【数学】第六章平面向量及其应用单元测试-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第=page1212页，第六章平面向量及其应用(单元模拟测试卷)—2023-2024学年高一下学期人教A版选择题（共8小题）1．下列各式正确的是（）A． B． C． D．2.设e1→，A．e1→+B．e1→和C．e1→+3eD．3e1→−23．将向量OA→=(1，1)绕坐标原点O逆时针旋转60°得到OB→A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣24．已知向量a=1,0，b=2,1，则向量a在向量b方向上的投影向量为A.255,55 B.5．在平行四边形中，，，设，，则A． B． C． D．6．设e1→，A．一8 B．8 C．6 D．﹣67．在中，内角所对的边分别是，已知，，，则的大小为（

）A． B．C．或 D．或8．若O是△ABC垂心，∠A=π6，sinB⋅cosC⋅ABA．12 B．32 C．36二．多选题（共3小题）9．设m→A．|mB．(mC．若(m→−2n→D．n→在m→10．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则下列各式中正确的是（

）A． B．C． D．11．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O是△ABC内的一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为SA，SB，SC，则SA•OA→+SA．O为△ABC的垂心 B．∠AOB＝π﹣∠C C．|OA→|：|OB→|：|OCD．tanA⋅三．填空题（共3小题）12．平面向量a→，b→满足a→=(−3，2)，a→−b→=(1，k)13．已知O（0，0），A（1，2），B（3，﹣1），若向量m→∥OA→，且m→与OB→的夹角为钝角，写出一个满足条件的m14．在锐角三角形ABC中，已知AB=3，tanC=34，则三角形ABC面积的范围是四．解答题（共5小题）15．已知向量a→=(1，2x)，b→（1）若(a（2）若(a16.已知，，．求：（1）与的夹角；（2）．17.设，是两个不共线向量，知，，．（1）证明：、、三点共线（2）若，且、、三点共线，求的值．18．已知A，B，C，P为空间内不共线的四点，G为△ABC的重心．（1）证明：PA→（2）若向量PA→，PB→，PC→的模长均为2，且两两夹角为π19．在锐角中，角、、的对边分别为、、，若，．（1）求角的大小和边长的值；（2）求面积的最大值．

参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．下列各式正确的是（）A． B． C． D．解：对于A选项，＝，故A选项错误，＝＝，故B选项正确，＝，故C选项错误，＝，故D选项错误．故选：B．2.设e1→，A．e1→+B．e1→和C．e1→+3eD．3e1→−2解：∵e1→，∴e1→，而4e2→则根据向量共线定理可得，（4e2→根据基底的条件，选项D不符合题意，故选：D．3．将向量OA→=(1，1)绕坐标原点O逆时针旋转60°得到OB→A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2解：因为|OA→|=12+1所以OA→•AB→=OA→•（OB→−故选：B．4.已知向量a=1,0，b=2,1，则向量a在向量A.255,55 B.25,0C.−45,−25 5．在平行四边形中，，，设，，则A． B． C． D．解：四边形为平行四边形，，，，，，，，，，，，，解得，．故选：．6．设e1→，A．一8 B．8 C．6 D．﹣6解：根据题意，已知AB→则BD→=CD若三点A，B，D共线，设AB→=t则有2e1→−ke2→=t（e1变形可得（2﹣t）e1→=必有t=2k=4t故选：B．7.在中，内角所对的边分别是，已知，，，则的大小为（

）A． B．C．或 D．或解：在中由正弦定理可得，即，解得，又因为，所以8．若O是△ABC垂心，∠A=π6，sinB⋅cosC⋅ABA．12 B．32 C．36解：在△ABC中，sinBsinC≠0，由sinBcosCAB得cosCsinC连接CO并延长交AB于D，因为O是△ABC的垂心，所以CD⊥AB，AO→所以cosCsinC同乘以AB，得cosCsinCcosCsinC因为A=π6，所以由正弦定理可得cosCsinC+3又sinC≠0，所以有cosC+3而C=π−A−B=5π所认cosC=cos(5π所以得到12而sinB≠0，所以得到m=3故选：C．二．多选题（共3小题）9．设m→A．|mB．(mC．若(m→−2n→D．n→在m→解：根据题意，依次分析选项：对于A，m→=(−1，3)，n→=(1，2)，则m→−2n对于B，（m→−2n→）•m→=对于C，若（m→−2n→）∥（km→+n→），可以设（m→−2n→）＝λ（km必有1=λk−2=λ，则有k=−对于D，n→在m→上的投影向量故选：BCD．10.在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则下列各式中正确的是（

