2，C1B=个BC?+CQ=6,

22

AC,=^AB+CyB=打+(4y=V6，

C、B6.

/.cosNAC]8=

~AQ~46~~

解析：从4个项目中任选2项共有：短跑+跳高、短跑+跳远、短跑+铅球、跳高+跳

远、跳高+铅球、跳远+铅球，共6种情况,

其中满足跳高和铅球至少有一门被选中的有5种情况，所以其概率为3,

6

故选：D.

8、答案：B

解析：因为8=2csinB，由正弦定理可得sin8=2sinCsinB，

依题意8G(0,工)，所以sinB>0，则可得sinC=L

22

因为Ce(0,E)，所以C=工，则A+B=型，B=--A，

2666

所以sinB+cosA=sin(-—A)+cosA=sin-cosA-cos-sinA+cosA

666

=sinA+—cosA=A/3sin(A+-)'

223

0<A<-

因为△口€1是锐角三角形，所以2，得色<A<°，

cn5兀4兀32

所以与<A+恭装rSin(A+i)<T，¥〈氐皿4+至〈京

即sinB+cosA的取值范围是•

(22)

故选：B

9、答案：BCD

解析:/(x)=>/3sinx+cosx=2^^-sinx+^cosx=2sin(x+《),

对于A,当sin(x+^|=l时，取得最大值2,所以A错误,

对于B,〃力的最小正周期为2兀，所以B正确，

对于C,fx+=2sin^x+y+=2sinx+=2cosx,xeR，

令8⑸=『"J2』，因为g(T)=2cos(-x)=2cosx=蚣)，

所以g(x)=/1+^)=2cosx为偶函数，所以C正确，

对于D,=2sin^x-^-+^=2sinx,

因为y=2sinx的图象关于原点对称，

所以/卜-器］的图象关于原点对称，所以D正确，

故选：BCD

10、答案：BC

解析：对于A,若直线。不平行于平面a,则可能有aua,此时a内存在与。平行

的直线，故A错误；

对于B,因为垂直于同一平面的两条直线相互平行，小4都垂直于同一个平面，所以

直线互相平行，故B正确；

对于C,因为如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行，故C

正确；

对于D,平面a,夕，y若&_1_尸，/7_!_/则可能有a〃7,故D错误.

故选：BC.

11、答案：BD

解析：对于A,平均数为85+77+92+88+95+88+93+92+96+84=89,

10

方差'x[(85—89『+(77-89)2+(92-89)2x2+(88-89)2x2+

(95-89)2+(93-89)2+(96-89,+(84-89了]=30.6，故选项A错误；

对于B,中位数为型2=90,众数为88和92,故选项B正确；

2

对于C,根据平均数和方差的性质可得，每个数都加5后平均数对应的加上5,方差

不发生改变，故选项C错误；

对于D,因为H)x75%=7.5,所以77,84,85,88,88,92,92,93,95,96的第75%分位数为

93,极差为96-77=19，故选项D正确，

故选：BD.

12、答案：ABC

解析：对A,连接AQ，AD^CA^CM

在正方体ABCD-\BXC,DX，CDjJ则面4。£)同，

4。1匚平面4。34，CD±ADt,又4OJ.A2，

CD^}\D=D,8,4。<=平面4。。，

J"平面4。。，又Me4。，.•・。〃匚平面4。。，

CM±ADt,故A正确；

对B,由等体积法得VR_MC>n=VW_C|BD,当点M与点片重合时，

点M到面。乃。的距离最大，因为正方体的棱长为1,

所以三棱锥4-C}BD为棱长为0的正四面体，

所以三棱锥A-C.BD的高为《仞2_图2=芈，

所以三棱锥3-MG。体积的最大值为

V,=故B正确；

A-GB。32233

对C,异面直线B,M与CD所成的角为乙4,用M,

当点M与A或重合时，NA/iV最大，此时cosNAgV=cos45=*

44_1_V6

当点M为A"的中点时，乙4,四用最小，此时8$48幽=丽=能=7，

T

所以异面直线4M与CD所成角的余弦值范围是［乎，闿，故C正确；

对D,平面AOQA上的点加到直线CQ的距离等于点M到点Q的距离，

则满足到直线AD和直线GA的距离相等即满足到直线AD和点D,的距离相等,

可知点M的轨迹为平面ADA4上抛物线的部分，

所以存在点M,使M到直线AO和直线CR的距离相等，故D错误;

