历年高考数学（理）知识清单-专题05 不等式与线性规划（原卷+解析版）

专练1．若实数a，b∈R且a>b，则下列不等式恒成立的是()A．a2>b2B.>1C．2a>2bD．lg(a－b)>0x2－4x＋6，x≥0，x＋6，x<0，x2－4x＋6，x≥0，x＋6，x<0，A．(－3,1)∪(3，+∞)B．(－3,1)∪(2，+∞)C．(－1,1)∪(3，+∞)D．(-∞,-3)∪(1,3)3．若变量x，y满足约束条件y≥0，则z＝2x·23x＋4y≤12，A．16B．84．若对任意正实数x，不等式≤恒成立，则实数a的最小值为()CDCD5．若实数x，y满足不等式组x5．若实数x，y满足不等式组x＋y－1≤0，且x－y的最大值为5，则实数m的值为()y≥m，A．0B1C2D56．对于任意实数a，b，c，d，有以下四个命题：①若ac2>bc2，则a>b；②若a>b，c>d，则a＋c>b＋d；③若a>b，c>d，则ac>bd；④若a>b，则>.其中正确的命题有()7．对于函数f(x)，如果存在x0≠0，使得f(x0)f(－x0)，则称(x0，f(x0))与(－x0，f(－x0))为函数图象的一组奇对称点．若f(x)＝ex－a(e为自然对数的底数)的图象上存在奇对称点，则实数a的取值范围是()A．(-∞,1)B．(1，+∞)C．(e，+∞)D．[1，+∞)8．若1≤log2(x－y＋1)≤2，|x－3|≤1，则x－2y的最大值与最小值之和是()A．0B29．已知函数f(x)(x∈R)的图象如图所示，f′(x)是f(x)的导函数，则不等式(x2－2x－3)f′(x)>0的解集为()A．(-∞,-2)∪(1，+∞)B．(-∞,-2)∪(1,2)C．(-∞,-1)∪(－1,0)∪(2，+∞)D．(-∞,-1)∪(－1,1)∪(3，+∞)x＋y≤4，10．已知点P(x，y)满足y≥x，过点P的直线与圆x2＋y2＝14相交于A，B两点，则x＋y≤4，x≥1，值为()11．某企业生产甲、乙两种产品均需用A、B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为()甲乙原料限额A(吨)32B(吨)128B．16万元12．已知a＞0＞b，则下列不等式一定成立的是()A．a2＜－abB．|a|＜|b| 2 2b2x＋5y－10≤0x≥013．设实数x，y满足x＋4y－5≥0，则z＝2x＋5y－10≤0x≥014．设函数f(x)＝x＞0，则满足不等式f(x2－2)＞f(x)的x的取值范围是()A．(-∞,-1)∪(2，+∞)B．(-∞,-)∪(，+∞)C．(-∞,-)∪(2，+∞)D．(-∞,-1)∪(，+∞)15．甲、乙、丙、丁四位同学参加奥赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位同学，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”已知四位同学的话只有一句是对的，则获奖的同学是()16．若关于x的不等式x2＋2ax＋1≥0在[0，+∞)上恒成立，则实数a的取值范围为()A．(0，+∞)B．[－1，+∞)C．[－1，1]D．[0，+∞)x－2y＋1≥017．已知实数x，y满足x＜2.若z＝|2x－2y－1|，则x－2y＋1≥0x＋y－1≥0C．[0，5)x＋y≤6，18．已知变量x，y满足约束条件x－3y≤x＋y≤6，x≥1， 若目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最小值为2，则+ 5 5A.3 A．2＋B．5＋219．已知函数f(x)＝x3＋3x2＋4x＋2，则不等式f|(x－1)|＜f|(x)|的解集为()-，-1，+∞-B.D.x＋y－3≤0，20．已知实数x，y满足不等式组x－2y－3≤0x＋y－3≤0，0≤x≤4，A.B.x－y≥0，21．已知实数x，y满足x＋yx－y≥0，x≤4，则z＝4x－y的最小值为()中恒成立的个数为()23．