连续性随机变量及其概率密度

连续性随机变量及其概率密度第1页，课件共58页，创作于2023年2月定义如果对于随机变量X的分布函数F(x)，存在非负函数f(x),使对于任意实数

x有则称X为连续型随机变量，其中函数

f(x)称为

X的概率密度函数，简称概率密度或密度。连续型随机变量的概念第2页，课件共58页，创作于2023年2月xf(x)xF(x)分布函数F(x)与密度函数

f(x)的几何意义-10-550.020.040.060.08第3页，课件共58页，创作于2023年2月由定义知道，概率密度f(x)

具有以下性质f(x)0x1概率密度的性质这两条性质是判定一个函数f(x)是否为某X的概率密度函数的充要条件第4页，课件共58页，创作于2023年2月这是因为注

由上述性质可知，对于连续型随机变量，我们关心它在某一点取值的问题没有太大的意义，我们所关心的是它在某一区间上取值的问题。第5页，课件共58页，创作于2023年2月对数集A

(严格意义下要求可测性),

第6页，课件共58页，创作于2023年2月（1）设X是连续型随机变量,有概率密度

f(x)，则

（2）在f(x)的连续点处，有

6

密度函数与分布函数的关系第7页，课件共58页，创作于2023年2月注

1、对于连续型的随机变量,密度函数唯一决定分布函数。

2、连续型随机变量的分布函数一定是连续的；分布函数如果不连续就不是连续型随机变量

(除了连续型分布和离散型分布以外还存在其它类型的分布)。第8页，课件共58页，创作于2023年2月例1

设X是连续型随机变量，其密度函数为解⑴由密度函数的性质求：⑴常数c；第9页，课件共58页，创作于2023年2月第10页，课件共58页，创作于2023年2月第11页，课件共58页，创作于2023年2月例2

某电子元件的寿命X（单位：小时）是以为密度函数的连续型随机变量。求5个同类型的元件在使用的前150小时内恰有2个需要更换的概率。解设A={某元件在使用的前150小时内需要更换}第12页，课件共58页，创作于2023年2月检验5个元件的使用寿命可以看作是在做一个5重伯努利试验

B={5个元件中恰有2个的使用寿命不超过

150小时}第13页，课件共58页，创作于2023年2月例3

设随机变量X具有概率密度

确定常数k

；(2)求X的分布函数；(3)

求第14页，课件共58页，创作于2023年2月解(1)由得故，X的概率函数为第15页，课件共58页，创作于2023年2月(2)由得第16页，课件共58页，创作于2023年2月(3)当然，还可以用概率密度求概率。第17页，课件共58页，创作于2023年2月例4

设连续型随机变量X的分布函数为

确定A、B的值；(2)

求X的概率密度；(3)

求第18页，课件共58页，创作于2023年2月故有解(1)

因为X是连续型随机变量，所以F(x)连续即第19页，课件共58页，创作于2023年2月因此第20页，课件共58页，创作于2023年2月(3)(2)

由得当然，还可以用概率密度求概率。第21页，课件共58页，创作于2023年2月注

在F(x)导数不存在的点处，根据改变被积函数在个别点处的值不影响积分结果的性质，可以在没意义的点处，任意规定的值。第22页，课件共58页，创作于2023年2月二几种常用的连续型随机变量1、均匀分布则称X在区间（a,b）上服从均匀分布，若连续型随机变量X的概率密度为记作第23页，课件共58页，创作于2023年2月均匀分布密度函数的图形第24页，课件共58页，创作于2023年2月其分布函数为第25页，课件共58页，创作于2023年2月均匀分布的特性如果随机变量X在区间（a,b）上服从均匀分布，则X落在区间（a,b）中的任意一个子区间上的概率与该子区间的长度成正比，而与该子区间的位置无关。即随机变量X落在区间（a,b）中任意等长度的子区间内的可能性是相同的。第26页，课件共58页，创作于2023年2月Xabxll0即X第27页，课件共58页，创作于2023年2月

