2024年广东省新高考数学一模练习卷（含答案）

2024新高考数学一模练习卷(一)

数学试卷

本卷共6页，满分150分，完成时间120分钟.

考生注意事项：

1.答卷开始前，考生务必将自己的姓名，准考证号正确填涂于答题卡的指定区域；并检查试卷与答

题卡的张数与印刷情况.

2.在回答选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔在答题卡对应标号上将选项涂黑；若需改动,

用橡皮擦干净后，再将改动后的选项标号涂黑.

3.在回答非选择题时，用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡的指定区域上填写答案；若需改动，

将原答案划掉，再填上改动后的答案，改动后的答案也不得超出指定的答题区域.

4.答卷结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

2

1.集合A-{x\x—4%+3<0},B-[x\y-In(%—1)},则CBA=(*).

(A){x\x>1}(B){x\x>3]

(C){x\l<x<3](D){x\x<3}

2.在复平面中，点Zi对应的复数为z,点Z2对应的复数为z,若IZJ=iZ/zl=2,

则西•两=(*)­

(A)-5(B)-4

(C)4(D)5

3.已知事件A,B,C相互独立，且P(Z),P(B),P(C)C(0,1),则在以下说法中,

错误的是(*).

(A)事件A,BC均为随机事件

(B)事件A,B,C均与必然事件M相互独立

(C)事件4,B,C均与不可能事件N不互斥

(D)事件A,Bc均与事件anBnc对立

4.记Sn为数列｛an｝的前n项和，若的=1,S"=2an+an+1,则在di~a2024中,

整数的个数是(*).

(A)1012(B)1011

(C)2024(D)2023

5.中国是瓷器的故乡瓷器”一词最早见之于许慎的《说文解字》中.某瓷器如图1所

示，该瓶器可以近似看作由上半部分圆柱和下半部分两个等高(高为6cm)的圆台组

合面成，其直观图如图2所示，已知圆柱的高为20cm,底面直径AB=10cm,底面

直径CD=20cm,EF=16cm,若忽略该瓷器的厚度，则该瓷器的容积为(*).

图1图2

(A)6697Tcm3(B)13387Tcm3

(C)650兀cm3(D)1300兀cm3

6.已知椭圆1(a>b>0)过点(|V2,V2)，则下列直线方程不与「相切的

\2/

是(*).

(A)3V3x+4y-16=0(B)3%+4y+12=0

(C)4x+6y-17=0(D)%—4y—10=0

7.已知函数/(%)=2sin(ax+1在区间(0,7T)上有a个极值点((JO

最小值是(*).

(A)1(B)2

(C)3(D)4

8.已知a—1+sinV,1*,c=l.Ol10,d=—则(*).

169

(A)b>a>d>c(B)b>c>a>d

(C)b>a>c>d(D)b>c>d>a

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.2023年我国的生育率仅为每千人6.2人，再创新低，引发了社会广泛的关注和讨论.某

课外小组就“您是否愿意生育孩子？”为问题对某某高校同学随机进行了采访，以下为

其采访记录表：

您是否愿意生育孩子

愿意(X=1)不愿意(X=0)

男同学4060

女同学6040

考虑到由于大学生的心智发展不成熟，不能完全代表当代年轻人，于是其又对年龄为25

至30周岁的市民进行了采访调查，以下为其采访记录表：

您是否愿意生育孩子

愿意(X=1)不愿意(X=0)

男士6040

女士7030

则(*).

(A)该两次的调查结果均服从两点分布，属于200重伯努利试验

(B)高校大学生愿意生育孩子的期望为0.5,25至30周岁的为0.65

(C)通过下表的小概率值a=0.005的独立性检验，是否愿意生育孩子与年龄有关

(D)通过下表的小概率值a=0.005的独立性检验，是否愿意生育孩子与性别有关

注：

7

x=7---7T7----7T7----<7；---rr，其中n-a+b+c+d

“(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.10.050.010.0050.001

2.7063.8416.6357.89710.828

10.由两个全等的正四棱台组合而得到的几何体1如图3,沿着BBi和DDi分别作上底面

的垂面，垂面经过棱EP,PH,HQ,QE的中点F,G,M,N,则两个垂面之

间的几何体2如图4所示，若EN=2B=E2=2,则(*).

(A)BBi=2&(B)FG//AC

(C)BD1平面)町卢\——二一\BFB\G

RAfi

图3图4

22

11.已知椭圆E:±+匕=1,过椭圆E的左焦点网的直线h交椭圆E于a、B两

点，过椭圆E的左焦点F2的直线12交椭圆E于C、。两点，则(/).

(A)若丽=2瓦豆，则Zi的斜率/c=—cJ-^4

//XI/)\\

(B)I4F1I+4IBF/的最小值为,

22r

(C)以AFr为直径的圆与圆x+y=4相切z''.'

