第四章 频率特性分析

第1页，课件共117页，创作于2023年2月第四章频率特性分析4.1频率特性

4.2典型环节的频率特性4.3系统开环频率特性图4.4闭环频率特性4.5闭环系统性能分析本章小结▼

▼

▼▼▼

▼

第2页，课件共117页，创作于2023年2月第四章线性系统的频率分析法

分析自动控制系统，可以采用时域分析法，根轨迹分析法，也可以利用系统的频率特性分析系统的性能——频率分析法，又称频域响应法（图解法）。它是分析和设计系统的一种有效经典方法。

1932年，Nyquist提出了一种根据闭环控制系统的开环频率特性，确定闭环控制系统稳定性（相对）的方法。频率分析法用于通讯领域

控制领域。本章研究内容（10学时）

频率特性概念及表示法、典型环节的频率特性绘制（Nyquist图、Bode图）、系统开环频率特性的绘制、稳定裕度、频域指标、传递函数求取（图解法）。第3页，课件共117页，创作于2023年2月学习重点了解频率特性的基本概念，掌握其不同的表示方法；掌握典型环节的频率特性，熟练掌握系统频率特性的伯德图和奈氏图的绘制方法；了解闭环系统频率特性及其和系统暂态特性的关系。建立开环频率特性和系统性能指标之间的对应关系，能够定性地分析系统的性能；

第4页，课件共117页，创作于2023年2月频域分析法：是一种图解分析方法，它依据系统的又一种数学模型—频率特性，不必求解系统的微分方程就可以根据系统的开环频率特性分析闭环系统的性能，并能方便的分析系统中的各参数对系统性能的影响，并能指明改进系统性能的途径。是一种工程上另一种广泛应用的方法。研究的问题仍然是系统的稳定性、瞬态性能、稳态性能；引言时域分析：重点研究过渡过程，通过阶跃或脉冲输入下的系统瞬态时间响应来研究系统的性能。频域分析：通过系统在不同频率ω的谐波（正弦）输入作用下的系统的稳态响应来研究系统的性能。第5页，课件共117页，创作于2023年2月RC§4.1频率特性的基本概念4.1.1频率特性的概念例1

RC电路如图所示，ui(t)=A0sinwt,求uo(t)=?第6页，课件共117页，创作于2023年2月RC0稳态输出：稳态输出与输入的幅值成正比，与输入同频率：第7页，课件共117页，创作于2023年2月推广到一般的线性定常系统：0t

线性定常系统对谐波输入的稳态响应（频率响应）为同频率的谐波函数。系统对正弦输入的稳态响应称为频率响应。第8页，课件共117页，创作于2023年2月

正弦输入时，在稳态下，系统的输出量与输入量之比叫做系统的频率特性。包括幅频特性和相频特性。1、频率特性定义：频率特性＝幅频特性相频特性

频率特性G(jω)是ω的复变函数，其幅值为A(ω),相位为φ(ω)

记为：第9页，课件共117页，创作于2023年2月相频特性：输出与输入的相角差幅频特性：输出与输入的幅值比第10页，课件共117页，创作于2023年2月例题1解：第11页，课件共117页，创作于2023年2月j第12页，课件共117页，创作于2023年2月2、频率特性与传递函数之间的关系其中：同频率；幅值比A(ω)相位差φ(ω)ω的非线性函数（揭示了系统的频率响应特性）第13页，课件共117页，创作于2023年2月频率特性与传递函数之间的关系：系统模型间的关系第14页，课件共117页，创作于2023年2月4.1.2频率特性的求取方法(1)频域响应→频率特性