例5

设公共汽车站从上午7时起每隔15分钟来一班车，如果某乘客到达此站的时间是7:00到7:30

之间的均匀随机变量，试求该乘客候车时间不超过5分钟的概率。解设该乘客于7时X分到达此站则X服从区间[0,30]上的均匀分布第28页，课件共58页，创作于2023年2月令B={候车时间不超过5分钟}则第29页，课件共58页，创作于2023年2月2、指数分布其中θ>0为常数，则称X服从参数为θ的指数分布。若连续型随机变量X的概率密度为第30页，课件共58页，创作于2023年2月指数分布密度函数的图形第31页，课件共58页，创作于2023年2月则其分布函数为第32页，课件共58页，创作于2023年2月指数分布的应用指数分布具有“无记忆性”。所以，又把指数分布称为“永远年轻”的分布。对任意

s,t>0,有“无记忆性”：若X服从参数为θ

的指数分布，则

指数分布常作为各种“寿命”分布的近似。第33页，课件共58页，创作于2023年2月例

设某日光灯的使用寿命服从参数θ=2000的指数分布（单位：h）（1）任取一根这种灯管，求能正常使用1000h以上的概率。（2）某灯管已近正常使用了1000小时，求还能使用1000小时以上的概率。第34页，课件共58页，创作于2023年2月其中μ，σ

（

σ

>0）为常数，则称X服从参数为μ，σ

的正态分布或高斯分布。

记作若连续型随机变量X的概率密度为3、正态分布第35页，课件共58页，创作于2023年2月正态分布密度函数的图形第36页，课件共58页，创作于2023年2月其分布函数为第37页，课件共58页，创作于2023年2月正态分布的应用若随机变量X受到众多相互独立的随机因素的影响，而每一个别因素的影响都是微小的，且这些影响可以叠加，则X服从正态分布。正态分布是应用最广泛、最重要的一种分布。例如各种测量的误差；人的生理特征；工厂产品的尺寸；农作物的收获量；海洋波浪的高度；金属线的抗拉强度；热噪声电流强度；学生们的考试成绩；

……

都服从或近似服从正态分布。第38页，课件共58页，创作于2023年2月正态分布密度函数的几何特性第39页，课件共58页，创作于2023年2月（1）曲线关于直线

x=

对称：

f(+x)=f(-x)；（2）在

x=

时，

f(x)取得最大值（3）在

x=

±

时，曲线

y=f(x)在对应的点处有拐点；（4）曲线

y=f(x)以x轴为渐近线；（5）曲线

y=f(x)的图形呈单峰对称状；第40页，课件共58页，创作于2023年2月（1）

—位置参数即固定

，改变

的值，则f(x)的形状不变，只是位置不同，沿着x轴作平移变换。正态分布密度函数f(x)

的两个参数：第41页，课件共58页，创作于2023年2月（2）

—形状参数即固定

，改变

的值，则f(x)图形的对称轴不变，而形状在改变。

越小，图形越高越瘦；

越大，图形越矮越胖。第42页，课件共58页，创作于2023年2月当μ=0，σ=1

时，称随机变量X服从标准正态分布。其概率密度和分布函数分别为标准正态分布第43页，课件共58页，创作于2023年2月标准正态分布密度函数的图形第44页，课件共58页，创作于2023年2月标准正态分布分布函数的图形第45页，课件共58页，创作于2023年2月第46页，课件共58页，创作于2023年2月重要结论

若，则

1、3、2、第47页，课件共58页，创作于2023年2月证明1、

的分布函数为故第48页，课件共58页，创作于2023年2月2、由1得3、由2

得第49页，课件共58页，创作于2023年2月标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布。根据上述结论，只要将标准正态分布的分布函数制成表，就可以通过查表解决一般正态分布的概率计算问题。说明第50页，课件共58页，创作于2023年2月例5

设随机变量X~N(0,1)，试求（1）；解（1）（2）

（2）

第51页，课件共58页，创作于2023年2月解（1）例6

设随机变量X~N(2,9)，试求（1）；（2）

；

（3）

第52页，课件共58页，创作于2023年2月（2）第53页，课件共58页，创作于2023年2月（3）第54页，课件共58页，创作于2023年2月若X~N(μ,σ)

，则

3σ—准则可以看到，X的取值几乎全部集中在区间内，这在统计学上称作3σ—准则。第55页，课件共58页，创作于2023年2月这说明，X