用一段长8cm的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型面积的最大值为()A．9cm2B．16cm2C．4cm2D．5cm2y≤x，x＋y－3≤0，24．若实数x，y满足y≤x，x＋y－3≤0，则的取值范围是() 25．设实数x，y满足3x－y≥1，则下列不等式恒成立的是y≥x＋1，A．x≥3B．y≥4C．x＋2y－8≥0D．2x－y＋1≥026．若6<a<10，≤b≤2a，c＝a＋b，则c的取值范围是()C．[9,30]D．(9,30)27．设实数x，y满足约束条件x＋y－3≤0，若目标函数z＝a|x|＋2y的最小值为－6，则实数ax－2y＋6≥0，于()C2D128．已知a>b，ab≠0，下列不等式中：①a2>b2；②2a>2b；③<；④a3>b3；⑤3a<3b.恒成立的是．(填序号)29．已知x29．已知x，y满足x＋y≤4，若目标函数z＝3x＋y的最大值为10，则z的最小值为.2x－y－m≤0.30．已知x<0，且x－y＝1，则x＋1的最大值是.2y＋1________31．设x，y满足约束条件 x＋2y≤1，2x＋y≥-12x＋y≥-1，则z＝3x－2y的最小值为.32．在R上定义运算：x*y＝x(1－y)，若不等式(x－a)*(x＋a)≤1对任意的x恒成立，则实数a的取值范33．设z＝kx＋y，其中实数x，y满足 x＋y－2≥0，x－2y＋4≥0，2x－2y＋4≥0，若z的最大值为12，则实数k＝.34．记min{34．记min{a，b}为a，b两数的最小值．当正数x，y变化时，令t＝min值为.2y、x2＋2y2，则t的最大35．已知变量x，y满足约束条件x－4y＋k≥0， xx－4y＋k≥0， y≥2，且z＝3x＋y的最小值为－1，则常数k＝.高考押题专练1．若实数a，b∈R且a>b，则下列不等式恒成立的是()A．a2>b2B.>1C．2a>2bD．lg(a－b)>0【解析】根据函数的图象与不等式的性质可知：当a>b时，2a>2b，故选C.【答案】Cx2－4x＋6，x≥0，x＋6，x<0，2x2－4x＋6，x≥0，x＋6，x<0，A．(－3,1)∪(3，+∞)B．(－3,1)∪(2，+∞)C．(－1,1)∪(3，+∞)D．(-∞,-3)∪(1,3)x<0，x≥0，x＋6>3x2－4x＋6>3，【解析】由题意知f(1)＝3x<0，x≥0，x＋6>3x2－4x＋6>3，以原不等式的解集为(－3,1)∪(3，+∞).【答案】A3．若变量x，y满足约束条件y≥0，则z＝2x·3x＋4y≤12，A．16B．8【解析】作出不等式组 x≥0， 3x＋4 表示的平面区域如图中阴影部分所示.又z＝2x·2y＝2x－y，令u＝x－y，则直线u＝x－y在点(4,0)处u取得最大值，此时z取得最大值且zmax=24－0＝16.【答案】A4．若对任意正实数x，不等式≤恒成立，则实数a的最小值为()C.D.【解析】因为≤，即a≥，而＝≤(当且仅当x＝1时取等号)，所以a≥.【答案】C2x＋y＋2≥0，5．若实数x，y满足不等式组x＋y－1≤0，且x－y的最大值为5，则实数2x＋y＋2≥0，y≥m，A．0B1C2D5【解析】根据不等式组，作出可行域如图中阴影部分所示，令z＝x－y，则y＝x－z，当直线y＝x－z过点B(1－m，m)时，z取得最大值5，所以1－m－m＝5⇒m2.【答案】C6．对于任意实数a，b，c，d，有以下四个命题：①若ac2>bc2，则a>b；②若a>b，c>d，则a＋c>b＋d；③若a>b，c>d，则ac>bd；④若a>b，则>.其中正确的命题有()【解析】①由ac2>bc2，得c≠0，则a>b，①正确；②由不等式的同向可加性可知②正确；③错误，当d<c<0时，不等式不成立；④错误，令a1，b2，满足－1>－2，但<.故正确的命题有2个.【答案】B7．对于函数f(x)，如果存在x0≠0，使得f(x0)f(－x0)，则称(x0，f(x0))与(－x0，f(－x0))为函数图象的一组奇对称点．