利用在已知系统的微分方程或传递函数的情况下，当输入为正弦函数时，求其稳态解，再求G(jω)；(2)传递函数→频率特性

利用将传递函数中的s换为jω来求取；(3)实验法：是对实际系统求取频率特性的一种常用而又重要的方法。如果在不知道系统的传递函数或数学模型时，只有采用实验法。第15页，课件共117页，创作于2023年2月例第16页，课件共117页，创作于2023年2月例第17页，课件共117页，创作于2023年2月4.1.3频率特性的表示方法1.幅相频率特性（Nyquist图）2.对数频率特性（Bode图）3.对数幅相特性图（Nichols图）第9次课第一小节第18页，课件共117页，创作于2023年2月实频特性虚频特性1.幅相频率特性（奈氏图）1）幅相频率特性代数形式（实频-虚频）设系统或环节的传递函数为令s=jω，可得系统或环节的频率特性

U(ω)是频率特性的实部，称为实频特性，V(ω)为频率特性的虚部，称为虚频特性。其中：第19页，课件共117页，创作于2023年2月幅频特性相频特性2）幅相频率特性指数形式（幅频-相频）A(ω)为复数频率特性的模或幅值，即幅频特性φ(ω)为复数频率特性的辐角或相位，即相频特性其中：第20页，课件共117页，创作于2023年2月0代数形式与指数形式之间的关系：第21页，课件共117页，创作于2023年2月第22页，课件共117页，创作于2023年2月幅相频率特性曲线，又称为Nyquist图

变化时，向量的幅值和相位也随之作相应的变化，其端点在复平面上移动的轨迹称为极坐标图:奈奎斯特(Nyquist)曲线,又称奈氏图

当输入信号的频率(3)奈氏图频率特性（极坐标表示）第23页，课件共117页，创作于2023年2月jV(ω)U(ω)G(jω1)G(jω2)第24页，课件共117页，创作于2023年2月0映射第25页，课件共117页，创作于2023年2月2.对数频率特性（Bode图）对数频率特性是将频率特性表示在对数坐标中。

对上式两边取对数，得

一般不考虑0.434这个系数，而只用相角位移本身。

通常将对数幅频特性绘在以10为底的半对数坐标中，对数幅频特性对数相频特性第26页，课件共117页，创作于2023年2月Bode图：纵轴横轴按lgw刻度，按w标定；几何上等分真值等比“分贝”wdec“十倍频程”第27页，课件共117页，创作于2023年2月对数频率特性的优点：（1）当频率范围很宽时，可以缩小比例尺。（2）当系统由多个环节串联构成时，简化了绘制系统的频率特性。第28页，课件共117页，创作于2023年2月将Bode图的两张图合二为一：对数幅值做纵坐标（dB）；相位移做横坐标（度）；频率做参变量。0o180o-180ow0-20dB20dB3.对数幅相特性图（Nichols图）第29页，课件共117页，创作于2023年2月4-2典型环节的频率特性Nyquist提出了一种根据闭环控制系统的开环频率特性，确定闭环控制系统稳定性（相对）的方法。任何一个复杂系统都是由有限个典型环节组成。第30页，课件共117页，创作于2023年2月开环传递函数分解成典型环节串连形式设典型环节频率特性系统开环频率特性系统开环对数幅频特性(dB)第31页，课件共117页，创作于2023年2月§4.2典型环节的频率特性4.2.1比例环节（1）传递函数

（2）幅相频率特性

或写成

第32页，课件共117页，创作于2023年2月比例环节的幅相频率特性(奈氏图)0UjVK第33页，课件共117页，创作于2023年2月1放大环节K>0传递函数幅频特性和相频特性放大环节的幅相特性曲线典型环节的幅相频率特性—Nyquist曲线频率特性第34页，课件共117页，创作于2023年2月（3）对数频率特性（Bode图）

00K=1K>1K<1对数幅频特性：过点（1，20lgK）的水平线对数相频特性：与0°线重合第35页，课件共117页，创作于2023年2月第36页，课件共117页，创作于2023年2月4.2.2积分环节（1）传递函数

（2）幅相频率特性或写成

第37页，课件共117页，创作于2023年2月积分环节幅相频率特性(奈氏图)0jVU虚轴的下半轴，由无穷远点指向原点。第38页，课件共117页，创作于2023年2月积分环节幅相频率特性(奈氏图)第39页，课件共117页，创作于2023年2月（3）对数频率特性（Bode图）