故选：ABC

解析：根据长方体的结构特征可知长方体的体对角线为其外接球的一条直径2H，所以

2R=』R=¥，故球的体积为1x闺；冬，

故答案为：叵

3

14、答案：士二

25

解析：因为cos（a-#=cos（7i-a）=-cosa=、，

所以cosa=--，

5

所以sin。=±5/l-cos2a二土二，

所以sin2a=2sinacosa=2x

故答案为：±11

15、答案：2

3

解析：根据题意，甲袋中有4个黑球、2个白球，乙袋中有2个黑球、1个白球，

当甲袋中随机取出1个球为黑球时放入乙袋，此时乙袋中有3个黑球，1个白球,

43

此时从乙袋中取出的是黑球的概率为4=—X—

642

当甲袋中随机取出1个球为白球时放入乙袋，此时乙袋中有2个黑球，2个白球,

221

此时从乙袋中取出的是黑球的概率为鸟=-X—=—，

646

112

所以P（B）=[+2=—+-

263

故答案为：

3

16、答案：2；_2

47

解析：过点B作BOJ.AC，连接00,3。

结合题意可知。为AC的中点，月.£)0J_AC，

所以480。即为二面角B-AC-。的平面角，由题意可知，BO1DO-

因为BA=8C=6，ZABC=120>所以AC=3，且。。=80=日，

2

进而得到30=迈，

2

在△A3。中，由余弦定理可得_3,

COSA_Lj/\Ly-一

2xV3x^4

所以A8AO=GX百XCOSNBAQ=2，

4

取BD的中点F,连接AAC凡因为45=4）,CB=CD，

所以A/LBD，CF上BD，

则NAEC即为所求二面角A-8D-C的平面角，

在Rtz^AFB中，因为AB=&，BF=』BD=旦，

24

所以AF=,A82_B尸=3|,同理。尸=32，

44

在△AC产中，由余弦定理可得，

42

%.9s

AFhFC—AC216165

cosZAFC=

2AF-FC

故答案为：4

3

17、答案:(1)

2,2

(2)4=3

解析：（1）令向量q与向量〃的夹角为e,cose=—d_=_^z'=—七

\a\-\b\V5xV102

<2)因为a=(—l,2),8=(3,—l)

所以a+4=(一l,2)+2(3,T)=(5,0)，

=1,2)+(3,—1)=(—4+3,2/-1)，

因为（a+2〃）J_（2a+b）,故（a+28）。（4a+6）=-54+15=0,

解得;l=3.

18、答案：（DA=｛（1,5）,（2,4）,（3,3）,（4,2）,（5,1）｝

（2）不是，理由见解析

（3）公平，理由见解析

解析：（1）用表示甲、乙两人投出的点数，则（x,y）表示这个实验的一个样本点，

所以该实验的样本空间为S=｛（x,y）|xeN*,ywN*,l〈xW6,l〈y<6｝，共有36个样本

点，

事件A包含的样本点共5个，即A=｛（1,5）,（2,4）,（3,3）,（4,2）,（5,1）｝;

（2）8与。不是互斥事件，由于连玩三次，

则事件B与C可以同时发生，如甲赢一次，乙赢两次的事件即符合题意，

所以事件B与。不是互斥事件；

（3）这种游戏规则公平，

由题可知甲、乙两人投出的点数和为偶数的样本点有

（1,1），（1,3）,（1,5）,（2,2）,（2,4）,（2,6）,（3,3）.（3,5）,（4,4）,（4,6）,（5,5）

（6,6），（5,1）,（3,1）,（6,2）,（4,2）,（5,3）,（6,4）共18个.

所以甲赢的概率为更=L所以乙赢的概率为史=L所以这种游戏规则公平.

362362

19、答案：(1)工

3

⑵且

2

解析：(1)-sinB+V3cos5=2sinC,.,.sin[5+^j=sinC,

.•.8+二=C或8+二+C=TT，

33

在△ABC中，b>c^:.B>C^.B+-^C

3

:.B+-+C=n，B+C=-,:.A=-i

333

(2)...△ABC的周长3+布,

又；a=布，:.b+c—3

由(1)可知：A=工，

3

由余弦定理得：a2-b2+c2-2bccosA=(Z?+c)2-2/?c-2bccos1=9—3机＞=3,

bc=2，

由面积公式得：S=—Z?csinA=—Z?csin—=—be=■

*22342

20、答案：(1)证明见解析

⑵证明见解析

(3)1

解析：(1)因为在△PBD中，O,M分别是8。万。的中点，

所以〃尸5，

又因为。加2平面P8C，PBU平面PBC,

所以〃平面PBC

(2)因为底面ABC。是菱形，所以3。，AC，

因为PAJL平面ABC。,80u平面A5CD,所以姑J.8D，

又因为PAAC=A，出,ACu平面PAC

所以6DJL平面尸人。，

因为BOu平面P8Q,

所以平面PACJ_平面尸8。

(3)因为底面ABC。是边长为2菱形，ZABC=nO°＞

所以根据三角形面积公式得s=S忖=工x22x立=百，

oCzv/IDC22

又因为三棱锥P-8C£＞的高为P4=后，

所以%-PBC=匕-88=gSas8.PA=；x6x6=L

21、答案：(1)0.3,直方图见解析

220

(2)—,194

3

解析：（1）因为各组的频率和等于1,所以第四组的频率为

1-（0.010+0.015+0.015+0.025+0.005）x10=1-0.7=0.3，

补全的频率分布直方图如图所示.

（2）前三组的频率之和为：（0.010+0.015+0.015）xl0=0.4<0.5，

前四组的频率之和为：0.4+0.03x10=0.7>0.5，

设中位数为x,则应有xe（70,80）;

又0.4+(x-70)x0.03=0.5,所以》=二即样本的中位数为乌2；

3

抽取学生的平均数约为

x=10x(45x0.010+55x0.015+65x0.015+75x0.030+85x0.025+95x0.005)=7b

所以样本的方差为：

?=10X[(45-71)2X0.010+(55-71)2X0.015+(65-71)2X0.015

+(75-71)2X0.030+(85-71)2X0.025+(95-71)2x0.005

=67.6+38.4+5.4+4.8+49+28.8=194•

22、答案：