\.7

(D)若"I。，则四边形ABCD面积的取值范围为[翼,6]

图5

12.已知正实数m,n,q满足：十三=需，则(*)♦

I，•3=5"

1

(A)In2<q<1(B)0<mn<-

(C)V2<<V6(D)—<m2+n2<In5+In6

qIn6

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.在+的展开式中，6的系数是.(用数字作答)

14.函数/(%)=sin|久|+|cos%],久C(0,2兀)的极值点个数为.

15.已知函数/(%)=代十°T壬°，若方程/(%)=m有三个不同的实根a,b,c,

(.Inx,x>0

则S=[a/(a)+bf(b)+c/(c)|的取值范围是.

16.若实数a,b满足a2+b2<6a，则(2a+b)(2b-a+3)<0的概率为

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）已知在ZkaBC中，角a、B、C所对的边分别为a,b,c.且有tan2+

tanB—V3tanAtanB——y/3.

（1）求sinC；

（2）若c=2,记的中点为M,求CM的取值范围.

18.（12分）在阅读完（选择性必修第三册）课本第53页《贝叶斯公式与人工智能》后,

小李同学决定做一个相关的概率试验，试验过程如下：

小李同学找来了小王同学；

小李同学制作了三张标号，分别为1,2,3的相同规格纸片；

每轮开始前，小李同学心里默想1,2,3中的一个随机数字；

小王同学先选定一张纸片，小李同学将剩余2张纸片中挑走1张不与自己默想数字相同

标号的纸片；

小王同学再进行一次选择；

小王同学选定最终结果后，若其选择的纸片标号与小李默想的一致，就记录一次1分,

否则记录一次。分；

重复进行多轮试验.

（1）为了尽可能多计分，如果你是小王同学，第二轮选择时你会怎样选？说明理由；

（2）在（1）的情境下，求进行2轮试验总计分的数学期望E（X2）；

2

19.（12分）记数列［an］的前n项和为Sn,已知Sn-nan+1-n-n.

（1）证明：｛an｝是等差数列;

111127

(2)若出=[，证明：豆+豆+豆+…+募-

20.（12分）如图6,在四棱柱ABCD-A'B'C'D'中，底面ABCD和侧面BB'C'C均为正

方形，2B=2.连接B'D,点、E、F分别为B'D、CD'的中点.

(1)求4F和C'E夹角的正弦值;

(2)求平面A'BF和平面CC'E的夹角.

21.(12分)如图7,已知。为坐标原点，抛物线的方程为/=2py(p>0),F是抛物

22

线的焦点，椭圆的方程为3+—=l(a>b>0)，过F的直线I与抛物线交于M,

a2b2

N两点，反向延长0M,ON分别与椭圆交于P,Q两点.

(1)求k°M、k()N的值；

(2)若\OP\2+\OQ\2=5恒成立，求椭圆的方程；

(3)在(2)的条件下，若产的最小值为1,求抛物线的方程.(其中S&OMN，S&OPQ

◎△0PQ

分别是AOMN和△OPQ的面积)\y\/

22.(12分)已知函数/(%)=aIn%—%+Ina—1,g(%)=言7—1.(其中a〉0)

2

(1)若3%0>0,/(&)>e+1,求a的取值范围；

(2)若y-/(%)与y=g(%)有且仅有一个交点，求实数a的值.

2024年广东省新高考数学一模练习卷(一)

数学参考答案

一、选择题

题号12345678

答案BDDABcAB

二、选择题

题号9101112

答案BCDABCBCDABC

三、填空题

题号13141516

1

答案44[0,e-2]

2

四、解答题

17.(1)

由题tanA+tanB-V3tanAtanB=-V3=tanA+tanB=—V3(l—tanAtanB)

tanA+tanBr-l71

今•;------------------=-V3ntan(71+F)=-V3=>tanC=—tan(.4+5)=V3

1—tanAtanB

所以sinC=y.

(2)

如图所示，构造AABC的外心N,连接AN,BN,CN,MN

25/3

由题得AM=BM=1,AN=CN=BN=R=—MN/AN*

sinC3

由三角形三边关系得CN—MNWCMWCN+MN,

即日WCMW旧，故CMC归闻.

18.(1)记事件为为“第二次选择时不换纸片”，A2

为“第二次选择时换纸片"，B]为“记1分”，B2为“记0分”，由贝叶斯公式得:

=P(Bi)P(4|Bi)=P(Bi)P(&四)=1

(Mi1—P(B])P(&|Bi)+P(B2)P(4|B2)一§

2

P-)=1-P(Bil4)=->P(Bi.)