若f(x)＝ex－a(e为自然对数的底数)的图象上存在奇对称点，则实数a的取值范围是()A．(-∞,1)B．(1，+∞)C．(e，+∞)D．[1，+∞)【解析】因为存在实数x0(x0≠0)，使得f(x0)f(－x0)，则ex0－ae－x0＋a，即ex02a，又x0≠0，所以2a＝ex【答案】B8．若1≤log2(x－y＋1)≤2，|x－3|≤1，则x－2y的最大值与最小值之和是()A．0B2【解析】1≤log2(x－y＋1)≤2，|x－3|≤1，即变量x，y满足约束条件2≤x－y＋1≤4，2≤x≤4， x－y－3≤0，x－y－作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，可得x－2y在A(21)，C(4,3)处取得最大值，最小值分别为42，其和为2.【答案】C9．已知函数f(x)(x∈R)的图象如图所示，f′(x)是f(x)的导函数，则不等式(x2－2x－3)f′(x)>0的解集为()A．(-∞,-2)∪(1，+∞)B．(-∞,-2)∪(1,2)C．(-∞,-1)∪(－1,0)∪(2，+∞)D．(-∞,-1)∪(－1,1)∪(3，+∞)【解析】由f(x)的图象可知，在(-∞,-1)，(1，+∞)上，f′(x)>0，在(－1,1)上，f′(x)<0.由(x2－2x－3)·f′(x)>0，得f′(x>0，得x2－2x－3>0或f′(x<0，或x2－2x－3<0，或x>1或x<－1，或x>3或x<－1-1<x<1，-1<x<3，所以不等式的解集为(-∞,-1)∪(－1,1)∪(3，+∞).【答案】Dx＋y≤4，10．已知点P(x，y)满足y≥x，过点P的直线与圆x2＋y2＝14相交于A，B两点，则x＋y≤4，x≥1，值为()【解析】不等式组 x＋y≤4，x≥1 y≥x，x≥1所表示的平面区域为△CDE及其内部(如图)，其中C(1,3)，D(2,2)，E(1,1)，且点C，D，E均在圆x2＋y2＝14的内部，故要使|AB|最小，则AB⊥OC，因为|OC|所以|AB|＝2×＝4，故选D.【答案】D11．某企业生产甲、乙两种产品均需用A、B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为()甲乙原料限额A(吨)32B(吨)128【解析】根据题意，设每天生产甲x吨，乙y吨，则等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，y≥0x＋2y≤8，3x＋x＋2y≤8，目标函数为z＝3x＋4y，作出不作出直线3x＋4y＝0并平移，易知当直线经过点A(2，3)时，z取得最大值且zmax＝3×2＋4×3＝18，故该企业每天可获得最大利润为18万元，选D.【答案】D12．已知a＞0＞b，则下列不等式一定成立的是()A．a2＜－abB．|a|＜|b|【答案】C【解析】当a＝1，b1时，满足a＞0＞b，此时a2ab，|a|＝|b|，2＜2，所以A，B，D不一定成立．因为a＞0＞b，所以b－a＜0，ab＜0，所以0，所以＞一定成立，故选C.2x＋5y－10≤013．设实数x，y满足x＋4y－5≥0，则z＝x＋2x＋5y－10≤0x≥0【答案】D2x＋5y－10≤0x≥0【解析】法一：不等式组x＋4y－5≥0表示的平面区域如图中阴影部分所示．作出直线x＋2x＋5y－10≤0x≥02x＋5y－10＝0x＝0x＝0y＝2移，可知当直线经过点A时z取得最大值，由可得，故2x＋5y－10＝0x＝0x＝0y＝2故选D.4，C(5，0)，分别法二：作出可行域如图中阴影部分所示，求出可行域的顶点坐标为A(04，C(5，0)，分别代入目标函数，对应的z的值为65，故z的最大值为6，故选D.14．设函数f(x)＝x＞0，则满足不等式f(x2－2)＞f(x)的x的取值范围是()A．(-∞,-1)∪(2，+∞)B．(-∞,-)∪(，+∞)C．(-∞,-)∪(2，+∞)D．