000.110120-90-180-20第40页，课件共117页，创作于2023年2月2011.11.7第9次课第41页，课件共117页，创作于2023年2月积分环节L(

)①G(s)=1s②G(s)=10s0.2③G(s)=s100.2210.1L(

)dB0dB2040-40-2020100[-20][-20][-20]②与0分贝线交点频率？斜率？第42页，课件共117页，创作于2023年2月4.2.3理想微分环节（1）传递函数

（2）幅相频率特性第43页，课件共117页，创作于2023年2月理想微分环节幅相频率特性(奈氏图)0jVU虚轴的上半轴，由原点指向无穷远处。第44页，课件共117页，创作于2023年2月（3）对数频率特性（Bode图）

000.11012090°第45页，课件共117页，创作于2023年2月4.2.4惯性环节（1）传递函数

（2）幅相频率特性第46页，课件共117页，创作于2023年2月0jVU1惯性环节的幅相频率特性(奈氏图)第47页，课件共117页，创作于2023年2月（3）对数频率特性（Bode图）

00第48页，课件共117页，创作于2023年2月第49页，课件共117页，创作于2023年2月4.2.5一阶微分环节（1）传递函数

（2）幅相频率特性第50页，课件共117页，创作于2023年2月一阶微分环节幅相频率特性(奈氏图)0jVU1始于点（1，j0）,平行于虚轴。第51页，课件共117页，创作于2023年2月一阶微分环节幅相频率特性(奈氏图)第52页，课件共117页，创作于2023年2月（3）对数频率特性（Bode图）

00第53页，课件共117页，创作于2023年2月第54页，课件共117页，创作于2023年2月4.2.6振荡环节（1）传递函数

（2）幅相频率特性第55页，课件共117页，创作于2023年2月振荡环节幅相频率特性(奈氏图)10jVU第56页，课件共117页，创作于2023年2月振荡环节幅相频率特性(奈氏图)第57页，课件共117页，创作于2023年2月（3）对数频率特性（Bode图）

00-40第58页，课件共117页，创作于2023年2月3/2第59页，课件共117页，创作于2023年2月第60页，课件共117页，创作于2023年2月4.2.6二阶微分环节（1）传递函数

（2）幅相频率特性第61页，课件共117页，创作于2023年2月二阶微分环节幅相频率特性(奈氏图)第62页，课件共117页，创作于2023年2月（3）对数频率特性（Bode图）

与二阶振荡环节Bode图对称于频率轴。第63页，课件共117页，创作于2023年2月4.2.8延迟环节（1）传递函数

（2）幅相频率特性第64页，课件共117页，创作于2023年2月时滞环节幅相频率特性(奈氏图)01jVU第65页，课件共117页，创作于2023年2月（3）对数频率特性（Bode图）

000.1110100第66页，课件共117页，创作于2023年2月第67页，课件共117页，创作于2023年2月§4.3系统开环频率特性图4.3.1系统开环极坐标图（奈氏图）1、绘制系统奈氏图的基本步骤第68页，课件共117页，创作于2023年2月1ReIm(-KT，j0)积分环节改变了起始点（低频段）。第69页，课件共117页，创作于2023年2月ReIm22011.11.9第10次课第70页，课件共117页，创作于2023年2月三个不同系统的Nyquist图第71页，课件共117页，创作于2023年2月※乃氏图的大致规律：低频段：高频段：（重点掌握）第72页，课件共117页，创作于2023年2月K1、低频段0第73页，课件共117页，创作于2023年2月02、高频段第74页，课件共117页，创作于2023年2月

例4-3：解：0jVU第75页，课件共117页，创作于2023年2月※总结：开环幅相频特性的特点开环系统频率特性的一般形式为：①当时，可以确定特性的低频部分，其特点由系统的类型近似确定。

