第三章 函数的概念和性质（解析版）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________第三章《函数的概念和性质》测试卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．函数的定义域为（

）A．B．C．D．【答案】A【详解】因为，所以，解得，所以函数的定义域为.故选：A2．下列函数中，既是奇函数又在上为增函数的是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】对于A：函数为奇函数，且在定义域上单调递增，故A正确；对于B：函数为奇函数，但是在上为减函数，故B错误；对于C：函数定义域为，为非奇非偶函数，故C错误；对于D：函数定义域为，且，故为偶函数，故D错误；故选：A3．函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由，故，又，，所以函数在的值域为.故选：C4．已知函数，若在R上是减函数，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由在R上是减函数可得，解得，故选：B5．幂函数在上是减函数，且，则m可能等于（

）A．0 B．1 C．2 D．0或1【答案】B【详解】由于幂函数在上递减，所以，则，由于，所以，当时，为奇函数，不满足，舍去；当时，为偶函数，满足；综上，.故选：B.6．已知函数．若的最大值为4，则实数的值为（

）A． B． C．或3 D．或【答案】D【详解】当时，在上单调递增，在处取得最大值，则，解得；当时，在上单调递减，在处取得最大值，则，解得．综上所述，或.故选：D．7．已知，则的值等于（

）A． B．4 C．2 D．【答案】B【详解】因为，所以，所以，故选：B.8．某企业一个月生产某种商品万件时的生产成本为（万元），每件商品售价为元，假设每月所生产的产品能全部售完．当月所获得的总利润用（万元）表示，用表示当月生产商品的单件平均利润，则下列说法正确的是（

）A．当生产万件时，当月能获得最大总利润万元B．当生产万件时，当月能获得最大总利润万元C．当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元D．当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元【答案】D【详解】由题意可得，故当时，取得最大值，，当且仅当时，等号成立，因此，当生产万件时，当月能获得最大总利润万元，当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元.故选：D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列各组函数中，是同一个函数的有（

）A．与B．与C．与D．与【答案】AC【详解】对于A项，的定义域为R，的定义域为R，且，所以，与为同一个函数，故A项正确；对于B项，的定义域为R，的定义域为，定义域不一致，所以，与不为同一个函数，故B项错误；对于C项，的定义域为，的定义域为，且解析式表达形式一致，所以，与为同一个函数，故C项正确；对于D项，解，可得或，所以定义域为.解可得，，所以，定义域为.所以，与的定义域不一致，故D项错误.故选：AC.10．已知函数，则（

）A． B．若，则C．函数在上单调递减 D．函数在的值域为【答案】ABD【详解】作出分段函数图象：

对A，，故A正确；对B，当时，，舍去；当时，（舍）或，则，故B正确；对C，当时，，结合图象可得，在上单调递增，故C错误；对D，由图象可知当时，，，故在的值域为，D正确．故选：ABD．11．已知幂函数，其中，则下列说法正确的是（

）A． B．恒过定点C．若时， D．若时，关于轴对称【答案】ABD【详解】因为函数是幂函数，所以，则，故正确；根据幂函数的图象恒过定点，故正确；当时，，故函数上单调递增，则，故错误；当时，，定义域为，且，故为偶函数，关于轴对称，故正确.故选：12．已知函数，则（

）A．的值域是B．若，且，则C．的图象是中心对称图形D．存在直线，使得的图象关于直线对称【答案】ACD【详解】对于A项，因为，所以，的值域是，故A项正确；对于B项，，，但是，故B项错误；对于C项，由A知，可知该函数图象可由先向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到.又的图象关于点对称，所以的图象关于点对称，故C正确；对于D项，因为函数的图象关于直线以及对称.由，可知该函数图象可由先向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到.所以，的图象关于直线以及直线对称，故D项正确.故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数是偶函数，且在上是增函数，又，则不等式的解集是．【答案】【详解】函数是偶函数，且在上是增函数，又，则在上单调递减，且，所以当或时，即不等式的解集为.故答案为：14．已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为.【答案】【详解】由解析式知：的开口向上且对称轴为，又函数在区间上单调递增，故.故答案为：15．已知幂函数的图象经过点，则．【答案】【详解】由幂函数，得，所以，故，又函数的图象经过点，所以，所以，所以.故答案为：.16．已知满足对，都有，则实数的取值范围为.【答案】【详解】因为对，都有，所以在定义域上单调递增，当时，若则单调递增，若，则需满足，解得；当时需满足解得；同时需要满足时，解得，所以，故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知定义在上的函数满足：．(1)求函数的表达式；(2)若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围．【答案】(1)；(2)【详解】（1）将的替换为得，联立解得（2）不等式为，化简得，要使其在上恒成立，则，，当且仅当取等，所以．18．已知函数.

(1)画出的图象；(2)求不等式的解集．【答案】(1)答案见解析；(2)或或．.【详解】（1），作出射线和射线，再作出线段即可得：

（2）由的表达式及图像，当时，可得或；当时，可得或，故的解集为；的解集为或，所以的解集为或或．19．设函数.(1)若时，恒成立，求a的取值范围.(2)若实数a，b均为正数，且满足条件，求的最小值.【答案】(1)；(2).【详解】（1）若时，即对恒成立，即，又，当且仅当，即时等号成立，所以，即，故a得取值范围.（2）由，即，，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值.20．已知函数.(1)若，求的最小值及此时的值；(2)若，根据函数单调性的定义证明为增函数.【答案】(1)时的最小值为5.(2)证明见解析.【详解】（1）由题设，且，所以，当且仅当时等号成立，故时的最小值为5.（2）由题设，令，则，所以，而，所以，故为增函数，得证.21．已知幂函数为偶函数．(1)求幂函数的解析式，判断在上的单调性，并用定义证明；(2)解不等式．