(-∞,-1)∪(，+∞)【答案】Cx＞0，x2－2＞x【解析】法一：因为当x＞0时，函数f(x)单调递增；当x≤0时，f(x)＝0，故由f(x2x＞0，x2－2＞xx≤0，x2－2＞0，或解得x＞2或x所以x的取值范围是(-∞,-)∪(2，+∞)，故选x≤0，x2－2＞0，法二：取x＝2，则f(22－2)＝f(2)，所以x＝2不满足题意，排除B，D；取x1.1，则f((－1.1)2－2)=f(－0.79)＝0，f(－1.1)＝0，所以x1.1不满足题意，排除A，故选C.15．甲、乙、丙、丁四位同学参加奥赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位同学，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”已知四位同学的话只有一句是对的，则获奖的同学是()B．乙【答案】D【解析】假设获奖的同学是甲，则甲、乙、丙、丁四位同学的话都不对，因此甲不是获奖的同学；假设获奖的同学是乙，则甲、乙、丁的话都对，因此乙也不是获奖的同学；假设获奖的同学是丙，则甲和丙的话都对，因此丙也不是获奖的同学．从前面推理可得丁为获奖的同学，此时只有乙的话是对的，故选D.16．若关于x的不等式x2＋2ax＋1≥0在[0，+∞)上恒成立，则实数a的取值范围为()A．(0，+∞)B．[－1，+∞)C．[－1，1]D．[0，+∞)【答案】B【解析】法一：当x＝0时，不等式1≥0恒成立，当x＞0时，x2＋2ax＋1≥0⇒2ax≥-(x2＋1)⇒2a≥-x又－x＋≤-2，当且仅当x＝1时，取等号，所以2a≥-2⇒a≥-1，所以实数a的取值范围为[－1，+∞).法二：设f(x)＝x2＋2ax＋1，函数图象的对称轴为直线x＝－a，当－a≤0，即a≥0时，f(0)＝1＞0，所以当x∈[0，+∞)时，f(x)≥0恒成立；当－a＞0，即a＜0时，要使f(x)≥0在[0，+∞)上恒成立，需f(－a)＝a2－2a2＋1a2＋1≥0，得－1≤a＜0.综上，实数a的取值范围为[－1，+∞)，故选B.x－2y＋1≥017．已知实数x，y满足x＜2.若z＝|2x－2y－1|，则x－2y＋1≥0x＋y－1≥0 C．[0，5)【答案】C【解析】由题意，作出可行域，如图中阴影部分所示．令t＝2x－2y－1，则z＝|t|.t＝2x－2y－1可变形为y＝x－t作出直线y＝x，并平移，当直线经过点A3，3时，t取得最小值，所以tmin＝2×－2×-1当直线y＝x向右下方平移，并接近点C(21)时，t的值趋近于2×2－2×(－1)－1＝5.所以z的取值范围为[0，5)，故选C.18．已知变量x，y满足约束条件 x＋y≤6，x－3y≤-2若目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最小值为2，则+的最小值为()A．2＋B．5＋2【答案】A【解析】作出约束条件所对应的可行域，如图中阴影部分．因为a＞0，b＞0，所以0.所以目标函数z＝ax＋by在点A(1，1)处取得最小值2，即2＝a×1＋b×1，所以a＋b＝2.所以＋＝×＋(a＋b)=14＋＋≥1(4＋2)＝2＋(当且仅当b＝3a，即b＝a时取等号)．故选A.19．已知函数f(x)＝x3＋3x2＋4x＋2，则不等式f|(x－1)|＜f|(x)|的解集为()-，-1，+∞-B.D.【答案】A【解析】当x＝0时，f(0)＝2，f|(0)|＝2，f(－1)1＋3－4＋2＝0，f|(－1)|＝0，f|(－1)|＜f|(0)|，即x＝0满足题意，排除C与D选项(不含x＝0)；当x＝1时f(0)＝2，f|(0)|＝2，f(1)＝1＋3＋4＋2＝10，f|(1)|＝10，f|(0)|＜f|(1)|，即x＝1满足题意，排除B选项(不含x＝1)，故选A.20．已知实数x，y满足不等式组 x＋y－3≤0，x－2y－则该不等式组表示的平面区域的面积为()9A27B【解析】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示. 3＋3由图象可知该平面区域表示一个三角形(阴影部分)，其面积S＝×2×3＝.