所以如果我是小王同学，我会选择换纸片

(2)记2轮的总得分为X,结合(1)得X的分布列为

P(X=0)=3P(X=1)=>P(X=2)=g

用表格表示X的分布列，如下表所示：

X012

144

p

999

1444

以乂2)=0Xg+lXg+2Xg=§

故进行2轮试验总计分的数学期望E(X2)为|

19.(1)

22

由题意Sn=nan+1—n—n,Sn+an+1-Sn+1=(n+l)an+1—n—n

—(n+l)(cin+i—n)=(九+l)a?i+2一(n+l)2—(ri+1)—(n+1)(。打+2一律—2),

所以an+1-n-an+2-n-2,即an+2-an+1+2,所以｛时｝是以2为公差的等差数

列

(2)

由(1)及题意得等差数列｛an)的前n项和

nn/2\/1\

Sn=2(.0-1+an)=-+2nj-n\n+-j

1_13

钎小+；厂(3，+1)

111/111

--1---F•••H---=3(------1------F•••H------------

S±S2Sn\1x42x7nx(3n+1)

3339

Bpi正-----1-------1-•••-|-------------v—

3x46x73nx(3n+1)20

易知(3n-l)(3n+2)<3n(3n+1)

33

入3n(3n+1)<(3n—l)(3n+2)

3331/33

-----1------1-,••H-------------<—|-11-••,

3x46x73nx(3n+1)4\5x8------(3n—1)x(3n+2)

1/111111\119

=—kI---------1--------------F…H---------------------------1<—I—=—

4k588113n-13n+2/4520

原题得证，证毕

z

20.(1)

如图，以4为坐标原点，A'B'为x轴，A'D'为y轴，ArA

为z轴，建立空间直角坐标系

则4(0,0,2),B(2,0,2),C(2,—2,2),£)(0,-2,2),

(2,0,0),52,-2,0),D'(0,-2,0),>

则才不=(1,-2,0),■=(—1,1,1),

WF-C^E_-3V15

cos<A'F,C'E>—

|西x|CE|—V15

___>___>2V5

sin<AT，,>=1—cos2<A'F,CrE>=-§-

(2)

设6为平面A'BF和平面CC'E的夹角

由(1)得WB=(2,0,2),0=(1,—2,0),设平面A'BF的法向量近=(打,九21),

则有

｛竽为1，令%一得彳1二，2，所以二=(2,1，—2)；

诙=(0,0,2),■=(—1,1,1),设平面UCE的法向量爪=(%2，y2，Z2)，则有

2Z2=0>2=1

令久1=1得所以雨=(1,1,0)；

一％2+72+z2=072=0

n1-3V2

cos0—cos<n^,n^>—

I近Ix|布|-3V2—2

又因为6E(0,y,所以,

故平面A'BF和平面CUE的夹角为

21.(1)

设直线OM的斜率为ki(ki>0),直线ON的斜率为k2,由题可知，直线MN的斜

率不为0,设M(%i，%)，率如为)，

设直线MN\y-kx+\则由"+5,可得力2—2pkx—p2-0,

I%2=2py

易知/>0,由韦达定理得久1%2=—p2,y/2=攵#==,则k,k2=瓷;=_1；

4p41112一

（2）

设P（%3，y3），Q（%4,、4），

由题可知,1OM：y=k]X,ION：y~k?x,其中自矽=一1，

.y=跖_。2标

2同理域=*普

联立方程真+圣:「"LG

因为：\0P\2+\0Q\2=xl+yl+xl+yl=xj+(^1—^b2+xl+(j.—登)b2

=2b2+(1一/卜蟾+x^)

2/a2—b2\(a2b216a2b2k1\

25+(a2)\b2+a2k^+a2+16b2k1)

2fa2—b2\2a2b2+(3264)般+]6a2b2总

=2b+\a2)'a.02b2+3+16/)幅+16a2炉烧

_2h2+(a2-a2b2+(32—)好+i6a2b2收

224422

Iab+(<a+16b)kl+16abk^

因为|OP『+|OQ|2=5为定值，所以上式与八无关，

所以当32b4=a4+16b4，即a2=4b2时，此时小+加=5,所以q2=4,b2=1,

2

所以椭圆的方程为？+y2=i.

IT1WS^OMN_2l°Mll°WsinNMON_|OM||ON|_I%1叼

\O7I八I，')-1一\OP\\OQ\一1

S^OPQ-\OP\\OQ\sinNPOQX3X4I

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rh号左口小~2A入2dXHiJ4丫/

TO、乙，rj八H，­V，u——'八3-i+4好，1_1+4好'打入2-P，

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S»OMN_工1%2(1+引句）考

8%|-8

S»OPQ工3%41|包

1+4周

2-1

故二=l=p=&,当且仅当心=±刎，等号成立，此时抛物线方程为％2=2奁）7.

2，

22.(1)

/(%)=alnx—%+lna—1,xER+，f'(x)=--\=,令/'(%)=0得％=a

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