即特性总是以顺时针方向并按上式的角度终止于原点。

一般，有，故当时，有

②

幅相特性的高频段：③

幅相特性G(jω)曲线与负实轴的交点是一个关键点：④如果在传递函数的分子中含有一阶微分环节，其G(j)曲线随ω变化时发生弯曲。要求：给出奈氏图能够判别系统的型别和阶次。第76页，课件共117页，创作于2023年2月例：0型、3阶Ⅰ型、4阶Ⅰ型、3阶Ⅱ型、6阶第77页，课件共117页，创作于2023年2月例：第78页，课件共117页，创作于2023年2月写出开环频率特性表达式，将所含各典型环节的转折频率由小到大依次标在频率轴上。(2)绘制开环对数幅频曲线的渐近线(由线段组成)4.3.2系统开环对数频率特性的绘制一、叠加法：先绘制每个环节特性，然后相加减。(3)作出以分段直线表示的渐近线后，如果需要，再按典型环节的误差曲线对相应的分段直线进行修正。(4)作相频特性曲线。根据表达式，在低频、中频和高频段中各选择若干个频率进行计算，然后连成曲线。二、分段法：利用低频段特点，只需叠加高频线段。第79页，课件共117页，创作于2023年2月1.低频段

每遇到转折频率，就改变分段直线的斜率

绘制开环对数幅频曲线(各环节渐近线组成)高频段3.方法一方法二方法三斜率:传递函数:渐近线斜率2.中频段第80页，课件共117页，创作于2023年2月典型环节传递函数转角频率斜率变化一阶环节（T>0）二阶环节(1>

0)(

n>0)第81页，课件共117页，创作于2023年2月第82页，课件共117页，创作于2023年2月1、绘制系统伯德图的基本步骤教材P105例4.7。（重点掌握）第83页，课件共117页，创作于2023年2月解：试绘制系统伯德图。例4-8第84页，课件共117页，创作于2023年2月第85页，课件共117页，创作于2023年2月04020-40-200.22200.40.60.81468103、画近似幅频折线和相频曲线并叠加3第86页，课件共117页，创作于2023年2月

教材P106例4.9第87页，课件共117页，创作于2023年2月例3某系统开环传递函数（标准化求K值，叠加法）（1）比例（2）积分（3）一次微分转折频率（4）惯性转折频率（5）振荡转折频率解：频率特性：绘出对数幅频特性和对数相频特性图。第88页，课件共117页，创作于2023年2月s/rad(4))(Lww0.1110dB2040600.01(1)(2)(3)-20(5)+20-20-40-60-60-80-20-40-60转折频率：一次微分振荡惯性转折频率：小大积分比例对数幅频特性图（叠加法）0-20第89页，课件共117页，创作于2023年2月对数相频特性图（叠加法）第90页，课件共117页，创作于2023年2月1、确定低频段Bode图位置。（不考虑惯性、振荡、微分环节）2、依次画转折频率以后部分，增减斜率。低频段斜率由积分环节决定v＝00dB/decv=1-20dB/decv=2-40dB/dec在位置

3＝3＋20dB/dec

1＝1.414－40dB/dec

2＝2－20dB/dec第91页，课件共117页，创作于2023年2月s/rad)(Lww0.1110dB2040600.01-20+20-60-60-80-20-40-60对数幅相频特性图对数坐标图——Bode图（描点作图：抓两头带中间）17.5第92页，课件共117页，创作于2023年2月三、最小相位系统最小相位传递函数——在[s]右半平面既无极点、又无零点的传递函数，称最小相位传递函数；否则，为非最小相位传递函数。最小相位系统——具有最小相位传递函数的系统。第93页，课件共117页，创作于2023年2月→两个系统的幅频特性完全相同而相频特性相异第94页，课件共117页，创作于2023年2月000T1＞T2＞0第95页，课件共117页，创作于2023年2月最小相位系统的特点：

对于相同阶次的基本环节,当连续变化时,最小相位系统的相角变化范围是最小的。对于最小相位系统，知道了幅频特性，其相频特性就唯一确定，而非最小相位系统则不唯一确定。

实用的大多数系统为最小相位系统，为了简化工作量，对于最小相位系统的伯德图，可以只画幅频特性。相频特性高频段只有最小相位系统其相位才趋近于-（n-m）90°第96页，课件共117页，创作于2023年2月四、由频率特性曲线求系统传递函数最小相位系统：根据开环对数幅频特性(对应)