故选B. 3＋3【答案】Bx－y≥0，21．已知实数x，y满足x＋yx－y≥0，x≤4，则z＝4x－y的最小值为()【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线y＝4x并平移，结合图象可知当平移后的直线经过点A(2,2)时，z＝4x－y取得最小值，zmin＝4×2－2＝6.故选B.【答案】B中恒成立的个数为() A A【解析】对于①,若a＝1，b1，满足a>b，则>，则<(a>b)不恒成立；对于②,若x>0，则x+≥2，若x<0，则x＋≤-2，则x＋≥2(x≠0)不恒成立；对于③,由b<a<0<c，可得c·<0，则<(b<a<0<c)恒成立；对于④,由a，b，m>0且a<b，知>0，则>(a，b，m>0且a<b)恒成立．故选B.【答案】B23．用一段长8cm的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型面积的最大值为()A．9cm2B．16cm2C．4cm2D．5cm2【解析】设矩形模型的长和宽分别为xcm，ycm，则x>0，y>0，由题意可得2(x＋y)＝8，所以x＋y＝4，所以矩形模型的面积S＝xy≤4(cm2)，当且仅当x＝y＝2时取等号，所以当矩形模型的长和宽都为2cm时，面积最大，为4cm2.故选C.【答案】Cy≤x，24．若实数x，y满足x＋4y－y≤x，x＋y－3≤0，B. 35C则的取值范围是()【解析】作出可行域如图中阴影部分所示.的几何意义是可行域内的点与点P(－1,0)连线的斜率的倒y＝x，x＋y－3＝0，得A所以kPA＝3.由x＋y得B得B 5故的取值范围是 .5故的取值范围是 .故选A.【答案】A25．设实数x，y满足3x－y≥1y≥x＋1，A．x≥3B．y≥4C．x＋2y－8≥0D．2x－y＋1≥0则下列不等式恒成立的是()【解析】作出可行域如图中阴影部分所示：则C(2,3)，B(2,5)，A项，由图可以看出，阴影部分不全在直线x＝3的右侧，故A项不符合题意；B项，由图可以看出，阴影部分不全在直线y＝4的上侧，故B项不符合题意；C项，x＋2y－8≥0，即y≥-x＋4，作出直线yx＋4，由图可以看出，阴影部分都在直线yx＋4的上侧，故C项符合题意；D项，2x－y＋1≥0，即y≤2x＋1，作出直线y＝2x＋1，由图可以看出，阴影部分不全在直线y＝2x＋1的下侧，故D项不符合题意．故选C.【答案】C26．若6<a<10，≤b≤2a，c＝a＋b，则c的取值范围是()C．[9,30]D．(9,30)【解析】∵≤b≤2a，∴≤a＋b≤3a，即≤c≤3a，又6<a<10，∴9<c<30.故选D.【答案】D27．设实数x，y满足约束条件x＋y－3≤0x－2y＋6≥0，于()C2D1若目标函数z＝a|x|＋2y的最小值为－6，则实数a等【解析】作出约束条件x＋y－3≤0，的可行域如图中阴影部分所示，因为目标函数z＝a|x|＋2yx－2y＋6≥0，y＝0，最小值为－6，数形结合可知目标函数的最优解为B，由得B(y＝0，得a1.故选D.【答案】D28．已知a>b，ab≠0，下列不等式中：①a2>b2；②2a>2b；③<；④a3>b3；⑤3a<3b.恒成立的是．(填序号)1【解析】因为函数y＝2x，y＝x3在R上是单调增函数，a>b，ab≠0，所以2a>2b，a>b恒成立；又函数y＝3x在R上是单调减函数，a>b，ab≠0，所以3a<3b恒成立；又a>b，ab≠0，a2－b2＝(a－b)(a＋b)和－＝的正负不确定；所以a2>b2，<不恒成立.【答案】②④⑤29．已知x，y满足x＋y≤4，若目标函数z＝3x＋y的最大值为10，则z的最小值为2x－y－m≤0.【解析】作出可行域，如图中阴影部分所示．作出直线3x＋y＝0，并平移可知当直线过点A时，z取得得得2x－y－m＝