）A． B．C． D．解：在中，由正弦定理，∴，，故ABD错误，C正确.11．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O是△ABC内的一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为SA，SB，SC，则SA•OA→+SA．O为△ABC的垂心 B．∠AOB＝π﹣∠C C．|OA→|：|OB→|：|OCD．tanA⋅解：∵OA→⋅OB→=OB→⋅OC→=OC→⋅OA→，∴（∵延长BO交AC于点D，延长AO交BC于点E，在四边形ODCE中，∠OEC＝∠ODC＝90°，∴∠DOE+∠DCE＝180°，∴∠DOE＝180°﹣∠DCE，即∠AOB＝180°﹣∠C，∴B正确；∵OA→•OB→=|OA→||OB→|cos∠AOB＝|OA→||OB→|cos（180°﹣C）＝﹣|OA→||OB→|cosC，同理：OA→•OC→=−|∴|OA→||OB→|cosC＝|OA→||OC→|cosB＝|OB→||OC→|cosA，∴|∵SA=12|OB→||OC→|sin（180°﹣A）=12|OB→||OC→|sinA，同理：SB=12|∴SA：SB：SC=sinA|OA→|：sinB|＝tanA：tanB：tanC，由奔驰定理得tanA•OA→+tanB•OB→故选：ABD．三．填空题（共3小题）12．平面向量a→，b→满足a→=(−3，2)，解：根据题意，平面向量a→，b→满足a→则b→=a若a→⊥b→，则故答案为：8．13．已知O（0，0），A（1，2），B（3，﹣1），若向量m→∥OA→，且m→解：根据题意可得：OA→=(1，2)，设m→因为向量m→∥OA→，且所以1⋅y=2⋅x3⋅x+(−1)⋅y＜0所以x＜0，不妨令x＝﹣1，所以y＝﹣2，m→故答案为：（﹣1，﹣2）．14．在锐角三角形ABC中，已知AB=3，tanC=34，则三角形ABC面积的范围是（6，解：锐角△ABC中，c＝AB＝3，tanC=3∴sinCcosC∴sinC=3∴sin2C+cos2C=916cos2C+cos2C解得cosC=45，∴sinC由正弦定理得asinA∴a＝5sinA，b＝5sinB；∴△ABC的面积为S=1=12=152sinAsin（=15=15＝6sin2A+9＝3（1﹣cos2A）+9=9=154sin（2A﹣θ）+3，其中sinθ=45，cosθ=3又sinC＝cos（π2−C）=35，cosC＝sin（π2−C）=45在锐角△ABC中，A∈（0，π2），B∈（0，π2），B＝∴0＜A＜π∴π2−C＜A∴π﹣2C﹣θ＜2A﹣θ＜π﹣θ，又θ=π2−C，∴π2∵tanC=34＜1，C∈（0，π2），∴C∴π4＜π2−C＜又sin（π2+C）＝cosC=45，sin（∴45＜sin（2A﹣∴154sin（2A﹣θ）+3∈（6，27则△ABC面积的范围是（6，274故答案为：（6，274四．解答题（共5小题）15．已知向量a→=(1，2x)，b→（1）若(a（2）若(a解：a→=(1，2x)，b→则a→+2b（1）(a则（1+2x）•4x＝4（2x+6），解得x＝2或x=−3（2）(a则4（1+2x）+4x（2x+6）＝0，解得x=−4+14216.已知，，．求：（1）与的夹角；（2）．解：（1），，即．化为．．（2）．17.设，是两个不共线向量，知，，．（1）证明：、、三点共线（2）若，且、、三点共线，求的值．解：（1）证明：，与有公共点，、、三点共线（2）解：、、三点共线，存在实数，使，，又不共线，，解得，．18．已知A，B，C，P为空间内不共线的四点，G为△ABC的重心．（1）证明：PA→（2）若向量PA→，PB→，PC→