2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市东官中学高二数学理测试题含解析

2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市东官中学高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.将一枚质地均匀的硬币抛掷三次，设X为正面向上的次数，则等于（

）A．

B．0.25

C．0.75

D．0.5参考答案：C略2.下列给出的赋值语句中正确的是（

）A．3=A

B．

M=-M

C．

B=A=2

D．

参考答案：B3.关于x的方程，其解得个数不可能是

A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：A4.设x，y满足约束条件则z＝x＋2y的最大值为()A．8

B．7

C．2

D．1参考答案：B5.已知，若，则()A.x＝6，y＝15 B.x＝3，y＝C.x＝3，y＝15

D.x＝6，y＝参考答案：D6.已知集合，,则=(

)A.

B.

C.

D.参考答案：B7.某船开始看见灯塔在南偏东30方向，后来船沿南偏东60的方向航行45km后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是(

)

A．15km

B．30km

C．15km

D．15

km参考答案：C略8.已知为三条不同的直线，且平面，平面，．(1)若与是异面直线，则至少与、中的一条相交；(2)若不垂直于，则与一定不垂直；(3)若∥，则必有∥；(4)若，，则必有．其中正确的命题的个数是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C9.在等差数列中，，则此数列的前13项之和等于(

)A．13 B．26 C．52 D．156参考答案：B10.直线y＝kx－k＋1与椭圆的位置关系为(

)A．相交

B．相切

C．相离

D．不确定参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知点A(4,4)，若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＝1的右焦点重合，该抛物线上有一点M，它在y轴上的射影为N，则|MA|＋|MN|的最小值为___________。参考答案：412.已知某几何体的三视图如右图所示,其中俯视图是边长为2的正三角形,侧视图是直角三角形,则此几何体的体积为

。参考答案：13.已知两圆x2+y2=10和（x﹣1）2+（y﹣3）2=10相交于A，B两点，则直线AB的方程是．参考答案：x+3y﹣5=0

【考点】相交弦所在直线的方程．【分析】把两个圆的方程相减，即可求得公共弦所在的直线方程．【解答】解：把两圆x2+y2=10和（x﹣1）2+（y﹣3）2=10的方程相减可得x+3y﹣5=0，此直线的方程既能满足第一个圆的方程、又能满足第二个圆的方程，故必是两个圆的公共弦所在的直线方程，故答案为：x+3y﹣5=0．14.已知圆M:(x+)2+y2=36，定点N:(，0)，点P为圆M上的动点，点G在MP上，点Q在NP上，且满足，=0，则点G分轨迹方程为__________．参考答案：解：由为中点可得，，则，而点坐标为，则，则，且，，则轨迹方程为．15.已知M（﹣5，0），N（5，0）是平面上的两点，若曲线C上至少存在一点P，使|PM|=|PN|+6，则称曲线C为“黄金曲线”．下列五条曲线：①﹣=1；

②y2=4x；

③﹣=1；④+=1；

⑤x2+y2﹣x﹣3=0其中为“黄金曲线”的是．（写出所有“黄金曲线”的序号）参考答案：②⑤【考点】曲线与方程．【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据双曲线的定义，可得点P的轨迹是以M、N为焦点，2a=6的双曲线，由此算出所求双曲线的方程．再分别将双曲线与五条曲线联立，通过解方程判断是否有交点，由此可得答案．【解答】解：∵点M（﹣5，0），N（5，0），点P使|PM|﹣|PN|=6，∴点P的轨迹是以M、N为焦点，2a=6的双曲线，可得b2=c2﹣a2=52﹣32=16，则双曲线的方程为=1（x＞0），对于①，两方程联立，无解．则①错；对于②，联立y2=4x和=1（x＞0），解得x=成立，则②成立；对于③，联立﹣=1和=1（x＞0），无解，则③错；对于④，联立+=1和=1（x＞0），无解，则④错；对于⑤，联立x2+y2﹣x﹣3=0和=1（x＞0），化简得25x2﹣9x﹣171=0，由韦达定理可得两根之积小于0，必有一个正根，则⑤成立．∴为“黄金曲线”的是②⑤．故答案为：②⑤．【点评】本题考查双曲线的定义和方程，考查联立曲线方程求交点，考查运算能力，属于中档题．16.“直线和直线平行”的充要条件是“

▲

”.参考答案：17.设有长为a，宽为b的矩形，其底边在半径为R的半圆的直径所在的直线上，另两个顶点正好在半圆的圆周上，则此矩形的周长最大时，=参考答案：4三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，P—ABCD是正四棱锥，是正方体，其中

（1）求证：；

（2）求平面PAD与平面所成的锐二面角的余弦值；

（3）求到平面PAD的距离

参考答案：解：以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系（1）证明

设E是BD的中点，P—ABCD是正四棱锥，∴

又，∴

∴∴∴

，

即。（2）解

设平面PAD的法向量是，

∴

取得，又平面的法向量是∴

，∴。

19.已知函数．（1）求函数的图象在x=e处的切线方程；（2）求函数的最小值.参考答案：（1）；（2）.【分析】(1)由导数的几何意义求切线方程.(2)利用导数判断函数的单调性，进而得到最小值.【详解】（1），所以函数的图象在处的切线斜率.又，切点坐标为，所以函数的图象在处的切线方程为，即.（2）函数的定义域为，令，得.当时，，上单调递减；当时，，在上单调递增.所以函数的最小值为.【点睛】本题考查利用导数求切线方程，利用导数求最值.函数的图象在处的切线方程为.求连续可导函数的最值时，先求导数，解方程，再讨论函数的单调性得出最值.20.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为．（1）写出直线l的普通方程及圆C的直角坐标方程；（2）点P是直线l上的，求点P的坐标，使P到圆心C的距离最小．参考答案：【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）由已知得t=x﹣3，从而y=，由此能求出直线l的普通方程；由，得，由此能求出圆C的直角坐标方程．（2）圆C圆心坐标C（0，），设P（3+t，），由此利用两点间距离公式能求出点P的坐标，使P到圆心C的距离最小．【解答】解：（1）∵在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，∴t=x﹣3，∴y=，整理得直线l的普通方程为=0，∵，∴，∴，∴圆C的直角坐标方程为：．（2）圆C：的圆心坐标C（0，）．∵点P在直线l：=0上，设P（3+t，），则|PC|==，∴t=0时，|PC|最小，此时P（3，0）．21.（本小题满分12分）如图所示，校园内计划修建一个矩形花坛并在花坛内装置两个相同的喷水器．已知喷水器的喷水区域是半径为5m的圆．问如何设计花坛的尺寸和两个喷水器的位置，才能使花坛的面积最大且能全部喷到水？参考答案：设花坛的长、宽分别为xm，ym，根据要求，矩形花坛应在喷水区域内，顶点应恰好位于喷水区域的边界．依题意得：，（）----4分问题转化为在，的条件下，求的最大值．法一：，-----------8分由和及得：

---------------12分法二：∵，，=∴当，即，由可解得：．答：花坛的长为，宽为，两喷水器位于矩形分成的两个正方形的中心，则符合要求．22.已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣2）2=4（a＞0）及直线l：x﹣y+3=0．当直线l被圆C截得的弦长为时，求（Ⅰ）a的值；（Ⅱ）求过点（3，5）并与圆C相切的切线方程．参考答案：解：（Ⅰ）依题意可得圆心C（a，2），半径r=2，则圆心到直线l：x﹣y+3=0的距离，由勾股定理可知，代入化简得|a+1|=2，解得a=1或a=﹣3，又a＞0，所以a=1；（Ⅱ）由（1）知圆C