L(ω)能唯一确定系统的开环传递函数。基于频域：实验法建立数学模型信号源对象记录仪第97页，课件共117页，创作于2023年2月1、系统类型与开环对数幅频特性的关系（低频段）1）0型系统ω1低频段的幅值为20lgK。在低频段，斜率为0dB/十倍频；特点：第98页，课件共117页，创作于2023年2月2）I型系统1ω11ω1低频渐近线或延长线与横轴的交点的频率值等于开环增益K的值。在低频段的渐近线斜率为-20dB/dec在低频段的渐近线或其延长线过点（1，20lgK）特点：第99页，课件共117页，创作于2023年2月3）II型系统低频渐近线或延长线与横轴的交点的频率值的平方等于开环增益K的值1ω11ω1在低频段的渐近线斜率为-40dB/dec在低频段的渐近线或其延长线过点（1，20lgK）特点：第100页，课件共117页，创作于2023年2月①传递函数②求时间常数③求k∴k=8例题：已知最小相位系统的开环对数幅频特性曲线，求其开环传递函数。第101页，课件共117页，创作于2023年2月已知最小相位系统的开环对数幅频特性曲线如图所示，求其开环传递函数。①开环传递函数②求时间常数③求k第102页，课件共117页，创作于2023年2月例4-12已知系统对数频率特性如图所示，求系统的开环传递函数G(s).0.2ωT1ωnωT2-60dB/dec-40dB/dec-20dB/dec1410dBω/(rad/s)L(ω)/dB015.62）求K20lgK=15.6K=63）求ωnωT1

=0.2

=ωn5）求τωT2

=4=1/ττ=0.254）求ξ-20lg2ξ=10ξ=0.158解：思考？若所给的开环对数幅频特性曲线上，并未给出ω=1时所对应的幅值L(ω)=20lgK，如何求不同类型系统的开环增益K。第103页，课件共117页，创作于2023年2月绘制开环系统Bode图的步骤⑴化G(jw)为尾1标准型⑵顺序列出转折频率⑶确定基准线⑷叠加作图基准点斜率一阶惯性环节-20dB/dec复合微分+20dB/dec二阶振荡环节-40dB/dec复合微分-40dB/dec第一转折频率之左的特性及其延长线⑸修正⑹检查①两惯性环节转折频率很接近时②振荡环节x(0.4,0.8)

时①L(w)最右端曲线斜率=-20(n-m)dB/dec②转折点数=(惯性)+(一阶复合微分)+(振荡)+(二阶复合微分)③j(w)

-90°(n-m)开环系统Bode图小结第104页，课件共117页，创作于2023年2月§4.4闭环频率特性Xi(s)Xo(s)-G(s)由GK(jω)求取GB(jω):4.4.1闭环频率特性与开环频率特性的关系第105页，课件共117页，创作于2023年2月4.4.2频域性能指标GKXiXo+-对于单位负反馈系统，若M

(0)=1，说明系统输出对输入的跟随性好。1、零频幅值M(0)ωM(ω)M(0)0.707M(0)0ωMω

rω

b反映系统的稳态精度第106页，课件共117页，创作于2023年2月M(0)、ωM、0～ωM—与稳态性能有关ωM(ω)M(0)0.707M(0)0ωMω

rω

b第107页，课件共117页，创作于2023年2月3、谐振频率ω

r；谐振峰值Mr使幅频特性曲线出现峰值的频率称为谐振频率。谐振频率处的峰值称为谐振峰值。ωM(ω)M(0)0.707M(0)0ωMωrωb1.0＜Mr＜1.4，0.4＜ξ＜0.7Mp＜25%反映瞬态响应快速性和平稳性注：ωn、ωd、ωr的关系第108页，课件共117页，创作于2023年2月ωM(ω)M(0)0.707M(0)0ω

bωXi(ω)ωb系统

Φ(jω)